河北省雄安新区部分校2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数之1=1十3i,之2=2十i,则|z1+之2|= A.3 B.4 C.5 D.√5 2.下列几何体中，棱的条数最多的是 A.四棱锥 B.三棱柱 C.四棱台 D.四面体 3.在△ABC中，点D在边BC上，且2BD=CD,则BD= A号+号aG B号A+号AG C号店+号正 D.- 范+号d 4.某人投篮两次，下列事件与事件“至少投中一次”互为对立的是 A.至多投中一次 B.投中两次 C.只有一次投中 D.两次都没有投中 5.已知a,b均是非零向量，a十b1-1,a=1,0与b的夹角为，则b1- A.1 B.2 C.√2 D.√3 6.某古镇景区推出沉浸式“穿越体验”活动，共设有四个角色，分为两个类型，每个类型各两个角色， 类型 角色 侠客类 剑客、刀客 文人类 诗人、画师 每位游客从中随机选取两个角色进行体验，则所选两个角色恰好为两个类型的概率为 A号 R c号 n 7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA,=3,点E在棱BB1 D 上，BE=1,过点A,E,C1的平面与直线DD1交于点F,则DF= B A.1 B.2 c n 8.某一摇杆机械装置的简化示意图如图所示，其中A,B为定点，C,D是 动点，AD=1,CD=3,BC=3,AB=4,则cosC的取值范围为 a[-] B[-] c[-] n[-] 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知AB=(1,3),BC=(m,9),下列结论正确的是 A.若3AB=BC,则m=3 B.若3AB=|BC1,则m=3 C.若A,B,C三点共线，则m=3 D.若AB⊥AC,则m=一27 10.如图，圆柱的母线AD=4,底面圆直径AC=8,点B在底面圆的圆周 D 上，E是BD的中点，AB=4,下列结论正确的是 A.BC⊥AE B.CD⊥AE C.若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为4 D.该圆柱的外接球的表面积为80π 11.已知x1,x2,x3,x4,x5都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为7，下列结论正确 的是 A.这组数据最多有4个数据大于7 B.这组数据最多有4个数据小于7 C.若这组数据的标准差为2，则x子十x十x号十x+x号=265 D.若这组数据的标准差为2，则这组数据的极差为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某研究所为开展海洋生物多样性调查，利用深海探测器在不同深度层采集到生物样本共计 6000份，按采集深度分为三层： 分层 样本量/份 浅海层 3000 中海层 2000 深海层 1000 现采用分层随机抽样的方法从全部样本中抽取300份进行DNA序列分析，则抽取的样本 中浅海层的样本份数为，▲ 13在R△ABC中，AC=1,BC=3,C=受，P为AB上任意一点，则P克·P元的最小值是 ▲ 14.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AB=2,AA1=a,若a∈[1,3]，则 A,D与平面AB:C1所成角的范围为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知复数之满足xi27=1一i. (1)求z; (2)若复数(x十m)2(m∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，E,F分别为BC,PD的中点 (1)证明：EF平面PAB (2)设四棱锥P-ABCD的棱长均为2. (ⅰ)求直线EF与直线CD所成角的大小； (ii)求四棱锥P-ABCD的体积 17.(15分) 为进一步增强学生的消防安全、居家安全、饮食安全等安全意识，某校举办了以“知识守护校 园，安全伴我成长”为主题的知识竞赛.根据该校某年级①班、②班的竞赛成绩得到如下频率 分布直方图： 频率组距 +频率/组距 0.035 0.030 0.020 0.020 0.015 0.015 0.010 0.010 0.005 0.005 0 405060708090100分数 0 40506070·8090100分数 ①班 ②班 (1)分别估计该年级①班，②班竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表)； (2)根据竞赛成绩，将学生成绩分成A,B,C三个等级： 竞赛成绩 高于80分 60分到80分 低于60分 成缋等级 A B C 以频率估计概率，从该年级①班、②班各随机抽一人，求从①班抽的人的成绩等级高于从 ②班抽的人的成绩等级的概率 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 在△ABC中，D是BC上的点，且BD=2DC,AD平分∠BAC. (1)求sin<B sin∠c 3V3 (2)若AD=1,△ABC的面积为8，求BC. 19.