精品解析：河北枣强中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

2026-2027学年高二上学期开学考试数学学科试题 一、单选题（每题5分，只有一个正确选项，选对得5分，选错0分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（ ） A. 400 B. 300 C. 250 D. 200 3. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则（ ） A. 60° B. 75° C. 60°或120° D. 15°或75° 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 6. 如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（ ） A. 平均数=中位数=众数 B. 众数<中位数<平均数 C. 平均数<众数<中位数 D. 平均数<中位数<众数 7. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，选全得5分，部分选对的2分，选错得0分，共20分） 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 对应的点在第四象限 B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为1 10. 关于函数，以下说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数图象的对称轴是直线 C. 函数的单调递减区间是 D. 函数图象过点 11. 设A，B为两个随机事件，且，，下列说法正确的有（ ） A. 若A，B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A，B独立 D. 若，则A，B独立 12. 已知正方体的棱长为4，，分别是棱，上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题 13. 给定一组数据：10，12，15，16，18，20，21，则其75%分位数为_____. 14. 已知，，且，则的最小值为__________，此时__________. 15. 已知向量、满足，，，则_______． 16. 已知函数，，若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，则a的取值范围为______． 四、解答题 17. 如图，是的直径，是圆周上的动点，过动点的直线垂直于所在平面，，分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． 18. 已知向量与的夹角为，，． （1）若，求实数的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 19. 已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． （1）求的大小； （2）已知的周长为，求边上的中线的长度． 20. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高的75％分位数． （3）由于男生、女生身高差异，采用分层抽样的方法再抽取一个容量为100的样本，并观测样本的指标值 （单位：cm），已知该样本男、女生比例是16：9，计算得男生样本的均值为173，方差为17，女生样本的均值为164，方差为30．该样本的均值和方差各为多少？（结果保留整数） 21. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，且，求的面积. 22. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期开学考试数学学科试题 一、单选题（每题5分，只有一个正确选项，选对得5分，选错0分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，则. 2. 某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（ ） A. 400 B. 300 C. 250 D. 200 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，解得. 3. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则（ ） A. 60° B. 75° C. 60°或120° D. 15°或75° 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理得，，即，所以或， 当时，，成立；当时，，成立. 故选：C. 4. 已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式计算即可． 【详解】由已知得，， 向量在向量上的投影向量为， 整理得，即， 解得． 故选：C． 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 6. 如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（ ） A. 平均数=中位数=众数 B. 众数<中位数<平均数 C. 平均数<众数<中位数 D. 平均数<中位数<众数 【答案】B 【解析】 【分析】利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可. 【详解】众数是最高矩形底边中点对应的数值，位于左边第二个矩形底边中点， 所有矩形的面积之和为，显然前两个矩形的面积之和小于， 即众数＜中位数； 又频率分布直方图呈现右拖尾形态，使得平均数受极端值影响会被拉向右侧，大于中位数， 所以众数＜中位数＜平均数. 故选：B. 7. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义结合边长运算求解. 【详解】如图，连接，因为平面，所以平面， 平面，所以， 又分别是的中点，所以， 所以直线与所成角为（或其补角）， 因为， 所以. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，E是的中点，F是上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把 与 展开到同一平面,此时取得最小值为,再由余弦定理求解. 【详解】把 与 展开到同一平面,此时取得最小值为. 如图，，,所以 是 中点，，，中，由余弦定理得 ,所以 所以 的最小值为 . 二、多选题（每题5分，选全得5分，部分选对的2分，选错得0分，共20分） 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 对应的点在第四象限 B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义即可判断. 【详解】对于A选项，因为， 所以复数 z 对应的点为，在第一象限，故 A 错误； ，故B正确； ，故C正确； ，的虚部为1，故D正确. 10. 关于函数，以下说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数图象的对称轴是直线 C. 函数的单调递减区间是 D. 函数图象过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二次函数的图象和性质判断. 【详解】解：函数， A. 当时，函数取得最大值为1，故正确； B.函数图象的对称轴是直线，故正确； C.函数的单调递减区间是，故错误； D.函数图象过点，故正确， 故选：ABD 11. 设A，B为两个随机事件，且，，下列说法正确的有（ ） A. 若A，B互斥，则 B. 若，则 C. 若，则A，B独立 D. 若，则A，B独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据独立事件的概念可判断C；根据和事件的概率计算公式结合独立事件的概念可判断D. 【详解】对于A，若A，B互斥，则，A正确； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，所以A，B独立，C正确； 对于D，若， 则， 所以， 又因为， 所以，故事件，独立，从而A，B也独立，D正确， 故选：ACD. 12. 已知正方体的棱长为4，，分别是棱，上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据正方体的体对角线长即外接球的直径计算即可排除；对于B，先证平面，再由线面平行的性质易得结论；对于C，取的中点，的中点，由得到，，即得即为平面与平面所成二面角的平面角，计算即可判断；对于D，连接，，证明四边形为菱形，且为平面截正方体所得的截面，即可计算判断. 【详解】正方体的外接球的半径，∴正方体的外接球的表面积为，故A错误； 在正方体中，∵，， ∴四边形为平行四边形，∴. 又因平面，平面，∴平面. 因平面，平面平面，∴，故B正确； 取的中点，的中点，连接，易得，∴，. 又，∴，，∴即为平面与平面所成二面角的平面角. ∵分别为的中点，∴，则有平面. 又平面，∴，∴，故C正确； 连接，.∵，分别是棱的中点， ∴.易得与全等， 故，，∴，， ∴四边形为菱形，且为平面截正方体所得的截面， 故截面面积为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 13. 给定一组数据：10，12，15，16，18，20，21，则其75%分位数为_____. 【答案】20 【解析】 【分析】根据百分位数定义求解. 【详解】给定数据按从小到大顺序排列，共7个数，，因此75%分位数是第6个数，为20. 14. 已知，，且，则的最小值为__________，此时__________. 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【详解】由，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12，此时. 15. 已知向量、满足，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由及平面向量数量积的坐标运算可求出，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】因为，所以，即， 因为，，则，解得， 故. 16. 已知函数，，若存在，对任意，总存在唯一，使得成立，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】据题意可知，的值域是的值域的子集，分类讨论，由二次函数的性质即可求得a的取值范围. 【详解】当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 所以的值域是， 所以对任意，总存在唯一，使得成立， 当，即时，有，解得； 当，即时，有，解得； 当，即时，有或， 解得. 综上，所以a的取值范围为或. 故答案为： 四、解答题 17. 如图，是的直径，是圆周上的动点，过动点的直线垂直于所在平面，，分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）证明：平面． 【答案】（1）因为，分别是，的中点，所以是的中位线， 所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）因为是的直径，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，所以平面． 由（1）得，所以平面． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线结合线面平行的判定定理完成证明； （2）由直径所对圆周角为直角，可得与垂直，再结合线面垂直的判定定理得到垂直于平面，最后结合与的平行关系，由线面垂直的性质完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知向量与的夹角为，，． （1）若，求实数的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据数量积的运算律及定义可得； （2）先求得向量与的数量积及模，根据夹角公式可得. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 即， 解得． 【小问2详解】 由题意得， ， 设向量与的夹角为， 则． 即向量与的夹角的余弦值为. 19. 已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． （1）求的大小； （2）已知的周长为，求边上的中线的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据三角函数值求角； （2）利用正弦定理和三角形的周长求出外接圆半径和，再利用余弦定理求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， ，，，， ，解得； 【小问2详解】 由（1）可得， 设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，， 则周长，解得，则，， 由余弦定理可得边上的中线的长度为：. 20. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中身高在及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高的75％分位数． （3）由于男生、女生身高差异，采用分层抽样的方法再抽取一个容量为100的样本，并观测样本的指标值 （单位：cm），已知该样本男、女生比例是16：9，计算得男生样本的均值为173，方差为17，女生样本的均值为164，方差为30．该样本的均值和方差各为多少？（结果保留整数） 【答案】（1）60 （2） （3）该样本的均值为，方差为 【解析】 【分析】（1）先算，然后即可求解； （2）由百分位数的定义计算即可； （3）由加权平均和方差公式直接计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得， 身高在及以上的学生人数（人）. 【小问2详解】 的人数占比为， 的人数占比为， 所以该校100名生学身高的75％分位数落在， 设该校100名生学身高的75％分位数为，则％，解得， 故该校100名生学身高的75％分位数为． 【小问3详解】 由题得：该样本的均值为 该样本的方差为 21. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和正弦公式消去同类项，约去后用二倍角公式化简，求出角； （2）先用余弦定理、三角形面积公式建立关系式，再由角平分线分割的两个小三角形面积和等于大三角形面积得到与的等式，联立求解后代入面积公式算出面积. 【小问1详解】 由正弦定理，， 即， 而， 结合两式可得，， 则， 又，则，故，即， 又，则，上式化简为，则，故. 【小问2详解】 ，由余弦定理得， 又因为，则，， 且，则，即， 与联立，得，化简得， 解得，或（舍去）， 所以. 22. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1） ∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面. （2） ∵平面，平面，∴， 连接，∵且，∴四边形为平行四边形， ∵，，∴平行四边形为正方形，∴， 又，∴， 又，面，∴面， ∵面，∴平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，，由线面垂直的判定定理可得面，进而即可证得结论； （3）由平面可得，作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵平面，平面，∴， 又，，平面，∴平面， 因为平面，∴ ∴为二面角的平面角，从而，所以， 作于，连接， ∵平面平面，平面，平面平面， ∴面，所以为直线与平面所成角， 在直角中，，，， ∴， 因为面，面，所以， 在直角中，，， ∴， 则直线与平面所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $