2.2.1 有理数的乘法 第1课时 有理数的乘法法则 同步作业 2026-2027学年 人教版数学七年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦有理数乘法法则，通过基础巩固、综合应用到拓展探究的分层设计，培养运算能力、推理意识与应用意识，实现从概念理解到问题解决的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|符号法则、倒数定义、0的运算性质|选择1-3题直接考查单一概念，填空6题强化0的乘法特性，夯实基础| |提升层|倒数与相反数/绝对值综合、带分数混合运算|填空8-9题辨析概念联系，计算13题融合小数与带分数运算，提升运算准确性| |拓展层|实际应用、新定义规律、分类讨论|解答15题结合行程问题，16题通过分类讨论探究积与和关系，发展推理与创新意识|

2.2.1有理数的乘法 第1课时 有理数的乘法法则 同步作业 （总分：100分 时间：45分钟） 一、选择题（共 5 小题，每题 4 分，共 20 分） 1．【考点：有理数乘法的符号法则（同号得正）】计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2．【考点：有理数乘法的符号判断】若的计算结果为正数，则表示的数可以是（ ） A． B． C． D． 3．【考点：倒数的定义】有理数的倒数是（ ） A． B． C． D． 4．【考点：倒数的运算】若，则表示的数是（ ） A． B． C． D． 5．【考点：有理数乘法的符号推理】已知有理数，则下列判断一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题（共 6 小题，每题 4 分，共 24 分） 6．【考点：有理数乘法中 0 的运算性质】 将下表中输入的数分别乘，请写出对应的输出数： 输入 输出 7．【考点：有理数乘法的实际应用】某池塘的水位平均每天上升（上升记为正），经过天后水位总变化量可用算式表示为 ，计算结果为 ，可知水位 了 。 8．【考点：倒数与相反数、绝对值的概念辨析】一个有理数，它的绝对值等于它的相反数，且它的倒数等于它本身，则这个数是 。 9．【考点：倒数、相反数与绝对值的综合计算】填空：的倒数是 ；的倒数是 ；的倒数的相反数是 。 10．【考点：新定义（差倒数）与规律探究】对于有理数，我们把称为的差倒数。例如：的差倒数是，的差倒数是。 已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数……依此类推，则，。 11．【考点：相反数与倒数的代数性质】若，互为相反数，，互为倒数，则式子的值为 。 三、计算题（共 2 小题，共 26 分） 12．【考点：有理数乘法的基础运算】（本题 16 分，每小题 4 分）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）。 13．【考点：带分数与小数混合的有理数乘法】（本题 10 分，每小题 5 分）计算下列各题： （1）； （2）。 四、解答题（共 3 小题，共 30 分） 14．【考点：相反数、倒数、绝对值的综合求值】（本题 8 分）已知，互为相反数，，互为倒数，，求式子的值。 15．【考点：有理数乘法的实际应用（行程问题）】（本题 12 分）一辆快递车在一条南北走向的园区道路上行驶，连续派送 8 次包裹，其中 3 次向北行驶，5 次向南行驶。向北平均每次行驶，向南平均每次行驶。规定向北为正方向。 （1）该快递车连续派送 8 次后，停在出发点的哪个方向？距离出发点多远？ （2）该快递车一共行驶了多少千米？ 16．【考点：有理数乘法的分类讨论与拓展探究】（本题 10 分）【阅读】我们学习了有理数的乘法法则，在探究两数的积与和的关系时，常常需要用到分类讨论的数学思想。 【探究】 （1）若，且，均为整数，则的值可能是 （填序号）。 ①正数；②负数；③。 （2）若，且，为整数，则的最大值为 。 【拓展】 （3）数轴上，两点分别对应有理数，，若，试比较与的大小关系。 参考答案与解析 一、选择题 1．答案：B 解析：根据有理数乘法法则 “两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”，与同号，结果为正，绝对值相乘，因此结果为。 核心知识点：有理数同号相乘的运算法则。 2．答案：C 解析：根据乘法符号法则 “负负得正”，要使的结果为正数，则必须是负数。选项中只有是负数；0 与任何数相乘都得 0，不是正数。 易错点：忽略 0 乘任何数都为 0 的性质，误选 B。 核心知识点：有理数乘法的符号判断。 3．答案：A 解析：乘积为 1 的两个数互为倒数。，因此的倒数是，正数的倒数仍为正数。 核心知识点：倒数的定义。 4．答案：D 解析：根据倒数的定义，乘积为 1 的两个数互为倒数，因此是的倒数，即。验证：。 易错点：忘记符号，误选 C。 核心知识点：倒数的计算。 5．答案：C 解析：选项 A：若，说明、同号，但、可能一正一负（如），此时，故 A 错误； 选项 B：若，说明、同号，则、也同号，，故 B 错误； 选项 C：若，说明、异号，结合，可得，因此负、正，，故 C 正确； 选项 D：若，说明、异号，但、可能同负（如），此时，故 D 错误。 核心知识点：有理数乘法符号与数的正负性推理。 二、填空题 6．答案：；；（从上到下） 解析：根据乘法法则分别计算： ； ； （0 乘任何数都得 0）。 核心知识点：有理数乘法中 0 的运算性质。 7．答案：；；上升； 解析：总变化量 = 每天变化量 × 天数，上升记为正，因此算式为，计算得，结果为正，说明水位上升了。 核心知识点：有理数乘法的实际意义。 8．答案： 解析：绝对值等于它的相反数的数是非正数（0 和负数）；倒数等于它本身的数是。两者的交集是，因此这个数是。 易错点：忽略 0 没有倒数，错填 0。 核心知识点：倒数、相反数、绝对值的概念辨析。 9．答案：；； 解析：，其倒数为；，其倒数为；的倒数是，它的相反数是。 核心知识点：倒数、相反数、绝对值的混合运算。 10．答案：； 解析：根据差倒数的定义依次计算： 由此可知，数列以为周期循环，周期长度为 3。 因为，余数为 1，所以。 核心知识点：新定义运算与周期规律探究。 11．答案： 解析：互为相反数的两个数和为 0，因此；互为倒数的两个数乘积为 1，因此。代入式子得：。 核心知识点：相反数与倒数的代数性质。 三、计算题 12．答案：（1）；（2）；（3）；（4） 解析：（1）同号相乘得正，绝对值相乘：； （2）异号相乘得负，绝对值相乘：； （3）先算绝对值：，再算乘法：； （4）小数化分数计算：，则。 易错点：计算时遗漏符号，或分数约分错误。 核心知识点：有理数乘法的基础运算，涵盖整数、小数、分数与绝对值。 13．答案：（1）；（2） 解析：（1）先将小数、带分数化为分数：，； 同号相乘得正：； （2）带分数化为假分数：，； 异号相乘得负：。 核心知识点：带分数、小数混合的有理数乘法运算。 四、解答题 14．答案： 解析：根据相反数、倒数的定义： 互为相反数的两数和为 0，因此； 互为倒数的两数乘积为 1，因此。 先计算的值：，因此。 将各值代入式子计算： 核心知识点：相反数、倒数、绝对值的综合代数求值。 15．答案：（1）停在出发点的正南方向，距离出发点； （2）一共行驶了。 解析：规定向北为正方向，则向南为负方向。 （1）向北行驶的总路程：（记为）； 向南行驶的总路程：； 最终位置：。 结果为负，说明停在出发点的正南方向，距离出发点。 （2）总路程为每次行驶路程的绝对值之和：。 易错点：混淆 “位置（位移）”（带符号）和 “路程”（绝对值之和）的区别。 核心知识点：有理数乘法的实际应用，正负数的实际意义。 16．答案：（1）①②；（2）； （3）若正数的绝对值大于负数的绝对值，则；若正数的绝对值等于负数的绝对值，则；若正数的绝对值小于负数的绝对值，则。 解析：（1）由可知、同号： 若、均为正整数，如，则，是正数； 若、均为负整数，如，则，是负数； 同号两数相加不可能为 0。 因此选①②。 （2）两数和固定时，两数越接近，乘积越大。当时，乘积最大，。 （3）由可知、异号，和的符号由绝对值较大的数决定： 正数绝对值更大时，和为正；两数绝对值相等时，和为 0；负数绝对值更大时，和为负。 核心知识点：有理数乘法的分类讨论思想，积与和的关系。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $