专题3.3-3.4 立方根、实数的运算（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

专题3.3-3.4 立方根、实数的运算 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：立方根 1 知识点梳理02：实数的运算 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：立方根概念理解 2 考点2：求一个数的立方根 3 考点3：已知一个数的立方根，求这个数 4 考点4：立方根的实际应用 6 考点5：与立方根有关的规律探索 7 考点6：算术平方根和立方根的综合应用 8 考点7：实数的混合运算 9 考点8：实数运算的实际应用 10 考点9：计算器——平方根和立方根 13 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 19 知识点梳理01：立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点梳理02：实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 考点1：立方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·单元测试）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了立方根的定义和性质，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义和性质逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①根据立方根的定义，负数有立方根，该选项错误，符合题意； ②0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该选项错误，符合题意； ③该选项正确，不符合题意； ④的立方根是，该选项错误，符合题意； 故错误的选项为①②④， 故选：B． 【变式训练01】（24-25七年级下·全国·单元测试）的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值，对照选项即可． 【规范解答】解：∵， ∴的立方根是， 故选：D． 【变式训练02】（25-26八年级上·全国·随堂练习）0的立方根是 ，立方根等于它本身的数是 ． 【答案】 0 ，0 【思路点拨】本题考查了立方根的知识，掌握立方根的概念是解题关键． 本题根据立方根的概念，进行作答，即可求解． 【规范解答】解：0的立方根是0，立方根等于它本身的数是0，； 故答案为：0；，0 考点2：求一个数的立方根 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查算术平方根，立方根的定义，掌握算术平方根一定是非负数，一个数的立方根只有一个，符号跟被开方数一致是解题的关键． 【规范解答】A、，故A错误； B、，，故B错误； C、，，故C错误； D、，故D正确； 故选：D． 【变式训练01】（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）的立方根为（ ） A． B． C． D．没有立方根 【答案】C 【思路点拨】本题考查了立方根，根据立方根，即可解答． 【规范解答】解：的立方根是． 故选：C． 【变式训练02】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上表示下列各数，，，，，并用“”连接起来． 【答案】见解析， 【思路点拨】本题考查了数轴、立方根，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先计算立方根，再画出数轴，根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大即可得． 【规范解答】解：， 在数轴上表示各数如下： 则． 考点3：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，； (2)3 【思路点拨】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根的定义可直接求解． 【规范解答】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，； （2）当，时，， ∴的立方根为3． 【变式训练01】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根是7．求的平方根． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据算术平方根、立方根的概念得到，，求出，再代入代数式计算代数式的值，再求解平方根． 【规范解答】解：∵的立方根是的算术平方根是7， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴其平方根为． 【变式训练02】（24-25七年级上·山东东营·期中）已知的立方根为2，的算术平方根为4，求的平方根． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的平方根，根据立方根和算术平方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根， 若满足，那么a就叫做b的立方根，据此先求出x、y的值，再求出的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【规范解答】解：∵的立方根为2， ∴， ∴； ∵的算术平方根为4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 考点4：立方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）一个正方体的体积是16，则它的棱长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了立方根的应用，根据一个正方体的体积是16，则它的棱长是，即可作答． 【规范解答】解：∵一个正方体的体积是16，且棱长棱长棱长体积， ∴它的棱长是， 故答案为： 【变式训练01】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了立方根的应用，由正方体的体积及立方根即可求解． 【规范解答】解：设正方体的棱长为a，则， ∴， 故答案为：4． 【变式训练02】（24-25七年级下·广西百色·期中）七年级（1）班的班委准备把一个容积是的正方体纸箱用作“暖冬行动”的捐款“爱心箱”，则这个“爱心箱”的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是明确正方体体积是棱长的立方，会求立方根． 根据正方体体积是棱长的立方，求的立方根即可． 【规范解答】解：∵正方体体积是棱长的立方， ∴体积为的正方体的棱长是． 故答案为：A． 考点5：与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位．由题意，当被开方数的小数点每移动6位，则开立方的结果小数点向相同方向移动2位，即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练01】（24-25七年级下·河北·阶段练习）已知，，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了立方根，正确理解题意、找到规律是关键．根据已知的式子结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答，注意符号． 【规范解答】解：，，，， ， ， 故答案为：． 【变式训练02】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【思路点拨】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【规范解答】解：， ∴， 故选B． 考点6：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江西赣州·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题重点考查​算术平方根和立方根的概念与计算​，​准确理解算术平方根（非负实数的非负平方根）和立方根（实数的唯一立方根）的定义是解题的关键​． 根据算术平方根和立方根的概念求值计算即可​． 【规范解答】∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式训练01】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【思路点拨】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式训练02】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【思路点拨】此题考查了立方根，以及算术平方根和平方根，利用立方根及算术平方根的定义列出方程，得到a与b的值，确定出的值，即可求出的平方根．熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【规范解答】解：∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 考点7：实数的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·青海海西·期中）化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘方和开方，再算加减即可； （2）利用加法的交换律和结合律计算即可． 【规范解答】（1） （2） 【变式训练01】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，实数运算等知识﹒先估算出，得到，，即可求出﹒ 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分，小数部分， ∴﹒ 故答案为： 【变式训练02】（24-25七年级下·青海海西·期中）的平方根是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，先计算原式的值，再求其平方根．平方根包括正负两个值． 【规范解答】解：∵， ∴ 2的平方根是 ． 故选C． 考点8：实数运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【答案】(1)20； (2)4． 【思路点拨】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积． 【规范解答】（1）解：两个正方形的面积分别为4、16， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， 长方形的周长为； （2）解：， 即图中两块阴影部分的面积之和为4． 【变式训练01】（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【思路点拨】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【规范解答】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【变式训练02】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【思路点拨】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【规范解答】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 考点9：计算器——平方根和立方根 【典例精讲】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了利用计算器求立方根．根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【规范解答】 解：依次按键，对应的计算是． 故选：A． 【变式训练01】（25-26八年级上·全国·课后作业）若用我们数学课本上的科学计算器进行计算，按键顺序为 ，按键结果为m；按键顺序为 ，按键结果为n．则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查计算器-基础知识，解答本题的关键是明确平方根的副功能键是立方根． 根据题目中的运算程序，可以分别计算出、的值，然后比较大小即可． 【规范解答】解：由题意可得， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练02】（24-25七年级下·全国·单元测试）利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）： (1)； (2)． 【答案】(1)0.68 (2) 【思路点拨】本题考查了求算术平方根、求平方根，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用计算器并结合算术平方根的定义计算即可得解； （2）利用计算器并结合平方根的定义计算即可得解． 【规范解答】（1）解：； （2）解：． 1．（2024·甘肃武威·中考真题）在下列各数：3.14，，，、、中无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路点拨】本题考查了无理数的判断，无理数指无限不循环小数，熟记无理数的定义是解题关键． 根据无理数的定义判断即可． 【规范解答】解：3.14是有理数； 是无理数； 是无理数； 是无理数； 是有理数； ，是有理数． ∴无理数有3个． 故选：B． 2．（2024·浙江宁波·中考真题）在数轴上表示下列各数，0，，，，并用“”连接起来． 【答案】见解析， 【思路点拨】本题主要考查数轴及实数的大小比较，熟练掌握数轴上数的表示及实数的大小比较是解题的关键． 分别根据去绝对值、算术平方根、乘方和立方根，计算出各数，再根据所得的数在数轴上表示出来即可．根据数轴将各数按从小到大排列即可 【规范解答】解：，，，， 各数在数轴上表示如下： 按从小到大排序为： ． 3．（2024·宁夏吴忠·中考真题）的平方根为 ，的相反数是 ． 【答案】 2 【思路点拨】本题考查了平方根，立方根，相反数，根据平方根、立方根、相反数的定义求解即可． 【规范解答】解：∵，的平方根为， ∴的平方根为， ∵，的相反数为， ∴的相反数是， 故答案为：． 4．（2024·全国·中考真题）计算： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数的运算，掌握相应的运算法则是关键． 先计算开方和求绝对值，再计算加减即可． 【规范解答】解：原式 ． 5．（2024·贵州贵阳·中考真题）计算：． 【答案】9 【思路点拨】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 首先计算乘方、开方、去绝对值符号、然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【规范解答】解： ． 基础夯实 1．（23-24七年级下·广东广州·期中）下列判断：①10的平方根是；②与互为相反数；③0.1的算术平方根是0.01；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查平方根、立方根和算术平方根的概念，掌握平方根、立方根和算术平方根的定义是解题关键，注意算术平方根的非负性，根据定义逐一判断各命题的正确性． 【规范解答】解：∵ 10的平方根是，故①正确； ∵与互为相反数，故②正确； ∵0.1的算术平方根是，而，故③错误； ∵成立，故④正确； ∴正确的命题有3个， 故选：C． 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】C 【思路点拨】本题考查绝对值、相反数、立方根等基本概念．根据绝对值的意义，相反数的定义以及立方根的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A．绝对值是的数有和，而A只提到，故原说法错误； B．的相反数是，不是，故原说法错误； C．∵，∴，故原说法正确； D．，其相反数为2，不是，故原说法错误． 故选：C． 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查平方根、立方根和绝对值的概念．根据算术平方根的非负性、立方根的性质以及平方运算规则，逐一判断各选项． 【规范解答】解：A．，故原计算错误； B． ，故原计算错误； C．，，则，故原计算错误； D．