2.2.1有理数的乘法分层作业 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 该练习通过基础巩固、能力提优、压轴拓展三层设计，实现从有理数乘法基础运算到综合应用的递进，培养抽象能力、运算能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固篇|有理数乘法法则、倒数、符号规律|选择/填空聚焦基础运算与概念辨析，解答题结合简单实际情境（如温度变化）| |能力提优篇|符号规律拓展、运算律应用、绝对值综合|含多负因数符号判断、简便计算（如乘法分配律），解答题引入相反数与倒数综合应用| |压轴拓展篇|多变量符号分析、定义新运算|综合题涉及abcd符号关系推理，定义数列探究符号规律，培养创新意识|

2.2.1 有理数的乘法·分层作业 人教版七年级上册 基础巩固篇 （一）选择题 1. 计算 的结果是（　　） A. B. C. D. 2. 的倒数是（　　） A. B. C. D. 3. 对任意有理数 ，下列等式恒成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 计算 的结果是（　　） A. B. C. D. 5. 若 ，，则下列乘积一定为负数的是（　　） A. B. C. D. 6. 若 ，则 的值为（　　） A. B. C. D. 7. 某冷库温度平均每小时下降 2 ℃，规定“上升”为正、“下降”为负。连续5小时的温度变化量为（　　） A. +10 ℃ B. +7 ℃ C. -10 ℃ D. -7 ℃ 8. 下列说法正确的是（　　） A. 两个非零有理数的乘积为正，则这两个数同号 B. 两个有理数的乘积为0，则这两个数都为0 C. 两个负数相乘，结果仍为负数 D. 任意有理数与 相乘，结果仍等于原数 （二）填空题 1. 计算： = ________。 1. 计算： = ________。 1. 计算： = ________。 1. 若 m×（－2.5）＝1，则 m＝________。 1. 若 ，且 ，则 = ________。 1. 计算： = ________。 1. 的结果是 ________。 1. 某商品每售出1件亏损2.5元，规定盈利为正、亏损为负。售出12件后，利润的总变化为 ________ 元。 （三）解答题 1. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）。 1. 用简便方法计算： （1）； （2） 。 1. 小明计算 时写出如下过程： 请指出错误所在，并写出正确的计算过程。 1. 潜水器位于海平面下方，规定向上为正、向下为负。潜水器以每分钟下降1.5 m的速度连续下降8 min。 （1）用有理数表示潜水器每分钟的位置变化量； （2）用乘法计算8 min内位置的总变化量； （3）若开始时潜水器位于海平面下3 m处，8 min后它位于海平面下多少米？ 能力提优篇 （一）选择题 21. 7个非零有理数相乘，其中有5个负数，则乘积的符号是（　　） A. 正 B. 负 C. 0 D. 无法确定 22. 已知 ，，则 与 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 无法确定 23. 一个非零有理数的“负倒数”为它的倒数的相反数。若一个数的负倒数是 ，则这个数是（　　） A. B. C. D. 24. 若 ，，且 均不为0，则（　　） A. B. C. 同号 D. 无法判断 25. 计算（－12.5）×8.08，下列变形最便于简便计算的是（　　） A. （－12.5）×（8＋0.08） B. （－12.5）×8＋0.08 C. （－12.5）×（8－0.08） D. （－12.5）×8×0.08 26. 已知 为有理数，且 ，，则 的值为（　　） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 不能确定 27. 已知 a＜－1，则 a 与它的倒数的大小关系是（　　） A. a＞它的倒数 B. a＝它的倒数 C. a＜它的倒数 D. 无法确定 28. 如图，数轴上点 A、B、C 分别表示 、、。下列各式中，计算结果最大的是（　　） A. B. C. D. （二）填空题 1. 从 中任取两个不同的数相乘，所得乘积的最大值是 ________。 1. 计算： = ________。 1. 已知 ，，则 的倒数是 ________。 1. 计算： = ________。 1. 若 ，，则 的取值范围是 ________。 1. 若 |a|＝2，|b|＝3，则 |ab|＝________。 1. 某商场地下一层记作B1，地下三层记作B3。若相邻两层的竖直距离均为3.2 m，规定向上为正、向下为负，则从地面到B3的竖直位移为 ________ m。 1. 若 互为倒数，则 = ________。 （三）解答题 1. 运用乘法运算律计算： （1）； （2）。 1. 某文具店一天售出两类促销商品：第一类售出30件，每件利润为 元；第二类售出20件，每件利润为 元。规定盈利为正、亏损为负。 （1）分别求两类商品带来的利润变化； （2）求这两类商品合计带来的利润变化，并说明结果的实际意义。 1. 已知 互为相反数， 互为倒数，且 。 （1）求 与 ； （2）求 的所有可能值； （3）若再给出 ，求该式的值。 判断下列说法是否正确，并说明理由；错误的请举出反例。 （1）若 ab＞0，则 a，b 一定同号； （2）若 a＜0，b＜0，则 ab＞0 且 a＋b＜0； （3）四个非零有理数的乘积为负数时，四个因数中一定只有1个负数。 压轴拓展篇 综合压轴大题 41.已知 a，b，c，d 均为非零有理数，且 abcd＞0，同时 |a|＝2，|b|＝3，|c|＝，|d|＝4。 （1）四个因数中负数的个数可能有哪些？若再给出 a＜0，b＞0，判断 c，d 的符号关系，并说明理由。 （2）在（1）的附加条件 a＜0，b＞0 下，再给出 a＋b＞0，c＋d＜0，确定 a，b，c，d 的值，并求 abcd。 （3）若把条件 abcd＞0 改为 abcd＜0，其余绝对值条件不变，四个因数中负数的个数可能有哪些？说明理由。 42定义一列有理数：a₁＝－2，从第二项开始，每一项都等于前一项乘以 ，即 。 （1）求 a₂，a₃，a₄，并归纳 aₙ 的正负与 n 的奇偶性之间的关系。 （2）求 a₁a₂a₃a₄；若 bₙ 是 aₙ 的倒数，求 aₙbₙ，并说明该结果是否随 n 改变。 （3）若把递推式中的乘数改为一个非零有理数 k，仍保持 a₁＝－2：要使各项正负交替，k 应满足什么条件？要使所有项始终为负数，k 又应满足什么条件？ 参考答案与详细解析 一、基础巩固篇 选择题 1. A。异号两数相乘得负，绝对值相乘：，所以 。 1. C。一个非零数与它的倒数的乘积为1。，所以倒数为 。 1. C。 对任意有理数都成立。A、B显然不恒成立；D在 时不成立，而且 。 1. A。异号相乘得负，，故结果为 。 1. A。因为 ，所以 。B中 ；C中 ，故 ；D中 ，故 。因此只有A为负数。 1. B。由 ，可知 与 异号，且 ，所以 。 1. C。每小时下降记作 ，5小时总变化为 ，即下降 10 ℃。 1. A。两个非零有理数相乘为正，说明两数同号。B错，如 ；C错，负负得正；D错，乘 得到原数的相反数。 填空题 1. 35。同号得正，。 1. 2。两个负数相乘得正，。 1. 。异号得负，。 1. －0.4。由 m×（－2.5）＝1，得 m＝1÷（－2.5）＝－0.4。 1. 12。由 且 ，得 ，所以 。 1. 。先算 ，再算 。 1. 0。若若干个因数中有一个因数为0，则乘积为0。 1. 。每件亏损2.5元记为 元，12件共 元。 解答题 （1）； （2）； （3）； （4）。 （1）。 （2）提取公因数 ： 1. 错误在于没有正确判断乘积的符号。两个负数相乘，积为正数。正确过程为： （1）每分钟下降1.5 m，记作 m。 （2）8 min内总变化量： m，即向下移动12 m。 （3）开始位置为 m，8 min后位置为 m，所以位于海平面下15 m处。 二、能力提优篇 选择题 1. B。5个负因数的个数是奇数，非零因数的乘积符号为负。 1. C。，乘以 后，绝对值变小但仍为负，因此所得数更接近0，即 ，所以 。 1. C。设这个数为 ，其负倒数为 ，所以 。 1. B。 说明 异号； 说明 同号，所以 异号，故 。 1. A。因为 8.08＝8＋0.08，所以（－12.5）×8.08＝（－12.5）×（8＋0.08），可用乘法分配律计算：（－12.5）×8＋（－12.5）×0.08＝－100－1＝－101。 1. C。乘积中含有因数0，所以 。 1. C。由 a＜－1，知 a 为负数且 |a|＞1，它的倒数仍为负数且绝对值小于1，更接近0，因此 a 小于它的倒数。 1. C。由图可知 A、B、C 分别表示 、、。四个选项的计算结果分别为：A．；B．；C．；D．。因为 ，所以最大的是 C。 填空题 1. 2。枚举不同两数的乘积：，，，，，。最大值为2。 1. 1。，，因此 1. 。先算 ，所以 的倒数是 。 1. 。利用分配律： 1. 。 为负， 为正。绝对值最大时 ，得最小值 ；绝对值最小时 ，得最大值 。 1. 6。由 |ab|＝|a|·|b|，得 |ab|＝2×3＝6。 1. 。从地面到B3是向下3层，每层3.2 m，位移为 m。 1. 。 互为倒数，所以 ，故 解答题 （1）提取公因数 ： （2） （1）第一类：（元）；第二类：（元）。 （2）合计：（元）。结果为负，说明这两类促销商品合计使当天利润减少1元。 （1） 互为相反数，所以 ； 互为倒数，所以 。 （2）原式 因为 ，所以 或 ，原式的可能值为 3或。 （3）若 ，则 ，所以原式为 。 （1）正确。因为 ab＞0，所以 a，b 均不为0；两个非零有理数的乘积为正，当且仅当两数同号，因此 a，b 一定同号。 （2）正确。a＜0，b＜0 时，两负数相乘得正，所以 ab＞0；两个负数相加仍为负，所以 a＋b＜0。 （3）错误。四个非零有理数的乘积为负数，说明负因数的个数为奇数，因此可能有1个负数，也可能有3个负数。例如（－1）×（－2）×（－3）×4＝－24，此时有3个负数。 三、压轴拓展篇 41. （1）因为 a，b，c，d 均非零且 abcd＞0，所以负因数的个数必须为偶数，因此可能为 0个、2个或4个。又因为 a＜0，b＞0，所以 ab＜0。要使 abcd＞0，必须有 cd＜0，因此 c，d 异号。 （2）由 |a|＝2 且 a＜0，得 a＝－2；由 |b|＝3 且 b＞0，得 b＝3，且 a＋b＝1＞0。又因为 c，d 异号，|c|＝，|d|＝4，而 c＋d＜0，所以绝对值较大的 d 必须为负，即 d＝－4，c＝。因此 。 （3）若 abcd＜0，则负因数的个数必须为奇数。四个非零因数中，负因数个数可能为 1个或3个。 42. （1），，。符号依次为负、正、负、正……，所以当 n 为奇数时 aₙ＜0；当 n 为偶数时 aₙ＞0。 （2）。因为 bₙ 是 aₙ 的倒数，且本数列各项均非零，所以对任意正整数 n，都有 aₙbₙ＝1。该结果不随 n 改变。 （3）若要各项正负交替，每乘一次都必须改变符号，因此 k＜0；若要从 a₁＝－2 开始所有项始终为负数，每乘一次都不能改变符号，因此 k＞0。题设限定 k 为非零有理数，所以两种条件分别为 k＜0 和 k＞0。 学科网（北京）股份有限公司 $