第3章 一次方程（组）概念清单速记表（知识清单）数学新教材湘教版七年级上册

该初中数学“一次方程（组）”知识清单系统梳理了第3章全章内容，涵盖等量关系、方程概念、解法及应用等核心范畴，搭建了从基础概念到方程求解再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“概念-定义-相关概念”关联呈现知识体系，分类型列举行程、工程等应用问题等量关系，培养模型意识。标注解方程步骤与检验方法强化运算能力，如“解一元一次方程步骤”明确去分母、移项等流程，助力学生高效掌握，方便教师精准教学。

第3章 一次方程（组）清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 3.1 等量关系和方程 等量关系 实际问题中数量之间的相等关系。如：胜的场数得分+输的场数得分=总得分；（长×宽+宽×高+长×高）×2=表面积。 数量关系、列等式、设未知数 未知数 把问题中的未知量先用字母 ， 等表示，用来表示未知量的字母称为未知数。 字母表示数、设未知数、未知量 方程 在一些实际问题中，常需找出等量关系，并根据等量关系列出含有未知数的等式，我们把这样含有未知数的等式叫作方程。如 。 等式、未知数、等量关系 一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程。 方程、未知数的个数、次数 方程的解 对于含有一个未知数 的方程，若 用一个数 代入能使方程左、右两边的值相等，这个数 就是这个方程的一个解，习惯上记作 。 代入检验、左边、右边 估算方程的解 对于一些较简单的方程，可以先确定未知数的一个较小的取值范围，然后在此范围内估算出方程的解，这是解决问题的一种重要策略。 取值范围、代入、估算 3.2 等式的基本性质 等式的基本性质1 等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等。 等式变形、加上或减去、整式 等式的基本性质2 等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，等式两边仍然相等。 等式变形、乘或除以、不为0 移项 把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边，方程的这种变形叫作移项。必须牢记：移项要变号。 变号、等式的基本性质1、合并同类项 去括号 运用乘法对加法的分配律，将方程中的括号去掉，方程的这种变形叫作去括号。去括号时，括号前的数要与括号内的每一项相乘。 分配律、每一项相乘、变形 去分母 在原方程的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而将分母去掉，方程的这种变形叫作去分母。去分母时，方程两边的每一项都要乘各个分母的最小公倍数。 最小公倍数、每一项、变形 3.3 一元一次方程的解法 解方程 求方程的解的过程叫作解方程。 方程的解、等式的基本性质、化简 解一元一次方程的一般步骤 对于只含有未知数 的一元一次方程，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项，然后再除以未知数的系数，从而将其化为 的形式。 去分母、去括号、移项、合并同类项 解方程后的检验 解方程后，为了确认求解过程是否有误，可以将求出的未知数的值分别代入方程的左边与右边进行检验，如果不相等，则要查找错误并加以改正。 代入、查错、左边与右边 3.4 一元一次方程的应用 列一元一次方程解应用题的一般步骤 先分析题意，找出问题中的等量关系；再设出未知数，并根据等量关系列出一元一次方程；然后解方程求出解；最后检验解是否符合问题的实际意义，符合实际意义的解才是实际问题的解。 等量关系、设未知数、解方程、检验 行程问题的等量关系 路程=时间×速度；顺流划行的速度=在静水中的速度+水流速度，逆流划行的速度=在静水中的速度-水流速度。 路程、速度、时间、顺流逆流 工程问题的等量关系 工作量=工作效率×工作时间；各人完成的工作量之和=总工作量。常设总工作量为1，如甲单独完成需15天，则甲的工作效率为 。 工作效率、工作时间、总工作量 比赛积分问题的等量关系 胜的场数+负的场数=比赛总场数；胜的场数得分+负的场数得分=总得分。 胜场、负场、总得分 植树问题的等量关系 在公路一侧栽树、两端各栽1棵且相邻两棵树的间隔相等时，路长=相邻两树的间隔×（种植的树苗数-1）。 间隔、棵数、两端都栽 调配问题的等量关系 从原有数量中抽调一部分后，剩余量=原有量-抽调量，再根据剩余量之间的和、差、倍关系列方程。如：甲班抽调的人数-乙班抽调的人数=1，抽调后甲班剩余人数=乙班剩余人数×2。 原有量、抽调量、剩余量 打折与利润问题的等量关系 按标价打折出售时，现售价=标价×折扣数，如标价为 元、按八折出售时现售价为 元；利润=现售价-进价。 标价、进价、利润 3.5 认识二元一次方程组 二元一次方程 含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。如 ，。 两个未知数、次数为1、方程 二元一次方程组 只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。当实际问题中的未知数必须同时满足两个方程时，就把这两个方程联立起来，得到一个方程组。 联立、两个方程、未知数 二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 未知数的值、左右两边相等 二元一次方程解的特点 一般地，一个二元一次方程有无数组解。 解不唯一、无数组解 二元一次方程组的解 一般地，对于未知数为 ， 的二元一次方程组，若 ， 分别用数 ， 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 叫作这个方程组的一个解，习惯上记作 ，。 公共解、代入、检验 解方程组 求方程组的解的过程叫作解方程组。 方程组的解、消元、求解 3.6 二元一次方程组的解法 消元 解二元一次方程组的基本思路是消去一个未知数（简称消元），得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程求出一个未知数的值，接着再去求另一个未知数的值。代入消元法和加减消元法是两种求解方程组的方法，应根据具体情况灵活选择。 转化、一元一次方程、灵活选择方法 代入消元法 把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把这个代数式代入另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程；解这个一元一次方程求出其中一个未知数的值，再把求出的值代入前面的代数式，求出另一个未知数的值。这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法。 代数式、代入、消去一个未知数 加减消元法 把一个方程进行适当变形后，再加上（或减去）另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程；解这个方程求出该未知数的值，再把这个值代入原方程组的任意一个方程，求出被消去的未知数的值，从而得到原方程组的解。这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法。 相加或相减、系数、消元 加减消元时未知数系数的特征 两个方程中某一未知数的系数互为相反数时，把两个方程的两边分别相加即可消去该未知数；系数相同时，把两边分别相减即可消去该未知数；系数既不相等也不互为相反数时，先把其中一个方程的两边都乘适当的数，再用加减法消元。 互为相反数、系数相同、适当变形 整体思想 在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想。主要表现形式有整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等。 整体代换、整体设元、整体变形 3.7 二元一次方程组的应用 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 分析题意，找出两个等量关系；设出两个未知数，列出二元一次方程组；解方程组；检查解是否符合实际问题的需要，如果符合，它就是实际问题的解。 两个等量关系、设两个未知数、解方程组、检验 数量（倍数）问题的等量关系 由两个量的总数量关系与倍数（或和差）关系确定两个等量关系。如：毛笔书法练习本的本数+国画临摹册的本数=280，毛笔书法练习本的本数=2×国画临摹册的本数+40。 总量、倍数关系、设两个未知数 行程问题的等量关系 分段行程问题中，各路段长度之和=总路程，各行进时间之和=总时间，且每一段都满足路程=速度×时间。如：自行车路段的长度+长跑路段的长度=5 km，骑自行车的时间+长跑时间=15 min。 路程、速度、时间 百分比变化（涨价降价）问题的等量关系 降价后的单价=原单价×（1-降价率），提价后的单价=原单价×（1+提价率），再由原单价之和与调价后单价之和两个等量关系列方程组。如：甲商品原单价+乙商品原单价=100元，调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×（1-5%）元。 原单价、调价、百分比 运输问题的等量关系 由两种车型（或两次运输）分别满足的总量关系列出两个方程。如：2辆甲种货车运货量+3辆乙种货车运货量=26 t，5辆甲种货车运货量+6辆乙种货车运货量=56 t。 运货量、车辆数、总运量 利用方程组求待定系数 对于多项式 （其中 ， 为常数），把 分别用两个数代入，得到 的两个值，可建立一个关于 ， 的二元一次方程组，解这个方程组即可求出 ， 的值。 待定系数、多项式、方程组 3.8 三元一次方程组（选学） 三元一次方程 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程。 三个未知数、次数为1、类比 三元一次方程组 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组。一般地，三元一次方程组含有三个方程。 三个方程、三个未知数、消元 三元一次方程组的解 对于未知数为 ，， 的三元一次方程组，若 ，， 分别用数 ，， 代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把 叫作这个方程组的一个解。 未知数的值、代入、消元 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解。消元的方法仍是代入消元法或加减消元法。 消元、转化、代入消元法、加减消元法 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $