专题3.1 平方根（13题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

本初中数学讲义聚焦平方根与算术平方根核心知识点，从平方逆运算引入开平方，系统构建概念、性质及符号表示的学习支架，涵盖定义、性质、运算及实际应用，形成完整知识脉络。 资料通过“知识点-即学即练-题型拓展”分层设计，结合中考真题与实际问题，培养抽象能力、运算能力和应用意识。课中助力教师高效教学，课后学生可通过变式练习巩固提升，有效查漏补缺。

专题3.1 平方根 教学目标 1. 理解平方根与算术平方根的概念，掌握其性质与符号表示。 2. 了解开平方是平方的逆运算，能用平方运算求非负数的平方根与算术平方根。 3. 能运用平方根知识解决简单实际问题，在数系扩充中发展抽象与运算能力。 教学重难点 教学重点 1. 由平方的逆运算引入开平方，抽象并建立平方根与算术平方根的概念。 2. 掌握用根号正确表示非负数的平方根与算术平方根的方法。 教学难点 1. 学生对根号这一抽象符号的必要性及含义的理解与接受存在困难。 2. 学生难以适应开平方运算中结果由“一对一”向“一对二”（正负两个根）的转变。 知识点01 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 【即学即练1-1】（2026·山东东营·中考真题）2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ，且， ∴ 2的算术平方根是． 【即学即练1-2】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）计算：___________． 【答案】 【详解】解：． 知识点02 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【即学即练2-1】（2026·甘肃嘉峪关·二模）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 【即学即练2-2】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）的平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，找到平方等于的数即可得到结果. 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根是. 知识点03 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【即学即练3-1】（25-26七年级下·广东汕尾·阶段检测）按要求解答问题： (1)计算：_________，_________． (2)根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于吗？_________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_________；_________． 【答案】(1)； (2)①不一定；②； 【分析】（1）根据公式：，计算即可． （2）①由（1）中可知不一定等于；②根据的取值范围得到和的取值范围，进而得到答案. 【详解】（1）解：根据， 可得：，； （2）解：①∵，当时，，当时，， ∴不一定等于； ②∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴. 题型01 求一个数的算术平方根 【典例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）的值等于________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期末）计算：______． 【答案】3 【详解】解：． 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期末）的算术平方根是_________． 【答案】 【详解】解：因为， 所以的算术平方根是． 【变式3】（25-26七年级下·江西·期末）________． 【答案】 【详解】， ， ． 题型02 利用算术平方根的非负性解题 【典例2】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若实数 、 满足 ，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出，的值，再计算 即可． 【详解】解：，，且， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则_______． 【答案】2 【分析】根据被开方数为非负数，求出的值，进而求出的值，再进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ，且 ， ∴， ∴. 【变式2】（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）已知，则的值是______． 【答案】13 【分析】根据算术平方根的意义确定的值，再代入求出，最后计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 因此． 将代入 ，得： 因此． 【变式3】（25-26八年级下·新疆喀什·阶段检测）若，则 ____________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性求出a，b的值，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：， ，． 解得，． ． 题型03 估计算术平方根的取值范围 【典例3】（2026·上海奉贤·三模）请写出比大且比小的所有整数：_______． 【答案】和 【分析】先估算和的取值范围，再找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：因为 ，所以 ，即 .； 又因为 ，所以 ，即 ； 因此可得 ， 所以比大且比小的所有整数为，． 【变式1】（25-26九年级下·重庆开州·期中）若n为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【分析】先估算出的取值范围，再结合已知不等式即可确定正整数的值． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）设为正整数，且，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ 【变式3】（25-26九年级下·重庆渝北·开学考试）若为正整数，且满足，则________． 【答案】6 【分析】找出与38相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而得到符合条件的正整数． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵为正整数，且满足， ∴． 题型04 求算术平方根的整数部分和小数部分 【典例4】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）的整数部分值为________． 【答案】2 【分析】确定介于哪两个相邻整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：， ，即， 的整数部分为． 【变式1】（25-26七年级下·广东汕头·期末）的小数部分为__________． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，得到它的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：，， ， ∴， 的整数部分为， 的小数部分为． 【变式2】（25-26七年级上·重庆合川·期末）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，代数式求值，找出离19最近的两个平方数，求出的取值范围，进而求出a，b，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）若的整数部分是，的整数部分是，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 利用估算方法求出和的值后代入运算即可． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 题型05 利用算术平方根的性质化简 【典例5】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段检测）化简：______． 【答案】12 【分析】本题考查了算术平方根，先计算平方根和平方的值，再求和，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：12． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 【答案】/ 【分析】首先根据数轴确定的大小关系，然后根据绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，从而进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级上·湖南·期末）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，据此计算算术平方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）化简：________；________；________；________； （2）根据（1）的计算结果，化简，． 【答案】（1）0.01；25；4；7；（2）； 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义进行求解； （2）根据（1）的计算结果，归纳可得，． 【详解】（1）； ； ； ； （2）根据（1）的计算结果可得；． 题型06 与算术平方根有关的规律探索题 【典例6】（25-26七年级下·广西南宁·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出与存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：； (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】（1）根据已知等式总结规律即可； （2）①利用所得规律计算即可； ②利用所得规律计算即可； （3）根据题意列式后利用所得规律计算即可． 【详解】（1）解：由已知等式可得当时，； （2）解：①原式 ； ②原式 ； （3）解： ， 即长方形的面积为15． 【变式1】（25-26七年级下·广东东莞·期中）根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 【答案】(1)①1；②3；③6；④10；55 (2) (3)24 【详解】（1）解：①；②；③；④， ∴； （2）解：由（1）得 ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∵是整数，则是两个连续的整数， ∴或（舍）． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）先观察下列等式： ①； ②； ③． 解答下列问题： (1)根据上面等式提供的信息，猜想出第④个式子是：______； (2)化简下列式子：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据规律写出第④个式子即可求解； （2）根据规律化简每项，再相加即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：原式 【变式3】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：__________； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出的值：__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型07 算术平方根的实际应用 【典例7】（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，夕夕同学想把一个用铁丝围成面积为的正方形改为面积为的长方形，且长和宽之比为．    (1)求正方形的边长； (2)请通过计算说明铁丝是否够用． 【答案】(1) (2)铁丝够用 【分析】（1）利用算术平方根的定义求解； （2）设长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积为”列方程求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为：； （2）解：设长方形的长为，宽为， 根据题意得，， 解得：或（舍去）， ∴长方形的长为，宽为． ∴长方形的周长， ∵正方形的周长为． ∴铁丝够用． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求； （2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目 【详解】（1）解：由题意大正方形面积为； （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， （负值舍去）， 【变式2】（25-26七年级下·天津河西·期中）问题：“一个边长为的正方形，对角线是多长呢？”以下是小明同学的思路： “如图，画一个正方形，连接，相交于点，就得到4个完全一样的等腰直角三角形．若设其中一直角边长为，则正方形的面积既可以用边长表示，也可以用个等腰直角三角形的面积之和来表示，于是可以列出方程求解出，也就求出了正方形的对角线长．” (1)当时，请你依照小明的思路求出正方形对角线长； (2)填空：①若一个正方形边长，则其对角线的长度为__________； ②若一个正方形对角线长为，则这个正方形的边长为__________． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）正方形的面积既可以用边长表示，也可以用个等腰直角三角形的面积之和来表示，列出方程，解方程，即可求解； （2）①设其中一直角边长为，同（1）的方法列出方程，即可求解； ②设正方形的边长为，同（1）的方法列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意 又∵ 解得： ∴正方形的对角线长为 （2）解：∵， 设其中一直角边长为，则 又∵ 解得： ∴正方形的对角线长为 ②解：∵一个正方形对角线长为， ∴， 设正方形的边长为， ∴ 又∵ 解得： 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）素材1：如图，某公司计划在3块并排的正方形地基上建造厂房，地基的总面积为． 素材2：又计划在厂房的一边建造一个面积为的长方形仓库，为节省材料，仓库一边与厂房共用一面墙，并且共用部分不超过厂房的某一边长，不考虑门窗，另外三边用塑钢材料围成，仓库的长与宽之比为．根据上面两个素材，回答下列问题： (1)求每块正方形地基的边长； (2)通过计算说明能否按照要求建造出长方形仓库，若能，求出该仓库的长与宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：能按照要求建造出长方形仓库． 设该仓库的长为，宽为． 由题意，得， 解得或（不合题意，舍去）， 则该长方形仓库的长为，宽为． ∵， ∴，， ∴该长方形仓库的长为，宽为． 【分析】本题考查由算术平方根运算列方程解应用题，读懂题意，准确列出方程是解决问题的关键． （1）先求出每块正方形地基的面积，由算术平方根运算即可得到答案； （2）设该仓库的长为，宽为，由长方形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：每块正方形地基的面积为， 所以正方形地基的边长为． 答：每块正方形地基的边长为． （2）略 题型08 平方根概念理解 【典例8】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义，先判断表示形式，再验证计算结果．即正数的平方根表示为，是算术平方根，是立方根． 【详解】解：64的平方根需表示为，A、C、D均不符合该形式． ∵， ∴，选项B正确． 【变式1】（25-26七年级下·青海西宁·期末）若实数没有平方根，则可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵实数没有平方根, ∴. 故选项中只有满足条件. 【变式2】（25-26七年级下·四川南充·期末）下列各数中，没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“负数没有平方根”，判断各选项数值的正负性即可得到结果. 【详解】解：根据平方根的性质：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根， ∵ ，，， ∴ 只有是负数，因此没有平方根. 【变式3】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若有平方根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的基本性质，只有非负数才有平方根，列不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵ 只有非负数才有平方根，且有平方根 ， ∴ ， 解得：． 题型09 求一个数的平方根 【典例9】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）13的平方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴13的平方根是． 【变式1】（25-26七年级下·河南许昌·期末）的平方根是________． 【答案】 【分析】先计算乘方得到运算结果，再根据平方根的定义求出最终结果． 【详解】解：， ∴的平方根是． 【变式2】（2026·宁夏银川·一模）计算：_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ． 【变式3】（25-26七年级下·广西南宁·期中）9的平方根是__________________ 【答案】 【详解】解： ∵ ∴9的平方根是 题型10 已知一个数的平方根，求这个数 【典例10】（25-26七年级下·云南昆明·期末）已知的平方根是，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：的平方根是， ． 【变式1】（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和，则正数_________． 【答案】 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·湖南永州·期末）已知一个正数的两个平方根分别为和，那么＝_________． 【答案】16 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解的值，再根据平方根的定义求出的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别为和， ， 整理得， 解得， 将代入得， ． 【变式3】（25-26七年级下·广西南宁·期末）若与是同一个正数的两个不同的平方根，则_________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个不同平方根互为相反数，据此建立关于的方程，求解后再计算的值． 【详解】解：与是同一个正数的两个不同的平方根， ， 去括号，合并同类项得， 解得， ． 题型11 求代数式的平方根 【典例11】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出的值，再计算，最后求的平方根即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且 ∴ ， 解得， 的平方根为． 【变式1】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）若，则的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴9的平方根是． 【变式2】（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求得，然后求出的值，最后求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【变式3】（25-26七年级下·新疆和田·期中）若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出的值，进而求出的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 题型12 利用平方根解方程 【典例12】（25-26七年级下·吉林·期中）解方程： 【答案】或． 【详解】解：， 开平方得， 当时，解得， 当时，解得， 即或． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列方程中的x：． 【答案】 【详解】解：整理得， 开方得． 【变式2】（25-26七年级下·北京朝阳·期中）求下式中的的值：． 【答案】或 【分析】利用平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴或. 【变式3】（25-26七年级下·广东东莞·期中）解方程： 【答案】或 【详解】解： 或 ∴或． 题型13 平方根的应用 【典例13】（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 【变式1】（25-26九年级下·陕西榆林·期中）靖边剪纸是陕西非物质文化遗产，是陕北黄土文化的鲜活载体．现有一块长、宽比为的长方形红纸，红纸的面积是． (1)求红纸的长和宽； (2)王阿姨想要在这块红纸上剪出一幅面积为的圆形马年窗花（如图），试通过计算说明，她能够完整剪出来吗？（取3） 【答案】(1)红纸的长为，宽为 (2)能够剪出来，计算过程见解析 【分析】（1）设红纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设完整的圆形剪纸的半径为，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设红纸的长为，宽为，根据题意，得： ， ， ． ， ， ， 答：红纸的长为，宽为． （2）解：能够剪出来． 设完整的圆形剪纸的半径为， 则． 取3， ， 解得（负值已舍去）， ， 她能够完整剪出来． 【变式2】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 【变式3】（25-26七年级下·福建莆田·期中）公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法．李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形． (1)图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________． (2)求图1中直角三角形的斜边长． 【答案】(1)1，1 (2) 【分析】（1）根据图1中每个直角三角形的面积是正方形面积的可得每个直角三角形的面积，图2中内部缺口正方形的边长为直角三角形的两直角边的差； （2）利用大正方形的面积等于小正方形加4个三角形面积列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：正方形面积的面积为， 图1中每个直角三角形的面积是， 图2中内部缺口正方形的边长为； 故答案为：1，1； （2）解：由图形可得， ， ∴大正方形的边长为：． 一、单选题 1.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）下列没有算术平方根的是（     ） A． B．0 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的性质，解题关键是掌握只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根，只需判断各选项数的正负性即可． 【详解】解：选项A：是负数，因此没有算术平方根； 选项B：是非负数，算术平方根为； 选项C：是正数，有算术平方根； 选项D：，是正数，有算术平方根． 3．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若x的平方等于5，则x等于（     ） A．25 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 4．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 【答案】D 【分析】利用正数的平方根的性质求解，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出参数的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ 整理得 解得， 将代入，得， ∴这个正数为． 二、填空题 5．（2026·广东汕头·一模）已知，则的算术平方根为_____． 【答案】2 【分析】根据算术平方根与平方项均为非负数，两个非负数的和为0时，每一项都为0，即可求出x与y的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由，得， 解得， 由，得， 解得， ∴， ∴的算术平方根为2． 6．（2026·重庆巴南·一模）若，其中为正整数，则______． 【答案】 【分析】先估算，再结合，为正整数，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，为正整数， ∴． 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）的整数部分是_____，它的小数部分是_____． 【答案】 3 / 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，灵活利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键． 根据算术平方根的定义得到，据此可求的整数部分；然后再求它的小数部分即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，它的小数部分是． 故答案为：3，． 8．（25-26七年级下·云南昆明·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【答案】 【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，根据这一性质列方程求解即可. 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 合并同类项得， 解得. 三、解答题 9．（25-26七年级下·青海西宁·期中） 【答案】， 【详解】解： ， ， 开平方得， 即或， 解得，． 10．（25-26七年级下·广东江门·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) 长为，宽为. (2) 解：不能裁出想要的正方形纸片，理由如下： ∵原长方形纸片的宽为， ∴用这张纸片裁出一个正方形纸片，则面积的最大值为， ∵， ∴小明不能够裁出想要的正方形纸片． 【分析】（1）根据长宽比设未知数，列方程求解得到长和宽； （2）通过比较面积大小判断能否裁出． 【详解】（1）解：设长方形纸片的长为，宽为，其中 由题意得： 整理得，即 因为长度为正，所以舍去负值，得 因此长为，宽为； （2）略 11．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 【答案】(1)该正方形画布的边长为 (2) 甲的方案不可行，乙方案可行 甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为， 则，即， ， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为． ，但正方形纸片的边长只有，故甲方案不可行； 乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为， 则，即， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为，故乙方案可行， 综上，甲方案不可行，乙方案可行． 【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵正方形画布的面积为400 ∴该正方形画布的边长为． （2）略 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2) ， 证明：左边右边， ． 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． （1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式； （2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可． 【详解】（1）解：根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，那么第5个等式为． （2）略 1、 单选题 1.（25-26七年级下·安徽滁州·期中）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D：，故D错误； 故选：C． 2．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根的定义，根据平方根与算术平方根的定义逐一判断每个结论即可得到答案． 【详解】①因为，所以是的平方根，该结论正确； ②负数没有算术平方根，所以没有算术平方根，该结论错误； ③ 表示的算术平方根，不是的平方根，该结论错误； ④因为，所以的平方根是，该结论正确； ⑤因为，所以的算术平方根是4，该结论正确． 综上所述，正确的结论是①④⑤． 故选：B 3．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据算术平方根有意义的条件以及平方根、算术平方根的定义，即可判断． 【详解】解：（1），故（1）正确； （2），故（2）错误； （3）无意义，故（3）错误； （4），故（4）错误； （5），故（5）错误； 综上所述，错误的共个． 4．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 5．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 二、填空题 6．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 7．（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）已知是的整数部分，是的小数部分，求___________． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，得到整数的值，再估算出的取值范围，得到小数部分的值，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， ∵ 是的整数部分， ∴ ， 不等式两边同时加，得 ， ∵ 是的小数部分， ∴ ， ∴ ． 8．（25-26七年级下·山东德州·期中）已知一个正数的平方根分别为和，这个正数是___________． 【答案】9 【分析】一个正数的两个平方根是互为相反数的，据此可得，求出，再根据平方根的定义即可求出这个正数． 【详解】解：一个正数的平方根分别为和， ∴，解得：， ∴， ∴这个正数是． 9．（25-26八年级上·海南海口·期中）若 ，则 ________． 【答案】1 【分析】本题考查了非负性，根据算术平方根的非负性求出x和y的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 三、解答题 11．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）解答下列问题： (1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； (2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长； (3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由． 【答案】(1)大正方形的边长为 (2)小正方形的边长为 (3)见解析 【分析】（1）首先得到大正方形的面积为2，然后求出边长即可； （2）首先得到中间正方形的面积为5，然后求出边长即可； （3）仿（2）的构造方法得到正方形的面积为10，进而得到边长，，，的长为． 【详解】（1）解：∵用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形 ∴大正方形的面积两个边长为1的小正方形的面积和 ∴大正方形的边长为； （2）解：根据题意得，中间正方形的面积为， ∴中间小正方形的边长为； （3）解：如图，，，，的长为； 仿（2）的构造方法，原网格图形面积为16个平方单位， ∴正方形的面积 ∴正方形的边长为， ∴，，，的长为． 12．（25-26七年级下·广西玉林·期中）如图，把图中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图． (1)如图所示的大正方形的边长为______． (2)王芳想沿着如图所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图是由个边长为的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图画出示意图． 【答案】(1) (2)她的想法不可行，理由见解析； (3)见解析． 【分析】（1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得的值，则长为，即可得出结论； （3）一共有个小正方形，那么组成的大正方形的面积为，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）由题意得大正方形的面积为， 设小正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为； （2）设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴不能剪出满足题意的长方形； （3）∵一共有个边长为的小正方形， ∴组成的大正方形的面积为， ∴该大正方形的边长为，示意图如下： 13．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖怪的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是________； (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) 混天绫的总长度是； (2) 足够，理由： 设宽为，则长为． 根据题意可得，即， 解得（舍去负根）， 则长为， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 【分析】（1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：，则正方形的边长为． 正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是； （2）略 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不能裁出这样的长方形； 理由：设长方形纸片的长为，宽为，则， 解得， 则， 所以沿此正方形纸片的边的方向裁一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长与宽之比为，且面积为． 【分析】本题主要考查了算术平方根与平方根的应用，理解算术平方根和平方根的定义是正确解答的前提． （1）直接开平方求解即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意可得，求解出x的值，即可求解出此时的长方形的长，由（1）可知正方形纸片的边长，进而比较即可判断． 【详解】（1）解：正方形纸片的面积为， 正方形纸片的边长是； （2）略 15．（25-26七年级下·陕西·期末）先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 平方根 教学目标 1. 理解平方根与算术平方根的概念，掌握其性质与符号表示。 2. 了解开平方是平方的逆运算，能用平方运算求非负数的平方根与算术平方根。 3. 能运用平方根知识解决简单实际问题，在数系扩充中发展抽象与运算能力。 教学重难点 教学重点 1. 由平方的逆运算引入开平方，抽象并建立平方根与算术平方根的概念。 2. 掌握用根号正确表示非负数的平方根与算术平方根的方法。 教学难点 1. 学生对根号这一抽象符号的必要性及含义的理解与接受存在困难。 2. 学生难以适应开平方运算中结果由“一对一”向“一对二”（正负两个根）的转变。 知识点01 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 【即学即练1-1】（2026·山东东营·中考真题）2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【即学即练1-2】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）计算：___________． 知识点02 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 【即学即练2-1】（2026·甘肃嘉峪关·二模）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【即学即练2-2】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）的平方根是______． 知识点03 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 【即学即练3-1】（25-26七年级下·广东汕尾·阶段检测）按要求解答问题： (1)计算：_________，_________． (2)根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于吗？_________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_________；_________． 题型01 求一个数的算术平方根 【典例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）的值等于________． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期末）计算：______． 【变式2】（25-26七年级下·山东济南·期末）的算术平方根是_________． 【变式3】（25-26七年级下·江西·期末）________． 题型02 利用算术平方根的非负性解题 【典例2】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若实数 、 满足 ，则的值是___________． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若，则_______． 【变式2】（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）已知，则的值是______． 【变式3】（25-26八年级下·新疆喀什·阶段检测）若，则 ____________． 题型03 估计算术平方根的取值范围 【典例3】（2026·上海奉贤·三模）请写出比大且比小的所有整数：_______． 【变式1】（25-26九年级下·重庆开州·期中）若n为正整数，且满足，则________． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期中）设为正整数，且，则的值为______． 【变式3】（25-26九年级下·重庆渝北·开学考试）若为正整数，且满足，则________． 题型04 求算术平方根的整数部分和小数部分 【典例4】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）的整数部分值为________． 【变式1】（25-26七年级下·广东汕头·期末）的小数部分为__________． 【变式2】（25-26七年级上·重庆合川·期末）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________． 【变式3】（25-26八年级上·四川成都·期中）若的整数部分是，的整数部分是，则__________． 题型05 利用算术平方根的性质化简 【典例5】（24-25八年级下·辽宁大连·阶段检测）化简：______． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 【变式2】（25-26八年级上·湖南·期末）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）化简：________；________；________；________； （2）根据（1）的计算结果，化简，． 题型06 与算术平方根有关的规律探索题 【典例6】（25-26七年级下·广西南宁·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出与存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：； (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【变式1】（25-26七年级下·广东东莞·期中）根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期中）先观察下列等式： ①； ②； ③． 解答下列问题： (1)根据上面等式提供的信息，猜想出第④个式子是：______； (2)化简下列式子：． 【变式3】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： …… 实践探究： (1)按照此规律，计算：__________； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出的值：__________． 题型07 算术平方根的实际应用 【典例7】（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，夕夕同学想把一个用铁丝围成面积为的正方形改为面积为的长方形，且长和宽之比为．    (1)求正方形的边长； (2)请通过计算说明铁丝是否够用． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【变式2】（25-26七年级下·天津河西·期中）问题：“一个边长为的正方形，对角线是多长呢？”以下是小明同学的思路： “如图，画一个正方形，连接，相交于点，就得到4个完全一样的等腰直角三角形．若设其中一直角边长为，则正方形的面积既可以用边长表示，也可以用个等腰直角三角形的面积之和来表示，于是可以列出方程求解出，也就求出了正方形的对角线长．” (1)当时，请你依照小明的思路求出正方形对角线长； (2)填空：①若一个正方形边长，则其对角线的长度为__________； ②若一个正方形对角线长为，则这个正方形的边长为__________． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）素材1：如图，某公司计划在3块并排的正方形地基上建造厂房，地基的总面积为． 素材2：又计划在厂房的一边建造一个面积为的长方形仓库，为节省材料，仓库一边与厂房共用一面墙，并且共用部分不超过厂房的某一边长，不考虑门窗，另外三边用塑钢材料围成，仓库的长与宽之比为．根据上面两个素材，回答下列问题： (1)求每块正方形地基的边长； (2)通过计算说明能否按照要求建造出长方形仓库，若能，求出该仓库的长与宽；若不能，请说明理由． 题型08 平方根概念理解 【典例8】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·青海西宁·期末）若实数没有平方根，则可以是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·四川南充·期末）下列各数中，没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若有平方根，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型09 求一个数的平方根 【典例9】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）13的平方根是___________． 【变式1】（25-26七年级下·河南许昌·期末）的平方根是________． 【变式2】（2026·宁夏银川·一模）计算：_____． 【变式3】（25-26七年级下·广西南宁·期中）9的平方根是__________________ 题型10 已知一个数的平方根，求这个数 【典例10】（25-26七年级下·云南昆明·期末）已知的平方根是，则的值是__________． 【变式1】（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和，则正数_________． 【变式2】（25-26七年级下·湖南永州·期末）已知一个正数的两个平方根分别为和，那么＝_________． 【变式3】（25-26七年级下·广西南宁·期末）若与是同一个正数的两个不同的平方根，则_________． 题型11 求代数式的平方根 【典例11】（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若，则的平方根是__________． 【变式1】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）若，则的平方根是______． 【变式2】（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 【变式3】（25-26七年级下·新疆和田·期中）若，则的平方根是__________． 题型12 利用平方根解方程 【典例12】（25-26七年级下·吉林·期中）解方程： 【变式1】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列方程中的x：． 【变式2】（25-26七年级下·北京朝阳·期中）求下式中的的值：． 【变式3】（25-26七年级下·广东东莞·期中）解方程： 题型13 平方根的应用 【典例13】（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【变式1】（25-26九年级下·陕西榆林·期中）靖边剪纸是陕西非物质文化遗产，是陕北黄土文化的鲜活载体．现有一块长、宽比为的长方形红纸，红纸的面积是． (1)求红纸的长和宽； (2)王阿姨想要在这块红纸上剪出一幅面积为的圆形马年窗花（如图），试通过计算说明，她能够完整剪出来吗？（取3） 【变式2】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【变式3】（25-26七年级下·福建莆田·期中）公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法．李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形． (1)图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________． (2)求图1中直角三角形的斜边长． 一、单选题 1.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）计算：（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）下列没有算术平方根的是（     ） A． B．0 C．6 D． 3．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若x的平方等于5，则x等于（     ） A．25 B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）一个正数的两个平方根为，，则这个正数是多少（    ） A．1 B．4 C．9 D．16 二、填空题 5．（2026·广东汕头·一模）已知，则的算术平方根为_____． 6．（2026·重庆巴南·一模）若，其中为正整数，则______． 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）的整数部分是_____，它的小数部分是_____． 8．（25-26七年级下·云南昆明·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 三、解答题 9．（25-26七年级下·青海西宁·期中） 10．（25-26七年级下·广东江门·期中）小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． 11．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知一块面积为的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题 (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明． 1、 单选题 1.（25-26七年级下·安徽滁州·期中）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南许昌·阶段检测）下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 3．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下列运算中错误的个数是（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 5．（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 二、填空题 6．（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 7．（25-26七年级下·广东江门·阶段检测）已知是的整数部分，是的小数部分，求___________． 8．（25-26七年级下·山东德州·期中）已知一个正数的平方根分别为和，这个正数是___________． 9．（25-26八年级上·海南海口·期中）若 ，则 ________． 10．（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 三、解答题 11．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）解答下列问题： (1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； (2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长； (3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由． 12．（25-26七年级下·广西玉林·期中）如图，把图中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图． (1)如图所示的大正方形的边长为______． (2)王芳想沿着如图所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图是由个边长为的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图画出示意图． 13．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖怪的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是________； (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 15．（25-26七年级下·陕西·期末）先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $