重难点专训05 数列前n项和的最值问题五大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“方法提炼-题型突破-分层训练”构建数列前n项和最值问题的系统训练体系，提炼3大通法及选用策略，覆盖5类核心题型，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|3大通法+速查表|二次函数法、邻项变号法、邻项作差法，附题目特征-方法匹配表|从函数与数列性质出发，构建“通法-场景”对应逻辑| |题型通法及变式提升|5题型18题|等差数列（正负）、一般数列、含绝对值、不等式参数结合的专项解法|按“基础数列→复杂情境→综合应用”递进，强化模型观念| |重难专题分层过关练|巩固14题+创新6题|变式训练与综合应用，结合高考真题改编|通过分层练习实现方法迁移，发展数学思维的严谨性|

重难点专训05 数列前n项和的最值问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 等差数列前 n 项和的最大值 2 题型2 等差数列前 n 项和的最小值 4 题型3 一般数列前 n 项和的最值 5 题型4 含绝对值的前 n 项和问题 7 题型5 与不等式、参数结合 10 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 20 解题方法及技巧提炼 （一）通法一：二次函数法（配方法） 把 化为关于 n 的二次函数并配方，在“对称轴 ±1 内取整数”处理定义域限制。适用：等差数列（d≠0）及一切可化为二次型的 。 （二）通法二：邻项变号法（正负项分界法） 直接寻找 的变号位置，最值点判定如下： 对等差数列，解不等式 （或 ）即可。这是小题最快解法。 （三）通法三：邻项作差法（单调性法） 由 −=，判断 的单调区间以定位最值点。适用：证明题、含参数讨论、需严谨说明“最大/最小”的题目。 （四）方法选用速查表 题目特征 首选方法 备注 等差数列、d≠0、直接求最值 通法二（最快） 可配通法一互相检验 只需判断最值位置 n 通法二 解一个不等式即可 对称型条件（如 ） 通法一·对称轴 顶点横坐标为两下标中点 含参数讨论、最值条件反求参数 通法三＋邻项变号 写清 一般数列已知 表达式 函数/单调性 先求 再判符号 含绝对值求和 分段求和 先找变号项，再分段 题型通法及变式提升 题型1 等差数列前 n 项和的最大值 首项为正、公差为负 ⇒ 数列递减 ⇒ 先增后减，最值在“最后一个非负项”处取得；小题直接用通法二，一步到位。 1．是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 【答案】10 【详解】由，得， ，又， 所以数列为递减数列，且， ， 所以当时，取得最大值. 故答案为：10. 2．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)求其前n项和取最大值时n的值． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，∴， ∴，∴. （2）由（1）得. 由二次函数的性质可得：当时，最大. 3．在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和的最大值. 【详解】（1）依题意，当时，，则 ，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）得，数列是递减等差数列， 由，得，则数列前10项均为非负数，从第11项起为负数， 而，因此数列前10项和与前9项和相等，都最大， 所以数列的前项和的最大值为. 4.设是等差数列的前项和，，， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，解得， 所以，则， 所以，； （2）由（1）可知， 令，解得，令，解得， 则的最大值为，无最小值. 题型2 等差数列前 n 项和的最小值 5.记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【详解】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 6.已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前n项和为，求及其最小值. 【详解】（1）设的公差为d，则，解得， 所以. （2）由（1）可得， 当或时，取得最小值，最小值为. 7．设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最值. 【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为， 由题意，， 解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可知，所以，对称轴为， 所以当时，有最小值，没有最大值. 8.已知，数列的首项，（是正整数）， (1)求、、； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为，求数列的最值． 【详解】（1）依题意得 ； （2）依题可得，，而，递推可知，，所以，， 即，因此数列是以为首项，为公差的等差数列， ，故的通项公式为． （3）由，所以数列是等差数列， 则， 故当时，取最小值为，无最大值． 题型3 一般数列前 n 项和的最值 出现这类对称条件时，直接用二次函数对称轴定位最值点，可省去解不等式。 9．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为________. 【答案】 【详解】为单调递增的数列， 当时，当时， 所以. 故答案为：. 10．（2025·上海崇明·一模）设．数列满足下列条件：，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是_______． 【答案】 【详解】数列满足下列条件：， 则数列为非递减数列， 设数列中分别有个， 对任意的，都存在使得，其中互不相等， 对于数列中，由于，所以， 对于数列中，同理可得， 对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 若数列的前20项和要最大，则， 所以数列的前20项和为. 故答案为： 11.在数列中，已知，令为数列的前项和．问是否有最值?若有，请求出最值． 【答案】有最大值，没有最小值 【详解】由，得， 所以数列是以为公差，为首项的等差数列， ， 当时，有最大值， 有最大值，但没有最小值． 12.已知数列是首项等于的等比数列，公比，是它的前项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设（且），求数列的前项和的最值． 【详解】（1）公比，∵,． ∴,解得． ∴． （2），∴数列的前项和， 当时，； 当时，． 题型4 含绝对值的前 n 项和问题 含绝对值的前 n 项和：①先由通项确定变号位置；②以变号项为分界把 拆成两段（前段取 ，后段用 ，其中 k 为最后一个非正项的下标）；③注意 =0 的归属，两段表达式在分界处取值应一致。 13.已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；②且．记数列的前n项积为，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由题意， 且 设，， 得，进一步得 显然的值从大到小依次为 （ⅰ）若，则，则不可能 （ⅱ）若，则或， 则或不可能 （ⅲ）若，则，则不可能 ∴（当或取得） 从而， ∴. ∴ （当：取得） 又 ，∴ 14.设是由正整数组成且项数为m的不减数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和在剩下的项中总存在序数不同的两项和使得，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，，得. 又是由正整数组成且项数为的不减数列，则或， 当时，，此时， 这与在剩下的项中总存在序数不同的两项和，使得矛盾， 因此，类似地，必有，，，， 由得前6项任意两项之和小于等于3时，均符合. 要最小，则每项尽可能小，且值要尽量小， 则，， 同理，当中间各项为公差为1的等差数列时，可使得值最小，且满足已知条件， 由对称性得最后6项为，， 则的最小值. 15.等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题可得：， 即， 解得，，所以； 由，可得，解得， 因为，所以时，取得最小值时，； （2）由（1）可知，均为负数，且从开始，后面每一项均为正数， 故 ； 故数列的前16项的和. 16.等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 题型5 与不等式、参数结合 17.设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．给出下列命题： （1）若对任意的正整数均有，则数列为和谐数列； （2）若等差数列为和谐数列，则一定存在最大值； 以下说法正确的是（   ） A．（1）错（2）对 B．（1）对（2）错 C．（1）（2）都对 D．（1）（2）都错 【答案】B 【详解】数列为和谐数列， 则. 对（1）由，所以数列为和谐数列.故（1）正确； 对（2）设，则，所以等差数列为和谐数列，但不存在最大值.故（2）错误. 故选：B 18．（24-25高三上·上海·阶段检测）给定正整数及正数，对于满足不等式的所有等差数列，，…，则的最大值为________． 【答案】 【详解】因为数列是等差数列， 所以 由因为，所以可设，其中， 则 ，其中， ， 所以的最大值为. 故答案为： 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为________． 【答案】 【详解】因为数列为等差数列， 所以，则， 由可以判断数列是单调递增数列， 所以， ， 所以，且，且； 即数列，当时，；当时，；当时，. 所以， 即当的前项和最小时，的取值集合为. 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海·期中）等差数列 的通项公式 ，前项和为，则数列的最小值为________. 【答案】 【详解】由题意可得， 由题意可知， 令， 则， 由可得，由可得， 即在上单调递减，在上单调递增， 又因，而， ， 因为，所以数列的最小值为. 故答案为： 3．设是等差数列，若． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和及其最值． 【详解】（1）设公差为， 由， 得，解得， 所以； （2）设数列的前项和为， 则， 函数的对称轴为， 所以，无最小值. 4.已知在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最值． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，或， 当时，， 当时，， 即，或； （2）当时，， 当时，有最小值，没有最大值； 当时，， 当时，有最大值，没有最小值. 5.设是等差数列的前n项和，，___________.从①；②中任选一个，补充在问题中并作答： (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最值. 【详解】（1）若选①： 设等差数列的公差为d， 由题意可得， 因为，解得， 所以. 若选②： 解：设等差数列的公差为d， 由题意可得， 解得， 所以，故， 所以. （2）若（1）选择①，由（1）可得，令， 解得，又，所以. 当时，，当时，. 故的最大值为，无最小值. 若（1）选择②： 由（1）可知，令，解得， 当，； 当，. 故的最大值为，无最小值. 6.已知为等差数列，为等比数列，满足， (1)求和通项公式； (2)记，为的前项和，求，并求出的最小值. 【详解】（1）由题，所以，即， 所以； 又，所以，即，所以； （2）由，分组求和可得. 法一：若为最小值，则有， 即， 解得，易知数列，为递增数列， 当时，不等式组成立，即当时，取得最小值. 法二：当时， ， 易知为递增数列，当时，，即； 当时，，即； 所以，即当时，取得最小值. 7.已知数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为 （2）由（1）可知， 所以 ， 因为是递增数列，且， 令，所以， 当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，最小值为 8.已知等比数列的各项均为正数，、、成等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设（且），求数列的前项和的最值． 【详解】（1）设等比数列公比为，由得，． 所以； （2）． 数列是首项为，公差为的等差数列． 所以，． 当时，，此时，没有最大值； 当时，，此时，没有最小值． 9.已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和，并求的最值. 【详解】（1）由题意，，所以，即， 所以 ，， 当时，也满足， 所以数列的通项公式为 （2）由（1）可知，则， 则①， ②， ①②可得，， ， 则，由于单调递增，则. 10.设是等差数列的前项和，，_______．从①；②；③中任选一个，补充在问题中并作答： （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最值． 【详解】若选①： （1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得，所以； （2）由（1）可知，，所以数列是递增数列，故的最小值为，无最大值. 若选②： （1）设等差数列的公差为，由题意可得， 因为，解得，所以； （2）由（1）可得，令，解得，又，所以，当时，当时 故的最大值为，无最小值 若选③： （1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得， 所以，故，所以； （2）由（1）可知，令，解得， 当；当 故的最大值为，无最小值. 11.已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设且，求数列的前项和的最值． 【详解】试题分析：（1）先建立方程求得公比 ，再代入通项公式即可求得正解；（2）由（1）得 ，然后对 进行分类讨论. 试题解析：（1） ， ，. 整理得，解得或（舍去）. . （2）. 1）当时，有 数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列. 由，得.所以.的没有最大值. 2）当时，有，数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列. ，得，.的没有最小值. 12.记为数列的前n项和，已知，，数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和的最值. 【详解】（1）因为，所以为等差数列. 因为，，所以. 所以数列的首项为1，公差为，所以. 所以，即. 当时，， 所以，化简可得. 所以，所以数列是常数列，即， 所以. （2）由（1）可知. 所以 . 当n为奇数时，，是关于n单调递减的数列，所以，即； 当n为偶数时，，是关于n单调递增的数列，所以，即. 所以的前n项和的最大值为，最小值为 13.设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，bn＝－1－log2|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{cn}的前n项和An，并求出An的最值. 【详解】（1）因为an＝5Sn＋1，n∈N*， 所以an＋1＝5Sn＋1＋1， 两式相减，得an＋1＝－an， 又当n＝1时，a1＝5a1＋1，知a1＝－， 所以数列{an}是公比、首项均为－的等比数列. 所以数列{an}的通项公式. （2）由（1）知bn＝－1－log2|an|＝2n－1， 数列{bn}的前n项和Tn＝n2， ， 所以 因此是单调递增数列， 所以当时，有最小值，没有最大值. 14.已知数列的前n项和为，在数列中，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求的最值． 【详解】（1）由已知得，当时 . ∴ 当时，，也满足上式．所以 当时，，∴ 当时，，符合上式 当时，，所以，也符合上式，综上， ∴，. （2）由（1）可得： ∴ 两式相减： ∴ 当n为奇数时，不妨设，则 ∴单调递减， 当n为偶数时，不妨设，则 ∴单调递增， ∴的最小值为，最大值为1. 创新提升 1.已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和的最值； (3)设，求数列的前项和． 【详解】（1）因为数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列， 且，，即， 所以公差，则，所以， 又因为，，即， 所以公比，所以； （2）数列的前项和， 所以或时，取得最小值，且，没有最大值； （3）由（1）可得， 所以的前项和． 2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30. (1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？ (2)n为何值时，an＝0，an>0，an<0? (3)该数列前n项和Sn是否存在最值？说明理由． 【详解】解：(1)由an＝n2－n－30，得 a1＝1－1－30＝－30， a2＝22－2－30＝－28， a3＝32－3－30＝－24. 设an＝60，则60＝n2－n－30. 解之得n＝10或n＝－9(舍去)． ∴60是此数列的第10项． (2)令an＝n2－n－30＝0， 解得n＝6或n＝－5(舍去)，∴a6＝0. 令n2－n－30>0， 解得n>6或n<－5(舍去)． ∴当n>6(n∈N*)时，an>0. 令n2－n－30<0，解得0<n<6， ∴当0<n<6(n∈N*)时，an<0. (3)Sn存在最小值，不存在最大值． 由an＝n2－n－30＝(n－)2－30，(n∈N*) 知{an}是递增数列，且 a1<a2<…<a5<a6＝0<a7<a8<a9<…， 故Sn存在最小值S5＝S6，不存在Sn的最大值． 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且 (1)求； (2)求数列的前项和； (3)记，求的最值. 【详解】（1）因为方程的两个根为：， 又为方程的两个根且， 当时，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以， 当时，，，所以． （2）由（1）知数列中的相邻两项必为： 中的一个表达式， 所以数列的前项和中有项满足通项公式， 有项满足通项公式， 所以 . （3）因为， 所以由有： ， 所以， 当时， ， 同时， ， 综上所述， ， 所以的最大值为，最小值为. 4.现有甲乙丙丁四人玩传球游戏，每一次传球时都有一定概率传给场上的某个人或留在自己手里（留在自己手里也视作经过了一轮），具体规则如下表. 接球者 传球者 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 (1)通过计算说明最初球在谁手里时，第二次传球后球在甲手中的概率最大； (2)记传球次后球在甲手中的概率为； ①讨论在不同初始持球者的情况下，的表达式； ②已知初始持球者为甲，设，数列的前项和为，求的最值. 【详解】（1）若球最初在甲手里，第二次传球后球在甲手中的概率为 若球最初在乙手里，第二次传球后球在甲手中的概率为 若球最初在丙手里，第二次传球后球在甲手中的概率为 若球最初在丁手里，第二次传球后球在甲手中的概率为 （2）①记第次传球后，球在乙丙丁手中的概率分别为， 由， 由题意可得 观察式：由于故有， ，故为等比数列，且公比为， 故， 式中， ， 若最初球在乙手中，则， ， 若最初球在甲或者丙或者丁手中，则， ， 综上所述，若最初时球在甲、丙、丁手中，， 若最初时球在乙手中，， ②由①知： ， 当时，取到最小值，当时，取到最大值， 5.已知是等差数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)求数列的前n项和． 【详解】（1），，， ，； （2），， 对称轴为，故当时，取最小值， 且最小值为，无最大值； （3）当时，；当时，， 故当且时，；当且时，； 设数列的前n项和为， 当且时， 则， 当且时， . 故. 6.已知数列和满足，，，成立 (1)求：和的通项公式 (2)设，，求证：. (3)令，求：数列的前项和的通项公式，并直接写出数列的最大值、最小值，并指出分别是第几项. 【详解】（1），， 两式相加得，，即， 是首项为，公比为的等比数列， ，① 两式相减得，，即， 是首项为，公差为的等差数列， ，② 联立①②可得，； (2)证明：，， ， ， ， ， 两式相减得， ， ， ，，，得证； （3）， 当是偶数时， ， 是偶数，，， ， ， 当是奇数时， ， 是奇数，，， ， ， 数列的最大值为，是第一项；最小值为，是第二项； 且数列的前项和的通项公式为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训05 数列前n项和的最值问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 等差数列前 n 项和的最大值 2 题型2 等差数列前 n 项和的最小值 3 题型3 一般数列前 n 项和的最值 4 题型4 含绝对值的前 n 项和问题 5 题型5 与不等式、参数结合 6 重难专题分层过关练 6 巩固过关 6 创新提升 9 解题方法及技巧提炼 （一）通法一：二次函数法（配方法） 把 化为关于 n 的二次函数并配方，在“对称轴 ±1 内取整数”处理定义域限制。适用：等差数列（d≠0）及一切可化为二次型的 。 （二）通法二：邻项变号法（正负项分界法） 直接寻找 的变号位置，最值点判定如下： 对等差数列，解不等式 （或 ）即可。这是小题最快解法。 （三）通法三：邻项作差法（单调性法） 由 −=，判断 的单调区间以定位最值点。适用：证明题、含参数讨论、需严谨说明“最大/最小”的题目。 （四）方法选用速查表 题目特征 首选方法 备注 等差数列、d≠0、直接求最值 通法二（最快） 可配通法一互相检验 只需判断最值位置 n 通法二 解一个不等式即可 对称型条件（如 ） 通法一·对称轴 顶点横坐标为两下标中点 含参数讨论、最值条件反求参数 通法三＋邻项变号 写清 一般数列已知 表达式 函数/单调性 先求 再判符号 含绝对值求和 分段求和 先找变号项，再分段 题型通法及变式提升 题型1 等差数列前 n 项和的最大值 首项为正、公差为负 ⇒ 数列递减 ⇒ 先增后减，最值在“最后一个非负项”处取得；小题直接用通法二，一步到位。 1．是等差数列的前项和，若且 ，则当取得最大值时的 _____. 2．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式： (2)求其前n项和取最大值时n的值． 3．在数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和的最大值. 4.设是等差数列的前项和，，， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最值. 题型2 等差数列前 n 项和的最小值 5.记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 6.已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前n项和为，求及其最小值. 7．设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最值. 8.已知，数列的首项，（是正整数）， (1)求、、； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为，求数列的最值． 题型3 一般数列前 n 项和的最值 出现这类对称条件时，直接用二次函数对称轴定位最值点，可省去解不等式。 9．（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为（为正整数），则数列的前项和的最小值为________. 10．（2025·上海崇明·一模）设．