河北省雄安新区部分校2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，，则（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 2. 下列几何体中，棱的条数最多的是（ ）． A. 四棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱台 D. 四面体 3. 在中，点D在边BC上，且，则（ ）． A. B. C. D. 4. 某人投篮两次，下列事件与事件“至少投中一次”互为对立的是（ ）． A. 至多投中一次 B. 投中两次 C. 只有一次投中 D. 两次都没有投中 5. 已知，均是非零向量，，，与的夹角为，则（ ）． A. B. C. D. 6. 某古镇景区推出沉浸式“穿越体验”活动，共设有四个角色，分为两个类型，每个类型各两个角色． 类型 角色 侠客类 剑客、刀客 文人类 诗人、画师 每位游客从中随机选取两个角色进行体验，则所选两个角色恰好为两个类型的概率为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在正四棱柱中，，，点E在棱上，，过点的平面与直线交于点F，则（ ）． A. 1 B. 2 C. D. 8. 某一摇杆机械装置的简化示意图如图所示，其中为定点，是动点，，，，，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，下列结论正确的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若A，B，C三点共线，则 D. 若，则 10. 如图，圆柱的母线，底面圆直径，点B在底面圆的圆周上，E是BD的中点，，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 若该圆柱内有一个球体，则该球体半径的最大值为4 D. 该圆柱的外接球的表面积为 11. 已知，，，，都是互不相同的自然数，且这组数据的平均数为7，下列结论正确的是（ ）． A. 这组数据最多有4个数据大于7 B. 这组数据最多有4个数据小于7 C. 若这组数据的标准差为2，则 D. 若这组数据的标准差为2，则这组数据的极差为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某研究所为开展海洋生物多样性调查，利用深海探测器在不同深度层采集到生物样本共计6000份，按采集深度分为三层： 分层 样本量/份 浅海层 3000 中海层 2000 深海层 1000 现采用分层随机抽样的方法从全部样本中抽取300份进行DNA序列分析，则抽取的样本中浅海层的样本份数为__________． 13. 在中，，，，P为AB上任意一点，则的最小值是__________． 14. 如图，在正三棱柱中，D是BC的中点，，，若，则与平面所成角的范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数z满足． （1）求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，分别为，的中点． （1）证明：平面． （2）设四棱锥的棱长均为2． （ⅰ）求直线与直线所成角的大小； （ⅱ）求四棱锥的体积． 17. 为进一步增强学生的消防安全、居家安全、饮食安全等安全意识，某校举办了以“知识守护校园，安全伴我成长”为主题的知识竞赛．根据该校某年级①班、②班的竞赛成绩得到如下频率分布直方图： （1）分别估计该年级①班、②班竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）根据竞赛成绩，将学生成绩分成A，B，C三个等级： 竞赛成绩 高于80分 60分到80分 低于60分 成绩等级 A B C 以频率估计概率，从该年级①班、②班各随机抽一人，求从①班抽的人的成绩等级高于从②班抽的人的成绩等级的概率． 18. 在中，D是BC上的点，且，AD平分． （1）求； （2）若，的面积为，求BC． 19. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点（整点即横纵坐标都是整数的点）列：，，，…，与：，，，…，，其中，若同时满足①两点列的起点和终点分别相同（，），②线段，其中，2，3，…，，则称与互为正交点列． （1）求：，，的正交点列； （2）判断：，，，是否存在正交点列，并说明理由； （3）证明：存在无正交点列的有序整点列． 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】150 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）． 【16题答案】 【答案】（1）方法一：如图1所示，取的中点，连接，. 在中，为中位线，所以. 因为平面，平面，所以平面． 在中，为中位线，所以． 在正方形中，，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面，， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 方法二：如图2所示，取的中点，连接，． 在中，为中位线，所以，． 在正方形中，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【17题答案】 【答案】（1）65.5；75 （2）0.1725 【18题答案】 【答案】（1） （2）． 【19题答案】 【答案】（1）：，，． （2）解：由题可得，，， ． 假设：，，，是：，，，的正交点列． 因为， 所以可设，，，， 则． 因为与相同，与相同，所以， 所以，即． 因为，，，是整点列，所以，，2，3，所以方程组不成立， 所以：，，，不存在正交点列． （3）证明：假设：，，，，是：，，，，的正交点列． 设，，2，3，4，则， ， ． 因为与相同，与相同，所以， 则． 取，，，， 为奇数时，，为偶数时，，，3，4， 则，． 因为：，，，，是有序整点列，所以，，2，3，4， 所以是3的倍数，则是3的倍数，等式不成立， 所以存在无正交点列的有序整点列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $