第三章 一次方程（组） 知识汇总 2024—2025学年湘教版数学七年级上册

一次方程（组） 1.方程的概念 含有未知数的表示等量关系的等式叫做方程. 方程需要满足两个条件：①等式；②含有未知数. 2.一元一次方程 只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程. 条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数都是1；（3）分母中不含未知数，即整式方程. 例如：=-3不是一元一次方程. 注：判断一个方程是不是一元一次方程，要先将方程化为最简形式，然后再根据一元一次方程的概念判断. 例题：如果是关于x的一元一次方程，求b的值. 3.方程的解 使方程左右两边值相等的数就是方程的一个解.习惯上写成x=a的形式. 4.等式的性质 性质1：等式两边加上(或减去)同一个数(或整式)，等式两边仍相等； 符号语言：如果，那么. 性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍相等. （等式的基本性质通常用于考察整体代入题型） 符号语言：如果，那么; 如果，，那么 . 等式的传递性：如果，那么; 等式的对称性：如果，那么. 5.移项 把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边，方程的这种变形叫移项.牢记：移项要变号.（依据是等式的基本性质1） 注意： (1)移项是将项从等号的一边移到另一边的变形； (2)方程中的项包括前面的符号，移项时必须改变该项的符号； (3)在解方程时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，常数项放在等号的右边. 6.去括号 运用乘法对加法的分配律，将方程中的括号去掉，方程的这种变形叫去括号. 法则：(1)括号前是“+”，直接去掉括号和“+”,原括号里各项符号都不变； a+(b-c)=a+b-c; a+(-b+c)=a-b+c (2)括号前是“-”，去掉括号和它前面的“-”时，原括号里的每一项符号都要改变； a-(b-c)=a-b+c; a-(-b+c)=a+b-c; -(a-b)=-a+b. 去多层括号法则：由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 注意：运用乘法分配律去括号时，不要漏乘括号内的任何一项. 如果括号外的因数是正数，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 7.去分母 在原方程的两边都乘以各分母的最小公倍数，从而将分母去掉，方程的这种变形叫做去分母.（依据是等式的基本性质2） 注意：(1)去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项； (2)去分母时，若分子为多项式，去分母后这个多项式要加上括号； (3)当分母含有小数时，先利用分数的基本性质把小数化为整数，再去分母. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变. 8.解一元一次方程的一般步骤 步骤 依据 具体做法 注意事项 去分母 等式性质2 方程两边同时乘个分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项； (2)当分母是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号. 去括号 乘法分配律去括号法则 先去小括号、再去中括号，最后去大括号 (1)不要漏乘括号里的任何一项； (2)不要弄错符号； 移项 等式性质1 把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边 移项要变号； 合并同类项 合并同类项法则 系数相加，字母及字母的指数不变，把方程化成ax=b(a≠0)的形式 未知数的系数不要弄错； 系数化为1 等式性质2 在方程ax=b(a≠0)的两边同除以a(或乘以),得到方程的解为x= 不要将分子、分母的位置颠倒； 9.列方程解应用题的一般步骤 (1)审：审题，明确已知和所求，分析题目，找出等量关系，； (2)设：设出未知数，用字母表示题目中的一个未知量，并注明单位； (3)列：根据题目中的等量关系列出方程； (4)解：解所列的方程，求出未知数的值； (5)验：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际题意； (6)答：写出答语(注意带上单位). 10.常见应用题数量关系 （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间 ；时间=路程÷速度 ；速度=路程÷时间. 相遇问题：甲走路程＋乙走路程=两者原相距路程； 追及问题： 同时不同地出发：快者所走路程-慢者所走路程=两者原相距路程（被追路程）； 同地不同时出发：甲走路程=乙走路程. （2）航行问题：顺水：航速=静水速度＋水流速度； 逆水：航速=静水速度-水流速度. （3）工程问题中的等量关系： 总工作量=工作效率×工作时间； 工作效率=总工作量÷工作时间； 工作时间=总工作量÷工作效率； 总工作量=人均工作效率×工作时间×人数； 在题目中未给出总工作量时，经常设总工作量为单位“1”，即完成某项任务的个工作量和=总工作量=1 （4）利润问题中常见等量关系： 利润=售价-进价=进价×利润率； 售价=进价＋利润=进价×(1+利润率)； 利润率=利润÷进价×100%； 销售额=售价×销量； 总利润=(售价-进价)×销售量=总销售额-总成本； 商品打折销售：商品售价=商品标价×折扣率. （5）储蓄问题：利息=本金×利率×期数； 本息和=本金＋利息=本金＋本金×利率×期数. （6）和差倍问题：较大量=较小量＋多余量，总量=份数×1份的量. （7）配套问题：实际生产比=配套比. （8）百分率问题： 增长后的量=原量＋增长量=原量×（1＋增长率）. 减少后的量=原量-减少量=原量×（1-减少率）. 若一个数x是另一个数y的a%，则x=a%· y. 11.二元一次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为1方程，叫二元一次方程. 例如：x＋y=2. 条件：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数是1；（3）整式方程. 12.二元一次方程组 只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫做二元一次方程组. 注：(1)方程组中共含有两个未知数，不一定两个方程都含有两个未知数；(2)两个方程都是一次方程；(3)方程组中相同字母必须表示同一个量. 13.二元一次方程的解 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.一般地，一个二元一次方程有无数个解. 14.二元一次方程组的解 对于未知数为x、y的二元一次方程组，若x、y分别用a,b代入，使得每一个方程左右两边的值相等，则把（a，b）叫作这个二元一次方程组的一个解. 习惯上记作. 15.解方程组 求方程组解的过程叫作解方程组 16.二元一次方程组的解法（根据情况灵活选用消元方法） (1)代入消元法 把其中一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，把这个代数式代入另一个方程，实现消元，得到一个一元一次方程，求解这个一元一次方程得到一个未知数的值，再代入前面的代数式中，求出另一个未知数的值，从而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法. 代入消元法步骤：①变形 ②代入 ③求解 ④回代 ⑤写解. 以下情况通常选用代入消元法：①某个未知数系数为1或-1；②有一个常数项为0的方程. （2）加减消元法 把一个方程适当变形后，再加上（或减去）另一个方程，消去一个未知数，得到只含一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程得到一个未知数的值，再代入到原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到这个二元一次方程组的解.这种方法叫加减消元法. 加减消元法步骤：①变形 ②加减 ③求解 ④回代 ⑤写解. 以下情况通常选用加减消元法：①两个方程中的同一个未知数的系数相同或者互为相反数；②两个方程中同一个字母的系数成倍数关系；③若无特征，可选取其中一个或两个方程进行适当变形，使其同一个未知数的系数化为相同或者互为相反数. 消元方法： 同一个未知数的系数互为相反数时，方程两边分别相加（同号相加）； 同一个未知数的系数相等时，方程两边分别相减（异号相减）； 17.三元一次方程（组） 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程. 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组.一般地，三元一次方程组含有三个方程. 18.三元一次方程组的解 对于未知数为x、y、z的二元一次方程组，若x、y、z分别用a，b,，c代入，使得每一个方程左右两边的值相等，则把（a，b，c）叫作这个二元一次方程组的一个解.习惯上记作 19.解三元一次方程组思路 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程. 消元方法仍是利用代入消元法和加减消元法. 学科网（北京）股份有限公司 $$