数列满足下列条件：，且对任意的，都存在使得，其中互不相等，则数列的前20项和的最大值是_______． 11.在数列中，已知，令为数列的前项和．问是否有最值?若有，请求出最值． 12.已知数列是首项等于的等比数列，公比，是它的前项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设（且），求数列的前项和的最值． 题型4 含绝对值的前 n 项和问题 含绝对值的前 n 项和：①先由通项确定变号位置；②以变号项为分界把 拆成两段（前段取 ，后段用 ，其中 k 为最后一个非正项的下标）；③注意 =0 的归属，两段表达式在分界处取值应一致。 13.已知无穷数列与无穷数列满足下列条件：①；②且．记数列的前n项积为，则的最大值为________． 14.设是由正整数组成且项数为m的不减数列，已知，，数列任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于中任意序数不同的两项和在剩下的项中总存在序数不同的两项和使得，则的最小值为________. 15.等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的值； (2)求数列的前16项的和． 16.等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 题型5 与不等式、参数结合 17.设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．给出下列命题： （1）若对任意的正整数均有，则数列为和谐数列； （2）若等差数列为和谐数列，则一定存在最大值； 以下说法正确的是（   ） A．（1）错（2）对 B．（1）对（2）错 C．（1）（2）都对 D．（1）（2）都错 18．（24-25高三上·上海·阶段检测）给定正整数及正数，对于满足不等式的所有等差数列，，…，则的最大值为________． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为________． 2．（25-26高三上·上海·期中）等差数列 的通项公式 ，前项和为，则数列的最小值为________. 3．设是等差数列，若． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和及其最值． 4.已知在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最值． 5.设是等差数列的前n项和，，___________.从①；②中任选一个，补充在问题中并作答： (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最值. 6.已知为等差数列，为等比数列，满足， (1)求和通项公式； (2)记，为的前项和，求，并求出的最小值. 7.已知数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值. 8.已知等比数列的各项均为正数，、、成等差数列，且． （1）求数列的通项公式； （2）设（且），求数列的前项和的最值． 9.已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和，并求的最值. 10.设是等差数列的前项和，，_______．从①；②；③中任选一个，补充在问题中并作答： （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最值． 11.已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设且，求数列的前项和的最值． 12.记为数列的前n项和，已知，，数列满足：，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和的最值. 13.设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，bn＝－1－log2|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{cn}的前n项和An，并求出An的最值. 14.已知数列的前n项和为，在数列中，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，为数列的前n项和，求的最值． 创新提升 1.已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和的最值； (3)设，求数列的前项和． 2.已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－30. (1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？ (2)n为何值时，an＝0，an>0，an<0? (3)该数列前n项和Sn是否存在最值？说明理由． 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且 (1)求； (2)求数列的前项和； (3)记，求的最值. 4.现有甲乙丙丁四人玩传球游戏，每一次传球时都有一定概率传给场上的某个人或留在自己手里（留在自己手里也视作经过了一轮），具体规则如下表. 接球者 传球者 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 (1)通过计算说明最初球在谁手里时，第二次传球后球在甲手中的概率最大； (2)记传球次后球在甲手中的概率为； ①讨论在不同初始持球者的情况下，的表达式； ②已知初始持球者为甲，设，数列的前项和为，求的最值. 5.已知是等差数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)求的最值； (3)求数列的前n项和． 6.已知数列和满足，，，成立 (1)求：和的通项公式 (2)设，，求证：. (3)令，求：数列的前项和的通项公式，并直接写出数列的最大值、最小值，并指出分别是第几项. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $