函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题专项训练-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数不等式恒成立与能成立问题，通过典例变式构建从概念到应用的逻辑链条，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数不等式恒成立问题|6题（3例+3变式）|含单调性证明后求参数、二次函数解析式求解后恒成立、函数图象位置关系转化|从单调性证明（概念生成）到二次函数性质应用（原理推导），再到图象关系转化（应用拓展）| |函数不等式能成立问题|6题（3例+3变式）|含单调性与值域应用、存在性参数范围、双变量存在性问题|从单调性与值域（概念生成）到存在性参数求解（原理推导），再到双变量存在性（应用拓展）|

暑假预习：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题专项训练 暑假预习：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题专项训练 考点目录 函数不等式恒成立问题 函数不等式能成立（有解）问题 考点一 函数不等式恒成立问题 例1．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 例2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知二次函数满足，． (1)求的解析式； (2)，恒成立，求的取值范围． 例3．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，不等式的解集为． (1)求，的值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 变式1．（25-26高二上·浙江·开学考试）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围． 变式2．（25-26高二下·河北保定·期末）已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为． (1)请用单调性定义证明：为单调递减函数； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 考点二 函数不等式能成立（有解）问题 例1．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，在上单调递增 (1)求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 (2)利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 例2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 例3．（25-26高一上·四川广安·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 变式1．（25-26高一上·重庆·期中）已知 (1)求的最小值 (2)求的最小值. (3)设，.若对任意的，，总存在，使得，求实数的取值范围. 变式2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 变式3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知函数，，． (1)若，方程有解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题专项训练 暑假预习：函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题专项训练 考点目录 函数不等式恒成立问题 函数不等式能成立（有解）问题 考点一 函数不等式恒成立问题 例1．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) ，设， 则， 易得，故， 即当时，， ， 所以在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据增减性定义，设出，求证即可证明在上单调递增； （2）由题意得，结合二次函数的图象与性质即可求得，进而得到实数k的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由在恒成立，则有当时，， ，易得是开口向上的二次函数，对称轴为， 故在上单调递增，所以，即， 故实数k的取值范围是 例2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知二次函数满足，． (1)求的解析式； (2)，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由待定系数法设，然后由题意可得答案； （2）由题可得，据此可得答案. 【详解】（1）设，因，， 则，则. ，则； （2），恒成立. ， 当时取等号，故. 例3．（25-26高一上·四川内江·阶段检测）已知函数，不等式的解集为． (1)求，的值； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，求实数的取值范围； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意，2，3为方程的两根，根据根与系数的关系，列出方程，即可求得答案. （2）由（1）可知，且满足，恒成立，等价于，根据二次函数的性质，即可求出在上的最小值，分析即可得答案. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以2，3为方程的两根， 由根与系数的关系可得，，所以，. （2）由（1）可知，且满足，恒成立， 等价于， 当时，函数图象的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减， 所以当时，有最小值0， 所以，实数的取值范围为. 变式1．（25-26高二上·浙江·开学考试）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若对于任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式可得结果； （2）分离参数可得，由基本不等式求得，从而可得的范围. 【详解】（1）当时，，不等式，即， 整理得，解得，故此不等式的解集为． （2）由题意，，得，即恒成立， 又，（当且仅当取等号），即，所以，解得． 变式2．（25-26高二下·河北保定·期末）已知二次函数满足，且的最小值为5. (1)求的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出解析式，根据条件得到方程组，求出解析式； （2）转化为，分，和三种情况，得到不等式，求出答案 【详解】（1）设， 由，得， 即， 所以，解得， 所以，当时，取到最小值. 又的最小值为5，所以，解得. 所以. （2）由（1）知，所以不等式， 即. 当时，二次函数开口向下， 不等式不可能对恒成立； 当时，不等式，即，其对恒成立； 当时，不等式，即， 因为对，不等式恒成立， 所以，即， 化简可得，所以且，解得或， 又，所以或. 综上所述，或，即实数的取值范围是. 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为． (1)请用单调性定义证明：为单调递减函数； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 任取，规定， 则 ， 因为，所以， 且， 所以，即， 即，所以函数为上的单调递减函数． (2) 【分析】（1）根据函数单调性定义证明函数在单调递减即可； （2）将不等式恒成立进行转化，然后构造新函数利用函数单调性得出相应的不等式恒成立，再利用基本不等式求最值即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）当时，恒成立， 即恒成立， 令函数，， 因为函数为上的单调递减函数， 且也为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数， 由恒成立， 等价于不等式恒成立， 因为为上的单调递减函数， 所以对任意恒成立， 且， 令，所以问题转化为， 由，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 考点二 函数不等式能成立（有解）问题 例1．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数在上单调递减，在上单调递增 (1)求利用上述函数性质，求的单调区间和值域 (2)利用上述函数性质，当不等式在有解时，求实数的取值范围 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域 (2) 【分析】(1)利用构造法可得到一个对勾型函数，再利用单调性来求值域； (2)利用分离参变量法，再利用对勾函数的单调性求最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由， 令，则，因为，所以， 再结合已知可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值， 因为当时，，当时，， 所以当时，取到最大值， 即的单调递减区间是，单调递增区间是，的值域； （2）由不等式，结合，可变形为， 由原不等式有解转化为， 再由已知可得在区间上单调递增， 所以，即， 故实数的取值范围是. 例2．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出不等式并求解即得. （2）由不等式分离参数，构造函数并求出最小值即可得解. 【详解】（1）函数，由，得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）当时，， 又，当且仅当时取等号，依题意，， 所以实数的取值范围是. 例3．（25-26高一上·四川广安·期中）已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【详解】（1）设二次函数， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以的解析式为. （2）由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 变式1．（25-26高一上·重庆·期中）已知 (1)求的最小值 (2)求的最小值. (3)设，.若对任意的，，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用基本不等式直接求积的最大值即可； （2）利用消元思想，再转化为基本不等式求最小值； （3）利用消元思想，再转化基本不等式求最小值，然后利用题意分离参变量，再利用函数单调性求最小值，从而可得参数范围. 【详解】（1）， 当且仅当时取等号, 所以的最小值为； （2）由，， 则 ， 因为，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为； （3）依题意，，由， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为， ，总存在，使得， 即存在在的值， 而函数在区间上单调递减，上单调递增， 所以，即， 所以实数的取值范围. 变式2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数， ， (1)判断并证明函数的单调性； (2)若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）根据函数单调性定义，即可证明； （2）若存在，使得不等式成立，即，所以根据（1）所得的函数单调性，可得，即，解不等式即可. 【详解】（1）由题意，任取 ， 则 ， 因为，所以，，即， 所有，所以 ， 故函数 在区间 内单调递增； （2）由（1）得，函数在区间 内单调递增， 所以当时，，当时，， 所以的值域为， 若存在实数，使得不等式成立， 只需 即可，解得， 所以a的取值范围为. 变式3．（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）已知函数，，． (1)若，方程有解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用在上的单调性转化为求函数值域； （2）根据二次函数函数性质可得的最大值，可得，结合存在性问题分析求解即可． 【详解】（1）若，方程有解，即，， 因为函数的图象开口向上，对称轴是直线， 可知在上为减函数，则， 可得，即，所以的取值范围为. （2）若对任意的，总存在，使得， 因为函数的图象开口向上，对称轴是直线， 且，由对称性可知函数有最大值为； 可得在有解，即，即在有解， 可得或，解得或， 可得，所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $