专题 2：分数乘法（思维拓展）人教版数学六年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 2：分数乘法 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：分数乘法算理与计算 3 考点二：分数混合运算与简便计算 4 考点三：分数乘法基础应用 —— 连续求几分之几 6 考点四：稍复杂分数乘法应用 —— 比多比少 7 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：约分不彻底，结果不是最简分数 9 易错点 2：单位 “1” 找错 9 易错点 3：乘法分配律错用漏乘 9 易错点 4：比多比少数量关系搞反 9 易错点 5：分数量和分率混淆 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版六年级上册第二单元《分数乘法》核心内容，以 “意义建构→计算进阶→简算优化→实践应用” 为主线，系统覆盖分数乘法算理与计算、分数混合运算与简便计算、分数乘法基础应用、稍复杂实际问题与奥数拓展四大核心模块，渗透转化思想、建模思想、优化思想、应用意识等核心数学素养。 专题遵循教材认知路径：从分数乘整数、分数乘分数的算理入手，理解分数乘法的意义，掌握计算方法与约分技巧；掌握分数混合运算的运算顺序，理解整数乘法运算定律对分数同样适用，掌握简便计算技巧；能解决 “求一个数的几分之几是多少”“连续求几分之几”“比一个数多 / 少几分之几” 等实际问题；延伸错中求解、构造简算、单位 “1” 变化、还原问题等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，为后续分数除法、百分数的学习奠定运算基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 分数乘法算理与计算 分数乘整数、分数乘分数算理；小数乘分数；积与因数的大小关系 约分计算法、规律判断法 约分不彻底；积与因数大小关系混淆 分数混合运算与简便计算 分数混合运算顺序；乘法运算律推广；凑整拆分简算 凑整拆分法、提取公因数法 运算顺序错误；分配律错用漏乘 分数乘法基础应用 求一个数的几分之几；连续求几分之几 单位 1 定位法、连续求分法 单位 “1” 找错；连续求分单位 1 混淆 稍复杂实际问题与奥数拓展 比多比少问题；错中求解；分数还原问题 线段图示法、倒推还原法 比多比少数量关系搞反；倒推顺序颠倒 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 约分计算法 分数乘法计算 ①先交叉约分；②分子乘分子、分母乘分母；③化成最简分数 先约分，后相乘，约彻底，算得准 单位 1 定位法 分数乘法应用题 ①找关键词定单位 “1”；②画线段图理关系；③单位 “1”× 分率 = 对应量 找分率，定单位，求部分，乘法算 凑整拆分法 接近整数的分数简算 ①拆分整数或分数凑整；②运用分配律；③计算结果 见分母凑整数，拆分分配积不变 提取公因数法 乘法分配律逆用 ①构造相同公因数；②提取公因数；③乘剩余部分的和差 变相同，提公因数，用分配，巧计算 连续求分法 连续求几分之几 ①分步定单位 1；②连乘分率；③求最终量 分步定单位，连乘分率得结果 三、数学思维提升 1. 转化思维 核心要点：将分数乘法转化为整数乘法结合约分计算，把新知转化为旧知，理解分数乘法的算理本质，培养转化迁移能力。 专题示例：计算分数乘分数时，分子相乘、分母相乘，本质是整数乘法后再约分，就是转化思维的体现。 2. 建模思想 核心要点：将实际问题中的数量关系转化为分数乘法模型，找准单位 “1”，建立 “单位‘1’的量 × 对应分率 = 对应量” 的数学模型，培养建模能力与应用意识。 专题示例：求一个数的几分之几是多少，用单位 “1” 的量乘分率，就是建模思想的应用。 3. 优化思维 核心要点：运用乘法运算定律对分数混合运算进行简便计算，通过凑整、提取公因数等方法简化运算过程，培养优化意识与运算技巧。 专题示例：用乘法分配律计算复杂的分数混合运算，就是优化思维的典型应用。 4. 应用意识 核心要点：运用分数乘法的知识解决生活中产量增减、商品打折、数量比较等实际问题，体会数学的实用价值，培养实践应用能力。 专题示例：计算商品打折后的价格、计算今年的产量比去年多几分之几，就是应用意识的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：分数乘法算理与计算 能力进阶（★★★）—— 积与因数的规律辨析 题目：不计算，在○里填 “＞”“＜” 或 “＝”，并总结规律。 ○ ○ ○ 解题步骤： ① 分析每个算式中第二个因数与 1 的大小关系：，，。 ② 根据规律判断：一个非零数乘小于 1 的真分数，积小于原数；乘大于 1 的假分数，积大于原数；乘 1，积等于原数。 所以；；。 ③ 验证：计算得，，符合规律。 【答案】＜；＞；＝ 【知识点睛】本题考查分数乘法中积与因数的大小关系，对应教材核心重难点。 核心规律：一个数（0 除外）乘真分数（小于 1），积小于这个数；乘大于 1 的假分数，积大于这个数；乘 1，积等于这个数。 拓展延伸：利用这个规律可以不用计算快速比较大小，也可以检验计算结果的合理性。 易错警示：认为乘一个数积一定变大，忽略小于 1 的分数的情况。 思维拓展（★★★★）—— 错中求解（分母看错） 题目：小马虎计算一道分数乘法时，把其中一个因数的分母看成了 6，得到的积比正确的积少了。正确的积是多少？ 解题步骤： ① 分析因数的变化：原因数是，错看成，因数减少了。另一个因数不变，积减少的部分 = 另一个因数 × 因数减少的部分。 ② 先求出不变的另一个因数：。 ③ 计算正确的积：。 验证：错误的积是，，符合题意。 【答案】正确的积是。 【知识点睛】本题是分数乘法错中求解的奥数题型，考查积的变化规律在分数中的应用。 解题核心：抓住不变的因数，根据因数的变化量和积的变化量，求出不变因数，再计算正确的积。 方法总结：错看分子或分母，先算因数差，积差 ÷ 因数差 = 不变因数。 易错警示：直接用积的差除以分子的差，忽略分母对因数大小的影响。 考点二：分数混合运算与简便计算 能力进阶（★★★）—— 乘法分配律基础应用 题目：用简便方法计算 。 解题步骤： ① 运用乘法分配律，用 24 分别乘括号内的两个分数，再相加，这样可以先约分简化计算： ② 分别约分计算： ，。 ③ 求和得到结果：。 【答案】29 【知识点睛】本题考查乘法分配律在分数中的应用，对应教材简算重难点。 解题核心：括号外的整数分别乘括号里的每个数，再相加 / 减，利用约分简化计算，比先算括号内的加法更简便。 易错警示：只乘第一个数，漏乘第二个数；或者先通分算括号内的，达不到简便目的。 思维拓展（★★★★）—— 构造公因数简便计算 题目：用简便方法计算 。 解题步骤： ① 根据 “交换两个分数的分子，积不变” 的规律，将转化为，构造出相同公因数。 原式 ② 提取公因数，运用乘法分配律逆运算： ③ 计算结果： 。 【答案】 【知识点睛】本题是分数乘法分配律的拓展奥数题型，考查积不变规律与分配律的综合应用。 解题方法：根据 “交换两个分数的分子，积不变” 的规律，将不同的因数转化为相同的公因数，再提取公因数进行简便计算。 技巧总结：分子搬家，积不变，构造相同公因数，再用分配律。 易错警示：转化时只换分子不换分母，导致积发生变化。 考点三：分数乘法基础应用 —— 连续求几分之几 能力进阶（★★★）—— 连续求一个数的几分之几 题目：一块长方形菜地，面积是 120 平方米。种白菜的面积占总面积的，种萝卜的面积是白菜的。种萝卜的面积是多少平方米？ 解题步骤： ① 先求白菜的面积：单位 “1” 是菜地总面积，求白菜面积就是求 120 的是多少。 （平方米） ② 再求萝卜的面积：单位 “1” 是白菜的面积，求萝卜面积就是求 48 的是多少。 （平方米） ③ 综合算式验证：（平方米），也可先算萝卜是总面积的几分之几：，平方米，结果一致。 【答案】种萝卜的面积是 36 平方米。 【知识点睛】本题考查连续求一个数的几分之几的实际问题，对应教材重难点。 解题要点：连续求几分之几，每一步都要找准单位 “1”，求一个数的几分之几是多少用乘法计算。 拓展技巧：可以先求出最终量占最初单位 “1” 的几分之几，再用最初的量乘这个分率，一步计算。 易错警示：第二步单位 “1” 找错，用总面积直接乘。 思维拓展（★★★★）—— 单位 “1” 变化（涨跌问题） 题目：一件衣服原价 180 元，先涨价，再降价。现价和原价相比，是涨了还是降了？变化了多少元？ 解题步骤： ① 先算涨价后的价格：单位 “1” 是原价，涨价后是原价的。 （元） ② 再算降价后的价格：单位 “1” 是涨价后的价格，降价后是涨价后价格的。 （元） ③ 对比原价：，价格不变，变化了 0 元。 验证：现价是原价的，和原价相等，结果一致。 【答案】价格不变，变化了 0 元。 【知识点睛】本题是单位 “1” 变化的经典奥数题型，考查分数乘法中单位 “1” 的转换。 解题核心：涨价和降价的单位 “1” 不同，涨价是在原价基础上，降价是在涨价后的价格基础上，要分别找准单位 “1”。 规律总结：先涨几分之几再降几分之几，若涨和降的分率对应的单位 1 不同，现价不一定等于原价；本题中分率与基数匹配，最终价格回到原价。 易错警示：认为涨和降的分率不同，现价就一定变化，忽略单位 1 的大小影响。 考点四：稍复杂分数乘法应用 —— 比多比少 能力进阶（★★★）—— 比一个数少几分之几 题目：某养殖场养鹅 450 只，鸭的只数比鹅少。鸭有多少只？ 解题步骤： ① 分析数量关系：鸭比鹅少，说明鸭的只数是鹅的。单位 “1” 是鹅的只数。 ② 列式计算： （只） ③ 验证：少的部分：只，只，符合题意。 【答案】鸭有 350 只。 【知识点睛】本题考查 “比一个数少几分之几” 的实际问题，对应教材重难点。 解题方法：比单位 “1” 少几分之几，就用单位 “1” 的量 ×（1 - 几分之几）。 易错警示：直接用，只算少的部分，忘记用总量减。 思维拓展（★★★★）—— 分数还原问题 题目：一堆煤，第一天运走总数的，第二天运走余下的，还剩 60 吨。这堆煤原来有多少吨？ 解题步骤： ① 从最后剩下的量倒推：第二天运走余下的，剩下的就是余下的，对应 60 吨。 第一天运完余下的吨数：（吨） ② 第一天运走总数的，余下的就是总数的，对应 96 吨。 原来的总吨数：（吨） ③ 验证：原来 120 吨，第一天运走 24 吨，剩 96 吨；第二天运走 36 吨，剩 60 吨，符合题意。 【答案】这堆煤原来有 120 吨。 【知识点睛】本题是分数还原问题的奥数题型，考查逆推思想与分数乘除的综合应用。 解题方法：从最后剩下的数量出发，从后往前依次逆推，每一步都用除法，求出上一步的总量。 技巧总结：还原问题，倒着推，剩的量除以对应分率，得前一步的总量。 易错警示：直接用 60 除以两个分率的和，或者倒推顺序搞错。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：约分不彻底，结果不是最简分数 错误示例：，不约分化成最简分数。 正确分析：分数乘法计算结果必须化成最简分数，能约分的要先约分再计算。 修正方法：先交叉约分，分子分母约到最简，再相乘计算。 易错点 2：单位 “1” 找错 错误示例：桃树比梨树多，用桃树的量乘求多的部分。 正确分析：“比、是、占、相当于” 后面的量是单位 “1”，多的部分是单位 “1” 的几分之几。 修正方法：找关键词定位单位 “1”，分率是谁的，谁就是单位 “1”。 易错点 3：乘法分配律错用漏乘 错误示例：，只给第二个数乘括号外的数。 正确分析：括号外的数要和括号里的每个数都相乘，再相加 / 减。 修正方法：分配律，乘分配，个个乘，再相加。 易错点 4：比多比少数量关系搞反 错误示例：比 50 少，列式。 正确分析：比单位 “1” 少几分之几，就乘（1 - 几分之几）；比单位 “1” 多几分之几，就乘（1 + 几分之几）。 修正方法：多就加，少就减，找对单位 1 再计算。 易错点 5：分数量和分率混淆 错误示例：一根绳子长 10 米，用去米，还剩米。 正确分析：带单位的分数是具体量，直接相加减；不带单位的是分率，要用单位 “1” 的量乘分率。 修正方法：看分数带不带单位，带单位直接加减，不带单位用分率算。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 1. 计算：( )；( )。 2. 在○里填 “＞”“＜” 或 “＝”：○；○。 3. 计算：( )。 4. 30 千克的是( )千克；比 24 吨少是( )吨。 5. 一根绳子长 32 米，用去，还剩( )米。 6. 计算：( )。 7. 六（1）班有 45 名学生，男生占，女生有( )人。 8. 一个果园，苹果树有 120 棵，梨树的棵数是苹果树的，桃树的棵数是梨树的，桃树有( )棵。 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 9. 小马虎计算分数乘法时，把因数的分子看成了 8，结果得到的积比正确的多了。正确的积是多少？ 10. 用简便方法计算：。 11. 一件商品原价 200 元，先涨价，再降价，现价是多少元？ 12. 一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩 72 页。这本书一共有多少页？ 13. 用简便方法计算：。 14. 甲仓库存粮 120 吨，乙仓库存粮比甲仓库多，甲仓库运出给乙仓库后，乙仓库比甲仓库多多少吨？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】；14 解题步骤： ① ； ② 。 【知识点睛】考查分数乘法基础计算。核心：先约分再计算。易错警示：结果不约分。 2. 【答案】＜；＞ 解题步骤： ① ，乘小于 1 的数积小于原数； ② ，乘大于 1 的数积大于原数。 【知识点睛】考查积与因数的大小关系。核心：小于 1 的数乘得小，大于 1 的数乘得大。易错警示：填反符号。 3. 【答案】12 解题步骤： ① 乘法分配律：； ② 。 【知识点睛】考查乘法分配律简算。核心：分别相乘再相减。易错警示：先算括号里的减法。 4. 【答案】25；18 解题步骤： ① 千克； ② 吨。 【知识点睛】考查求一个数的几分之几、比少问题。核心：单位 1× 对应分率。易错警示：第二空直接乘。 5. 【答案】20 解题步骤： ① 剩下的分率：； ② 米。 【知识点睛】考查分数乘法实际应用。核心：剩下的量 = 总量 × 剩下的分率。易错警示：直接算用去的量。 6. 【答案】 解题步骤： ① 提取公因数：； ② 。 【知识点睛】考查提取公因数简算。核心：提取公因数，乘和。易错警示：通分计算。 7. 【答案】20 解题步骤： ① 女生分率：； ② 人。 【知识点睛】考查分数乘法实际应用。核心：总人数 × 女生分率 = 女生人数。易错警示：直接乘。 8. 【答案】60 解题步骤： ① 梨树：棵； ② 桃树：棵。 【知识点睛】考查连续求几分之几。核心：分步定单位 1。易错警示：直接乘两个分率的和。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】正确的积是。 解题步骤： ① 原因数，错看成，因数增加了； ② 另一个不变的因数：； ③ 正确的积：。 【知识点睛】考查分数错中求解。核心：积差 ÷ 因数差 = 不变因数。易错警示：直接除以分子差。 10. 【答案】 解题步骤： ① 拆分：； ② 分配律：。 【知识点睛】考查凑整拆分简算。核心：拆整数凑分母约分。易错警示：直接相乘计算。 11. 【答案】现价是 198 元。 解题步骤： ① 涨价后：元； ② 降价后：元。 【知识点睛】考查单位 1 变化的涨跌问题。核心：两次单位 1 不同，分步计算。易错警示：认为现价等于原价。 12. 【答案】一共有 160 页。 解题步骤： ① 第二天后剩下的分率：，对应 72 页，第一天余下：页； ② 全书：页。 【知识点睛】考查分数还原问题。核心：倒推法，从后往前算。易错警示：直接用 72 除以两个分率差。 13. 【答案】 解题步骤： ① 裂项公式：； ② 原式。 【知识点睛】考查分数裂项简算。核心：裂项相消，中间抵消。易错警示：通分硬算。 14. 【答案】乙仓库比甲仓库多 78 吨。 解题步骤： ① 乙原来：吨； ② 甲运出：吨，甲剩下：吨； 乙现在：吨； ③ 相差：吨。 【知识点睛】考查分数乘法综合应用。核心：分别算出现在的量再求差。易错警示：只算运出的量。 1 学科网（北京）股份有限公司 $