(17分) 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点（整点即横纵坐标都是整数的 点)列有A(n):A1,A2,A3,…,Am与B(n):B1,B2,B3,…,Bm,其中n≥3，若同时满足①两 点列的起点和终点分别相同(A1=B1,Am=B.),②线段AA#1⊥B;B+1,其中i=1,2, 3,…,n一1，则称A(n)与B(n)互为正交点列. 通 (1)求A(3):A1(0,0),A2(2,3),A3(5,1)的正交点列B(3); (2)判断A(4):A1(0,0),A2(2,1),A3(4,0),A4(6,1)是否存在正交点列B(4),并说明 理由； (3)证明：存在无正交点列的有序整点列A(5). 【高二数学第4页（共4页）】高二数学参考答案 题序 1 2 7 8 10 11 12 13 14 答案 C B AC ABD BCD 150 9 6 「π 32 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分， 【2第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分： 【3】第12,13,14题，凡与答案不符的均不得分 1.C【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养， |z1+之21=|3+4i=5. 2.C【解析】本题考查基本立体图形，考查直观想象的核心素养。 四棱锥有8条棱，三棱柱有9条棱，四棱台有12条棱，四面体有6条棱. 3.A【解析】本题考查平面向量基本定理，考查数学运算的核心素养 B时=}BC=3B+}AC=-A+号AC 4.D【解析】本题考查事件的关系，考查逻辑推理的核心素养， 与事件“至少投中一次”互为对立的是“两次都没有投中”， 5.D【解析】本题考查平面向量的运算，考查数学运算的核心素养 1a+b1=a2+h2+2ab=1+6+261×(-) =1,解得b=√3(1b=0舍去). 6.C【解析】本题考查古典概型，考查数学运算的核心素养。 每位游客从中随机选取两个角色进行体验，样本空间中的样本点总数为6，所选两个角色恰 好为同个类型的样本点有4个，故所求概率为普一号 7.B【解析】本题考查立体几何中的截面问题，考查直观想象的核心素养， D 由题意可得C1F∥AE,C1E∥AF,四边形C1EAF是平行四边形，C1F=A, F AE,D F=BE=1,DF=2. 8.B【解析】本题考查解三角形，考查应用意识 0gic-9-D[-品】 Γ2×3×3 9.AC【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查数学运算的核心素养， 若3AB=BC,则m=3,A正确. 若31AB1=|BC1,则m=士3，B错误. 因为A,B,C三点共线，所以1×9一3m=0,解得m=3,C正确. AC-AB+BC=(m+1,12),因为AB⊥AC,所以AB·AC=m十1+3X12=0,解得m= 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 一37，D错误 10.ABD【解析】本题考查立体几何中的外接球、内切球问题，考查直观想象与逻辑推理的核心 素养 因为DA⊥平面ABC,所以DA⊥BC.因为AC为圆柱底面圆的直径，所以AB⊥BC.又因 为DA∩AB=A,所以BC⊥平面ABD.因为AEC平面ABD,所以BC⊥AE,A正确. 因为AB=AD,且E是BD的中点，所以AE⊥BD.因为BC∩BD=B,AE⊥平面BCD.因 为CDC平面BCD,所以AE⊥CD,B正确. 若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为2，C错误， 该圆柱的外接球的半径为√④8=25，表面积为4xX(2√5)°=80x,D正确. 2 11.BCD【解析】本题考查用样本估计总体，考查逻辑推理与数学运算的核心素养. x1+x2十x3+x4十x5=35,8+9+10=27,8+9+10十11=38>35，所以这组数据最多有 3个数据大于7，A错误 若5个数据都小于7，则平均数不为7，而0,1,2,3,29的平均数为7，所以这组数据最多有 4个数据小于7，B正确 平均数工=7，设方差为2，则2=号(x十x十z计z十z)-2=4,解得十x十x十 x十x号=265，C正确 ,=号[x,-7)2+(2-7)2+(红，-72+(x4-72十（红。-7）门=4，要使得5个平方数之 和为20，且满足题意，这5个平方数只能为9,1,0,1,9，即这组数据为4,6,7,8,10，故这组数 据的极差为10一4=6，D正确. 12.150【解析】本题考查分层随机抽样，考查逻辑推理的核心素养 辅取的样本中浅海层的样本份数为30×9080-150， 18.号 【解析】本题考查平面向量的数量积，考查直观想象与数学运算的核心素养， 设BC的中点为O,连接PO(图略)，则PB.PC=(Pò+OB)·(PO+O心)=|Pò12- o=Pd-是因为rò=n-所以Pi.n心是-=是 16 14.[号，受]【解析】本题考查线面角，考查直观想象与数学运算的核心素养。 取B1C1的中点E,连接AD,DE,A1E,AE,设A1D∩AE=O.易得四 边形AA1ED为矩形.因为平面AA1ED⊥平面AB1C1,平面AA1ED∩ 平面AB1C1=AE,所以A1D与平面AB1C1所成的角即直线A1D与 AE所成的角.在矩形AAED中，AD=√3.因为a∈[1,3]，所以 mAAD=∈[停]，所以∠AAD∈[吾]，∠A0A,∈ 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 [子，]，所以直线A,D与AE所成角的范周为[行，]，即AD与平面AB,C所成角的 范围为[子]： 15.【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养， 解：(1)x=-1-i1-D ;2027 =1十i,…4分 之=1-i. 6分 (2)(x+m)2=(1+i十m)2=(1+m)2-1+2(1+m)i=m2+2m十2(1+m)i.…9分 因为复数(x十m)2在复平面内对应的点位于第二象限， m2+2m<0, 所以 …11分 1+m>0, 解得一1<m<0.故m的取值范围为(-1,0. a..... 13分 16.【解析】本题考查立体几何，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养 方法一：(1)证明：取PC的中点G,连接EG,FG(图略)， 在△PBC中，EG为中位线，所以EG/PB. 因为EG中平面PAB,PBC平面PAB,所以EG/平面PAB.…2分 在△PCD中，FG为中位线，所以FGCD. 在正方形ABCD中，AB∥CD,所以FG∥AB. 因为FG中平面PAB,ABC平面PAB,所以FG/平面PAB.…4分 因为EGC平面EFG,FGC平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG/平面PAB. 因为EFC平面EFG,所以EF平面PAB. ………6分 (2)解：（ⅰ）因为FGCD,所以∠EFG(或其补角)为直线EF与直线CD所成的角. …7分 连接BD,AC,记AC∩BD=O,连接PO,过点F作FH⊥BD,垂足为H,过点H作HI⊥ BC,垂足为I(图略).… …8分 因为四棱锥P-ABCD的棱长均为2，所以EG=FG=1, P0=vc-0C=E,EI=专EC=,HI=cD-多，FH=号P0- 2,EF= WEI2十HI2十FH2=√.…11分 又coS∠EFG= EF2+FG2-EG23 2EF·FG ,∠EPG=吾， 所以直线EF与直线CD所成角的大小为. 13分 (i)四棱锥P-ABCD的体积为号×2×v2- 3 15分 方法二：(1)证明：取PA的中点M,连接MB,MF. 在△PAD中，MF为中位线，所以MF/AD,MF=2AD, …1分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 在正方形ABCD中，AD/BC,AD=BC, 所以MF/BC,MF三BC=BE,…3分 所以四边形MFEB为平行四边形，所以BMEF.…5分 因为EF庄平面PAB,BMC平面PAB,所以EF∥平面 PAB.…6分 (2)解：（ⅰ）在正方形ABCD中，AB/CD,结合(1)可得，∠MBA为直线EF与直线CD所 成的角.……8分 由△PAB为等边三角形，易得∠MBA=石，… 10分 所以直线EF与直线CD所成角的大小为. 11分 (i)连接BD,AC,记AC∩BD=O,连接PO,则PO为四棱锥P-ABCD的高，·12分 且PO=√PC2-OC2=√2，…13分 故四棱能P-ABCD的体积为了×2X2- 3 15分 17.【解析】本题考查统计与概率，考查数据分析、逻辑推理及数学运算的核心素养， 解：(1)①班竞赛成绩的平均分为45×0.15+55×0.20+65×0.30+75×0.20+85×0.10 十95X0.05=65.5.…3分 ②班竞赛成绩的平均分为45×0.05+55×0.10+65×0.15+75×0.35+85×0.20+95× 0.15=75. 6分 (2)从①班抽的人的成绩等级为A,B,C的概率分别为0.15,0.5,0.35.…7分 从②班抽的人的成绩等级为A,B,C的概率分别为0.35,0.5,0.15.…8分 从①班抽的人的成绩等级高于从②班抽的人的成绩等级的情况分两种： 从①班抽的人的成绩等级为B,从②班抽的人的成绩等级为C, 其概率为0.5X0.15=0.075;…11分 从①班抽的人的成绩等级为A,从②班抽的人的成绩等级为B或C, 其概率为0.15X(0.5十0.15)=0.0975.…14分 故所求概率为0.075十0.0975=0.1725.…15分 18.【解析】本题考查解三角形，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， 解：(1)因为Bd=2DC,所以SAABD=2 SAADC.… 2分 因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,即sin∠BAD=sin∠CAD.…·3分 因为S△ABm=2AB·ADsin,∠BAD,SAAx=2AC·ADsin∠CAD,4分 所以2AB·ADsin∠BAD=2X2AC·ADsin∠CAD,即AB=2AC.…5分 由正弦定理可得m<BAC1 sin∠CAB2 …7分 (2)在△ABD和△ADC中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 =AD2十DC2-2AD·DCcos,∠ADC.…9分 因为AB=2AC,BD=2DC,coS∠ADC=-cOS∠ADB, 所以4AC2=1+4CD2+4 CDcos∠ADC,① AC2=1+CD2-2 CDcos∠ADC,② 10分 ①-4X②得0=-3+12 CPcos∠ADC,即CDcos∠ADC=.③…12分 Sm吉sc-号AD.CDn/A0-日×3-是即CD/ADC- 3 .④ …14分 ④÷③得tan∠ADC=√3，… 15分 所U1Dc-号∠ADB=号cD-Ac方BD=1.BC- 2 .…17分 19.【解析】本题考查平面向量的新定义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， (1)解：设点列A1(0,0),A2(2,3),A3(5,1)的正交点列是B1,B2,B3 由正交点列的定义可知B1(0,0),B3(5,1).…1分 设B2(x,y),A1A2=(2,3),A2A3=(3,-2),B1B2=(xy),B2B3=(5-x,1-y).… …………2分 由正交点列的定义可知A1A2·B1B2=0,A2A?·B2B?=0, (2x十3y=0, x=3, 35-x)-21-y)=0,解得 即 ……3分 y=-2, 所以点列A(3):A1(0,0),A2(2,3),A3(5,1)的正交点列是B(3):B1(0,0),B2(3,一2)， B3(5,1).…4分 (2)解：由题可得A1A2=(2,1),A2A-(2,-1),A3A4=(2,1), A1A4=A1A2十A2A3十A3A4=(6,1).…5分 假设B(4):B1,B2,B3,B4是A(4):A1,A2,A3,A4的正交点列. 因为AA+1⊥B:B+1,所以可设B1B2=λ1(-1,2)，B2B3=λ2(1,2)，B3B4=λ3（-1,2)， 入1，λ2，入3∈Z,…6分 则B1B4=B1B2十B2B2十B3B4=(-X1十λ2-入3,2λ1十2以2十2以3）.…7分 因为A1与B1相同，A4与B,相同，所以A1A4=B1B4, 所 厂1+入2-X3=6,-1+22-13=6, 2+2:+2以：=1，即21++-合 即 因为B1,B2,B3,B4是整点列，所以入：∈Z,i=1,2,3,所以方程组不成立， 所以A(4):A1(0,0),A2(2,1),A3(4,0),A4(6,1)不存在正交点列B(4).…9分 (3)证明：假设B(5):B1,B2,B3,B4,B5是A(5):A1,A2,A3,A4,A的正交点列 设AA+1=(a,b),i=1,2,3,4,0则B:B+1=入：(-b,a),…10分 AA:=AA:+A:A+A:A.+A.A=(2a2), 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 B.B:-B.B:+B:B.+B.B.+B.B.-(>(-Ab:),(a:)). …11分 因为A1与B1相同，A;与B,相同，所以A1A=B1B, 含a,=(-Ab, 则 …12分 2b:=2aa). 1,i为奇数，i=2,3,4, 取A10,0),a1=3,61=2,a=3,6=-1,i为偶数， 则含a,=12,26,=1. …14分 1 因为B(5):B1,B2,B3,B4,B5是有序整点列，所以入，∈Z,i=1,2,3,4,…15分 所以入a:是3的倍数，则2a)是3的倍数，等式2b,=2Q:a:)不成立，…16分 所以存在无正交点列的有序整点列A(5).…17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】