第四章 图形的认识知识归纳与题型突破（10类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（湘教版2024）

第四章 图形的认识知识归纳与题型突破（题型清单） 1.几何图形 几何图形：从实物中抽象出来的各种图形， 包括立体图形和平面图形； 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内， 它们是立体图形； 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 常见的平面图形：直线、线段、角、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形。 2.点、线、面、体 点：线和线相交的地方是点， 点是几何图形中最基本的图形； 线：面和面相交的地方是线， 分为直线和曲线； 面：包围着体的是面， 分为平面和曲面； 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。 关系：几何图形都是由点、线、面、体组成的， 点动成线， 线动成面， 面动成体。 点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形， 形成多姿多彩的图形世界。 3.直线、射线、线段 直线：一根拉得很紧的线， 就给我们以直线的形象， 直线是直的， 并且是向两方无限延伸的； 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线， 这个点叫做射线的端点； 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段， 这两个点叫做线段的两个端点； 表示方法：在几何里， 我们常用字母表示图形： ①一个点可以用一个大写字母表示； ②一条直线可以用一个小写字母表示； ③一条射线可以用端点和射线上另一点来表示； ④一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示； 直线性质：①直线上有无穷多个点； ②过一点的直线有无数条； ③两条不同的直线至多有一个公共点； 点和直线的位置关系有两种：①点在直线上， 或者说直线经过这个点； ②点在直线外， 或者说直线不经过这个点； 直线位置关系：在同一平面内不重合的两条直线的位置关系只有两种： 相交或平行； 直线公理：经过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线) ； 线段公理：连接两点的所有连线中， 线段最短， 简述为： 两点之间线段最短； 线段中点：线段的中点到两端点的距离相等。 4.角 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角， 这个公共端点叫做角的顶点， 这两条射线叫做角的边； 动态定义：角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部分称为角的外部； 角的分类：按大小分, 周角(360°)>平角(180°)>钝角(90°<钝角<180°)>直角(90°)>锐角(<90°); 余角： 如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角叫做另一个角的余角; 性质： 同角(或等角) 的余角相等； 补角： 如果两个角的和是一个平角， 那么这两个角叫做互为补角， 其中一个角叫做另一个角的补角； 性质： 同角(或等角) 的补角相等； 注：互为补角、互为余角是相对两个角而言， 由它们的数量关系来定义的， 只与角的度数有关，与角的位置无关； 角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写希腊字母表示，； 有以下四种表示方法； ①用数字表示单独的角; ②用小写的希腊字母表示单独的一个角； ③用一个大写英文字母表示一个独立的角(在一个顶点只有一个角)； ④用三个大写英文字母表示任一个角； 注意： 用三个大写英文字母表示角时， 一定要把顶点字母写在中间， 边上的字母写在两侧； 角的单位： 1周角=360°, 1平角=180°, 1°=60', 1'(分)=60"(秒), 角的度、分、秒是60 进制; 角的性质：①角的大小与边的长短无关， 只与构成角的两条射线的幅度大小有关； ②角的大小可以度量， 可以比较， 比较方法： 叠合法；度量法； 角的大小比较： ①叠合法：将两个角叠放在一起， 使两个角的顶点和一条边重合， 并使它们的另一边都落在重合的那边的同旁，根据两个角的另一边的位置确定出两个角的大小。 ②度量法：两个角大小的比较，实际上是两个角的度数的大小比较， 度量法就是先用量角器分别量出两个角的度数， 再比较其度数的大小。 5.三线八角 对顶角：有一个公共顶点， 且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角； 性质： 对顶角相等； 两条直线相交所构成的四个角中， 有两对对顶角； 若两个角互为对顶角， 则它们一定相等；反之， 若两个角相等， 则它们不一定互为对顶角。 邻补角：两个角有一条公共边， 且它们的另一边互为反向延长线， 具有这种关系的两个角互为邻补角；两条直线相交所成的四个角中， 有4对邻补角。 性质： 邻补角互补(之和等于 180°)； 注：邻补角与补角是两个不同的概念， 互补的两个角只有数量关系， 没有位置关系， 只要这两个角的和等于 180°即可； 而邻补角不但有数量上的关系， 还有位置上的关系； 同位角、内错角、同旁内角 三线八角：①三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角， 其中对顶角有4对，同位角有4对，内错角有 2对， 同旁内角有2对； ②正确认识这八个角要抓住： 同位角位置相同即“同旁和同侧”；内错角要抓住“内部，异侧”；同旁内角要抓住“同旁，内部”。 6.角平分线 定义：一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线； 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 逆定理：在角的内部， 到角两边距离相等的点在角平分线上(判定角平分线)； 题型一　常见的几何体 例题：（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，将几何体与它的名称连接起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了认识立体图形，根据常见立体图形的概念连线即可，注意正确区分各个几何体的特征可得答案． 【详解】 巩固训练 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）下列物体的形状类似于圆柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查几何体的识别，解题的关键是熟知圆柱体的特点． 根据圆柱、圆锥、球体、正方体的主要特点判断即可； 【详解】解：A是正方体，B是球体，C是圆柱体，D是圆锥体， 故选：C． 2．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）下列物体中，类似于圆锥的是（   ） A．水杯 B．漏斗 C．铅笔盒 D．足球 【答案】B 【分析】本题主要考查了常见几何体的形状，熟知常见几何体的形状是解题的关键． 【详解】解：A、水杯类似于圆柱，不符合题意； B、漏斗类似于圆锥，符合题意； C、铅笔盒类似于长方体，不符合题意； D、足球类似于球体，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（   ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】本题考查的是简单几何体的识别，根据棱柱，球，圆锥的特点分析即可． 【详解】解：由题意可得：该作品中有棱柱，球，圆锥，没有圆柱， 故选C 4．（23-24六年级上·全国·单元测试）下列物体的形状类似于长方体的是（    ） A．西瓜 B．砖块 C．沙堆 D．蒙古包 【答案】B 【分析】本题主要考查了常见的几何体，组合几何体的构成等知识点，熟练掌握常见的几何体的特征是解题的关键． 长方体的特征：六个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，条棱分为互相平行的组，每组条棱相等，有个顶点，据此解答即可． 【详解】解：A、 西瓜类似于球，故选项不符合题意； B、砖块类似于长方体，故选项符合题意； C、沙堆类似于圆锥，故选项不符合题意； D、 蒙古包是圆锥和圆柱的组合体，故选项不符合题意； 故选：． 5．（23-24六年级上·全国·单元测试）未削过的无棱铅笔的形状类似于几何体中的 ，未削过的有棱铅笔的形状类似于几何体中的 ，无棱铅笔削过的部分的形状类似于几何体中的 ． 【答案】 圆柱 棱柱 圆锥 【分析】本题主要考查了常见的几何体，熟练掌握常见的几何体的特征是解题的关键． 根据常见的几何体的特征直接判断即可得出答案． 【详解】解：根据常见的几何体的特征可知： 未削过的无棱铅笔的形状类似于几何体中的圆柱， 未削过的有棱铅笔的形状类似于几何体中的棱柱， 无棱铅笔削过的部分的形状类似于几何体中的圆锥， 故答案为：圆柱，棱柱，圆锥． 题型二　几何体展开图 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）将下列几何体与其平面展开图用线连接起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟知基本几何体的展开图，具有一定的空间想象力． 【详解】解：如图所示： 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图， 根据棱柱的性质结合展开图一一判断即可求解． 【详解】解：.可以围成四棱柱，故该选项不符合题意； ．侧面上多出一个长方形，故不能围成一个三棱柱，故该选项符合题意； ．可以围成五棱柱，故该选项不符合题意； ．可以围成三棱柱，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（    ） A．化 B．传 C．文 D．色 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图形，根据正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形求解即可得到答案； 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“承”字相对的面上的汉字是“化”， 故选：A． 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）2024年河南省夏粮总产量达到3785.7万吨，进一步巩固了“中原粮仓”地位，诠释了“粮安天下中原担当”．将六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“原”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．粮 B．仓 C．担 D．当 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的问题，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．根据正方体的表面展开图找相对面的方法，一线隔一个，即可解答． 【详解】在原正方体中，与“原”字所在面相对的面上的汉字是“仓”． 故选：B． 4．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）巴黎奥运会于北京时间7月27日凌晨1点30分，当地时间7月26日晚上19点30分盛大开幕．如图，小明将“庆祝奥运会！”分别写在一个正方体的展开图上，把展开图折叠成正方体后，与“奥”字相对的汉字是（    ） A．庆 B．祝 C．运 D．会 【答案】A 【分析】本题考查了正方体展开图相对面上的字，解题的关键是掌握正方体展开图相对面的特征“隔一个或成Z字端”． 【详解】解：由图可知，与“奥”字相对的汉字是“庆”， 故选：A． 5．（23-24七年级上·云南红河·期末）2023年《开学第一课》以“强国复兴有我”为主题，激励广大青少年爱国博学，追求梦想．如图是一个正方体的平面展开图，则原正方体中与“我”字所在面相对的面上标有的字是“（    ）” A．强 B．兴 C．有 D．复 【答案】A 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据相对的面之间一定相隔一个正方形，进行判断即可． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“国”与“兴”相对；“复”与“有”相对；“强”与“我”相对． 故选：A． 6．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是 ． 【答案】三棱柱 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记三棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 【详解】根据题意得，有2个三角形的面，3个长方形的面， ∴围成的几何体名称是三棱柱． 故答案为：三棱柱． 7．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查正方体相对两面上的字，相反数的定义，正确识别正方体展开图中相对的两面是解题的关键．根据正方体的展开图中可得x与5是对面，3与y是对面，从而可根据相反数的定义求得y的值及x的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 题型三　立体图形的简单计算问题 例题：（山东济宁·期中）已知一个直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长都是，回答下列问题： (1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？有多少条棱？ (2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形的面积是多少？ (3)这个直四棱柱的体积是多少？ 【答案】(1)该直四棱柱有6个面，8个顶点，12条棱 (2) (3) 【分析】本题考查了直四棱柱的几何特征、体积和长方形的判断、长方形的面积等知识点． （1）根据直四棱柱的几何特征即可得到这个直四棱柱的面数，顶点数和棱数； （2）将该直四棱柱的侧面展开即可得到一个宽为该直四棱柱棱长，长为该直四棱柱四倍底面边长的长方形；然后根据长方形的面积公式计算即可． （3）根据直四棱柱的体积计算公式即可得到该直四棱柱的体积． 【详解】（1）解：根据直四棱柱的特征可知该直四棱柱有6个面，8个顶点，12条棱； （2）由长方形的性质可知，将这个直四棱柱的侧面展开形成一个平面图形，这个图形为长方形，长方形的宽为该直四棱柱棱长，长为该直四棱柱四倍底面边长， 则长为：，宽为：， 则面积为：． （3）该直四棱柱的体积为∶ 巩固训练 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： （1）小明共剪开了________条棱； 动手操作： （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法，请任选一种方法在图1中补全粘贴； 解决问题： （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 【答案】（1）8；（2）4；（3） 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据平面图形中没有剪开的棱的条数，再求出剪开棱的条数； （2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； （3）先求出长方体的高，再根据长方体的体积公式求出长方体纸盒的体积即可． 【详解】解（1）图1中没有剪开的棱有4条，所以小明共剪了条棱； 故答案为：8． （2）如图，四种情况． 故答案为：4； （3）长方体的高为：， 这个长方体纸盒的体积为． 2．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．如图1，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图2，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 问题解决 （1）图1中的长方体纸盒的底面积为 ； （2）图2中的长方体纸盒的长为 ： 拓展延伸 （3）现有两张边长均为的正方形纸板，分别按勤学小组和善思小组的方法制作成无盖和有盖的两个长方体纸盒，若剪去部分的小正方形边长为，求无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的多少倍． 【答案】（1）；（2）14，（3）2倍． 【分析】此题考查了长方体的体积、底面积等知识， （1）根据题意求出长方体纸盒的底面积即可； （2）根据题意求出长方体纸盒的长即可； （3）分别求出无盖纸盒的体积和有盖纸盒体积，即可求出答案． 【详解】（1）图1中的长方体纸盒的底面积为； 故答案为： （2）图2中的长方体纸盒的长为， 故答案为：14 （3）无盖纸盒的体积为：， 有盖纸盒体积为： ∵， ∴无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的2倍． 3．（23-24七年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图是一个长方体纸盒的展开图，求这个纸盒的表面积和体积．（纸的厚度不计）（单位：厘米） 【答案】这个纸盒的表面积是550平方厘米，体积是750立方厘米 【分析】本题考查图形的展开和折叠，解答此题的关键是根据长方体展开图弄清这个长方体纸盒的长、宽、高各是多少厘米．由长方体展开图可知，折成的长方体纸盒的长是厘米，宽是10厘米，高是5厘米．根据长方体面积计算公式“”即可求出这个纸盒的表面积，根据长方体的体积计算公式“”即可求出它的体积． 【详解】解：长方体纸盒的长：（厘米）， 长方体纸盒的高：（厘米）， 长方体纸盒的宽：10厘米， （平方厘米）， （立方厘米）； 答：这个纸盒的表面积是550平方厘米，体积是750立方厘米． 4．（22-23六年级上·山东威海·期末）问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是______． (3)根据图3方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 【答案】(1)C (2)环 (3) 【分析】本题考查正方体的表面展开图，长方体的体积，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案； （2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案； （3）根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 图1中的C图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒， （2）解：根据题意可得， 与“小”字相对的字是环； （3）解：纸盒底面长为，宽为，高为， ． 答：纸盒的体积为． 5．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一个底面边长均为、高为的三棱柱，求它的侧面展开图的面积． 【答案】它的侧面展开图的面积为． 【分析】本题考查棱柱的侧面积求解，根据三柱体侧面为三个长方形，然后利用面积公式即可求解，掌握棱柱的特点是解题的关键． 【详解】解：三棱柱有个侧面，且侧面是个一样的矩形， ∵三棱柱底面边长均为、高为， ∴此三棱柱的一个侧面的面积为， ∴这个三棱柱的侧面展开图的面积为， 答：它的侧面展开图的面积为． 6．（23-24七年级上·广东佛山·期末）（1）请写出对应几何体的名称：①______；②______；③_____． （2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积．（结果保留π） 【答案】（1）圆锥，三棱柱，圆柱  （2） 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题关键． （1）根据几何体的展开图，可得答案； （2）根据圆柱的表面积公式，可得答案． 【详解】解：（1）请写出对应几何体的名称：①圆锥；②三棱柱；③圆柱， 故答案为：圆锥，三棱柱，圆柱； （2）圆柱的表面积为． 题型四　线段、射线、直线 例题4-1：（黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中正确的语句共有(　　　) ①直线与直线是同一条直线；②直线总比线段长；③射线与射线表示同一条射线；④连接两点的线段叫两点间的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了两点间的距离的定义，直线、射线和线段的区别与关系，熟练掌握概念是解题的关键．根据相关知识分析判断即可得解． 【详解】解：①直线与直线是同一条直线，故此说法正确； ②直线没有长度，故此说法错误； ③射线与射线不表示同一条射线，它们的方向不一致，故此说法错误； ④连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故此说法错误； 正确的语句只有一个，即①， 故选：A 例题4-2：（七年级上·山东聊城·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则点为线段中点 B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短” C．已知，，三点在一条直线上，若，，则 D．已知，为线段上两点，若，则 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点、线段的基本事实、线段的和差，解题的关键是根据线段中点定义、线段的基本事实、线段的和差依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．点不一定在线段上，原说法错误，故此选项不符合题意； B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”，原说法错误，故此选项不符合题意； C．当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，，原说法错误，故此选项不符合题意； D．已知，为线段上两点，若，则，原说法正确，故引选项符合题意． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 【答案】B 【分析】本题主要考查了画线段和射线，射线无法度量，线段可以度量，据此结合线段的画法可得答案． 【详解】解：A、线段可以度量，因此可以画线段厘米，原说法正确，不符合题意； B、射线无法度量，因此不可以画射线厘米，原说法错误，符合题意； C、在射线上可以截取厘米，原说法正确，不符合题意； D、延长线段到C，使得，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了直线，射线和线段的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据直线是向两方无限延伸、射线是向一方无限延伸和线段不能向任何一方延伸的定义分析即可． 【详解】解：①直线经过点三点，并且点在点与之间，，正确； ②点在线段的反向延长线上，，正确； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点，，正确； ④直线相交于点，，正确； 故选A． 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（    ）    A．点P在直线外 B．点C在直线外 C．直线不经过点M D．直线经过点B 【答案】B 【分析】本题考查的是点与直线的位置关系，理解点在直线上，点在直线外，再逐一分析即可得到答案． 【详解】解：点P在直线外，描述正确，故A不符合题意； 点C在直线上，故B符合题意； 线不经过点M，描述正确，故C不符合题意； 直线经过点B，描述正确，故D不符合题意； 故选B 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的条数．先根据题意画出6条符合直线，再找出每条直线上不相交的线段，再把所得线段相加即可． 【详解】解：上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段4条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段3条， 上共有不重合的线段4条． 共计21条． 故选：B． 5．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 6．（七年级上·河南开封·期末）直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了点和直线的位置关系，直线和直线的位置关系，根据图性逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可知，点在直线外，故①错误； 由图可知，直线经过点，故②正确； 由图可知，直线交于点，故③正确； 由图可知，点在直线外，故④正确； 由图可知，直线两两相交，故⑤正确； ∴以上表述正确的有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 7．（23-24七年级上·广西百色·期末）由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有 种． 【答案】30 【分析】本题考查线段、直线、射线，掌握线段条数的计算方法是解决问题的关键．将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段条数的2倍即可． 【详解】解：如图： 图中线段的条数为（条）， （种）， 即铁路运营公司为这条路线制作的往返车票有30种． 故答案为：30． 8．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．过一点，有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 【答案】C 【分析】根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：C． 9．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．点动成线 【答案】B 【分析】本题主要考查直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点，由此可解． 【详解】解：工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上． 这样做应用的数学知识是：两点确定一条直线． 故选：B． 10．（23-24山东东营·开学考试）要在墙壁上固定一根小木条，至少需要两枚钉子，其数学原理是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键； 根据直线的性质即可求解； 【详解】解：要在墙壁上固定一根小木条，至少需要两枚钉子，其数学原理是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 11．（七年级上·新疆伊犁·期末）将一根细木条固定在墙上，只需两个钉子，其依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查两点确定一条直线，根据直线公理解答． 【详解】将一根木条固定在墙上只用了两个钉子，这样做的依据是“两点确定一条直线”． 故答案为：两点确定一条直线． 12．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 【答案】（1），，（2）5（3）见解析 【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； （2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解； （3）连接交于点G，即可得解． 【详解】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． 故答案为：，，； （2）∵是的平分线， ∴可在上找到点E关于直线对称的对称点， 作出点，连接，则， 过点B作， 由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值， 即的最小值是的长度， ∵等边三角形每条边上的高相等， ∴的最小值为：， 故答案为：5； （3）到的距离和最小的点在线段上， ∵点A与点C关于对称， ∴到的距离和最小的点是线段和的交点， ∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点， 故连接交于点G，点G即为所求作的点， 题型五　线段的长度计算 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）已知点在直线l上，其中线段，且，若M是线段的中点，求线段的长． 【答案】线段的长为5或1． 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，分当点C在点B的右侧时，当点C在点B的左侧时，两种情况先求出，再根据线段的和差关系求出的长，进而根据线段中点的定义求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：如图①，当点C在点B的右侧时，∵，且， ∴． ∴． ∵M是线段的中点， ∴． ∴． 如图②，当点C在点B的左侧时， ∵，且， ∴． ∴． ∵M是线段的中点， ∴． ∴， 综上所述，线段的长为5或1． 巩固训练 1．（23-24·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查线段中点的定义、线段的和差等知识点，掌握线段的中点定义是解题的关键． 根据线段中点的定义可得、，再结合可得，进而得到，即，据此求解即可． 【详解】解：∵点M、N分别是的中点， ∴,, ∵, ∴,即, ∴，即， ∴． 故选：D． 2．（23-24·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． 4．（七年级上·广东广州·期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查中点有关的线段和差的计算，线段之间的数量关系，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 由可得得出，由中点的意义得出，进一步得出，从而可判断①；由可得，由中点的意义可得结论，从而判断②；由中点的意义可得，代入可判断③；由，得，代入可得故可判断④ 【详解】解： ， ， ， ， ，即，故①正确； ， ， 、分别是线段、的中点， ， ，故②正确； 、分别是线段、的中点， ， ， ，故③正确； ，， ， ， ，故④正确， ∴正确的有①②③④． 故选：D． 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，线段，点N在上，是的中点，则 ． 【答案】3 【分析】根据是中点，先求出的长度，则．本题考查了线段中点的有关计算，线段的和差，根据点是中点先求出的长度是解本题的关键． 【详解】解：，是中点， ， 又， ． 故答案为：3． 6．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 ． 【答案】58 【分析】本题主要考查线段的和差计算，根据题意，分别求出以、、、，这5个点为端点线段数，再根据线段的和差计算即可求解． 【详解】解：以为端点的线段有：，，，， 以为端点的线段有：，，， 以为端点的线段有：，， 以为端点的线段有：， ， 故答案为：． 7．（浙江·开学考试）如图，是线段的中点，且cm，，分别是线段，上的点，，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的长度计算，熟练进行线段的和、差、倍、分计算是解决本题的关键． 根据，，将未知线段都转化成已知线段，代入数值即可求出的长． 【详解】解：， ， 而是线段的中点， ， 又， ， ， ， 故线段的长为cm． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）点是线段的中点，，点将线段分为两部分，．求线段的长． 【答案】． 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．根据线段中点的性质，可得的长，根据比例分配，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：点是线段的中点，， ， ． ， ． 9．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，线设，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：点C是线段的中点， ， 又点D是线段的中点，， ； （2）解：， ， ∴ ． 10．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，为线段上一点，分别为的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查线段中点，线段和差的计算， （1）根据题意，，由此即可求解； （2）由（1）可得，，由此可得，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， ∴． 11．（23-24·山东淄博·期中）如图，点是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)图中共有_______条线段； (2)求的长； (3)若，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据线段的定义即可求解； （）根据线段中点定义及线段和差关系即可求解； （）利用线段和差关系求出，再根据线段的比即可求解； 本题考查了线段，线段的和差，中点的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，线段共有条， 故答案为：； （2）解：∵点为线段的中点，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 12．（山东烟台·期中）如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 【答案】(1)7 (2)见解析 (3)或11 【分析】本题考查两点间的距离，线段的和与差： （1）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系进行计算即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系求出的长，即可得出结论； （3）分点在点的右侧和点在点的左侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：7； （2）由题意，得：， ∵D点在线段上运动， ∴，， ∴； （3）当时，，， ∵， ∴点在点的左侧， 当点在点的右侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 当点在点的左侧时，如图： 则：， ∴， ∴； 综上：或11． 13．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)能重合， (4) 【分析】（1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到 ；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即． （2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可； （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可； （4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值． 【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，， ∴即． （2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点． ∴， ∴， 解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴． 解得：； 故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得， 解得：． 当时，线段与线段的长度相等． 题型六　利用类比法解决实际问题 例题：（七年级上·全国·课后作业）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37， 【分析】（1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数； （2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分． 【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有1+2=3个交点； 4条直线相交最多有1+2+3=6个交点； 5条直线相交最多有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交最多有1+2+3+4+5=15个交点； 7条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点， 8条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28个交点， … n条直线相交最多有个交点； （2）1条直线最多把平面分成1+1=2部分； 2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分； 3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分； 4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分； 5条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分； 6条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分； 7条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分； 8条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分； … n条直线最多把平面分成 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分． 【答案】 【分析】本题考查的是简单的规律探究，先例举1条直线最多将平面分成2个部分；而，2条直线最多将平面分成4个部分；而，3条直线最多将平面分成7个部分；而，再总结归纳可得答案． 【详解】解：如图所示，    1条直线最多将平面分成2个部分；而， 2条直线最多将平面分成4个部分；而， 3条直线最多将平面分成7个部分；而， 平面上有8条直线，最多能把平面分成； 故答案为： 2．（七年级上·贵州六盘水·期末）如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 【答案】66 【分析】本题考查直线的交点问题，观察图形，可以得到同一平面内条直线，最多有个交点，即可得出结果． 【详解】解：观察图形，可得：同一平面内条直线，最多有个交点， ∴12条线直线相交最多有个交点； 故答案为：66． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则条直线两两相交最多有 个交点． 【答案】4950 【分析】本题考查相交线交点个数问题，直线两两相交时去掉重复交点是解题的关键．由所给条件可得条直线相交最多有个交点，令即可求解． 【详解】解：2条直线相交有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 5条直线相交最多有个交点， 条直线相交最多有个交点， 把代入，得 故答案为：4950． 4．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，2条直线相交最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……，若n条直线两两相交最多有45个交点，则n的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了若干条直线两两相交的交点个数．根据题意可得n条直线两两相交最多有个交点，即可求解． 【详解】解：2条直线相交最多有个交点， 3条直线两两相交最多有个交点， 4条直线两两相交最多有个交点， ……， 由此发现，n条直线两两相交最多有个交点， ∵n条直线两两相交最多有45个交点， ∴， 解得：， 即n的值是10． 故答案为：10 题型七　角的度量与计算 例题：（七年级下·安徽亳州·期末）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】（1） ； （2） ． 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知，，，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．将各角的单位统一，继而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选B． 2．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】根据度分秒的换算计算即可， 本题考查了度分秒的换算，属于基础题． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查角的计算，解题关键是掌握度、分、秒之间的进率及四测运算法则：进行角度的加减运算时，同单位相加减，即度与度相加减、分与分相加减、秒与秒相加减．做加法时，秒够进分，分够进度；做减法时，不够减的，从上一级借，再进行减法运算．在乘法运算中，从最低位开始乘所给的因数，够则进；除法运算中，按从高到低的顺序相除，余数乘，再加到下一级单位中进行计算．据此解答即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：． 4．（黑龙江哈尔滨·阶段练习）比较大小： (用>、=、<填空) 【答案】< 【分析】本题主要考查了角度制和角的大小比较，理解并掌握角度制是解题关键．根据可得，将转化为的形式，再与进行比较即可得到答案． 【详解】解：依题意， ∵， ∴． 故答案为：<． 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知与互余，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角度换算、互余定义等知识，根据与互余，得到，结合，计算即可得到答案，熟记角的互余及角度换算是解决问题的关键． 【详解】解：与互余， ， ， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·河南郑州·期末）用度来表示 ． 【答案】 【分析】本题考查角度换算，涉及，先将秒化为分，再将分化为度即可得到答案，熟记角度之间的换算关系是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 7．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型八　角的平分线的应用 例题：（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）数学小组学完4.3角这节后，对角的计算产生了浓厚的兴趣，发现了一些有趣的结论． 如图1，射线固定位置，，平分，平分． 知识再现： （1）_________； 探究升华： （2）将图1中的绕点A旋转，当旋转到图2位置时，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点A旋转一周，当时，求的度数． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）由角平分线得到，，结合图形，得到结果； （2）根据图2，同样利用角平分线的关系，得到角的关系，结合图形，得到结果； （3）根据条件，，设，列出方程，求出的度数，根据图1、图2两种情况，分别计算的度数即可， 本题考查了角平分线的定义及应用，以及根据图形，结合角度的计算，得到结果，关键是能要结合图形的变换，分辨出角与角之间的关系． 【详解】解：（1）如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 故结论仍成立； （3）设，则， 如图1，， ∴， ∴， ∴， 如图2， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义，以及角的和差计算，可以根据角平分线结合直角进行解答．由角平分线的定义可得，根据，结合角的和差可得，由此可以得到答案． 【详解】解：射线平分，， ， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 【答案】6或24/24或6 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：6或24． 故答案为：6或24． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图①，是内的一条射线，分别平分．若，求． （2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若，则_______． （3）已知直线相交于点O，若是外一条射线，且不与重合，分别平分，当时，求．（在备用图中画出示意图求解） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是： （1）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，推出即可； （2）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，用表示即可； （3）分三种情况讨论，第一种：在上，第二种：在下侧，之间，第三种：在之间，即可得到． 【详解】解：设， 则， 平分，平分， ； （2）设， 则， 平分，平分， ， 故答案为：； （3）①当在上，即在之间， 设， 则， 平分，平分， ； ②当在直线下方，且在之间时， ， ； ③当在直线下方，且在之间时， 由②得，， ； 综上所述，或． 4．（24-25七年级上·全国·期末）（1）如图，已知，，平分，平分，求的度数； （2）如果（1）中，（为锐角），其他条件不变，求的度数； （3）从（1）、（2）的结果中能得出什么结论？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得：，，再根据，即可求解； （2）由角平分线的定义可得：，，再根据，即可求解； （3）根据角平分线的定义和角的和差即可求解． 【详解】解：（1），，平分，平分， ，， ； （2），，平分，平分， ，， ； （3）从（1）、（2）的结果中能得出：， ． 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、旋转性质以及角的计算等知识点，灵活运用有关性质以及角的和差关系求角成为解题的关键． （1）由已知可求出，再由、平分求出的度数即可； （2）由（1）得，从而用含a的代数式表示出的度数即可； （3）由可得，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得，， ， ． 故答案为：； （3）．理由如下: ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （4）∵平分， 又∵， ． 故答案为：． 6．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，是内一条射线，且，是的平分线，是的平分线． (1)若，则 °， °； (2)小亮在思考第（1）问时产生一个猜想：当满足时，一定平分．你觉得他的这个猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请求出当和之间满足怎样的数量关系时，一定平分，并说明理由． 【答案】(1)19，38 (2)正确，理由见解析 【分析】此题考查了角平分线的相关计算． （1）根据平分线定义求出，则，再利用角平分线定义求出，即可求出； （2）证明，，则，即可证明一定平分． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线．， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）正确，理由如下 ∴， ∴ 平分 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵是的平分线． ∴ ∴ ∴平分. 7．（23-24七年级上·全国·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，那么是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线，理解角平分线的定义以及图形中角的和差关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可． （2）根据角平分线的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，，， ∴，， ∴． （2）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线， ∴． 题型九　余角、补角 例题9-1：（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 【答案】(1) (2)； (3)与互余的角有：；与互补的角有： 【分析】本题考查了角的余角、补角的概念，仔细看图找到角之间的关系是解题的关键． （1）根据直角的定义即可求解； （2）根据直角都相等，等角的余角相等即可求解； （3）根据余角和补角的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴图中除外，还有是直角； （2）解：； ； （3）解：∵， ∴与互余的角有：； ∵， 又， ∴， ∴与互补的角有：． 例题9-2：（23-24七年级上·云南红河·期末）一个角的余角比它的补角的还少，求这个角的度数． 【答案】这个角度数为 【分析】此题综合考查余角与补角及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键．首先根据余角（如果两个角的和是90°，那么称这两个角“互为余角”）与补角（如果两个角的和是180°，那么称这两个角“互为补角”）的定义，设这个角为x，则它的余角为，补角为，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这个角度数为x，则它的余角为，补角为，根据题意得： ， 解得， ∴这个角度数为． 巩固训练 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）若，则的余角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要余角的概念和计算，根据余角的概念“和为的两个角，互为余角”即可求解． 【详解】解：的余角． 故选：． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知和之和的补角等于和之差的余角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余角和补角的知识，根据题意可得，化简求解即可． 【详解】由题意得：， 解得： 故选：C． 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了余角的定义，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握余角的定义．余角：如果两个角相加等于，那么这两个角互为余角．根据余角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， 又∵，即， ∴，， ∴与互余的角共有2个． 故选：B． 4．（七年级上·湖南湘西·期末）下列说法中错误的有（    ） ①一个锐角的余角比这个角大；②一个角的补角比这个角大；③一个钝角的补角比这个角小；④同角或等角的补角相等；⑤若与互余，与互余，则与互余 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查的是余角和补角．根据余角和补角的定义，余角和补角的性质进行解答即可． 【详解】解：①一个锐角的余角不一定比这个角大，原说法错误； ②一个角的补角不一定比这个角大，原说法错误； ③一个钝角的补角比这个角小，正确； ④同角或等角的补角相等，正确； ⑤若与互余，与互余，则与相等，原说法错误； 故选：B 5．（23-24全国·假期作业）如果，且，那么与的关系是（    ）． A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等角的补角相等，根据题意，得到，，由即可得到，熟记等角的补角相等是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， ， ，即， 故选：A． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）与互余，与互补，，那么 ． 【答案】/153度 【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键． 根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数． 【详解】∵与互余， ， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若一个角是，则它的余角的度数是 【答案】 【分析】本题考查了余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键．根据和为的两个角互为余角列式计算即可． 【详解】解：∵一个角的度数是， ∴它的余角 ， 故答案为：． 8．（23-24·全国·单元测试）如果的补角是，那么 度． 【答案】60 【分析】本题考查了补角的知识，属于基础题，注意掌握互补的两角之和为． 根据互补的两个角之和为，即可得出答案． 【详解】解：∵的补角是， ∴， 故答案为：60． 9．（23-24·全国·单元测试）如果一个角是，那么这个角的补角是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的补角度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可． 【详解】解：∵一个角是， ∴这个角的补角是， 故答案为：． 10．（22-23七年级下·内蒙古包头·阶段练习）如果一个角的余角比它补角的多，则这个角为 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了角度的计算，设这个角为，则它的余角为，补角为，依据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这个角为，则它的余角为，补角为， 由题意可得，， 解得：， 即：这个角为， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·四川达州·期中）与互补，与互补，，那么 ． 【答案】/63度 【分析】此题考查学生对补角的性质的理解及运用能力．根据补角的性质得，进而可求得的度数． 【详解】解：∵与互补，与互补， ∴． ∵ ∴ 故答案为：． 12．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知一个角的补角比这个角的余角的倍小，请你计算出这个角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，能根据题意得出方程是解此题的关键，设这个角为，表示出补角和余角，利用“一个角的补角比这个角的余角的倍小”列式求解即可． 【详解】解：设这个角为，则它的补角为，它的余角为， 根据题意，得：， 解得：， 答：这个角是． 题型十　与三角尺有关的问题 例题：（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)不存在，此时，满足；理由见解析 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵且， ∴， 即． （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ， 即， 故． 巩固训练 1．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）如图1所示，点在直线上，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边，在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，若与互补，的余角比它的补角的一半少，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按逆时针旋转到如图3，，，平分，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考査了一元一次方程的应用，角的动态定义及余角、补角的概念，本题的关键是找准等量关系列方程，并结合数形结合的思想解题． （1）根据题意列出含的方程，先求出的度数进而可求的度数； （2）由，，，得，求出．由平分，得，，进而可求结论． 【详解】（1）解： 根据题意，得， 解得．                          与互补， ， ， ， ．                                （2）解：，，， ， ．                ， ． 平分， ．        ， ， 即．                               2．（24-25七年级上·全国·单元测试）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 (1)若边和边重合摆成图①的形状，则 ； (2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 (3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数． 【答案】(1) (2)或 (3)的度数为或 【分析】（1）根据解答即可； （2）利用分类思想解答即可． （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：． （2）解：或． 理由：如答图① ， ∵， ∴. 如答图②，∵， ∴. （3）解：当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 或， 解得， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 或， 解得. 综上所述，的度数为或. 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)①65；②10； (2)①；②的度数不发生变化，理由见解析． 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键． （1）①根据题意和角的和差进行求解即可； ②由结合题意可得从而得出 进而求出时间t； （2）①根据平分平分可得 ，则可以整理为进而得出答案； ②根据平分平分，可得 进而推导出，继而得出答案． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， (秒) ， ∴当t为10秒时，； （2）解：①∵平分平分， ， 故答案为： 的度数不发生变化，理由如下： ∵平分 ∵平分 ． 4．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．    (1)当时，求的度数； (2)比较与的大小，并写出理由； (3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查三角板中角的运算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）利用角的运算先得到，再利用求解，即可解题； （2）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题； （3）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 由题知，， 当在与之间，   ， ； 当在与之外，     ， ； （3）解：正确，理由如下： ． 5．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】（1），；（2）；；（3） 【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解； （2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解； （3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的认识知识归纳与题型突破（题型清单） 1.几何图形 几何图形：从实物中抽象出来的各种图形， 包括立体图形和平面图形； 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内， 它们是立体图形； 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 常见的平面图形：直线、线段、角、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形。 2.点、线、面、体 点：线和线相交的地方是点， 点是几何图形中最基本的图形； 线：面和面相交的地方是线， 分为直线和曲线； 面：包围着体的是面， 分为平面和曲面； 体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。 关系：几何图形都是由点、线、面、体组成的， 点动成线， 线动成面， 面动成体。 点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形， 形成多姿多彩的图形世界。 3.直线、射线、线段 直线：一根拉得很紧的线， 就给我们以直线的形象， 直线是直的， 并且是向两方无限延伸的； 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线， 这个点叫做射线的端点； 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段， 这两个点叫做线段的两个端点； 表示方法：在几何里， 我们常用字母表示图形： ①一个点可以用一个大写字母表示； ②一条直线可以用一个小写字母表示； ③一条射线可以用端点和射线上另一点来表示； ④一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示； 直线性质：①直线上有无穷多个点； ②过一点的直线有无数条； ③两条不同的直线至多有一个公共点； 点和直线的位置关系有两种：①点在直线上， 或者说直线经过这个点； ②点在直线外， 或者说直线不经过这个点； 直线位置关系：在同一平面内不重合的两条直线的位置关系只有两种： 相交或平行； 直线公理：经过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线) ； 线段公理：连接两点的所有连线中， 线段最短， 简述为： 两点之间线段最短； 线段中点：线段的中点到两端点的距离相等。 4.角 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角， 这个公共端点叫做角的顶点， 这两条射线叫做角的边； 动态定义：角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部分称为角的外部； 角的分类：按大小分, 周角(360°)>平角(180°)>钝角(90°<钝角<180°)>直角(90°)>锐角(<90°); 余角： 如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角叫做另一个角的余角; 性质： 同角(或等角) 的余角相等； 补角： 如果两个角的和是一个平角， 那么这两个角叫做互为补角， 其中一个角叫做另一个角的补角； 性质： 同角(或等角) 的补角相等； 注：互为补角、互为余角是相对两个角而言， 由它们的数量关系来定义的， 只与角的度数有关，与角的位置无关； 角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写希腊字母表示，； 有以下四种表示方法； ①用数字表示单独的角; ②用小写的希腊字母表示单独的一个角； ③用一个大写英文字母表示一个独立的角(在一个顶点只有一个角)； ④用三个大写英文字母表示任一个角； 注意： 用三个大写英文字母表示角时， 一定要把顶点字母写在中间， 边上的字母写在两侧； 角的单位： 1周角=360°, 1平角=180°, 1°=60', 1'(分)=60"(秒), 角的度、分、秒是60 进制; 角的性质：①角的大小与边的长短无关， 只与构成角的两条射线的幅度大小有关； ②角的大小可以度量， 可以比较， 比较方法： 叠合法；度量法； 角的大小比较： ①叠合法：将两个角叠放在一起， 使两个角的顶点和一条边重合， 并使它们的另一边都落在重合的那边的同旁，根据两个角的另一边的位置确定出两个角的大小。 ②度量法：两个角大小的比较，实际上是两个角的度数的大小比较， 度量法就是先用量角器分别量出两个角的度数， 再比较其度数的大小。 5.三线八角 对顶角：有一个公共顶点， 且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角； 性质： 对顶角相等； 两条直线相交所构成的四个角中， 有两对对顶角； 若两个角互为对顶角， 则它们一定相等；反之， 若两个角相等， 则它们不一定互为对顶角。 邻补角：两个角有一条公共边， 且它们的另一边互为反向延长线， 具有这种关系的两个角互为邻补角；两条直线相交所成的四个角中， 有4对邻补角。 性质： 邻补角互补(之和等于 180°)； 注：邻补角与补角是两个不同的概念， 互补的两个角只有数量关系， 没有位置关系， 只要这两个角的和等于 180°即可； 而邻补角不但有数量上的关系， 还有位置上的关系； 同位角、内错角、同旁内角 三线八角：①三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角， 其中对顶角有4对，同位角有4对，内错角有 2对， 同旁内角有2对； ②正确认识这八个角要抓住： 同位角位置相同即“同旁和同侧”；内错角要抓住“内部，异侧”；同旁内角要抓住“同旁，内部”。 6.角平分线 定义：一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线； 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 逆定理：在角的内部， 到角两边距离相等的点在角平分线上(判定角平分线)； 题型一　常见的几何体 例题：（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，将几何体与它的名称连接起来． 巩固训练 1．（24-25七年级上·江西吉安·阶段练习）下列物体的形状类似于圆柱的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）下列物体中，类似于圆锥的是（   ） A．水杯 B．漏斗 C．铅笔盒 D．足球 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下图为小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（   ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 4．（23-24六年级上·全国·单元测试）下列物体的形状类似于长方体的是（    ） A．西瓜 B．砖块 C．沙堆 D．蒙古包 5．（23-24六年级上·全国·单元测试）未削过的无棱铅笔的形状类似于几何体中的 ，未削过的有棱铅笔的形状类似于几何体中的 ，无棱铅笔削过的部分的形状类似于几何体中的 ． 题型二　几何体展开图 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）将下列几何体与其平面展开图用线连接起来． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“承”的对面是（    ） A．化 B．传 C．文 D．色 3．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）2024年河南省夏粮总产量达到3785.7万吨，进一步巩固了“中原粮仓”地位，诠释了“粮安天下中原担当”．将六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“原”字所在面相对的面上的汉字是（   ） A．粮 B．仓 C．担 D．当 4．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）巴黎奥运会于北京时间7月27日凌晨1点30分，当地时间7月26日晚上19点30分盛大开幕．如图，小明将“庆祝奥运会！”分别写在一个正方体的展开图上，把展开图折叠成正方体后，与“奥”字相对的汉字是（    ） A．庆 B．祝 C．运 D．会 5．（23-24七年级上·云南红河·期末）2023年《开学第一课》以“强国复兴有我”为主题，激励广大青少年爱国博学，追求梦想．如图是一个正方体的平面展开图，则原正方体中与“我”字所在面相对的面上标有的字是“（    ）” A．强 B．兴 C．有 D．复 6．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下面的图形经过折叠可以围成的几何体名称是 ． 7．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ．    题型三　立体图形的简单计算问题 例题：（山东济宁·期中）已知一个直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长都是，回答下列问题： (1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？有多少条棱？ (2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形的面积是多少？ (3)这个直四棱柱的体积是多少？ 巩固训练 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： 观察判断： （1）小明共剪开了________条棱； 动手操作： （2）现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），小明在图1中补全图形有________种方法，请任选一种方法在图1中补全粘贴； 解决问题： （3）经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个边长为的正方形，其边长是长方体的高的5倍，求这个纸盒的体积． 2．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）综合与实践 问题情境 在一次数学实践活动课上，同学们利用一张边长为的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．如图1，勤学小组的同学先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒． 如图2，善思小组的同学先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 问题解决 （1）图1中的长方体纸盒的底面积为 ； （2）图2中的长方体纸盒的长为 ： 拓展延伸 （3）现有两张边长均为的正方形纸板，分别按勤学小组和善思小组的方法制作成无盖和有盖的两个长方体纸盒，若剪去部分的小正方形边长为，求无盖纸盒的体积是有盖纸盒体积的多少倍． 3．（23-24七年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图是一个长方体纸盒的展开图，求这个纸盒的表面积和体积．（纸的厚度不计）（单位：厘米） 4．（22-23六年级上·山东威海·期末）问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的______图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是______． (3)根据图3方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 5．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图是一个底面边长均为、高为的三棱柱，求它的侧面展开图的面积． 6．（23-24七年级上·广东佛山·期末）（1）请写出对应几何体的名称：①______；②______；③_____． （2）图③中，侧面展开图的宽（较短边）为8cm，圆的半径为2cm，求图③所对应几何体的表面积．（结果保留π） 题型四　线段、射线、直线 例题4-1：（黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法中正确的语句共有(　　　) ①直线与直线是同一条直线；②直线总比线段长；③射线与射线表示同一条射线；④连接两点的线段叫两点间的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例题4-2：（七年级上·山东聊城·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则点为线段中点 B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短” C．已知，，三点在一条直线上，若，，则 D．已知，为线段上两点，若，则 巩固训练 1．（23-24六年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（   ） A．画线段厘米 B．画射线厘米 C．在射线上截取厘米 D．延长线段到C，使得 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）小明根据下列语句，分别画出了图形，并将图形的标号填在了相应的“语句”后面的横线上．其中正确的是（      ） ①直线经过点三点，并且点在点与之间； ②点在线段的反向延长线上； ③点是直线外一点，过点的直线与直线相交于点； ④直线相交于点． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③ 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图，用适当的语句表述图中点与直线的关系，错误的是（    ）    A．点P在直线外 B．点C在直线外 C．直线不经过点M D．直线经过点B 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　） A．24条 B．21条 C．33条 D．36条 5．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 6．（七年级上·河南开封·期末）直线的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线交于点；④点在直线外；⑤直线两两相交．以上表述正确的有 ．（只填写序号）    7．（23-24七年级上·广西百色·期末）由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有 种． 8．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．过一点，有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 9．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（    ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．点动成线 10．（23-24山东东营·开学考试）要在墙壁上固定一根小木条，至少需要两枚钉子，其数学原理是 ． 11．（七年级上·新疆伊犁·期末）将一根细木条固定在墙上，只需两个钉子，其依据是 ． 12．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用． 【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置． （1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，， ∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上， ∴　　　　，　　　　， ∴　　　　． 在中， ∵， ∴． ∴，即最小． （2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　． 【拓展应用】 （3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)． 题型五　线段的长度计算 例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）已知点在直线l上，其中线段，且，若M是线段的中点，求线段的长． 巩固训练 1．（23-24·山东东营·期末）如图，点C是线段上的点，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　　） A． B． C． D． 2．（23-24·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 4．（七年级上·广东广州·期末）如图，C、D是线段上两点，M、N分别是线段、的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③；④．其中正确的结论是（     ）    A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，线段，点N在上，是的中点，则 ． 6．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点，，是线段上的三个点，已知，，求图中以、、、，这5个点为端点的所有线段的和为 ． 7．（浙江·开学考试）如图，是线段的中点，且cm，，分别是线段，上的点，，，求线段的长． 8．（24-25七年级上·全国·单元测试）点是线段的中点，，点将线段分为两部分，．求线段的长． 9．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，线设，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 10．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，为线段上一点，分别为的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 11．（23-24·山东淄博·期中）如图，点是线段上两点，点为线段的中点，，． (1)图中共有_______条线段； (2)求的长； (3)若，求的长． 12．（山东烟台·期中）如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒． (1)填空：若，运动1s后， _______； (2)若，当D点在线段上运动时，试说明； (3)当，时，求线段的长度． 13．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 题型六　利用类比法解决实际问题 例题：（七年级上·全国·课后作业）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空： （1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点； （2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分． 巩固训练 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）【计数原理】平面上有8条直线，最多能把平面分成 个部分． 2．（七年级上·贵州六盘水·期末）如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则条直线两两相交最多有 个交点． 4．（23-24九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图，2条直线相交最多有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点……，若n条直线两两相交最多有45个交点，则n的值是 ． 题型七　角的度量与计算 例题：（七年级下·安徽亳州·期末）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 巩固训练 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知，，，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）计算：的结果为 ． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 4．（黑龙江哈尔滨·阶段练习）比较大小： (用>、=、<填空) 5．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知与互余，且，则 ． 6．（23-24七年级上·河南郑州·期末）用度来表示 ． 7．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八　角的平分线的应用 例题：（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）数学小组学完4.3角这节后，对角的计算产生了浓厚的兴趣，发现了一些有趣的结论． 如图1，射线固定位置，，平分，平分． 知识再现： （1）_________； 探究升华： （2）将图1中的绕点A旋转，当旋转到图2位置时，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点A旋转一周，当时，求的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线、相交于点，射线平分，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图①，是内的一条射线，分别平分．若，求． （2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若，则_______． （3）已知直线相交于点O，若是外一条射线，且不与重合，分别平分，当时，求．（在备用图中画出示意图求解） 4．（24-25七年级上·全国·期末）（1）如图，已知，，平分，平分，求的度数； （2）如果（1）中，（为锐角），其他条件不变，求的度数； （3）从（1）、（2）的结果中能得出什么结论？ 5．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题驱动】已知O是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为______（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． （4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 6．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，是内一条射线，且，是的平分线，是的平分线． (1)若，则 °， °； (2)小亮在思考第（1）问时产生一个猜想：当满足时，一定平分．你觉得他的这个猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请求出当和之间满足怎样的数量关系时，一定平分，并说明理由． 7．（23-24七年级上·全国·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，那么是多少度？ 题型九　余角、补角 例题9-1：（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，． (1)图中除外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角？ (3)指出图中与互余的角、与互补的角． 例题9-2：（23-24七年级上·云南红河·期末）一个角的余角比它的补角的还少，求这个角的度数． 巩固训练 1．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）若，则的余角是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知和之和的补角等于和之差的余角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图：O为直线上的一点，为一条射线，平分平分，图中与互余的角共有（    ） A．1个 B．2个 C．4个 D．6个 4．（七年级上·湖南湘西·期末）下列说法中错误的有（    ） ①一个锐角的余角比这个角大；②一个角的补角比这个角大；③一个钝角的补角比这个角小；④同角或等角的补角相等；⑤若与互余，与互余，则与互余 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24全国·假期作业）如果，且，那么与的关系是（    ）． A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）与互余，与互补，，那么 ． 7．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）若一个角是，则它的余角的度数是 8．（23-24·全国·单元测试）如果的补角是，那么 度． 9．（23-24·全国·单元测试）如果一个角是，那么这个角的补角是 度． 10．（22-23七年级下·内蒙古包头·阶段练习）如果一个角的余角比它补角的多，则这个角为 ． 11．（23-24八年级下·四川达州·期中）与互补，与互补，，那么 ． 12．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知一个角的补角比这个角的余角的倍小，请你计算出这个角的度数． 题型十　与三角尺有关的问题 例题：（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 巩固训练 1．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）如图1所示，点在直线上，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边，在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，若与互补，的余角比它的补角的一半少，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按逆时针旋转到如图3，，，平分，求的度数．（用含的代数式表示） 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）【动手实践】 在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式． 请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 (1)若边和边重合摆成图①的形状，则 ； (2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 (3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 4．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．    (1)当时，求的度数； (2)比较与的大小，并写出理由； (3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确． 5．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$