专题16 函数中的恒成立及有解问题技巧全归纳（压轴题3大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题16 函数中的恒成立及有解问题技巧全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、参变分离解决单变量恒（能）成立问题 1 类型二、主元法、分类讨论法解决单变量恒成立问题 4 类型三、双变量恒成立问题 9 压轴专练 16 类型一、参变分离解决单变量恒（能）成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 1．（25-26高一上·山东济宁·期中）若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用其命题的否定将问题转化为最值问题求解. 【详解】因为存在，使得成立时假命题， 所以对，使得是真命题， 即在恒成立， 令，则， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，因为， 故选：D. 2．若存在正数，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为存在正数，使，利用函数单调性求的值域即可. 【详解】由得到，则， 因均在上单调递增， 则在上单调递增，则， 因存在正数，使成立，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 3．若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式可化为. 因为，所以，所以的最大值为. 所以，所以. 故选：C. 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，分离参数构造函数并求出最小值，再利用有解的条件求出范围. 【详解】不等式，当时，， 则，依题意，， 所以实数的取值范围是. 故选：B 5．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离参数法，结合换元法，再利用二次函数求最值，从而可得参数范围. 【详解】由不等式变形得：， 令，则 因为，所以， 故选：B 6．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式，，最后结合基本不等式计算求解即可 【详解】, , 所以为奇函数, 为单调增函数, , ,恒成立, , . 故选：D. 类型二、主元法、分类讨论法解决单变量恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 主元法即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 1．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】按函数图象对称轴与区间关系分类求出函数最小值，进而建立不等式求解. 【详解】函数图象的对称轴为， 当，即时，函数在上单调递增， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减， 因此，解得，则； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，解得，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 2．（25-26高一上·贵州黔南·月考）若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为，分类讨论底数范围作出函数图象，数形结合计算参数即可. 【详解】不等式在内恒成立，等价于在内恒成立， ①当时，在内，，，∴不成立； ②当时，作出函数与的图象， 由图可得，要使在内恒成立， 必须满足，解得， 实数的取值范围是． 故答案为：． 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，当时，恒成立，则的值为 . 【答案】0 【分析】分为与两种情况讨论，分离出参数，结合函数的单调性求解. 【详解】当时， ，故恒成立，即恒成立， 令，因为在上均是增函数， 所以在上是增函数， 故时， ，所以， 当时，，故恒成立，即恒成立， 在上是增函数， 故时， ，（当时取等号），所以， 综上，． 故答案为：0． 4．（25-26高一上·广东江门·期中）已知函数，若当时，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将函数写成分段函数形式，分情况讨论函数在上的单调性与最值情况，可得解. 【详解】由已知， 当时，由可知不满足题意，不成立； 当时，，则在上单调递增， 又，所以在上单调递增， 所以， 解得，又，所以； 当时，，此时函数在上单调递增， 且函数在上的值域为，满足题意； 当时，，在上单调递增， 又，所以在上单调递增， 所以， 解得，又，所以， 综上所述. 5．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)0； (2)单调递增，证明见解析； (3)或 【分析】（1）利用奇函数的定义求出值. （2）判断单调性，再利用函数单调性定义推理得证. （3）由（1）（2）求出的最大值，再利用恒成立建立不等式，借助一次函数求出范围. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以. （2）函数在上单调递增. 任意，且，则 ， 由，得，， 则，即，所以在上单调递增. （3）由奇函数在上单调递增，得， 由对任意，不等式恒成立， 得对任意的，不等式， 而函数是一次函数，则，解得或， 所以的取值范围是或. 6．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）赋值得出，再取得出判断； （2）用函数的定义先判断其在上单调递减，然后赋值结合函数奇偶性得到最大值是； （3）先求不等式左边的最大值，然后变换主元，把不等式看成关于的一次函数，结合一次函数性质处理. 【详解】（1）取，则，则； 取，则， 又定义域为，则是奇函数. （2）任取，则， ， 由时，可知， 即，即， 故在上单调递减. 取，则， 取，则， 又是奇函数，则，解得， 结合单调性可知，在区间上的最大值是 （3）由题知，若对所有的，恒成立， 只需， 结合函数的单调性，时，， 则，即， 将不等式左边视作关于的一次函数， 而时恒成立， 故只需，即， 解得或 类型三、双变量恒成立问题 1、（1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 2、双变量问题与值域关系 1、第1类.“任意=存在”型 ，使得,等价于函数在上上的值域是函数在上的值域的子集,即. 其等价转化的基本思想:函数的任意一个函数值都与函数的某一个函数值相等,即的函数值都在的值域之中.此类型出现频率最高. 2、第2类.“存在=存在”型 ，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不为空集,即. 其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分. 3、第3类.“任意≥(≤、>、<)任意”型 ，使得恒成立等价于.其等价转化的基本思想是函数的任何一个函数值均大于函数的任何一个函数值.同理，可得其他类型. 4、第4类.型. 由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为，解决掉双变量转化为求最值. 上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域. 1．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则该函数在上为增函数， 当时，， 因为对均有， 所以，，则，解得. 故选：D. 2．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，根据函数单调性得到，，得到不等式，求出实数的取值范围是. 【详解】若，，使得， 故只需， 其中在上单调递减，故， 在上单调递增，故， 所以，解得：， 实数的取值范围是. 故选：C 3．（23-24高一上·河北·月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出求解即可. 【详解】，，所以，， 在上单调递减，所以， 当时，，即，取成立. 当时，，即，得，所以 当时，，即，得，所以， 综上： 的取值范围是. 故选：A 4．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解. 【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为， 可得，且， 所以在上单调递增，所以 因为存在，满足， 则， 所以 解得：， 故选：D. 5．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，求出这两个函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，， 因为内层函数在上为增函数，外层函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 当时，， 当时，，则。 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：A. 6．（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求在给定区间的值域，再根据的单调性分类讨论，确保的值域包含的值域，解不等式组得到的范围. 【详解】因为，最小值在处为， 根据题目，函数在区间上的值域为， 对任意的，存在，使得等价于要求的值域是的值域的子集， 由于是一次函数，需要满足： 当时，单调递增，值域为，要求且，解得， 当时，单调递减，值域为，要求且，解得 ​， 综上，的取值范围为​或，即， 故选：A. 7．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知：若、是常数，，则函数的图像关于点对称.设，. (1)判断是否关于对称?并说明理由； (2)当时，证明单调性； (3)若对任意，总存在，使，求的取值范围. 【答案】(1)关于点成中心对称；理由见解析 (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据所给定义，计算即可； （2）根据单调性的定义利用作差法证明即可； （3）对任意的，总存在，使成立，需函数的值域为函数的值域的子集，分类讨论m求出值域，根据集合间的包含关系求解即可. 【详解】（1）关于点成中心对称，理由如下： 因为定义域为， 又， 由已知可得是关于成中心对称． （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，且，，所以， 所以，即， 在上单调递增； （3）若对任意的，总存在，使成立，只需函数在上的值域为函数在上的值域的子集． 因为函数的图像关于点对称， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以函数在上的值域为， 下讨论在上的值域． ①当时，，不符合题意，舍去； ②当时，在上的值域为，要使， 只需，解得； ③当时，在上的值域为，要使， 只需，解得； 综上可得的取值范围为． 1．若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数，设新函数求出其最大值即可得到答案. 【详解】由题意得该命题的否定为真命题， 即“，”为真命题， 即， 令，因为，则， 则存在，使得成立， 令，令，则（负舍）， 则根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 且，，则，则. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏·月考）若存在满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离可得存在满足，令，，利用函数的单调性求出，即可得解. 【详解】因为存在满足， 即存在满足， 令，， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：A 3．（24-25高一上·四川资阳·月考）若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换主元法，化为关于的一元一次不等式，结合对应一次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题意知，，恒成立， 设函数，即，恒成立. 则，即，解得，或. 故选：C 4．（25-26高一上·江苏南通·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次项系数进行分类，结合二次函数的图像性质即可求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图象抛物线对称轴为， 时，函数开口向上，且在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，函数开口向下，且在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D 5．已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得. 【详解】因为，对，有. 同理，对，有. 由，，使得，得 ，得. 故选：B. 6．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：，结合二次函数以及对数函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：， 因为的图象开口向上，对称轴为， 且，可知当时，取到最大值， 由题意可得：， 可知存在，使得成立， 当，可知在上单调递减， 可得，不合题意； 当，可知在上单调递增， 可得的最大值为，则， 即又，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故选：D. 7．设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将不等式等价变形，再将不等式恒成立，转化为最值问题，得到，即可求解. 【详解】易知，故，，在上恒成立， 等价于不等式即在上恒成立， 故，（点拨：当时，函数在上单调递增， 则，所以）， 故，即，又，故． 故实数的取值范围是． 故选：B 8．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件构造不等式并求解，再通过分段讨论结合函数单调性求出的取值范围． 【详解】函数，恒成立， 恒成立， 或恒成立， 对于不等式恒成立，即恒成立，此时或， 故只需在上恒成立即可， 当时，恒成立； 当时，，即，令，则在上单调递增，最大值为， ，解得； 当时，，即，令，则在上单调递增，最小值为， ，解得． ． 故选：B． 9．已知，若存在，使对任意的，有成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出的最大值，通过两者的大小关系可得答案. 【详解】当时,.当时,. 若存在，使对任意的，有成立, 等价于,可得，所以. 故答案为： 10．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，若存在，满足，则实数的最小值为 ． 【答案】/0.8 【分析】先确定最大值与最小值，再将存在性问题转化为最值问题，最后解不等式得的取值范围，即得的最小值. 【详解】函数在上单调递减，函数在单调递增， 则函数在上单调递减， 由存在，满足，得， 即，则， 因此，解得，所以 故答案为： 11．（23-24高一上·全国·期末）已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意知，建立不等式求解即可. 【详解】因为， 当时,， 因为存在,存在, 使得成立, 所以函数在上的最小值小于函数在上的最大值. 当时,函数在上单调递减, 则，解得; 当时,函数在上单调递增, 则，解得， 综上,实数a的取值范围是. 故答案为：. 12．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知是定义在上的函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别在和的情况下，根据二次函数性质可得到在上连续且单调递增，将恒成立的不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得的范围. 【详解】当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 不等式，则， 由对任意的，不等式恒成立，得恒成立， 而函数在上单调递增，即当时，， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 13．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据单调性的性质可判断是上的增函数，即可将问题转化为在上恒成立，对讨论，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由，可知是上的增函数， 则由不等式在上恒成立，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 当时，，解得． 当时，在上恒成立． 当，且，解得． 当，且，解得． 当，且，解得． 故的取值范围为． 故答案为: 14．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】首先由题意转化为，讨论两个函数的单调性，求函数的最值，即可求解. 【详解】， 若对任意都有成立，则， ， 当时，，设， ， 当，，，则，即， 则，即， 所以在区间上单调递增，即， 所以的值域为， 即在区间的最大值为2， ， 当时，在单调递增，的最小值为， 当时，函数的图象如下图，函数在上单调递增，的最小值为，      当时，的图象如下图，    当时，函数在上单调递增，的最小值为， 当时，函数的最小值为， 所以，当时，的最小值为，， 即，解得：或，即； 当时，函数的最小值为，，即 ，解得：或，即； 综上可知，或 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求函数的最小值，需讨论，结合函数的图象，判断单调性，求函数的最值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 函数中的恒成立及有解问题技巧全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、参变分离解决单变量恒（能）成立问题 1 类型二、主元法、分类讨论法解决单变量恒成立问题 2 类型三、双变量恒成立问题 3 压轴专练 5 类型一、参变分离解决单变量恒（能）成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 1．（25-26高一上·山东济宁·期中）若存在，使得成立是假命题，则实数不可能是（   ） A． B． C． D． 2．若存在正数，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏苏州·期中）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型二、主元法、分类讨论法解决单变量恒成立问题 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数； 一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 主元法即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 1．（24-25高一下·吉林白城·期末）已知函数，若且满足.则实数的取值范围为 ． 2．（25-26高一上·贵州黔南·月考）若不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ． 3．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，当时，恒成立，则的值为 . 4．（25-26高一上·广东江门·期中）已知函数，若当时，，则的取值范围是 . 5．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意，，恒成立，求的取值范围. 6．（25-26高一上·福建三明·月考）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 类型三、双变量恒成立问题 1、（1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 2、双变量问题与值域关系 1、第1类.“任意=存在”型 ，使得,等价于函数在上上的值域是函数在上的值域的子集,即. 其等价转化的基本思想:函数的任意一个函数值都与函数的某一个函数值相等,即的函数值都在的值域之中.此类型出现频率最高. 2、第2类.“存在=存在”型 ，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不为空集,即. 其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分. 3、第3类.“任意≥(≤、>、<)任意”型 ，使得恒成立等价于.其等价转化的基本思想是函数的任何一个函数值均大于函数的任何一个函数值.同理，可得其他类型. 4、第4类.型. 由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为，解决掉双变量转化为求最值. 上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域. 1．（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北·月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏常州·期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·黑龙江大庆·月考）设函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知：若、是常数，，则函数的图像关于点对称.设，. (1)判断是否关于对称?并说明理由； (2)当时，证明单调性； (3)若对任意，总存在，使，求的取值范围. 1．若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏·月考）若存在满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川资阳·月考）若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏南通·期中）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知，（且），若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知，若存在，使对任意的，有成立，则实数m的取值范围是 . 10．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，若存在，满足，则实数的最小值为 ． 11．（23-24高一上·全国·期末）已知且，若存在,存在,使得成立,则实数a的取值范围是 . 12．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知是定义在上的函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 13．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知定义域为的函数满足对于任意两个不相等的实数，，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ． 14．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $