27.3实际问题与反比例函数 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学反比例函数同步练，分3课时，设基础题、中档题、综合题三层，分层清晰，从基础应用到综合建模，适配新授课知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|单一知识点直接应用（如速度与质量、压强与体积关系）|结合生活情境（送餐机器人、蓄水池排水），培养抽象能力| |中档题|跨学科与图象应用（如电流电阻、弦长频率、潜水时间与深度）|跨学科融合（物理、生物），强化模型意识| |综合题|函数与几何综合（如抛物线与弯道、生长规律建模）|问题解决链（建模-计算-应用），发展推理能力|

27.3实际问题与反比例函数 第 1课时 反比例函数在实际问题中的简单应用 基础题 知识点 反比例函数在实际问题中的简单应用 1.科技前沿·送餐机器人随着科技的迅猛发展，智能机器人已融入人们的日常生活中.如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度 v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数，其关系式为 当此款智能送餐机器人载重后的总质量m=20 kg时，它的最快移动速度 v是 2.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 p(Pa)是气球体积 V(m³)的反比例函数.当V=1.2 m³时,p=20 000 Pa.则当 V=1.5 m³时,p= Pa. 3. 某蓄水池排水管的排水速度是 8 m³/h，6 h 可将满池水全部排空. (1)若增加排水管，使排水速度达到 Q(m³/h)，则将满池水排空所需的时间t(h)与排水速度 Q(m³/h)有怎样的函数关系? (2)如果准备在 5 h 内将满池水排空，那么排水速度至少为 m³/h. (3)如果排水管的排水速度最大不超过12 m³/h，那么至少多长时间可将满池水全部排空? 中档题 4.在一定条件下，乐器中弦振动的频率 f(Hz)与弦长l(m)成反比例函数关系，(即k为常数，k≠0).已知当某乐器的弦长 l为0.8 m时,振动频率 f为250 Hz.若要使频率不低于 400 Hz，则弦长至少应减少 ( ) A.0.5m B.0.4m C.0.3m D.0.1m 5.新考向·跨学科融合已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I(A)与可变电阻R(Ω)满足反比例函数关系，当电阻 R=9Ω时,电流 I=4 A. (1)求使用此蓄电池时的电流 I(A)关于电阻R(Ω)的函数解析式. (2)若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 3 A，原电路中已经有一个 8 Ω的定值电阻，则至少应再串联一个多大的电阻才可以保证电路安全? 第 2 课时 借助反比例函数图象解决实际问题 基础题 知识点 1 实际问题中的反比例函数图象 1.已知甲、乙两地相距30千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶速度 v(千米/时)关于行驶时间t(时)的函数图象为( ) 2. 已知某种品牌电脑显示屏的使用寿命大约为 如果该显示屏工作天数为d(天)，平均每天工作时间为t(h)，那么能正确表示 d 与t 之间函数关系的图象是( ) 知识点2 借助反比例函数图象解决实际问题 3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I(A)与电阻 R(Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻 R 大于 9 Ω时，电流 I可能是( ) A.3 A B.4 A C.5 A D.6 A 4.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于 400 度的近视眼镜，则镜片焦距x的取值范围是( ) A.0<x<0.25 B. x>0.25 C.0<x<0.2 D. x>0.2 5. A石家庄外国语校本经典题厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y(m)是面条横截面面积 S(mm²)的反比例函数，其图象经过A(4,32),B(m,80)两点(如图). (1)求y关于S 的函数解析式. (2)求m 的值，并解释点 B 的实际意义. (3)某厨师拉出的面条最细时的横截面面积S<0.8 mm²，求这根面条的总长度的范围. 中档题 6.在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部的活塞减压，减压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V 的函数图象如图所示.若压强由100 kPa减压至 75 kPa,则气体体积的变化情况是( ) A.增大了 20 mL B.减小了20 mL C.增大了 25 mL D.减小了25 mL 7.小明骑车从 A 地到 B地的平均速度 v(km/h)与行驶时间t(h)成反比例函数关系，其函数图象如图所示.若某天他8:00从 A 地出发,在 8:20 到8:30 这段时间内到达 B地，则他的平均速度可能是 ( ) A.3 km/h B.5k m/h C.5.6 km/h D.6 km/h 8.潜水时，潜水深度增加会导致人的呼吸加快，因此氧气瓶的使用时间会缩短.经研究发现，在一定条件下，氧气瓶可用时间 t(分)是潜水深度h(米)的反比例函数，其部分图象如图所示. (1)求t与h 之间的函数关系式. (2)当潜水深度为 30 米时，求氧气瓶可用时间. (3)为保证安全，要求氧气瓶可用时间不少于15分钟且不超过 40 分钟，那么潜水深度应控制在什么范围内?请说明理由. 综合题 9.如图，有一个人站在水平球台 EF 上去打高尔夫球，球台到x轴的距离为 8 m，与y轴相交于点 E，弯道FA: 与球台交于点F,且 EF=3 m,弯道末端AB⊥x轴于点 B,且 AB=1.5m ,从点 E 处飞出的球沿抛物线 运动，落在弯道FA 的 D处,且 D 处到x轴的距离为 4m . (1)求k,b的值. (2)高尔夫球落在 D 处后立即弹起，沿另外一条抛物线 G 运动，若G 的最高点坐标为P(10,5). ①求抛物线G的解析式，并说明小球能否再次落在弯道 FA 上. ②在x轴上有托盘.BC=2m,现在把托盘向上平移d m.若小球能被托盘接住(小球落在托盘边缘不会掉落)，则d 的取值范围是 第 3 课时建立反比例函数模型解决实际问题 基础题 知识点 建立反比例函数模型解决实际问题 1.如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气.小红同学运用学习过的函数相关知识，对活塞到筒底的距离 h与重物质量m 之间是否存在一定的函数关系进行了探究，下面是小红同学的探究过程，请补充完整： 第一步：绘制函数图象 (1)①列表：小红同学试着放上不同质量的物体，并根据简侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面5 组数据： 重物质量m/kg 2 3 4 5 6 活塞到筒底的距离h/cm 24 16.5 11 9.6 8.1 ②描点：请根据表中的数值在下面的平面直角坐标系中描点. ③连线：观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点.请把图象补充完整. 第二步：建立模型 (2)通过观察图象可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择 (填“正比例”“反比例”或“二次”)函数近似描述活塞到筒底的距离h与重物质量m之间的关系. 第三步：确定函数解析式 (3)求出活塞到筒底的距离h 与重物质量m之间的函数解析式. 中档题 2.综合与实践：生物生长规律的模型研究. 如图1，砗磲(chē qú)是地球上最大的双壳类动物.某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x(岁)与平均日生长速率 y(μm)的数据如下表： x 0 5 10 15 20 25 y 26 19 14 9.5 7 5.5 【模型构建1】如图2，数学小组 A 在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图2中点的分布情况，猜想其函数图象是过点(0，26)的抛物线，设解析式为 (1)选取两个点(10,14),(20,7),则抛物线的解析式为 【模型构建2】数学小组 B观察表格中的数据，发现后四组数据中x与y 的乘积分别为 猜想当x≥10时，y 与x 符合反比例函数关系，设解析式为 (2)为减少偏差，取 求反比例函数的解析式. 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄的增长持续降低. (3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述两个模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算. 27.3实际问题与反比例函数 第1课时 反比例函数在实际问题中的简单应用 1.1.5m /s 2.16 000 3.解：(1)蓄水池的容积为 ∴t关于Q 的函数解析式为t= (2)9.6(3)把Q=12代入 得 从结果可以看出，当排水管的排水速度为12m³/h时，需要4 h 可将满池水全部排空.对于函数 当Q>0时，t随Q的增大而减小.因此，如果排水管的排水速度最大不超过12m³/h，那么至少需要4 h可将满池水全部排空.4. C 5.解：(1)设反比例函数的解析式为 将I=4,R=9代人,得U=4×9=36.∴反比例函数的解析式为 (2)把I=3代入 得 从结果可以看出，当以此蓄电池为电源的用电器限制电流为3 A 时，电路中的电阻为12 Ω.对于函数 当R>0 时,I随R的增大而减小.因此，当以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过3A时，电路中的电阻至少为12Ω才可以保证电路安全.∵12-8=4(Ω)，∴至少应再串联一个4Ω的电阻才可以保证电路安全. 第2课时 借助反比例函数图象解决实际问题 1. D 2. C 3. A 4. B 5.解：(1)设y关于S 的函数解析式为 将A(4,32)代入,可得k=128.∴y关于S 的函数解析式为 (2)将 B(m,80)代入 得 m=1.6.点B 的实际意义：当面条的横截面面积为1.6 mm² 时,面条的总长度为80 m.(3)将S=0.8代入 得y=160.∵当S>0时，面条的总长度y随面条横截面面积S 的增大而减小,∴当S<0.8 mm²时，这根面条的总长度的范围为y>160 m. 6. A 7. B 8.解：(1)根据题意，设t与h 之间的函数关系式为 把点(10,60)代入,得 解得k=600.∴t与h 之间的函数关系式为 (2)当h=30时, ∴当潜水深度为30米时，氧气瓶可用时间为20分钟. (3)潜水深度应控制在15~40米的范围内.理由如下:∵600>0,∴当h>0时,h越大,t越小.把t=15 代入t= 得 解得h=40;把t=40代入 得 解得h=15.∴15≤h≤40.∴潜水深度应控制在15~40米的范围内.. 9.解:(1)∵球台EF到x轴的距离为8m,EF=3m,∴F(3,8).将F(3,8)代入 得k=24. ∵D到x轴的距离为4m,∴当y=4时,x=6.∴D(6,4).将 D(6,4)代入 得 8=4,解得 (2)①∵抛物线G的最高点坐标为(10,5),∴可设该抛物线的解析式为 把D(6,4)代入,得 +5,解得 ∴抛物线G的解析式为 即 ∵点A在反比例函数 的图象上，且AB=1.5m,∴点A 的坐标为(16,1.5).将x=16代入 +5,得 ∴小球不能再次落在弯道 FA 上.②1≤d≤2.75 第3课时 建立反比例函数模型解决实际问题 1.解：(1)②描点图略.③补充完整函数图象略.(2)反比例 (3)设函数解析式为 根据表中的数据依次求出k的值为48，49.5，44，48,48.6.计算所有 k值的平均值,得k = ≈48. ∴活塞到筒底的距离h与重物质量m之间的函数解析式为 2. 解: (2)当 x≥10 时,k = ∴反比例函数的解析式为≥10). (3)由模型1可知，当x>29时，y随x的增大而增大，不符合碎磲的生长规律；又由模型2可知，当x≥10时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律.∴选择模型2.当x=35时， 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4 μm. 学科网（北京）股份有限公司 $