，故原计算正确， 故选：D． 4．（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键，根据绝对值的定义化简即可得到答案． 【规范解答】解：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的运算，先化简各表达式，然后再进行计算即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【规范解答】解：， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）8的立方根是 ． 【答案】2 【思路点拨】本题主要考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【规范解答】解：8的立方根是， 故答案为：2． 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）若实数m，n满足，则的立方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查的是绝对值的非负性，求一个数的立方根等知识．利用平方及绝对值的非负性，可求出，，代入即可进行求解． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·全国·期中）（1）求出下列各数： ①5的平方根为 ；② ； ③的算术平方根为 ；④ ． （2）请将（1）中的每个数近似的表示在数轴上，并用“<”连接起来． 【答案】（1）±；；2；π （2）数轴见解析， 【思路点拨】（1）①根据平方根的定义求解即可；②根据立方根定义求解即可；③根据算术平方根的定义求解即可；④根据绝对值的性质化简即可； （2）将各数表示在数轴上，然后根据数轴上的数越往右的数越大比较大小即可． 【规范解答】解：（1）①5的平方根为；②；③的算术平方根为2；④； 故答案为：；；2；π； （2）如图所示， ∴． 9．（23-24七年级下·广西南宁·期中）已知：的立方根是的算术平方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的平方根，无理数的估算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义可求出a、b的值，估算出的取值范围可求出c的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义可得答案． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是的算术平方根是 ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵4的平方根为， ∴的平方根为． 10．（23-24七年级下·四川广安·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，先计算乘法与算术平方根，再计算乘法，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解： ． 培优拔高 11．（24-25七年级下·广东广州·期中）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 12．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查平方根与算术平方根，实数的运算，熟练掌握会求一个数的平方根与算术平方根是解题的关键． 根据实数的运算法则，以及平方根与算术平方根定义逐项计算判断即可． 【规范解答】解：A、，计算正确，故此选项符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 13．（24-25七年级下·云南丽江·期末）在实数，0，，，，中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中，是有理数中的整数．由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【规范解答】解：在实数，0，，，，中， 无理数是：，，共2个； 故选：B． 14．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．因为且，可得，求出后代入求值即可． 【规范解答】解：∵，且， ∴， ， ． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·吉林·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了立方根，算术平方根，根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，即可得出结果，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的算术平方根， ∴， ∴， ∵是的立方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为 【答案】/ 【思路点拨】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．分别估算，的大小后即可求得，，然后将它们相加即可． 【规范解答】解：，， ，， ，， ，， 原式， 故答案为： 17．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）设，，且，则 【答案】1 【思路点拨】此题主要考查了分式的加减，充分利用这个关系，对中的a、b都用c进行替换即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴，则，，均为正数， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 18．（23-24七年级下·云南普洱·期末）计算：． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了实数的混合运算，首先根据立方根的定义可得：，根据绝对值的定义可得:，可得：原式，再合并同类二次根式即可． 【规范解答】解： ． 19．（2025七年级上·浙江·专题练习）对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为． (1)计算：； (2)填空： （填“”“”或“”）； (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 【答案】(1) (2)＝ (3)满足，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查立方根，平方根的运算，新定义的运算，关键在于读懂新定义的运算规则及运算模式进行套用即可． （1）即可计算； （2）根据题意的运算规则，即可进行判断； （3）对于实数，则交换，位置有． 【规范解答】（1）解：； （2）解：由运算规则得， ， ， 故， 故答案为：＝； （3）解：满足 理由如下： ∵对于实数， ， ∴这种运算“”满足交换律 20．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）已知的立方根是3，的一个平方根是． (1)求a ，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)的平方根为． 【思路点拨】本题考查了立方根和平方根的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和平方根的定义即可求解； （2）把的值代入求出其值，再根据平方根的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵的一个平方根是， ∴， 把代入，得：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3-3.4 立方根、实数的运算 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：立方根 1 知识点梳理02：实数的运算 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：立方根概念理解 2 考点2：求一个数的立方根 3 考点3：已知一个数的立方根，求这个数 3 考点4：立方根的实际应用 3 考点5：与立方根有关的规律探索 4 考点6：算术平方根和立方根的综合应用 4 考点7：实数的混合运算 4 考点8：实数运算的实际应用 5 考点9：计算器——平方根和立方根 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 7 基础夯实 7 培优拔高 8 知识点梳理01：立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 知识点梳理02：实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 考点1：立方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·单元测试）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【变式训练01】（24-25七年级下·全国·单元测试）的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练02】（25-26八年级上·全国·随堂练习）0的立方根是 ，立方根等于它本身的数是 ． 考点2：求一个数的立方根 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练01】（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）的立方根为（ ） A． B． C． D．没有立方根 【变式训练02】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上表示下列各数，，，，，并用“”连接起来． 考点3：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【变式训练01】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知的立方根是的算术平方根是7．求的平方根． 【变式训练02】（24-25七年级上·山东东营·期中）已知的立方根为2，的算术平方根为4，求的平方根． 考点4：立方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）一个正方体的体积是16，则它的棱长是 ． 【变式训练01】（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，小宇有一个由硬塑料制成的三阶魔方，其形状是正方体．如果它的体积为，那么它的棱长为 ． 【变式训练02】（24-25七年级下·广西百色·期中）七年级（1）班的班委准备把一个容积是的正方体纸箱用作“暖冬行动”的捐款“爱心箱”，则这个“爱心箱”的棱长为（   ） A． B． C． D． 考点5：与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北·阶段练习）已知，且，则 ． 【变式训练01】（24-25七年级下·河北·阶段练习）已知，，，，则 ． 【变式训练02】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 考点6：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江西赣州·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为 ． 【变式训练01】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【变式训练02】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 考点7：实数的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·青海海西·期中）化简求值： (1)； (2)． 【变式训练01】（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为 ． 【变式训练02】（24-25七年级下·青海海西·期中）的平方根是（  ） A． B． C． D． 考点8：实数运算的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【变式训练01】（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【变式训练02】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 考点9：计算器——平方根和立方根 【典例精讲】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 【变式训练01】（25-26八年级上·全国·课后作业）若用我们数学课本上的科学计算器进行计算，按键顺序为 ，按键结果为m；按键顺序为 ，按键结果为n．则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练02】（24-25七年级下·全国·单元测试）利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）： (1)； (2)． 1．（2024·甘肃武威·中考真题）在下列各数：3.14，，，、、中无理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·浙江宁波·中考真题）在数轴上表示下列各数，0，，，，并用“”连接起来． 3．（2024·宁夏吴忠·中考真题）的平方根为 ，的相反数是 ． 4．（2024·全国·中考真题）计算： 5．（2024·贵州贵阳·中考真题）计算：． 基础夯实 1．（23-24七年级下·广东广州·期中）下列判断：①10的平方根是；②与互为相反数；③0.1的算术平方根是0.01；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 3．（2025七年级上·浙江·专题练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习） ． 5．（24-25七年级下·重庆·期末）计算： ． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）8的立方根是 ． 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）若实数m，n满足，则的立方根是 ． 8．（25-26七年级上·全国·期中）（1）求出下列各数： ①5的平方根为 ；② ； ③的算术平方根为 ；④ ． （2）请将（1）中的每个数近似的表示在数轴上，并用“<”连接起来． 9．（23-24七年级下·广西南宁·期中）已知：的立方根是的算术平方根是是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 10．（23-24七年级下·四川广安·期末）计算：． 培优拔高 11．（24-25七年级下·广东广州·期中）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·云南丽江·期末）在实数，0，，，，中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知 、 都是实数，且满足 ，则 的立方根是 ． 15．（24-25七年级下·吉林·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则 ． 16．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为 17．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）设，，且，则 18．（23-24七年级下·云南普洱·期末）计算：． 19．（2025七年级上·浙江·专题练习）对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为． (1)计算：； (2)填空： （填“”“”或“”）； (3)我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 20．（25-26七年级上·吉林·阶段练习）已知的立方根是3，的一个平方根是． (1)求a ，b的值； (2)求的平方根． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $