2.2.1 有理数的乘法（分层作业·练题型）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 本练习围绕“有理数的乘法”，通过A、B、C三层设计，构建从基础巩固到思维拔高的梯度路径，覆盖9大基础题型，融合运算能力、几何直观与模型意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|符号判断、数轴应用、基本运算等基础考点|以选择、填空为主，如题型01-05，强化概念理解与运算准确性| |B组|实际应用、运算律综合|结合生活情境（销售、行程问题），如题型05，培养模型意识与推理能力| |C组|新定义运算、多知识点融合|通过自定义运算（如“*运算”“⊕运算”），发展创新思维与问题解决能力|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.2.1有理数的乘法 目录 A组巩固过关 基础常考9大题型 题型01利用有理数的乘法判断符合求代数式 题型06求一个数的倒数 题型02有理数的乘法在数轴上的应用 题型07相反数、倒数、绝对值的综合 题型03多个有理数的乘法运算判断符号 题型08有理数的乘法运算律 题型04有理数乘法运算 题型09有理数的乘法中新定义类 题型05有理数乘法的实际应用 B组能力进阶 C组思维拔高 A组 巩固过关 题型01 利用有理数的乘法判断符合求代数式 (25-26七年级上山东德州期末)若a=2,b=5,且ab<0,则a+b=() A.-3 B.3 C.-3或3 D.-3或-7 2.(25-26七年级下·黑龙江大庆期末)若a=3,b=2,且ab>0,则a+b的值为() A.5或-5 B.1或-1 c.-5或-1 D.-5或1 3.(25-26七年级下.河南南阳期末)若x=3,y=4,且xy<0,则x-y= 4.(25-26七年级上江苏扬州期末)已知a=5,b=2,且ab<0,a+b>0,则a-b= 5.(25-26七年级上.安徽安庆期末)若2x=6,-y=2,且y>0,则x+y的值等于 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02 有理数的乘法在数轴上的应用 6.(2026内蒙古通辽模拟预测)有理数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是() 40 A.a>b B.a+b<0 C.ab>0 D.a-b<0 7.(2026湖北随州一模)数轴上表示数α，b的点如图所示，A,B,C,D四点在此数轴上，若ab<0, 则数轴的原点可能是() A B a c bb→ A.点A B.点B C.点C D.点D 8.实数α、b在数轴上的位置如下图所示，则下列不等关系正确的是() 20”2 A.a<b B.a+b>0 C.a-b>0 D.ab<0 9.(25-26七年级上河南周口·期末)有理数α，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中：① a+b<0:②a-b>0:③ab<0;④a<b,正确的是() (图示：a<0<b,且a到原点的距离大于b到原点的距离) A ⊙ a 0b A.①② B.①④ C.②③ D.①③ 10.（25-26七年级上福建泉州期末)有理数a,b,c,d在数轴上的对应点位置如图所示.在下列选项 中，正确的是() a bed→ A.如果ad<0,则一定会有bc<0 B.如果ab>0,则一定会有cd>0 C.如果bc<0,则一定会有ad<0 D.如果ac<0,则一定会有bd<0 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03 多个有理数的乘法运算判断符号 11.(25-26七年级上江苏南京期中)若a>c,ac<0,abc>0,则下列结论正确的是() A.a>0,b<0,c<0 B.a>0,b>0,c<0 C.a<0,b<0,c>0 D.a<0,b>0,c>0 12.(25-26七年级上河北邢台期中)已知a,b,c,d都是有理数，且abCd<0.若a与b同号，则c与 d() A.一定都是正数 B.一定都是负数 C.一定异号 D.一定同号 13.(24-25七年级上新疆喀什期中)己知a,b,c为非零有理数，若abc>0,则a,b,c可能 是( A.a,b,c同负B.a>0,b与c同号C.b<0,a与c同号D.a>b>0>c 14.(25-26七年级上广东广州期末)若有三个有理数a,b,c,满足b>0,a<C,abc<0,且有 b>c,则这三个数大小关系为() A.c>b>a B.b>a>c c.c>a>b D.b>c>a 15.(25-26七年级上吉林长春期末)如果abcd<0,a+b=0,c+d<0,那么这四个数中负数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16.(25-26七年级上黑龙江哈尔滨，期中)已知abcd>0,b<0,c>0,bcd<0,则() A.a>0,d<0 B.a<0,d>0 c.a>0,d>0 D.a<0,d<0 题型04 有理数乘法运算 17.(25-26七年级上广东东莞期中)计算： (124-14+-16--8 ×-361 18.(24-25七年级上山西临汾期末)计算： ()-3+9+-9-3--1° 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2) 7+5-1×-48 2462 19.(25-26七年级上江苏扬州·期末)计算： -13×-139}-7列×139+20×139} 2g-1-3×-24 864 20.(25-26七年级上重庆期末)计算： 9是+8-是67-是76是85是9 21.(25-26七年级上·湖南永州·期末)计算： (4)-35×12.5×-8 -8× ×0×号×-0.25 新 m层+号0-60r 22.计算： (1.25× ×-8 -引x8+9引 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 42x-91+5x-15. 6 6 颗型05 有理数乘法的实际应用 23. (25-26七年级上江苏盐城期末)某水果店销售某种水果，原计划每天卖出100kg,但由于种种原因， 实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某一周的销售情况：（超额记为正，不足记为负，单位： kg) 星期 二 四 五 六 日 与计划 量的差 +6 -2 +12 +3 7 +19 -11 值 (1)请计算该店一周这种水果的销售总量； (2)若该店以2.5元/kg的价格购进这种水果，又按6元/kg出售，则该水果店本周一共赚了多少元？ 24,(25-26七年级上辽宁葫芦岛期末)为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划 分区域，分给每个班级自主管理.七年一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同 学们一共收获了8筐花生，以每筐15kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记 录如下： 筐 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 号 的 2.5 -1.5 -3 -2 0 1 -2 2 量 (1)求这8筐花生的总重量为多少千克？ (2)在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，己知七年一班在播种时， 以10元/千克的价格购进花生种子5千克，请你帮七年一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 25. (25-26七年级上江西赣州期中)今年恰逢中秋国庆双节同庆，小聪利用假期制定了八天假期挑战 “计算高手”计划，在这八天完成120道有理数计算题，平均每天15道题，但实际每天所做题数与计划相 比有出入，下表是小聪的实际做题情况（超出15道的题数记为正数、不足的题数记为负数）： 日期 29日 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 做题情况 -5 -2 -4 +2 +4 +6 +2 +5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求小聪在这八天假期完成的计算题数量比计划多了还是少了？多了或者少了多少道？ (2)小聪妈妈给出的奖励方案是：每完成一道题积5分，若比计划内超额完成任务，则超出的每道题额外奖 励4分；少做一道则倒扣4分，请解答： ①假期第一天(9月29日)，小聪按奖励方案计算，这天的积分为分： ②中秋国庆八天假期结束后，请你帮助小聪算算他可得多少积分？ 26.(25-26七年级上河南商丘期中)某校计划在元旦期间举办一场以“红色文化”为主题的元旦晚会， 并打算为参加红歌大合唱的学生订购表演服装（包含服装和帽子），己知该服装每套定价80元，帽子每个定 价10元某服装店向该校提供两种优惠方案： ①买一套服装送一个帽子： ②服装和帽子都按定价的80%付款， 现统一要到该服装店购买服装30套，帽子x个(X>30) (1)若该校按方案①购买，需付款元（用含x的代数式表示）： 若该校按方案②购买，需付款元（用含x的代数式表示）： (2)若x=30,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 27.(25-26七年级上辽宁铁岭期末)某快递员沿东西向的某条大道从站点出发给客户派件，如果约定向 东为正，向西为负，其中一轮派件的骑行记录如下（单位：米）： +200,+150,+100,+50,+200,-800,-50,-150,-100,-30,-500,+300. (1)快递员最后送件的地点在站点的哪个方向？距离站点多远？ (2)快递员送件最远处离站点有多远？ (3)若电动三轮车耗电量为0.02度/千米，以每度电0.6元计算，这轮派件所耗电费是多少元？ 28.(25-26七年级上江苏·期末)如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，济嘉同学参加志愿者服 务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当 天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：+5，-4，+4，-6，+9，-2，-7 南复西天天王东建永国大四 礼兴单安安府单菌安贸望惠 士门门门井门里路 西东 (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)请说明济嘉同学本次志愿活动向东最远到哪站？ 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次济嘉同学志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少 千米？ 颗型06 求一个数的倒数 29.（25-26六年级下·黑龙江绥化期末)- 的倒数是 ,-3=, 1 的相反数是 0 30. (25-26六年级下-黑龙江绥化：期未)-13的相反数是 -13的绝对值是 数是 31.(25-26七年级上·河南洛阳·期末) 的倒数是 3 32.（25-26七年级上.宁夏银川期末)5.6的相反数是 -1的倒数是 2 马的绝对值是 33.(25-26七年级上山东日照期末)-2.3的绝对值的相反数是 ,倒数等于它本身的数是 题型07 相反数、倒数、绝对值的综合 34.(25-26七年级上全国期末)己知m和n互为相反数，p和9互为倒数，a是绝对值最小的有理数，b是 最小的正整数，求-m+n+1-pg一a的值。 2 35.(25-26七年级上四川泸州期中)已知b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为3，试求： 2x2-(a+b+cd)x+-cd20s的值. 36.(25-26七年级上广东东莞期中)己知：有理数所表示的点距离原点5个单位长度，α，b互为相反 数，c,d互为倒数.求：m-2(a+b)+1-3cd的值. 37.(25-26七年级上广东汕头期中)已知a,b互为倒数，c,d互为相反数，m为最大的负整数，试求 +ab+前值 3 38.已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，数轴上表示m的点到原点的距离是1，求 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7a+b+cd2024+2 的值. 颗型08 有理数的乘法运算律 39.计算 (2号+4+6号+8+101+12 6 01202030 42 2x1+5x2+5x6 6139131813 1 37×40 40.(25-26七年级上·辽宁营口·期末)简便运算. (43913×-14: 14 153×-947×-+2×合引 41.(25-26七年级上河南郑州·期中)下面是一道题的两种解法： 解法1： 解法2： 原式 原式 -0×号副 副 =-49×4- ① ① =-28+1@ =-49×0÷ 8② =0③ -2820 (1)解法1是从第 步开始出现错误的：解法2是从第 步开始出现错误的；（填序号） (2)请写出正确的解答过程. 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 42.(25-26七年级上山西阳泉，期中)下面是某同学计算-3× 5一2+3的过程，请认真阅读并完成相 5 应的任务， 解，照式-31×号-3×2+-3×号 第一步 、6 9 5 -6- 5 第二步 69 5 -6… 第三步 =-3-6…第 四步 =-9…第 五步 任务： ()以上计算过程中，第一步变形的依据是_，第三步变形的依据是_·（填运算律） (2)从第步开始出现错误，这一步修改正确为 (3)请你写出不同于该同学计算方法的计算过程. 43.用简便方法计算： 2品-引+2-4 l---r e是-7水 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型09 有理数的乘法中新定义类 44. (25-26七年级上河南南阳期末)阅读材料，探究规律，完成下列问题. 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘)运算.“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算 法则进行运算的算式：+2*+3=+5：-1*-9=+10：-3*+6=-9：(+4*-4=-8 0*+1=1;0*-7=7.乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则 了.”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： -2*-7=:+4*-3=:0*-5=. (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时，一· 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，- (3)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？ 例如：-3*-5=8，-5)*-3=8，所以-3*-5=-5)*-3，故加法的交换律仍然适用.那 么加法的结合律在*（加乘）运算中是否适用（填“适用”或“不适用”） 45.（25-26七年级上北京通州·期末)探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“⊕”运算.按照“⊕”运算的运算法则进行计算： ①+2⊕+3=+5： ②-2⊕+3=-5： ③-2⊕-3=+5： ④+2⊕-3=-5： ⑤0⊕+5=5： ⑥+4⊕0=4： ⑦-5⊕0=5： ⑧0⊕-3=3. (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“⊕”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时， 个数与0进行“⊕”运算时， 2)计算：-3⊕2⊕-4 (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“⊕”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 用，举出一个反例即可). (4)对于任意有理数m,n,请你重新定义一种运算“⑧”，使得4⑧3=24，写出你定义的运算：m⑧n= (用含m,n的式子表示)， 46.(25-26七年级上湖南期中)新定义：若10*=N,则x=10g10N,x称为以10为底的N的对数，简记 为lgN,其满足运算法则：lgM+lgN=lgM·N(M>0,N>0).例如：因为10=100，所以 2=1g100°亦即1g100=2:1g4+1g3=lg12根据上述定义和运算法则，计算g2P+1g2-g5+lg5的 结果为？ 47.（25-26七年级上福建莆田期末)新定义：对于有理数α，将a的绝对值的各数位上的数字相乘，若 结果大于等于10，则继续将结果的各数位上的数字相乘，直到得到一个个位数，这个数称为α的“数字积 值”.定义运算a:如果a是正数，则a就是这个数字积值；如果a是负数，则a就是这个数字积值的相 反数；如果a是0，特别地，0的数字积值是0，则0=0 例：46：46=46→4×6=24→2×4=8，所以46=8： -39:-39=39→3×9=27→2×7=14→1×4=4，因为原数是负数，所以-39=-4. (1)计算：134=；【-4722=- (2)若a是一个两位数，且a=6,写出满足条件的一个有理数a的值： (3)猜想：对任意整数m,n是否一定有m×n=m×n成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一 个例子说明。 48.（24-25七年级上山东淄博期中)阅读以下内容，完成下列题目 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算.”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的法则 进行运算的算式： 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的米（加乘）运算的运算法则了.”+5*+2=+7： -3*-5=+8:-3*+4=-7:+5*-6=-11;0*+8=+8=8;-6*0=-6=6. 聪明的你也看明白了吗？请完成下列问题： (1)根据上面算式的计算结果，猜想以下计算结果： -2*-3*+5 1-2*0*(-5= (括号的作用同在有理数运算中的作用) (2)请联想回顾有理数运算法则，归纳出*（加乘）运算的运算法则： 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律在*（加乘）运算中是否适用？并举例验证， B组 能力进阶 1.(2026河北中考真题)嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜 色.如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类.用6g红色颜料和4g 黄色颜料调配出的颜色属于() 红色颜料占比0% 25%50%75%100% 调配出的颜色 ①类②类③类④类 A.①类 B.②类 c.③类 D.④类 2.(2026广西南宁.三模)如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是() 输入x >x2→+5 否 A.5 B.6 C.7 D.8 3.(25-26七年级上·湖北随州·期末)明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地 锦”，如图1，计算46×75，将乘数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字 乘以乘数75的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图 2,用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则α和m的值可能为() 6 0 5 0 图1 图2 A.a=3,m=2 B.a=8,m=1 c.a=3,m=1 D.a=8,m=3 4.(25-26七年级上.福建福州期末)已知有理数a,b,c,d满足a<b<c<d,则下列判断正确的是() A.若ab>0,则cd>0 B.若ac>0,则bd<0 C.若bc<0,则ad<0 D.若cd<0,则ab<0 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26七年级上江苏苏州期末)已知数轴上的点A,B分别表示数a,b,其中-1<a<0<b<1.若 c=ab,数c在数轴上用点C表示，则点A,B,C在数轴上的位置可能是() B.-1 0◆ 1 B 01 0 6.两个整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则这两个整数的乘积是一 7.(25-26七年级上北京顺义期末)某科学研究所近日有A,B,C,D四个小组申请同一个实验室的使 用权限，一个小组实验完毕，下一个小组第二天立即开始实验，每个小组申报的实验人数和实验时长（单 位：天)如下： 小组 A B C 实验人数 10 3 10 4 实验时长 0 3 6 3 已知每位研究员只参与一个小组的实验，一位研究员的等待时间是指从第一个实验开始到本组实验开始的 时间间隔（不考虑更换设备时间等其他因素）· (1)若按“A一B-C-D”的先后顺序实验，则D组的研究员需要等待 天： (2)若使这27位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按 的先后顺序实验. 8.〈2425六年，上海E末利定a=0-1alo+1,如保石司7×b,则b 9.(2526七年级上河南焦作期中)焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A 地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米) +18.3,-9.5,+7.1,-14,-6.2,+13,-6.8,-8.5 (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油0.7升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有50升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 10.(25-26七年级上辽宁大连·期末)大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向 东为正，行驶记录（单位：km): +3.2,+4.8,-4,+5.5,-4.3. (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)该车每千米耗油0.18L,求总耗油量： (3)计价规则：行驶路程不超3km收费6元，超过3km的部分每千米收费1.3元，不足1km按1km算，求司 机本次一共收到车费多少元. 11.(25-26七年级上江苏苏州期中)某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用 负数表示)： 进出数量 (单位： -3 4 -1 -5 吨) 进出次数 1 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元： 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元：从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适. C组 思维拔高 1.(25-26七年级上贵州安顺期末)下列结论： ①-个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0：②若-1<m<0,则m<m<:图若a+h<0,且b>0 则5a+2b=-5a-2b;④若m是有理数，则m+m是非负数；⑤若c<0<a<b,则 a-b川b-cc-a>0:其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26九年级下·湖北十堰期末)如果四个互不相等的正整数、、卫、q满足 4-m4-n4-pl4-q=9,则4m+3n+2p+q的最大值为() A.40 B.48 C.50 D.52 3.在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34， 将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入 相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788.如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则m 的值是() 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 2 0 4 6 3 '0 2 4 P 8 m 1 图2 A.6 B.9 C.3 D.0 4.（25-26七年级上河北石家庄期末)某无人机执行航拍任务，固定电量下，飞行路程不变.若此无人 机充满电，飞行速度满足0kmh≤v≤50kmh,当飞行速度为4Okmh时，飞行0.5小时，消耗了 的电量.下列说法正确的是() A.无人机飞行速度vkmh与时间th的关系为t=240 B.无人机最多飞行6h C.当速度为30kmh时，己经飞行了1.2h,还可以飞行25km D.无人机飞行的最大航程是80km 5.(25-26七年级下·安徽合肥期中)我国古代数学家很早就对整数乘积最值问题进行了深入研究，《九 章算术》中便蕴含着丰富的整数运算与优化思想，彰显了古人对数字规律的智慧探索.请你探究： （1)用数字1,2,3,4组成两个没有重复数字的两位数，使其乘积最小，这两个数是： (2)用5个数字a,b,c,d,e(a>b>c>d>e,e≠0)组成一个没有重复数字的两位数和一个没有重复数字 的三位数，使其乘积最小，这两个数是 6.若规定a⑧b= a≥b a 则-3到②-2川⑧-5 2b(a<b) 7.(25-26七年级上·北京海淀期末)车间里有五台车床同时出现故障.已知第一台至第五台修复的时间 如下表： 车床代号 A B C D E 修复时间（分钟） 15 P 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失100元，修复后即可投入生产. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①D→B→E→A→C:②D→A→C→E→B:③D一E→A→B→C中，经济损失最少的是 (填序号)； (2)若由两名修理工同时修理车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元. 8.(24-25六年级上山东烟台期中)某检修小组乘一辆汽车在东西走向的公路上检修线路，约定向东行 为正，某天从A地出发到收工时的行动记录如下（单位：km):+15,-2,+5,-1,+10,-13,-2, +12,-5. (1)请通过计算说明收工时检修小组是否回到A地；如果没有回到A地，说明检修小组最后的位置 (2)直接写出距离A地最近的记录是哪一次？距离A地多远？ (3)求这一天检修小组的总路程，如果汽车耗油是0.1Lkm,今天耗油多少L.命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.2.1有理数的乘法 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 利用有理数的乘法判断符合求代数式 1.C2.A 3.7或-74.75.±5 颗型02 有理数的乘法在数轴上的应用 6.D7.C8.D9.D10.C 颗型03 多个有理数的乘法运算判断符号 11.A12.C13.B14.D15.C16.B 题型04 有理数乘法运算 17.(1)解：24-14+-16--8 =24-14-16+8 =10-16+8 =-6+8 =2: (2)解： 5+7x-36 1西吾-36+736 =-18+20-21 =2-21 =-19. 1/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(1)解：-3+9+-9-3--1 =-3+-3+1+9+-9川 =-6+1+0 =-5: (2)解： Z+5-1×-48 2462 =7x-481+5×-48-号x-48 -24 6 =-14-40+24 =-30, 80解：13×-1乳-7x1号4+20×-9引 =13×139+7×139-20×139 7 =13+7-20×19 =0x139 =0 (2)解：3-1-3×-24 864 -g×1-24-6×-24子×-24 8 6 =-9+4+18 =13 200g是5jl8-号6-7-号×7+6-是85-0g =9-是x5+8是6+7-是×7+6号x8+5号×g 55 55 55 55 2/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =9+8+7+6+5- 3x5+13x6+13x7+13x8+13×9 5 55 55 55 55 =35-号×15+6+7+8+91 55 =35-13×35 55 5-盟 =294 11 21.(1)解：-35×12.5×-8 =-35×12.5×-8 =-35×-100 =3500: (2)解：-8× 3 ×0×4x|-0.25 32 =0 8×5x1 =-(号×2*8 、5 18 (4)解： 得+00 E=60×名60x于608 7 10 =-36-30+42 =-24 3/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.(1)解：1.25× 81 20 ×-8 =1.25×-8× 品 =-10× 81 0 81 Γ2 2》解：-g×-吾引×-0.8×号 -00 =-3×1 =-3 -*-8+引9* =6-+8 7+3 28 31 Γ89 (4)解： 8-g+gx15 =5x[-9+-15 6 -君4-24 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-20, 颗型05 有理数乘法的实际应用 23.(1)解：100×7+6-2+12+3-7+19-11 =700+20 =720(kg) 答：该店一周这种水果的销售总量为720kg. (2)解：6-2.5×720 =3.5×720 =2520(元) 答：该水果店本周一共赚了2520元. 24.(1)由题意得， (2.5)+(-1.5)+（-3)+(-2)+0+1+(-2)+2=-3(kg) 15×8+(-3)=117(kg 答：这8筐花生的总重量为117kg (2)117×7-10×15=669(元) 答：他们此次耕种花生获利了669元. 25.(1)解：-5-2-4+2+4+6+2+5=8>0， 答：小聪在这八天假期完成的计算题数量比计划多了，多了8道； (2)①5×10-5×4=30， 故答案为：30： ②120+8×5+8×4=672（分）， 答：小聪得672积分， 26.(1)解：若该校按方案①购买，需付款：30×80+10(x-30)=2400+10X-300=10x+2100元： 若该校按方案②购买，需付款：0.8×(30×80+10x)=0.8×(2400+10x)=8x+1920元： 故答案为：(10x+2100,8x+1920: (2)解：当x=30时，方案①需花费：10×30+2100=2400（元）： 方案②需花费：8×30+1920=2160（元）： .2160<2400, ∴，按方案②购买较为合算. 5/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.(1)解：.200+150+100+50+200-800-50-150-100-30-500+300 =-630(米)， 答：快递员最后送件的地点在站点的西边，距离站点630米： (2)解：第一次：200；第二次：200+150=350；第三次：350+100=450；第四次：450+50=500 第五次：500+200=700；第六次：700-800=-100；第七次：-100-50=-150；第八次： -150-150=-300:第九次：-300-100=-400；第十次：-400-30=-430；第十一次： -430-500=-930;第十二次：-930+300=-630； .-930>700>-630>500>450>-430>-400>350>-300>200>-150>-100 ∴.快递员送件最远处离站点930米； (3)解：.200+150+100+|50+200+-800+-50+-150+-100+-30+-500+300 =2630(米)， ∴.2630×0.02×0.6=31.56（元）， 答：这轮派件所耗电费是31.56元. 28.(1)解：+5-4+4-6+9-2-7=-1， A站是复兴门站： （2)解：+5=+5， +5-4=+1 +5-4+4=+5 +5-4+4-6=-1 +5-4+4-6+9=+8 +5-4+4-6+9-2=+6 +5-4+4-6+9-2-7=-1 ∴.济嘉同学本次志愿活动向东最远到大望路站： (3)+5+-4++4+-6++9+-2+-7=37. 37×1.2=44.4(千米). ,济嘉同学志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是44.4千米. 颗型06 求一个数的倒数 2931-06 3 6/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3013 _ 3 4 7 3 31.- 32.-5.6 2 0.7533.-2.3 ±1 3 颗型07 相反数、倒数、绝对值的综合 34.2 35.解：，a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为3， .a+b=0,cd=1,x=±3， x2=9, 当x=3时，2X-a+b+cdx+-cd2 =2×32-0+1×3+-12025=18-3-1=14 当x=-3时，2X2-a+b+cdx+(-cd225=18+3-1=20 即原式的值为14或20 36.,有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a,b互为相反数，c,d互为倒数， ∴.m=5或-5，a+b=0,cd=1, 当m=5时，原式=5-2×0+1-3×1=5+1-3=3： 当m=-5时，原式=-5-2×0+1-3×1=-5+1-3=-7. 综上，代数式m-2(a+b)+1-3cd的值为3或-7. 37.解：，a,b互为倒数，c,d互为相反数，m为最大的负整数， .ab=1,c+d=0,m=-1, .m+ab+c+d 3 4 =1+1+0 3 4 1 +1+0 3 38.解：由题意，a+b=0,cd=1,m=±1： 7/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7a+b+cd2024+2m=7×0+12024+2×1=1+2=3或 7a+bl+cd}2024+2m=7×0+12024+2×-1=1-2=-1' 颗型08 有理数的乘法运算律 39.(1)解：2+42+6+8+101+121 2 6012020 30 42 =2+4+6+8+10+12+号+1+1+1+1+1 2612203042 =2214*106+8六4*女66过 =4*4*14+1-分*写好5后6引 (2)解： 5x1+5x2+5x6 6139131813 =1x5+2x5+6×5 -613'9131813 =3×5+4 5.6×5 181318131813 34,6、5 18+181813 =.5 18 8/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =4-+74+0-7++0-37 31×44×77×10 37×40 4升旧品… 1*好片品…+品 子器 s13 40 40a解：39是×-14 404个-14 =40×-14-4×个-14 =-560+1 =-559: 解-153×947+2个 =153-947+21×-号 =4. 41.(1)解：解法1是从第②步开始出现错误的；解法2是从第③步开始出现错误的， 故答案为：②：③： 9/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2据40号引 -28*号 27 42.(1)解：由题意得，第一步的依据是乘法分配律，第三步的依据是加法交换律： (2)解：由解题过程可知，从第二步开始出现错误，错误原因是去括号时6前面的符号没有变号，正确结 果应该为一 +6 9 =-3×后+是-2 =-3×1-2 =-3×-1 =3. 43.(1)解： +2×-1引+2洁-4 =70×9×31×9 -317152 =27； 是Z-60 =元×-60j+(-君×(-60)-(7(-601 =-4+50-35 =-39+50 10/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =11: (3)解：91×(-7)， 141 =10-4×(-7. =10x1-71-4×刘-7 -02 -691 颗型09 有理数的乘法中新定义类 44.(1)解：-2*-7=2+7=9；+4*-3=-(3+4)=-7；0*-5=5. (2)解：两数进行*（加乘）运算时，同号为正，异号为负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行* (加乘)运算，结果是这个数的绝对值： (3)解：不适用，举例说明：如 0*-5川*（-4)=5*(-4)=-9'0*-5)*(-4)川=0*（+9)=9 0*-5川(-4)≠0*1-5*(-4)川 ∴.加法的结合律在*（加乘）运算中不适用. 45.(1)解：两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行 “⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值： (2)解：(-3⊕2⊕-4=-3⊕-6=9 （3)不适用，例如：+3⊕0⊕-4=+3⊕+4=7+3引⊕0⊕-4=+3⊕-4=-7 +3⊕0⊕-4≠+3⊕0⊕-4' 故结合律在有理数的“田”运算中不适用； (4)4×2×3=24,4⑧3=24， 故可以定义m⑧n=2mn. 11/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 46解：lg2P+lg2lg5+1g5 =1g 2(1g 2+1g 5)+1g5 =lg2lg2×5+lg5 =lg2×1+lg5 =1g2+1g 5 =lg2×5) =1. 47.(1)解：由题意得，134：134=134一1×3×4=12→1×2=2， 134=2, -4722:-4722=4722→4×7×2×2=112→1×1×2=2， .-4722=-2, 故答案为：2，-2； (2)解：，数字积值为6， ∴.a为正数， .6=2×3, ∴.a=23, 故答案为：23； (3)解：当m=13,n=14时，m=13=1×3=3,n=14=1×4=4, mlx(n))=3×4=12=1×2=2 .m×n=13×14=182, .m×n=182=1×8×2=16-1×6=6, .2≠6， mxnl=m×n对任意整数m,n不一定成立. 48.(1)解：-2-3*+5 =+5)*+5) =10: -2*0*-5l 12/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-2)*-5 =-2)*+5 =-7; 故答案为：10，-7： (2)解：*（加乘）运算的运算法则为： ①两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加： ②特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都等于这个数的绝对值： (3)解：加法交换律在有理数的*（加乘）运算中适用，举例验证如下： 由*（加乘）运算的运算法则可知： +5)*-2=-7,-2*+5=-7, 所以+5*-2=-2*+5， 即加法交换律在有理数的*（加乘）运算中适用. B组 能力进阶 1.C2.C 3.C 4.C 5.A6.819 3 7.18 C-D-A-B8.30.6 9.(1)解：+18.3-9.5+7.1-14-6.2+13-6.8-8.5=-6.6（千米） 答：B在A地的南方，相距6.6千米. (2)解：+18.3+-9.5++7.1+-14+-6.2++13+-6.8+-8.5=83.4（千米） 83.4×0.7=58.38(升) 答：这天共耗油58.38升 (3)解：58.38>50， 58.38-50=8.38(升) 答：需要加油，至少8.38升. 10.(1)解：3.2+4.8+-4+5.5+-4.3=5.2m, 答：司机在门店东侧，距离门店5.2km; (2)解：总路程：3.2+4.8+4+5.5+4.3=21.8km, 总耗油量：21.8×0.18=3.924L； (3)解：第1单：行驶3.2km,超过3km的部分为0.2km,按1km计算，费用为6+1.3×1=7.3（元）： 13/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2单：行驶4.8km,超过3km的部分为1.8km,按2km计算，费用为6+1.3×2=8.6（元)； 第3单：行驶4km,超过3km的部分为1km,费用为6+1.3×1=7.3（元）； 第4单：行驶5.5km,超过3km的部分为2.5km,按3km计算，费用为6+1.3×3=9.9（元）； 第5单：行驶4.3km,超过3km的部分为1.3km,按2km计算，费用为6+1.3×2=8.6（元）： 总车费：7.3+8.6+7.3+9.9+8.6=41.7（元）. 11.(1)解：(-3)×2+4×1+(-1)×3+2×3+(-5)×2 =-6+4-3+6-10 =-9 答：这天仓库的原料比原来减少了9吨； (2)解：方案一：(4×1+2×3)×5+(3×2+1×3+5×2)×8 =4+6)×5+(6+3+10)×8 =10×5+19×8 =50+152 =202（元)， 方案二(3×2+4×1+1×3+2×3+5×2)×6 =6+4+3+6+10)×6 =29×6 =174(元) .174<202, ∴方案二运费少，选择方案二比较合适. C组 思维拔高 1.C2.C3.B4.B5.13和24 ec和dba 6.- /-0.25 4 7.解：(1)①的总停产时间为7×5+8×4+10×3+15×2+29=156分钟， ②的总停产时间为7×5+15×4+29×3+10×2+8=210分钟， ③的总停产时间为7×5+10×4+15×3+8×2+29=165分钟， .156<165<210. ∴经济损失最少的是①： 故答案为：①： 14/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2),要使经济损失最小， 总停产时间要最少， 要先修理时间短的，时间长放在最后， ∴.一最优方案为：一名修理工按顺序修理B(8分钟)、A(15分钟)；另一名修理工按顺序修理D(7分 钟)、E(10分钟)、C(29分钟)，此时各车床的停产时间分别为8、23、7、17、46分钟(B、A、D、 E、C的顺序)， 总停产时间为8+23+7+17+46=101分钟， ∴.最少经济损失为101×100=10100元， 故答案为：10100. 8.(1)解：根据题意，将所有行动记录相加得：+15-2+5-1+10-13-2+12-5=19(km), :19≠0，且结果为正， ∴.收工时检修小组没有回到A地，在A地东面19km处： (2)解：依次计算每次记录后距离A地的距离：第1次：+15=15(km): 第2次：15-2=13(km): 第3次：13+5=18(km): 第4次：18-1=17km: 第5次：17+10=27(km): 第6次：27-13=14(km: 第7次：14-2=12(km): 第8次：12+12=24(km): 第9次：24-5=19(km): 比较可得12<13<14<15<17<18<19<24<27， ∴.第7次记录距离A地最近，距离为12km; (3)解：总路程为所有行动记录的绝对值之和： +15+-2++5+-1++10+-13+-2++12+-5 =15+2+5+1+10+13+2+12+5 =65(km), 总耗油量为：65×0.1=6.5(L】 答：这一天检修小组的总路程为65km,今天耗油6.5L. 15/15 分层作业 2.2.1 有理数的乘法 目 录 A组 巩固过关 基础常考9大题型 题型01 利用有理数的乘法判断符合求代数式 题型06 求一个数的倒数 题型02 有理数的乘法在数轴上的应用 题型07 相反数、倒数、绝对值的综合 题型03 多个有理数的乘法运算判断符号 题型08 有理数的乘法运算律 题型04 有理数乘法运算 题型09 有理数的乘法中新定义类 题型05 有理数乘法的实际应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 利用有理数的乘法判断符合求代数式题型01 1．（25-26七年级上·山东德州·期末）若，且，则（　　） A． B．3 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的加法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 本题先根据绝对值的性质确定a、b的可能取值，再结合a、b异号的条件分情况计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，满足条件，此时，； 当时，满足条件，此时，； 故选：C． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）若，，且，则的值为（  ） A．5或 B．1或 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质，结合求得a、b值，再代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或， 即的值为5或． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）若，，且，则_________ ． 【答案】7或 【分析】直接利用绝对值的性质以及有理数乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴时；时， 则或． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知，，且，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意，利用绝对值的代数意义，以及有理数的加法、乘法法则确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， 故答案为：7． 5．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）若，且，则的值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数的运算． 根据绝对值的性质结合求出x和y的可能值，分别计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴或， ∴或． 即的值等于． 故答案为：． 有理数的乘法在数轴上的应用题型02 6．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，，，故A，B，C错误， ，故D正确． 7．（2026·湖北随州·一模）数轴上表示数a，b的点如图所示，A，B，C，D四点在此数轴上，若，则数轴的原点可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】由数轴性质知，，然后结合得到，，即可求解． 【详解】解：由数轴性质知，， ， ，， 原点在a与b之间，故点C可能为原点． 8．实数a、b在数轴上的位置如下图所示，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数a，b在数轴上的位置可得，，再逐一判断即得答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴，，，， ∴选项A、B、C是错误的，选项D是正确的． 9．（25-26七年级上·河南周口·期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中：①；②；③；④，正确的是（   ） （图示：，且a到原点的距离大于b到原点的距离） A．①② B．①④ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负性，利用数轴比较有理数的大小，绝对值的意义，有理数的加法运算，乘法运算，减法运算，据此相关性质内容进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：观察数轴得，， ∴，①符合题意， ，②不符合题意， ，③符合题意， ，④不符合题意， 综上，①③符合题意； 故选：D． 10．（25-26七年级上·福建泉州·期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示．在下列选项中，正确的是（   ） A．如果，则一定会有 B．如果，则一定会有 C．如果，则一定会有 D．如果，则一定会有 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、有理数的乘法．先根据数轴的性质可得，再根据有理数的乘法法则逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，． 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项A不符合题意； 如果，则同号，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项B不符合题意； 如果，则，所以，所以一定会有，故选项C符合题意； 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项D不符合题意； 故选：C． 多个有理数的乘法运算判断符号题型03 11．（25-26七年级上·江苏南京·期中）若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，由可知与异号；结合，可得：且；再由，结合、，可得：． 【详解】解：， 与异号， 又， ，， ，且、， ， ，，． 故选：A． 12．（25-26七年级上·河北邢台·期中）已知a，b，c，d都是有理数，且．若a与b同号，则c与d（    ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定异号 D．一定同号 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键；由a与b同号，得；结合，推出，然后问题可求解． 【详解】解：∵a与b同号， ∴． ∵， ∴． ∴c与d异号； 故选C． 13．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）已知 a ，b ，c 为非零有理数 ，若，则 a ，b ，c 可能是 （ ） A．a，b，c同负 B．，b与c同号 C．，a与c同号 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题的关键是熟练正确处理符号． 根据得到a、b、c中负数的个数为0或2，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴a、b、c中负数的个数为0或2， A、当a、b、c同负时，，故该选项错误； B、当且b与c同号时，若b、c同正，则；若b、c同负，则，故可能； C、∵，无论a、c同正还是同负，则，故，故不可能； D、∵，∴，故不可能； 故选：B． 14．（25-26七年级上·广东广州·期末）若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，有理数乘法运算，绝对值意义，由和得，即a和c异号；结合，推出；由和得；最终得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴，即a和c异号， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 15．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如果，，，那么这四个数中负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法与乘法的应用，关键是能根据已知和有理数的运算法则进行判断a、b、c、d的符号． 根据，，得出a、b异号，c、d中至少有1个负数，再由，负因数的个数是1个或3个，即可求解． 【详解】解：∵， ∴a、b互为相反数，即a、b异号， ∵， ∴c、d中至少有1个负数， ∴a、b、c、d中至少有2个负数， 又∵， ∴负因数的个数是1个或3个． ∴这四个数中负数有3个． 故选：C． 16．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．据此判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，，． 故选：B． 有理数乘法运算题型04 17．（25-26七年级上·广东东莞·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可得到答案； （2）原式运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25七年级上·山西临汾·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由有理数加减运算律恒等变形后计算即可； （2）先由有理数乘法分配律展开后计算有理数乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．（25-26七年级上·重庆·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．将变形为，然后逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 21．（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 22．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算和乘法运算律，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据乘法交换律简化计算即可； （2）根据乘法交换律和结合律简化计算即可； （3）根据乘法分配律进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 有理数乘法的实际应用题型05 23．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）某水果店销售某种水果，原计划每天卖出，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，如表是某一周的销售情况：（超额记为正，不足记为负，单位：） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)请计算该店一周这种水果的销售总量； (2)若该店以2.5元的价格购进这种水果，又按6元出售，则该水果店本周一共赚了多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正数、负数、有理数的运算的实际应用，根据已知条件列出正确算式是解题的关键． （1）根据原计划每天卖出，结合正数和负数的实际意义进行列示计算即可； （2）根据（1）中的总销售量，利用售卖每千克水果获得的利润与总销售量的乘积进行计算即可． 【详解】（1）解： （） 答：该店一周这种水果的销售总量为． （2）解： （元） 答：该水果店本周一共赚了元． 24．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期末）为了进一步加强对学生的劳动教育，某校将学校劳动实践基地划分区域，分给每个班级自主管理．七年一班的同学们在本班的种植区域中种植了花生，经过精心耕种，同学们一共收获了8筐花生，以每筐15为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： 筐号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 重量 2.5 0 1 2 (1)求这8筐花生的总重量为多少千克？ (2)在学校的组织下，同学们对收获的花生以市场价7元/千克的价格全部售出，已知七年一班在播种时，以10元/千克的价格购进花生种子5千克，请你帮七年一班同学算一算，他们此次耕种花生获利了多少元？ 【答案】(1)这8筐花生的总重量为117 (2)他们此次耕种花生获利了669元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减和乘法的应用． （1）用标准重量乘以筐数，加上变换重量数即可． （2）根据收入额减去成本价即可得利润． 【详解】（1）由题意得， 答：这8筐花生的总重量为117． （2）（元） 答：他们此次耕种花生获利了669元. 25．（25-26七年级上·江西赣州·期中）今年恰逢中秋国庆双节同庆，小聪利用假期制定了八天假期挑战“计算高手”计划，在这八天完成120道有理数计算题，平均每天15道题，但实际每天所做题数与计划相比有出入，下表是小聪的实际做题情况（超出15道的题数记为正数、不足的题数记为负数）： 日期 29日 30日 1日 2日 3日 4日 5日 6日 做题情况 (1)求小聪在这八天假期完成的计算题数量比计划多了还是少了？多了或者少了多少道？ (2)小聪妈妈给出的奖励方案是：每完成一道题积5分，若比计划内超额完成任务，则超出的每道题额外奖励4分；少做一道则倒扣4分，请解答： ①假期第一天（9月29日），小聪按奖励方案计算，这天的积分为______分； ②中秋国庆八天假期结束后，请你帮助小聪算算他可得多少积分？ 【答案】(1)小聪在这八天假期完成的计算题数量比计划多了，多了8道； (2)①30；②672． 【分析】此题考查有理数加法的应用，有理数混合运算的应用，正确理解题意列得算式是解题的关键． （1）将每天的做题量相加即可得到答案； （2）①用做题数乘以每题积分，减去少做题的积分即可得到该天的积分；②这几天做题总量乘以每题积分，加上超出题的积分即可得到总积分． 【详解】（1）解：， 答：小聪在这八天假期完成的计算题数量比计划多了，多了8道； （2）①， 故答案为：30； ②（分）， 答：小聪得672积分． 26．（25-26七年级上·河南商丘·期中）某校计划在元旦期间举办一场以“红色文化”为主题的元旦晚会，并打算为参加红歌大合唱的学生订购表演服装(包含服装和帽子)，已知该服装每套定价80元，帽子每个定价10元某服装店向该校提供两种优惠方案： ①买一套服装送一个帽子； ②服装和帽子都按定价的付款． 现统一要到该服装店购买服装30套，帽子x个() (1)若该校按方案①购买，需付款 元(用含x的代数式表示)； 若该校按方案②购买，需付款 元(用含x的代数式表示)； (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算? 【答案】(1)， (2)方案② 【分析】本题考查了列代数式，有理数的混合运算的应用． （1）根据按方案①购买，需付款：（元）；按方案②购买，需付款：（元），列代数式，作答即可； （2）将，分别代入方案①、②的代数式计算求解，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：若该校按方案①购买，需付款：元； 若该校按方案②购买，需付款：元； 故答案为：，； （2）解：当时，方案①需花费：(元)； 方案②需花费： (元)； ∵， ∴按方案②购买较为合算． 27．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）某快递员沿东西向的某条大道从站点出发给客户派件，如果约定向东为正，向西为负，其中一轮派件的骑行记录如下（单位：米）： ，． (1)快递员最后送件的地点在站点的哪个方向？距离站点多远？ (2)快递员送件最远处离站点有多远？ (3)若电动三轮车耗电量为度/千米，以每度电元计算，这轮派件所耗电费是多少元？ 【答案】(1)快递员最后送件的地点在站点的西边，距离站点630米 (2)快递员送件最远处离站点930米 (3)这轮派件所耗电费是元 【分析】（1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果； （2）求出每一段到出发点的距离，即可判断出结果； （3）利用绝对值的性质以及有理数加法法则先求出总路程，进而求出即可． 【详解】（1）解： （米）， 答：快递员最后送件的地点在站点的西边，距离站点630米； （2）解：第一次：200；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；第六次：；第七次：；第八次：；第九次：；第十次：；第十一次：；第十二次：； 快递员送件最远处离站点930米； （3）解： （米）， （元）， 答：这轮派件所耗电费是元． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算以及绝对值的性质，关键是熟练利用加法的运算法则进行运算． 28．（25-26七年级上·江苏·期末）如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，济嘉同学参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：    (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)请说明济嘉同学本次志愿活动向东最远到哪站？ (3)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次济嘉同学志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【答案】(1)A站是复兴门站； (2)大望路站 (3)44.4 【分析】（1）求所有相反意义的站数量的和，根据计算结果来确定即可， （2）分别计算前1个、前2个、前3个、…、前7个数的和，然后由和的符号是正数，且绝对值最大数来确定向东最远的站点； （3）计算所有站数的绝对值的和，再乘以1.2即可． 【详解】（1）解： ， ∴A站是复兴门站； （2）解：， ∴济嘉同学本次志愿活动向东最远到大望路站； （3）． （千米）． ∴济嘉同学志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程是44.4千米． 【点睛】本题考查用正负数表示的相反意义的量的应用题，关键理解基准量，和正负数表示的意义，会计算相反意义的量和，会解释结果正负表示的意义，理解相反意义的量的绝对值是解题关键． 求一个数的倒数题型06 29．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的倒数是______，______，的相反数是______． 【答案】 / 【分析】本题考查倒数、绝对值、相反数的定义，根据对应概念计算即可． 【详解】根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，可得 的倒数是； 根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可得 ； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，可得 的相反数是． 30．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）的相反数是______，的绝对值是______，的倒数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数是； ，即的绝对值是； 的倒数是． 31．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）的倒数是______． 【答案】 【详解】解：的倒数是． 32．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）的相反数是______，的倒数是______，的绝对值是______． 【答案】 /0.75 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数，求一个数的绝对值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据相反数、倒数、绝对值的意义，分别对所给数求解即可． 【详解】解：的相反数是， 因为， 所以的倒数是， 的绝对值是， 故答案为：，，． 33．（25-26七年级上·山东日照·期末）的绝对值的相反数是______，倒数等于它本身的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，相反数，倒数．对于第一个空，先求的绝对值，再求其相反数；对于第二个空，根据倒数的定义，进行分析，即可作答． 【详解】解：的绝对值是， 则的绝对值的相反数是； 依题意，倒数等于它本身的数是， 故答案为：，． 相反数、倒数、绝对值的综合题型07 34．（25-26七年级上·全国·期末）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及相反数定义、倒数定义、绝对值等相关知识，掌握相关数学知识得到式子与字母的值是解决问题的关键． 先由题意，得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数， ， 即， ∴ ． 35．（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为3，试求：的值． 【答案】14或20 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 根据相反数及倒数的定义易得，，再根据绝对值的定义可得，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为3， ，，， ， 当时， ， 当时，， 即原式的值为14或 36．（25-26七年级上·广东东莞·期中）已知：有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a，b互为相反数，c，d互为倒数．求：的值． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了数轴、相反数、倒数、代数式求值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由数轴、相反数、倒数可得或，，，然后分和两种情况求解即可． 【详解】∵有理数m所表示的点距离原点5个单位长度，a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴或，，， 当时，原式； 当时，原式． 综上，代数式的值为3或． 37．（25-26七年级上·广东汕头·期中）已知，互为倒数，，互为相反数，为最大的负整数，试求的值． 【答案】 【分析】本题考查了倒数、相反数和负整数的定义，代数式求值． 根据倒数、相反数和负整数的定义分别求出，，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵，互为倒数，，互为相反数，为最大的负整数， ∴，，， ∴ ． 38．已知与互为相反数，与互为倒数，数轴上表示的点到原点的距离是1，求的值． 【答案】3或 【分析】本题考查相反数和倒数，数轴上两点间的距离，有理数的混合运算，根据相反数，倒数的定义得到，根据两点间的距离，得到，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：由题意，，； ∴或． 有理数的乘法运算律题型08 39．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将整数部分和分数部分分别相加，每个分数的分母可以拆成相邻的两个整数相乘，分子为1的形式，再根据化简，然后计算即可； （2）将相乘的两个分数的分子互换，再利用乘法分配律计算即可； （3）根据将原式变形，再去括号化简计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 40．（25-26七年级上·辽宁营口·期末）简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算律． 根据乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 41．（25-26七年级上·河南郑州·期中）下面是一道题的两种解法： 计算： 解法1： 原式① ② ③ 解法2： 原式① ② ③ (1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填序号） (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)②；③； (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握先乘除后加减的运算顺序及乘除运算法则是解题的关键． （1）通过对比两种解法的步骤，依据有理数混合运算顺序和法则，判断错误起始步骤； （2）按照先乘除后加减的顺序，正确计算原式． 【详解】（1）解：解法1是从第②步开始出现错误的；解法2是从第③步开始出现错误的， 故答案为：②；③； （2）解： 42．（25-26七年级上·山西阳泉·期中）下面是某同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：原式=……………第一步 ……………………………………第二步 ……………………………………第三步 ………………………………………第四步 ……………………………………………第五步 任务： (1)以上计算过程中，第一步变形的依据是 ，第三步变形的依据是 ．（填运算律） (2)从第 步开始出现错误，这一步修改正确为 (3)请你写出不同于该同学计算方法的计算过程． 【答案】(1)乘法分配律，加法交换律 (2)二， (3)见解析 【分析】本题主要考查了乘法分配律和加法交换律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据解题过程即可得到答案； （2）根据解题过程可知第二步去括号时6前面的符号没有变号，据此求解即可； （3）先把原式变形为，再计算乘号后面括号内的加减法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解：由题意得，第一步的依据是乘法分配律，第三步的依据是加法交换律； （2）解：由解题过程可知，从第二步开始出现错误，错误原因是去括号时6前面的符号没有变号，正确结果应该为； （3）解： ． 43．用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)27 (2)11 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更简便，要注意对运算算式的整理． （1）把带分数化为假分数，然后利用有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）把写成，然后利用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ． 有理数的乘法中新定义类题型09 44．（25-26七年级上·河南南阳·期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题． 甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．乙同学看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子： ； ； ． (2)请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时， ． 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， ． (3)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？例如： 所以故加法的交换律仍然适用． 那么加法的结合律在*（加乘）运算中是否适用 （填“适用”或“不适用”） 【答案】(1)；；5 (2)同号为正，异号为负，并把绝对值相加；结果是这个数的绝对值 (3)不适用 【分析】（1）参照示例，运算求解； （2）根据示例，分符号和绝对值两部分总结法则； （3）根据运算，举例验证说明． 【详解】（1）解：；；． （2）解：两数进行*（加乘）运算时，同号为正，异号为负，并把绝对值相加；特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，结果是这个数的绝对值； （3）解：不适用，举例说明：如 ， ∴ ∴加法的结合律在*（加乘）运算中不适用． 【点睛】本题考查有理数的运算，新定义运算；转化思想是解决问题的关键． 45．（25-26七年级上·北京通州·期末）探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【答案】(1)同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加；结果等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，反例看解析 (4) 【分析】本题考查定义新运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键： （1）由给出的算式，得到两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）根据新运算的法则，进行计算即可； （3）不适用，举出一个反例即可； （4）根据，定义一种新运算即可． 【详解】（1）解：两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）解：； （3）不适用，例如：，，， 故结合律在有理数的“”运算中不适用； （4）∵，， 故可以定义． 46．（25-26七年级上·湖南·期中）新定义：若，则，称为以为底的的对数，简记为，其满足运算法则：（，）．例如：因为，所以，亦即；．根据上述定义和运算法则，计算的结果为? 【答案】． 【分析】本题考查了有理数乘法，新定义运算，根据题意，按照题目的运算法则计算即可，正确理解对数运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 47．（25-26七年级上·福建莆田·期末）新定义：对于有理数a，将a的绝对值的各数位上的数字相乘，若结果大于等于10，则继续将结果的各数位上的数字相乘，直到得到一个个位数，这个数称为a的“数字积值”．定义运算：如果a是正数，则就是这个数字积值；如果a是负数，则就是这个数字积值的相反数；如果a是0，特别地，0的数字积值是0，则． 例：，所以； ，因为原数是负数，所以． (1)计算：_________；_________． (2)若a是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数a的值：_________； (3)猜想：对任意整数m，n是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 【答案】(1)2； (2)23（答案不唯一） (3)不一定成立，例子见解析 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题例即可求解； （2）根据数字积值为，可得为正数，再根据即可得到答案； （3）举出反例进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ， ∴， 故答案为：2，； （2）解：∵数字积值为， ∴为正数， ∵， ∴， 故答案为：23； （3）解：当，时，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴对任意整数m，n不一定成立． 48．（24-25七年级上·山东淄博·期中）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．”然后他写出了一些按照（加乘）运算的法则进行运算的算式： 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的米（加乘）运算的运算法则了．” ；；；；；． 聪明的你也看明白了吗？请完成下列问题： (1)根据上面算式的计算结果，猜想以下计算结果： __________； __________；（括号的作用同在有理数运算中的作用） (2)请联想回顾有理数运算法则，归纳出（加乘）运算的运算法则； (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律在（加乘）运算中是否适用？并举例验证． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)适用，举例验证见解析 【分析】本题考查有理数的新定义题型，有理数的加法，有理数乘法的符号判断，解答本题的关键是根据题中式子正确掌握运算法则． （1）根据题中所给运算，运算分为两部分，利用有理数加法计算两数绝对值的和，利用有理数乘法判断符号的方法判断符号，再进行计算即可； （2）根据（1）中的结论，写出正确的运算法则即可； （3）先判断，然后举例说明即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：，； （2）解：（加乘）运算的运算法则为： ①两数进行（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； ②特别地，和任何数进行（加乘）运算，或任何数和进行（加乘）运算，都等于这个数的绝对值； （3）解：加法交换律在有理数的（加乘）运算中适用，举例验证如下： 由（加乘）运算的运算法则可知： ，， 所以， 即加法交换律在有理数的（加乘）运算中适用． 1．（2026·河北·中考真题）嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 【答案】C 【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合数轴上的分类范围进行判断． 【详解】解：∵红色颜料质量为，黄色颜料质量为 ∴调配出的颜料总质量为 ∴红色颜料的占比为 ∵ ∴该颜色属于③类 ． 2．（2026·广西南宁·三模）如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据运算程序示意图，将代入代数式进行计算，若结果大于等于1则输出，否则将结果重新代入计算． 【详解】解：当输入时，， ， 输出结果为． 3．（25-26七年级上·湖北随州·期末）明代《算法统宗》一书将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数46写在方格上面，乘数75写在方格右面，然后用乘数46的每位数字乘以乘数75的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来（满十进一），即得3450，如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘的结果为2176，则a和m的值可能为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了“铺地锦”乘法计算方法的理解与应用，解题的关键是根据斜行相加的进位规则，结合乘积2176的各位数字，通过代入选项验证确定和的可能值． 根据“铺地锦”规则，结果2176的十位数字为，结合图中格子数字和的位置关系，可得的个位数字为，即（舍去，选项无此答案）或结合进位分析，十位斜行相加为；同时千位和百位的数字组合需满足21的结果，结合选项中的取值，代入验证的合理性． 【详解】解：由“铺地锦”计算规则，结果2176的十位数字为，对应图中十位斜行相加的结果个位为，即的个位为（或含进位情况）． 逐一分析选项： A、，，，此选项不符合题意； B、，，，此选项不符合题意； C、，，结合进位规则，（十位斜行），符合2176的数字特征，此选项符合题意； D、，，，此选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知有理数满足，则下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记同号得正、异号得负是解题的关键．根据有理数的乘法，同号得正、异号得负对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．若，则不一定正确，如：； B．若，则不一定正确，如：； C．若，则，则，正确； D．若，则不一定正确，如：； 故选C． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）已知数轴上的点，分别表示数，，其中．若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数乘法运算，绝对值等知识点，明确题意并灵活利用数形结合的思想是解题的关键．根据已知可得，从而得到，即可得解． 【详解】解： ， ，即， 对应在数轴上只有A选项符合． 故选：A． 6．两个整数的和是，它们的最小公倍数是，则这两个整数的乘积是___． 【答案】 【分析】由最小公倍数定义及分解质因数得到题中两个整数的可能情况，再由题意确定这两个整数，最后由有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解：设这两个整数为， 的最小公倍数是， 都是的因数， ， 的因数有， 两个整数的和是， 这两个整数分别是和，最小公倍数是，符合题意， 故这两个整数的乘积是． 7．（25-26七年级上·北京顺义·期末）某科学研究所近日有，，，四个小组申请同一个实验室的使用权限，一个小组实验完毕，下一个小组第二天立即开始实验．每个小组申报的实验人数和实验时长（单位：天）如下： 小组 实验人数 实验时长 已知每位研究员只参与一个小组的实验，一位研究员的等待时间是指从第一个实验开始到本组实验开始的时间间隔（不考虑更换设备时间等其他因素）． （1）若按“”的先后顺序实验，则组的研究员需要等待___________天； （2）若使这位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按___________的先后顺序实验． 【答案】 18 【分析】本题考查逻辑推理能力，正确推理是解题的关键． （1）计算前三组实验时间之和即可； （2）为使总等待时间最小，应按人均实验时长（实验时长/实验人数）从小到大的顺序安排实验． 【详解】解：（1） 天， 故答案为：18 天； （2） 天， 天， 天， 天， ∵， ∴若使这27位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按的先后顺序实验． 故答案为：． 8．（24-25六年级上·上海·期末）规定，如果，则___________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据定义计算和的值，代入方程后通过通分和约分求解b． 【详解】由定义，， 则， ． 代入方程：， 即， 则． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河南焦作·期中）焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 【答案】(1)在地的南方，相距千米 (2)共耗油升 (3)需要加油，至少升 【分析】本题主要考查了正数与负数、有理数的加法、乘法的应用． （1）把这些数值相加，根据结果就可知道在哪个方向，相距多少千米． （2）绝对值相加，乘以每千米耗油量即可． （3）总耗油量减去油箱已有油量即可得出至少加油量. 【详解】（1）解： （千米） 答：在地的南方，相距千米． （2）解：（千米） （升） 答：这天共耗油升． （3）解： ， （升） 答：需要加油，至少升. 10．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：）： ． (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ (2)该车每千米耗油，求总耗油量； (3)计价规则：行驶路程不超收费元，超过的部分每千米收费元，不足按算，求司机本次一共收到车费多少元． 【答案】(1)司机在门店东侧，距离门店 (2)总耗油量为 (3)司机本次一共收到车费为元 【分析】（1）根据题意，进行有理数加法即可得到答案； （2）根据总耗油量单位耗油量总路程，即可得到答案； （3）根据计价标准分别计算每位客人的车费，相加即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：司机在门店东侧，距离门店； （2）解：总路程： 总耗油量：； （3）解：第1单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第2单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第3单：行驶，超过的部分为，费用为（元）； 第4单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第5单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 总车费：（元）． 11．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 【答案】(1)减少9吨，见解析 (2)方案二运费少 【分析】（1）先分别将运进数量×运进次数，运出数量×运出次数，再把它们相加即可求解； （2）分别求出两种方案的运费，再进行比较，即可求解． 【详解】（1）解： 答：这天仓库的原料比原来减少了9吨； （2）解：方案一： （元）， 方案二 （元） ∵ ， ∴方案二运费少，选择方案二比较合适． 1．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵一个数和它的倒数相等，则这个数是， ∴①错误； ∵， ∴， ∴②错误； ∵，且， ∴，同号，且都为负数，即，， ∴， ∴， ∴③正确； 当时，， 当时，， ∴一定是非负数， ∴④正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴⑤正确； 综上，正确的结论共有个． 2．（25-26九年级下·湖北十堰·期末）如果四个互不相等的正整数m、n、p、q满足，则的最大值为（    ） A．40 B．48 C．50 D．52 【答案】C 【分析】根据题意可知、、、是四个互不相等的整数，乘积为9，据此确定四个数的所有可能取值，再根据要让代数式最大，系数大的变量对应取更大的值，计算最大值即可． 【详解】解：m、n、p、q是互不相等的正整数，， 、、、是互不相等的整数， 只能分解为四个互不相等整数的乘积：， 、、、这四个数就是、1、、3， 解得对应的m、n、p、q为1，3，5，7， 要使取得最大值，需让系数最大的变量取最大的数，系数次大的变量取次大的数， 令、、、，代入得： ， 即所求式子最大值为50． 3．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则的值是（   ） A．6 B．9 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法运算，理解题中“铺地锦”的计算方法是关键；按照“铺地锦”的计算方法计算即可求解． 【详解】解：根据“铺地锦”的计算方法可得如图表格， 因此． 故选：B． 4．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某无人机执行航拍任务，固定电量下，飞行路程不变．若此无人机充满电，飞行速度v满足，当飞行速度为时，飞行小时，消耗了的电量．下列说法正确的是（    ） A．无人机飞行速度与时间的关系为 B．无人机最多飞行 C．当速度为时，已经飞行了，还可以飞行 D．无人机飞行的最大航程是 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式、有理数的乘除运算等知识点，掌握相关知识是解题的关键. 由题意，固定电量下飞行路程不变，根据速度为时，飞行小时，消耗了电量，可求出总航程为，进而判断各选项正误． 【详解】解：∵飞行路程不变，且速度为时，飞行小时，消耗了电量， ∴飞行距离为，对应电量， ∴满电量对应总航程为． A．速度v与时间t的关系应为，而非，故A错误，不符合题意； B．当速度最小为时，飞行时间，故B正确，符合题意； C．速度为时飞行，已飞距离，剩余航程，故C错误，不符合题意； D．无人机充满电的最大航程为，故D错误，不符合题意． 故选：B． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国古代数学家很早就对整数乘积最值问题进行了深入研究，《九章算术》中便蕴含着丰富的整数运算与优化思想，彰显了古人对数字规律的智慧探索．请你探究： （1）用数字1，2，3，4组成两个没有重复数字的两位数，使其乘积最小，这两个数是_______； （2）用5个数字组成一个没有重复数字的两位数和一个没有重复数字的三位数，使其乘积最小，这两个数是_______． 【答案】 13和24 和 【分析】要使两个数乘积最小，需将较小数字放在高位，再确定各数位数字，即可得到乘积最小的组合． 【详解】解：（1）根据乘积最小要求，较小数字放在十位，因此十位选择和，剩余和作为个位，得到两种组合，计算得： ， ∵， ∴乘积最小的两个两位数为和． （2）已知，，可得， 要使乘积最小，应将最小的两个数字放在最高位，即，应为两个数的最高位（三位数的百位和两位数的十位），为使乘积更小，应将较小的首位数字用于位数较少的两位数，d用于三位数的百位数，使乘积最小，应使较小的两位数尽可能小，故其个位取剩余数字中最小的， ∴将作为两位数的十位，搭配剩余数字中最小的作为两位数的个位，得到两位数为 剩余的数字，按从小到大的顺序依次放在三位数的十位和个位，三位数的百位为，得到三位数为， ∴得到两位数为，三位数为． 6．若规定，则________． 【答案】 / 【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 7．（25-26七年级上·北京海淀·期末）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表： 车床代号 修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失100元，修复后即可投入生产． （1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序： ①；②；③中，经济损失最少的是________（填序号）； （2）若由两名修理工同时修理车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为________元． 【答案】 ① 10100 【分析】本题考查了推理与论证，有理数的混合运算，找出方案是解题的关键． （1）分别计算出三种方案的总停产时间，比较即可得到答案； （2）因为要先修理时间短的，时间长放在最后，所以两名修理工最后修理的是15分钟和29分钟的，最先修理的是7分钟和8分钟的，据此推理求解即可． 【详解】解：（1）①的总停产时间为分钟， ②的总停产时间为分钟， ③的总停产时间为分钟， ∵， ∴经济损失最少的是①； 故答案为：①； （2）∵要使经济损失最小， ∴总停产时间要最少， ∴要先修理时间短的，时间长放在最后， ∴一最优方案为：一名修理工按顺序修理B（8分钟）、A（15分钟）；另一名修理工按顺序修理D（7分钟）、E（10分钟）、C（29分钟），此时各车床的停产时间分别为8、23、7、17、46分钟（B、A、D、E、C的顺序）， 总停产时间为分钟， ∴最少经济损失为元， 故答案为：． 8．（24-25六年级上·山东烟台·期中）某检修小组乘一辆汽车在东西走向的公路上检修线路，约定向东行为正，某天从A地出发到收工时的行动记录如下（单位：）：，，，，，，，，. (1)请通过计算说明收工时检修小组是否回到A地；如果没有回到A地，说明检修小组最后的位置 (2)直接写出距离A地最近的记录是哪一次？距离A地多远？ (3)求这一天检修小组的总路程，如果汽车耗油是，今天耗油多少L． 【答案】(1)没有回到A地. 检修小组最后的位置在A地东面处 (2)第7次记录距离A地最近，距离A地 (3)这一天检修小组总路程为，今天耗油 【分析】（1）将所有行走记录相加，根据结果是否为0判断是否回到A地，根据结果的正负和绝对值判断最终位置； （2）依次计算每次移动后距离A地的距离，比较大小得到最近的次数和距离； （3）总路程为所有行走记录的绝对值之和，再乘以单位耗油量得到总耗油量． 【详解】（1）解：根据题意，将所有行动记录相加得：， ∵，且结果为正， ∴收工时检修小组没有回到A地，在A地东面处； （2）解：依次计算每次记录后距离A地的距离: 第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； 第7次：； 第8次：； 第9次：； 比较可得， ∴第7次记录距离A地最近，距离为； （3）解：总路程为所有行动记录的绝对值之和： ， 总耗油量为： 答: 这一天检修小组的总路程为，今天耗油． 学科网（北京）股份有限公司 $