奥数培优 倒数的认识与分数除法的算理（讲义）2026-2027学年六年级上册数学人教版

专题四 倒数的认识与分数除法的算理 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点1：倒数的概念与求法（含小数、带分数） 3 考点2：0没有倒数的道理 4 考点3：分数除以整数的算理 5 考点4：一个数除以分数的算理（商不变与倒数转化） 6 考点5：分数除法统一为分数乘法的证明 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点1：倒数概念理解错 8 易错点2：小数带分数求倒错 9 易错点3：0和1的倒数记错 9 易错点4：除法变乘法只变一个 9 易错点5：带符号搬家错 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 ◎ 基础夯实篇 10 ◎ 能力进阶篇 10 ◎ 思维跃迁篇 11 第五部分 精准解析 12 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版六年级上册分数除法的起始内容，围绕倒数的概念与求法（含小数、带分数）、0没有倒数的道理、分数除以整数的算理、一个数除以分数的算理（商不变规律与倒数转化）、分数除法统一为分数乘法的证明五大考点展开，理解倒数概念，掌握分数除法算理，能正确进行分数除法计算，体会转化的数学思想。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 倒数的概念与求法 乘积是1的两个数互为倒数；求分数倒数交换分子分母，整数倒数是1/整数，小数带分数先化分数再求 交换位置法 倒数是相互的，不能单独说某个数是倒数，小数带分数直接颠倒分子分母 0没有倒数 0乘任何数都得0，不可能得1，所以0没有倒数；1的倒数是它本身 反证法 认为0的倒数是0，1没有倒数 分数除以整数 分数除以整数（0除外）等于分数乘这个整数的倒数；本质是把这个数平均分成几份，求其中一份 转化法 除号变乘号，除数没变成倒数，直接用分子除以整数 一个数除以分数 一个数除以分数等于乘这个分数的倒数；用商不变规律证明：被除数除数同乘除数的倒数，除数变1 商不变证明法 只变除数不变被除数，除号没变就直接乘倒数 分数除法统一法则 甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数；所有分数除法都统一为分数乘法计算 统一法则法 除法和乘法混淆，除以一个数错乘成除以倒数 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 倒数求法 求各类数的倒数 分数交换分子分母→整数写成分母1的分数再交换→小数带分数先化假分数再交换 倒数相互依存，求倒先化分，交换分子母 特殊数倒数法 0和1的倒数 1的倒数是1→0和任何数相乘不得1→0没有倒数 1倒是1，0无倒数，记牢不犯错 分数除以整数法 分数除以整数计算 除号变乘号→整数变倒数→按分数乘法计算 除以整数，变乘倒数，先约后乘更简单 一个数除以分数法 整数/分数除以分数 被除数不变→除号变乘号→除数变倒数→按乘法计算 除以分数，变乘倒数，商不变来证明 统一法则法 所有分数除法计算 一看：看清除数→二变：除变乘，除数变倒→三算：按乘法计算→四约：先约分再算 一看二变三算四约，分数除法都搞定 三、奥数思维提升 1. 转化思想：除法转乘法 核心要点：分数除法的核心是转化，把未知的分数除法转化为已经学过的分数乘法计算，把新知转化为旧知，体现转化思想。 示例：所有分数除法都转化为乘倒数，变成我们已经会算的分数乘法，再用分数乘法的方法计算。 2. 数形结合思想：算理直观化 核心要点：分数除法算理用画图（面积模型、线段图）直观展示，让抽象的算理变得具体可感，体现数形结合思想。 示例：把平均分成2份，画图就是把4个平均分成2份，每份2个就是，直观理解算理。 3. 推理思想：商不变规律证明 核心要点：用商不变的规律证明一个数除以分数等于乘倒数，通过严谨推理得到计算法则，培养推理意识。 示例：2÷，被除数除数同乘，除数变成1，结果就是2×，通过推理得到法则。 4. 模型思想：倒数模型 核心要点：互为倒数的两个数乘积是1，建立倒数模型，为分数除法计算奠定基础，体现模型思想。 示例：不管是整数、分数、小数、带分数，只要乘积是1就互为倒数，模型统一。 5. 对立统一思想：乘除互逆 核心要点：乘法和除法是互逆运算，分数除法通过倒数转化为乘法，体现对立统一的辩证思想。 示例：除以一个数等于乘它的倒数，乘除可以互相转化，不是绝对对立的。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点1：倒数的概念与求法（含小数、带分数） 典型例题 1（基础型） 题目：求、7、0.25的倒数。 思路点拨： ① 是分数，交换分子分母得； ② 7是整数，写成，交换得； ③ 0.25化分数，交换得4。 【答案】的倒数是，7的倒数是，0.25的倒数是4 【知识点睛】求倒数先化成分数，再交换分子分母位置。 典型例题 2（提高型） 题目：求1、1.2的倒数。 思路点拨： ① 1化假分数，交换得； ② 1.2化分数，交换得； ③ 答案如上。 【答案】1的倒数是，1.2的倒数是 【知识点睛】带分数、小数先化成假分数再求倒数。 典型例题 3（奥数型） 题目：一个数和它的倒数的和是2，这个数是多少？ 思路点拨： ① 2=2+，2的倒数是； ② 所以这个数是2； ③ 验证：2+=2，正确。 【答案】2 【知识点睛】整数（0、1除外）的倒数是几分之一，和为整数加几分之一。 考点2：0没有倒数的道理 典型例题 1（基础型） 题目：判断：0的倒数是0。（ ） 思路点拨： ① 0乘任何数都得0，不可能得1； ② 0没有倒数； ③ 说法错误。 【答案】× 【知识点睛】0和任何数相乘都不得1，所以0没有倒数。 典型例题 2（提高型） 题目：判断：1的倒数是1，0的倒数是0。（ ） 思路点拨： ① 1×1=1，所以1的倒数是1，正确； ② 0没有倒数，后半句错误； ③ 整个说法错误。 【答案】× 【知识点睛】1的倒数是它本身，0没有倒数。 典型例题 3（奥数型） 题目：为什么0没有倒数？请用自己的话说一说。 思路点拨： ① 倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数； ② 0乘任何数都等于0，不可能等于1； ③ 所以0没有倒数。 【答案】因为0乘任何数都得0，不可能得到1，不符合倒数的定义，所以0没有倒数 【知识点睛】根据倒数的定义，乘积是1才互为倒数。 考点3：分数除以整数的算理 典型例题 1（基础型） 题目：计算： ÷ 2 思路点拨： ① 分数除以整数等于乘整数的倒数； ② × = ； ③ 结果是。 【答案】 【知识点睛】分数除以整数（0除外）等于乘这个整数的倒数。 典型例题 2（提高型） 题目：计算： ÷ 6 思路点拨： ① 除号变乘号，6变倒数； ② × = ； ③ 结果是。 【答案】 【知识点睛】先约分再计算更简便。 典型例题 3（奥数型） 题目：把米长的绳子平均剪成5段，每段长多少米？ 思路点拨： ① 平均分用除法， ÷ 5； ② × = 米； ③ 每段长米。 【答案】米 【知识点睛】平均分问题用除法，除以段数。 考点4：一个数除以分数的算理（商不变与倒数转化） 典型例题 1（基础型） 题目：计算：2 ÷ 思路点拨： ① 除以分数等于乘分数的倒数； ② 2 × = 3； ③ 结果是3。 【答案】3 【知识点睛】整数除以分数等于乘这个分数的倒数。 典型例题 2（提高型） 题目：计算： ÷ 思路点拨： ① 除号变乘号，变倒数； ② × = 2； ③ 结果是2。 【答案】2 【知识点睛】分数除以分数等于乘除数的倒数，先约分再算。 典型例题 3（奥数型） 题目：小明小时走了2千米，他1小时走多少千米？ 思路点拨： ① 求速度用路程÷时间，2 ÷ ； ② 2 × = 3千米； ③ 1小时走3千米。 【答案】3千米 【知识点睛】路程除以时间等于速度，除以分数乘倒数。 考点5：分数除法统一为分数乘法的证明 典型例题 1（基础型） 题目：判断：分数除法都可以转化为分数乘法计算。（ ） 思路点拨： ① 甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数； ② 所有分数除法都能转成乘法； ③ 说法正确。 【答案】√ 【知识点睛】分数除法统一法则：除以一个不为0的数等于乘它的倒数。 典型例题 2（提高型） 题目：用商不变规律证明：a ÷ b/c = a × c/b（b、c≠0） 思路点拨： ① 根据商不变规律，被除数除数同时乘c/b； ② 除数b/c × c/b = 1； ③ 所以结果是a × c/b ÷ 1 = a×c/b，得证。 【答案】被除数除数同乘除数的倒数，除数变为1，结果就是被除数乘除数的倒数 【知识点睛】用商不变规律可以证明分数除法法则。 典型例题 3（奥数型） 题目：如果a÷ = b÷ = c÷（a、b、c都不为0），比较a、b、c的大小。 思路点拨： ① 转化为乘法：a× = b× = c×； ② 因为>>，乘积相等时，乘的数越大原数越小； ③ 所以a<b<c。 【答案】a<b<c 【知识点睛】除法转乘法，乘积相等时，因数越大另一个因数越小。 第三部分 易错避坑指南 易错点1：倒数概念理解错 错误示例：错误认为“是倒数”“是倒数”，单独说某个数是倒数。 正确分析：倒数是相互依存的，是两个数之间的关系，必须说“谁是谁的倒数”“谁和谁互为倒数”，不能单独存在。 修正方法：说倒数时一定要说“互为”，或者说“谁的倒数是谁”，不能单独说一个数是倒数。 易错点2：小数带分数求倒错 错误示例：求0.5的倒数直接写成5.0，求1的倒数直接写成1。 正确分析：小数、带分数求倒数必须先化成假分数，再交换分子分母，不能直接颠倒。 修正方法：小数带分数求倒数，先化假分数，再交换分子分母，不要直接颠倒。 易错点3：0和1的倒数记错 错误示例：错误认为0的倒数是0，1没有倒数。 正确分析：1×1=1，所以1的倒数是它本身1；0乘任何数都得0，不可能得1，所以0没有倒数。 修正方法：记住：1的倒数是1，0没有倒数，不要记反。 易错点4：除法变乘法只变一个 错误示例：计算÷2，错写成×2=，或者除号没变直接乘倒数。 正确分析：分数除法两变：除号变乘号，除数变成它的倒数，两个都要变，不能只变一个。 修正方法：分数除法要记住“两变”：除号变乘号，除数变倒数，两个都要变，被除数不变。 易错点5：带符号搬家错 错误示例：计算÷3×，错算成÷(3×)=÷4=。 正确分析：乘除同级运算带符号搬家，数字要带着前面的符号，×÷3=。 修正方法：乘除混合从左到右算，或者带符号搬家，不要随便加括号变号。 第四部分 分层进阶专题精练 ◎ 基础夯实篇 1. 的倒数是____，7的倒数是____ 2. 0.4的倒数是____，1的倒数是____ 3. 判断：0的倒数是0。（ ） 4. 计算： ÷ 3 = ____ 5. 计算：4 ÷ = ____ 6. ____的倒数是它本身，____没有倒数 7. 把米平均分成3段，每段长____米 8. 判断：分数除法都可以转化为分数乘法计算。（ ） ◎ 能力进阶篇 9. 求0.75、2的倒数 10. 计算： ÷ = ____ 11. 计算： ÷ 10 = ____ 12. 一个数的倒数是，这个数的是多少？ 13. 小红小时走了3千米，1小时走多少千米？ 14. 把升果汁分装在容量是升的小瓶里，可以装几瓶？ 15. 如果a÷ = b÷（a、b≠0），比较a和b的大小：a____b ◎ 思维跃迁篇 16. 一个数和它倒数的差是14，这个数是多少？ 17. 计算：2024 ÷ 2024 18. 一根绳子剪去后还剩米，这根绳子原来长多少米？ 19. 甲数的等于乙数的，甲数是乙数的几分之几？ 20. 小明在计算除法时，把除以3看成乘3，结果得，正确结果是多少？ 第五部分 精准解析 ◎ 基础夯实篇解析 1. 【答案】， 思路点拨： ① 分数倒数交换分子分母，整数倒数是1/整数； ② 答案如上。 【知识点睛】倒数基本求法。 2. 【答案】， 思路点拨： ① 0.4=倒数，1=倒数； ② 答案如上。 【知识点睛】小数带分数先化分数再求倒。 3. 【答案】× 思路点拨： ① 0没有倒数； ② 说法错误。 【知识点睛】0没有倒数。 4. 【答案】 思路点拨： ① ×=； ② 结果。 【知识点睛】分数除以整数。 5. 【答案】10 思路点拨： ① 4×=10； ② 结果10。 【知识点睛】整数除以分数。 6. 【答案】1，0 思路点拨： ① 1的倒数是1，0没有倒数； ② 答案如上。 【知识点睛】特殊数的倒数。 7. 【答案】 思路点拨： ① ÷3=米； ② 每段长米。 【知识点睛】平均分用除法。 8. 【答案】√ 思路点拨： ① 分数除法统一转乘法； ② 说法正确。 【知识点睛】分数除法统一法则。 ◎ 能力进阶篇解析 9. 【答案】， 思路点拨： ① 0.75=倒数，2=倒数； ② 答案如上。 【知识点睛】小数带分数求倒。 10. 【答案】 思路点拨： ① ×=； ② 结果。 【知识点睛】分数除以分数。 11. 【答案】 思路点拨： ① ×=； ② 结果。 【知识点睛】分数除以整数。 12. 【答案】1 思路点拨： ① 这个数是，×=1； ② 结果是1。 【知识点睛】倒数的应用。 13. 【答案】4千米 思路点拨： ① 3÷=4千米； ② 1小时走4千米。 【知识点睛】速度=路程÷时间。 14. 【答案】6瓶 思路点拨： ① ÷=6瓶； ② 可以装6瓶。 【知识点睛】包含除用除法。 15. 【答案】< 思路点拨： ① 转乘法a×=b×，>，所以a<b； ② a<b。 【知识点睛】除法转乘法比较大小。 ◎ 思维跃迁篇解析 16. 【答案】15 思路点拨： ① 15-=14； ② 这个数是15。 【知识点睛】整数和它倒数的和差特点。 17. 【答案】 思路点拨： ① 先将除数化为假分数：； ② 除法转化为乘法：原式 = ； ③ 约分后计算：2024 可约掉，结果为。 【知识点睛】带分数除法简算，先将带分数化为假分数，再通过约分简化计算。 18. 【答案】米 思路点拨： ① 剩下对应米，÷=米； ② 原长米。 【知识点睛】量率对应，已知部分求整体用除法。 19. 【答案】 思路点拨： ① 甲×=乙×，甲=乙×； ② 甲是乙的。 【知识点睛】等量转换求分率。 20. 【答案】 思路点拨： ① 原数=÷3=，正确结果=÷3=； ② 正确结果。 【知识点睛】逆推法，先求原数再算正确结果。 1 学科网（北京）股份有限公司 $