专题2.1 有理数的加法和减法（10大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的加法和减法核心知识点，先系统梳理加法法则（同号、异号及与0相加）、加法运算定律（交换律、结合律），再过渡到减法法则（转化为加法），构建从基础法则到运算技巧的学习支架，各知识点均配即学即练强化理解。 该资料亮点在于10类题型覆盖运算、符号处理、实际应用等，典例结合中考真题与变式练习，培养运算能力和推理意识。实际问题如温度变化、财务收支等，引导学生用数学眼光观察现实，课中助力分层教学，课后帮助查漏补缺。

专题2.1 有理数的加法和减法 教学目标 1. 理解有理数加减法运算法则，熟练掌握有理数的加减运算，提升运算准确性与速度。 2. 掌握加法交换律、结合律等运算律，能在有理数运算中灵活运用，简化运算过程。 3. 学会运用有理数的加减运算解决实际问题，增强数学应用意识与问题解决能力。 教学重难点 1.重点 （1）有理数加法和减法的运算法则，包括同号、异号两数相加以及减法转化为加法的规则。 （2）熟练运用有理数加减法解决实际问题，如行程问题、温度变化、财务收支等场景。 2.难点 （1）有理数减法转化为加法的理解，尤其是对减去一个数等于加上它的相反数这一概念的掌握。 （2）在有理数加减混合运算中，准确处理符号，合理运用运算律优化运算顺序，避免运算错误。 知识点01 有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加，仍得这个数. 【即学即练】1．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．计算：________． 【答案】 【详解】解： 3．计算：． 【答案】10 【详解】． 知识点02 有理数的加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a； （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 【即学即练】4．小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 5．小明在做利用“加法运算律”的计算题：■时，不小心把墨水打翻，将接下来的步骤污染了，请你补全污染的部分：_____． 【答案】 【分析】该题考查了有理数的加法运算律，根据有理数加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，能利用有理数加法的交换律和结合律简化运算是解题的关键． （1）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可； （2）利用有理数加法运算法则及加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点03 有理数的减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 【即学即练】7．计算的结果是（     ）． A．6 B．0 C．10 D． 【答案】A 【详解】解：． 8．计算： ____________ 【答案】 【详解】解：． 9．计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2)7 (3)7 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 题型01 有理数的加法运算 【典例1】（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 【变式1】（2026·山西长治·三模）下列各数中比大3的数是（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，计算结果后匹配选项即可． 【详解】解：根据题意，要求比大的数，可列式计算得到 ∴所求的数是． 【变式2】（26-27七年级·江苏·暑假作业） _____． 【答案】4 【分析】根据相反数的意义化简多重符号，根据绝对值的性质化简绝对值，再进行有理数加法运算． 【详解】解：． 【变式3】（2026·浙江衢州·一模）如图，比数轴上点表示的数大5的数是__________． 【答案】4 【分析】先在数轴上读点A所表示的数，再根据有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解：因为点A表示的数为， 所以，比点A表示的数大5的数是：． 题型02 有理数加法中的符号问题 【典例1】（24-25七年级上·天津·期中）把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【变式1】（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·周测）与的和取___________号；与的和取___________号；和的和取___________号．（填“正”或“负”） 【答案】 负 正 负 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解本题的关键． 根据有理数的加法法则，“同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，当绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”逐一计算即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：负正 负 【变式3】（2026·湖北·中考真题）数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ∴． 题型03 有理数加法运算律 【典例1】（25-26七年级上·北京朝阳·期中）计算的依据是（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．符号化简 D．加法交换律和结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，等式左边到右边的变形涉及加数顺序的调整和分组的改变，因此同时运用了加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：原式先通过加法交换律改变顺序为，再通过加法结合律分组为，故依据是加法交换律和结合律， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，运算律，根据有理数加法法则，运算律即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴第一步到第二步交换了加数的位置，使用了加法交换律；第二步到第三步改变了加法的分组方式，使用了加法结合律， ∴和代表的计算依据分别是加法交换律、加法结合律， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课前预习）计算：的结果是____． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，先由有理数加法交换律及结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 【答案】0 【分析】运用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】观察发现和可以凑成整数，两个可以凑成， 原式． 题型04 有理数加法在生活中的应用 【典例1】（2026·吉林长春·一模）嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 【变式1】（2026·浙江·模拟预测）2025年10月，我国深地川科1井首次突破10000米．以水平地面为基准面，向上为正方向．若当时深度记为米，后续钻井又下探910米，则钻井最终下探深度可记为（    ）． A．米 B．米 C．米 D．10910米 【答案】A 【详解】解：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）气象播报早晨的气温为，中午气温上升了，则中午的气温是___________． 【答案】6 【分析】此题考查了有理数加法的实际应用，根据气温变化，使用有理数加法法则计算中午气温． 【详解】解：∵早晨的气温为，中午气温上升了， ∴中午气温为． 故答案为：． 【变式3】（25-26六年级上·上海虹口·期末）小爱同学有每月1日称体重的习惯，并和上个月作比较，下面的表记录下她的体重变化情况，已知她6月1日的体重是，那么她12月1日的体重是_______． 7月1日 8月1日 9月1日 10月1日 11月1日 12月1日 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用，理解题中正负数的意义是解题的关键． 根据表格中每月体重变化值，计算从6月1日到12月1日的总变化量，再与6月1日体重相加． 【详解】解：∵6月1日体重为， 由表格可知7月1日至12月1日的体重的总变化量为： ， ∴12月1日体重为． 故答案为：． 题型05 有理数的减法运算 【典例1】（2026·吉林长春·模拟预测）计算的结果是（     ） A．1 B．3 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解： 【变式1】（2026·天津红桥·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行计算即可得到结果. 【详解】解：． 【变式2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）___________． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： 【答案】 【详解】解： = ． 题型06 有理数减法的实际应用 【典例1】（2026·河北唐山·三模）某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用冷藏室温度减去冷冻室温度，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解∶， 即冷藏室温度比冷冻室温度高． 【变式1】（2026·福建·中考真题）福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队与乙队的比赛结果为，丙队与丁队的比赛结果为．若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作，则丙队的净胜球数应记作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确净胜球数的计算方法为：净胜球数进球数失球数，结合题目给出的甲队净胜球验证计算规则，再计算丙队的净胜球数即可得到答案． 【详解】解：净胜球数的计算规则为：净胜球数进球数失球数， ∵甲队与乙队的比赛结果为，即甲队进球数为，失球数为， ∴甲队的净胜球数为，记作， ∵丙队与丁队的比赛结果为，即丙队进球数为， 失球数为， ∴丙队净胜球数为，即丙队的净胜球数应记作． 【变式2】（2026·辽宁阜新·二模）为计数方便，某果园以每筐水果30 kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则“”表示的实际千克数是________千克． 【答案】27 【分析】根据题意，以每筐为准，超过记为正，不足记为负，负数表示实际重量低于标准重量，据此计算实际重量即可． 【详解】解：由题意可得，“”表示实际重量比标准重量少， 因此实际千克数为 （千克）． 【变式3】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小东身高，小红身高，小明身高．如果小东身高记作，小明身高记作，则小红身高记作______． 【答案】 【分析】先确定基准身高，再计算小红身高与基准身高的差值，根据给定记法规则得到最终结果． 【详解】解：由题意可知，以小东身高为基准，高于基准身高记作正数，低于基准身高记作负数． ∴小红身高记作． 题型07 有理数的加减混合运算 【典例1】（24-25七年级上·吉林白城·阶段检测）计算的结果是（   ） A．10 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算．根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：A 【变式1】（24-25七年级上·北京·期中）把算式写成代数和的形式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算；将算式中的减法运算转化为加法运算，写成代数和的形式即可． 【详解】解：算式写成代数和的形式：， 故答案为：． 【变式2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）先化简为省略括号和加号的和的运算，然后利用运算律简化运算即可； （2）先化简为省略括号和加号的和的运算，然后利用运算律简化运算即可； 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 题型08 有理数加减中的简便运算 【典例1】（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先写成省略括号和加号的形式，然后同分母的先相加进行简便运算． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A 【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）______． 【答案】5 【分析】该题考查了有理数的加减混合运算，分组后分别计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：5． 【变式2】（24-25六年级下·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】把减法转化为加法，再利用加法交换律与结合律将同分母分数结合，计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型09 有理数加减混合运算的应用 【典例1】（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）手机移动支付给生活带来便捷，如图是小李某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小李当天微信收支的最终结果是（   ） 微信红包—来自王某某： 某平台商户： 扫二维码付给某店： A．支出元 B．收入元 C．收入元 D．支出元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减的应用，将收支记录相加，即可求解． 【详解】解：，即表示小李当天微信收支的最终结果是支出元 故选：D． 【变式1】（24-25六年级下·黑龙江·开学考试）某商店营业五天的盈亏情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 盈亏/元 这个商店营业五天的总情况是（   ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题通过将五天的盈亏数值相加，根据结果的正负判断总盈亏情况，正数代表盈利，负数代表亏损，零代表不盈不亏． 【详解】解：∵总盈亏为五天盈亏数值的总和． ∴总盈亏 （元）． ∵计算结果为正数． ∴该商店五天营业的总情况是盈利． 故选：A． 【变式2】（25-26六年级上·上海崇明·期末）以全新视角呈现抗美援朝战争的电影《志愿军：浴血和平》在2025年国庆档口碑稳居第一．月8日，该电影在上海某片区的票房收入为180万元，接下来7天的票房变化情况如表：（注：正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票房）这7天中，票房收入最高的当天票房是_________万元． 日期 9日 日 日 日 日 日 日 票房变化（万元） 0 【答案】242 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算，根据正负数的意义，逐日计算票房收入，并比较得出最高值． 【详解】解：10月9日票房：万元； 10月10日票房：万元； 10月11日票房：万元； 10月12日票房：万元； 10月13日票房：万元； 10月14日票房：万元； 10月15日票房：136+4=140万元． 比较上述票房，最高为10月12日的242万元． 故答案为：242． 【变式3】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星期内的变化情况．（运进为正，运出为负） 星期 日 一 二 三 四 五 六 运进和运出仓库的大米质量/千克 (1)星期四运进大米（    ）千克，运出大米（    ）千克． (2)星期（    ）只运出大米，而没有运进大米；星期（    ）运出的大米和运进的大米同样多． (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 【答案】(1)180，90 (2)五，一 (3)660千克 【分析】（1）根据表格即可解答； （2）根据表格即可解答； （3）对表格中所有数据求和再加200即可解答； 【详解】（1）解：根据表格可知，星期四运进大米180千克，运出大米90千克； （2）解：根据表格可知，星期五只运出大米，而没有运进大米；星期一运出的大米和运进的大米同样多． （3）解： 千克， 答：如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余660千克大米． 题型10 有理数加减中的新定义型问题 【典例1】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）已知a、b皆为正有理数，定义运算符号“”表示一种新的运算，它是这样定义的：．则的值等于（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键．根据题干中提供的信息，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知表示不大于的最大整数，如：．现定义：，如：，则计算的结果为（   ） A．0.7 B．1.9 C．2.9 D．3.1 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，以及有理数的减法，理解新定义是解答本题的关键． 根据新定义，先分别计算 和，再求它们的差． 【详解】解：∵， ∴， ∵（不大于的最大整数）， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段检测）定义运算，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．根据运算定义，先比较两个数的大小，再选择相应的运算规则． 【详解】解：因为，，且， 所以． 故答案为：1． 【变式3】（24-25七年级上·福建莆田·阶段检测）对于有理数，定义运算：． (1)计算的值； (2)求的值； (3)计算和的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律． 【答案】(1) (2) (3)不满足，理由见解析 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、新定义； （1）根据，计算出所求式子的值； （2）根据，先计算可以计算出所求式子的值； （3）分别根据进行计算即可判断是否成立． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：这种新定义不满足交换律，理由如下， ∵ ∴ ， ∴ 一、单选题 1．（2026·广东清远·一模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数加法中异号两数相加的法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 【详解】解：∵ ，， ∴ 2．（25-26七年级上·北京朝阳·期末）生活中经常能看到用正负数表示允许误差的情形，某品牌乒乓球的产品参数如图所示，按照这个参数，下列质量、直径的乒乓球合格的是（   ） A．质量，直径 B．质量，直径 C．质量，直径 D．质量，直径 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减的应用． 根据求出乒乓球质量、直径的合格范围进而判断即可． 【详解】解：由题意知，乒乓球质量的合格范围为，即， 乒乓球直径的合格范围为，即， 只有C乒乓球质量、直径均在合格范围内． 故选：C． 3．（24-25七年级上·河北唐山·阶段检测）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握加法运算律是解题的关键． 先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解． 【详解】解：甲：； 正确； 乙：． 正确． 故选：A． 4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 5．（26-27七年级·全国·暑假作业）将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏常州·期中）下表是国外城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数），如果现在是北京时间11月13日21：00，那么纽约时间是__________点． 城市 纽约 巴黎 东京 多伦多 时差（时） 【答案】11月13日8:00 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的应用，根据时差计算纽约时间，用北京时间与时差相加，和为正数表示同一天，和为负数表示前一天，需加上小时得到时间； 【详解】解：北京时间11月13日21:00，纽约时差为小时，计算； 由于，因此纽约日期与北京相同，时间为8:00； 故答案为：11月13日8:00 7．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负)，如图①，表示，则图②所表示的结果是________________． 【答案】0 【分析】本题主要考查正数和负数，有理数的加法运算，理解题意是解题的关键． 根据已知条件列出式子即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：0． 8．（25-26七年级上·山东济南·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算， 根据题意原式可化为，中间项相互抵消，只剩首项和末项，进而求解即可． 【详解】解：由题意，对于连续非零整数，有． ∴ ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期末）数轴上表示有理数和表示有理数的两个点之间的距离可以用来表示，例如：数轴上的点到表示2的点的距离用表示．设点在数轴上表示的有理数是，则的最小值是___________． 【答案】7 【分析】本题考查数轴与有理数，绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义得到表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和，进而得到当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离． 【详解】解：由题意，表示数轴上的数到数5以及数之间的距离和， ∴当在和5之间时，的值最小，为数到数5之间的距离； ∴的最小值是； 故答案为：7． 10．（25-26九年级下·北京·开学考试）某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表： 零部件 甲 乙 丙 丁 冲压时间 8 3 7 5 组装时间 6 4 9 2 若按零部件顺序甲-乙-丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要_________分钟；若要使全部零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按_________的先后顺序加工零部件． 【答案】 29 乙-丙-甲-丁 【分析】第一问需按给定顺序梳理冲压与组装生产线的时间线，考虑组装需同时满足零件完成冲压和组装线空闲两个条件，计算全部完成的最晚时间；第二问通过分析各零件两道工序的时间关系，优化排序以减少组装线等待时间，从而得到最短总时间的冲压顺序． 【详解】解：第一空计算： 按甲-乙-丙-丁的顺序进行冲压： 冲压生产线总耗时：（分钟） 组装生产线作业时间线分析： 甲在第8分钟完成冲压，随即开始组装，至分钟完成组装 乙在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（14分钟）后启动，至分钟完成组装 丙在第分钟完成冲压，此时组装线刚好空闲，至分钟完成组装 丁在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（27分钟）后启动，至分钟完成组装， ∴全部零部件完成加工的最晚时间为29分钟． 第二空最优排序推导： 为缩短总加工时间，需减少组装生产线的等待时间，按以下逻辑排序： 冲压时间小于组装时间的零件（乙、丙），按冲压时间从小到大排序，即乙在前、丙在后， 冲压时间大于组装时间的零件（甲、丁），按组装时间从大到小排序，即甲在前、丁在后， 将两类零件组合，冲压时间小于组装时间的零件组排在前，大于组装时间的零件组的排在后，得到最优冲压顺序为乙-丙-甲-丁． 故答案为：29，乙-丙-甲-丁． 三、解答题 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法法则和交换律\结合律是解题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律等计算即可． 【详解】（1）解∶原式 ； （2）解∶原式 ． 12．（2026·河北保定·三模）如图，数轴上的点M，N分别表示数，1． (1)求点M，N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A，若点A，N之间的距离为2，求x的值． 【答案】(1)4 (2)或3 【详解】（1）解：由数轴可知：点M，N之间的距离为； （2）解：∵点A，N之间的距离为2，且点N表示的数为1， ∴点A表示的数为或， 即x的值或3． 13．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 14．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明家购置了一辆续航为（能行驶的最大路程）的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连续天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：，以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”）．已知该汽车第三天行驶了，第六天行驶了． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 ■ ● (1)“■”处的数为___________，“●”处的数为___________； (2)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的，行车电脑就会发出充电提示．请通过计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示． 【答案】(1)； (2)会发出充电提示 【分析】（1）观察表格可知：第三天行驶了，第六天行驶了，然后根据以为标准，超过部分记为“”，不足部分记为“”，进行解答即可； （2）先求出新能源纯电汽车天行驶的总路程，再求出用电量剩余时汽车所行驶的路程，然后进行比较即可判断． 【详解】（1）解：第三天行驶了， 故应记作， ∴“■”处的数为； 第六天行驶了， 故应记作， ∴“●”处的数为； 故答案为：；． （2）解：总行程为， 剩余电量占比， ∴会发出充电提示． 15．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 16．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： ，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整； 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并用__________________；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得__________________． (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同． ①用“乘减法”计算：______； ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即．请你探究结合律在有理数的“乘减法”中是否成立，若成立，请你说明理由；若不成立，请以，，为例说明不成立． 【答案】(1)正；负；都得0；这个数的绝对值 (2)①0；②不成立，理由见解析 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①根据（1）中的“乘减法”进行计算即可； ②设，，，代入式子进行计算，看结果是否相同即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用绝对值较大的数减绝对值较小的数；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正；负；都得0；这个数的绝对值； （2）解：① ， 故答案为：0； ②不成立，理由如下： ，，， 左边， 右边， 因为左边右边， 所以不成立． 一、单选题 1．计算的结果等于（    ） A．7 B．10 C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法运算法则即可求解． 【详解】解： 故选：D． 2．把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的加减．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，然后去掉括号和加号即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是（   ） 1月28日（除夕） 1月29日（春节） 1月30日（初二） 1月31日（初三） A．1月28日 B．1月29日 C．1月30日 D．1月31日 【答案】C 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，用当天的最高气温减去最低气温可求出当天的温差，据此求出四天的温差，比较即可得到答案． 【详解】解：1月28日的温差为， 1月29日的温差为， 1月30日的温差为， 1月31日的温差为， ∵， ∴1月30日的温差最大， 故选：C． 4．下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B．若，则 C．a为任何有理数，则必为负数 D．若，则a为非正数 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算、有理数大小比较、绝对值的几何意义 【分析】本题考查有理数的运算，比较大小，绝对值的意义，根据相关运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：A、两个有理数的差为正数，则被减数一定大于减数，两个数中不一定有正数，比如；原说法错误，不符合题意； B、，不一定小于，例如：，；原说法错误，不符合题意； C、a为任何有理数，则必为非正数；原说法错误，不符合题意； D、若，则a为非正数；原说法正确，符合题意； 故选D． 5．我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算簿（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，图②中表示的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的定义、有理数加法运算 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算，解题关键能够类比题干中的信息从而解决问题．观察图①发现上半部分是白色的表示负数，黑色的表示正数，即可得出图2表示的算式． 【详解】解：按照这种方法，图②中表示的算式是， 故选：C． 二、填空题 6．计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法运算法则即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 7．已知，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的加法，先根据绝对值的非负性求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 8．规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 【答案】0 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：0． 9．已知，且，则 ． 【答案】或 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则和性质并准确判断出m、n的对应情况是解题的关键．根据绝对值的性质和有理数的加法运算法则判断出m、n的对应情况，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴，时，， ，时，， 综上所述，的值是或． 故答案为：或． 10．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将－6，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为 ． 【答案】或10 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，由所给数字结合题意可得横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和为4，从而求出，或，分别计算即可得解． 【详解】解：如图， ， ∵，横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等 ∴横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和为4， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，的值为或10， 故答案为：或10． 三、解答题 11．计算： ；    ； ； ；        ；      ； ； ； ； ． 【答案】；；；；；；；；； 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，运用有理数的加法法则和减法法则进行计算即可求解． 【详解】解：； ； ； ； ； ； ； ； ； ， 故答案为：；；；；；；；；；． 12．计算 (1) (2) 【答案】(1)10 (2)5 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减法，解题的关键是掌握有理数加法的运算律． （1）根据根据加法的交换律和结合律计算即可； （2）根据根据加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数的加减混合运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握有理数加减法的运算法则和运算律是解题关键． （1）先去括号、化简绝对值，再计算有理数的减法即可得； （2）先将小数化为分数，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得； （3）先去括号，再利用有理数加减法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 14．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加法运算、有理数加法运算律、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数加法运算律，求一个数的绝对值等知识点，运用有理数加法运算律进行简便运算是解题的关键． （1）运用有理数加法运算律进行简便运算即可； （2）先将小数化成分数，再计算绝对值，然后运用有理数加法运算律进行简便运算即可； （3）运用有理数加法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．例． 解：原式 ． 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 16．“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【答案】(1)星期五，个； (2)小李这周一共生产了个毛绒玩具． 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】此题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算应用等知识，读懂题意是关键． （1）利用有理数比较大小即可得到小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多，利用加法即可求出个数； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多， （个）， 即最多是个； （2）（个） 答：小李这周一共生产了个毛绒玩具． 17．设表示不超过a的最大整数，例如，，． (1)求的值； (2)令，求的值． 【答案】(1)19 (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查新定义，有理数的加减混合运算，理解新定义，掌握有理数加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的计算进行即可； （2）根据题意将原式变形得到，再根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：令， ∴ ． 18．小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，． (1)小虫最后是否回到出发点O？如果没有，在出发点O的什么地方？ (2)小虫离开出发点O最远时多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后是回到了出发点O (2)12厘米 (3)54粒 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）把记录数据相加，根据结果为正还是负，即可得出小虫最后离原点的位置； （2）根据正负数的性质，求出每次爬行与O点的距离，即可进行判断； （3）把所有的爬行路程的绝对值相加，即可得到小虫爬行的总路程，即可求出小虫共得芝麻的粒数． 【详解】（1）解： ， ∴小虫最后是回到了出发点O； （2）解：① 厘米， ② 厘米， ③ 厘米， ④ 厘米， ⑤ 厘米， ⑥ 厘米， ⑦ 厘米， ∴小虫离开出发点O最远时12厘米． （3）解：（厘米） （粒） 答：小虫一共得到54粒芝麻． 19．如图，一只蜗牛从点A沿着数轴向右爬行4个单位长度到达点B，从点B沿着数轴又向左爬行7个单位长度到达点C，点A表示的数为．设点B表示的数为a，点C表示的数为b． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、带有字母的绝对值化简问题、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查数轴与有理数，有理数的运算： （1）根据点的移动左减右加，求出的值即可； （2）将的值代入，根据绝对值的意义和有理数的加减运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意：，； （2）∵，， ∴． 20．阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数的加减混合运算、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）根据材料中的规律写出答案即可； （2）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可； （3）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.1有理数的加法和减法 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01有理数的加法法则 知识点02有理数加法运算定律 2.知识清单 知识点03有理数的减法法则 题型01有理数的加法运算 题型02有理数加法中的符号问题 题型03有理数加法运算律 有理数的加法和减法 题型04有理数加法在生活中的应用 题型05有理数的减法运算 3.题型精讲 题型06有理数减法的实际应用 题型07有理数的加减混合运算 题型08有理数加减中的简便运算 题型09有理数加减混合运算的应用 题型10有理数加减中的新定义型问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解有理数加减法运算法则，熟练掌握有理数的加减运算，提升运算准确性与速 度。 教学目标 2. 掌握加法交换律、结合律等运算律，能在有理数运算中灵活运用，简化运算过 程。 3. 学会运用有理数的加减运算解决实际问题，增强数学应用意识与问题解决能力。 教学重难点 1.重点 (1)有理数加法和减法的运算法则，包括同号、异号两数相加以及减法转化为加法 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的规则。 (2)熟练运用有理数加减法解决实际问题，如行程问题、温度变化、财务收支等场 景。 2.难点 (1)有理数减法转化为加法的理解，尤其是对减去一个数等于加上它的相反数这一 概念的掌握。 (2)在有理数加减混合运算中，准确处理符号，合理运用运算律优化运算顺序，避 免运算错误。 知识清单 知识点01有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为 相反数的两个数相加得0. (3)一个数同0相加，仍得这个数， 【即学即练】1.计算：-5+4=() A.-1 B.1 c.-9 D.9 2.计算：（-)+(-3)= 3.计算：（-8)+(+15)+(-2)+(+5)」 知识点02有理数的加法运算定律 (1)加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a十b=b十+： (2)加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即十b +c=(a+b)+c=a+(b+c): 【即学即练】4.小慧同学解题时， 先将武子4()变成4+》 再计算结果，则小 慧同学运用了() 2/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.加法交换律 B.加法结合律 C.加法交换律与结合律 D.分配律 5.小明在做利用“加法运算律”的计算题：5+(6)+3+9+(4)+(-7)=(5+3■时，不小心把墨水打翻， 将接下来的步骤污染了，请你补全污染的部分：一 6.计算： a+（: e4(2引s() 知识点03有理数的减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数即α一b=a+(-)b 【即学即练】7.计算5-(-3)+(-2)的结果是(). A.6 B.0 C.10 D.-4 8.计算：-8-9= 9.计算： (1)(-5)-(+3)： (20-(-7）； 3)(+2.5)-(-4.5) 题型精讲 题型01有理数的加法运算 【典例1】(2026四川南充中考真题)计算2+(-2)结果是() A.-4 B.-1 C.0 D.4 【变式1】(2026山西长治三模)下列各数中比-1大3的数是() A.-2 B.-1 C.0 D.2 【变式2】(26-27七年级江苏暑假作业)-（-2)+2= 3/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式3】(2026浙江衢州一模)如图，比数轴上点A表示的数大5的数是」 3-2 -10123→ 题型02有理数加法中的符号问题 【典例1】(2425七年级上·天津期中)把(-2)-(+3)-(（-5)+(4)转化成几个有理数相加的形式，正确的 是() A.（-2)+(+3)+(-5)+(-4) B.（-2)+(-3)+(+5)+(-4) C.(+2)+(+3)+(-5)+(-4) D.（-2)+(+3)+(-5)+(+4) 【变式1】(25-26七年级上：江西新余·期中)如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论() A.两个加数都是正数 B.两个加数中至少一个是正数 C.一个加数为正数，另一个加数为零D.两个加数同为负数 【变式2】(25-26七年级上全国·周测)+8与-12的和取 号：+4与-2的和取 号： -6和-9的和取 号.（填“正”或“负”) 【变式3】(2026湖北中考真题)数轴上表示数a,b的点如图所示，则a+b0.(填“>”“=” 或“<”) a 0 题型03 有理数加法运算律 【典例1】(25-26七年级上北京朝阳期中)计算6+(-2)+(9)+5=(6+5)+[(-2)+(9)]的依据是 () A.加法交换律 B.加法结合律 C.符号化简 D.加法交换律和结合律 【变式1】(25-26七年级上·福建南平·阶段检测)下面是小梦做的一道计算题的解题过程，△和☆代表的 计算依据分别是() 解：-14-11+6-39 =-14-11-39+6(△) 4/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-14+(-11-39)+6(☆) =-14-50+6 =-58 A.有理数减法法则、加法结合律 B.加法结合律、加法交换律 C.加法交换律、加法结合律 D.无法确定 【变式2】(2425七年级上全国课前预习)计算：43+(-77)+27+(43)的结果是。 【变式3】(26-27七年级全国暑假作业)计算（-2.4)+(+3.5)+(4.6)+(+3.5) 题型04有理数加法在生活中的应用 【典例1】(2026：吉林长春一模)嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数.今天嘉嘉用 零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱.嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为() A.-5+9 B.-5-9 C.5+9 D.5-9 【变式1】(2026浙江·模拟预测)2025年10月，我国深地川科1井首次突破10000米.以水平地面为基 准面，向上为正方向.若当时深度记为-10000米，后续钻井又下探910米，则钻井最终下探深度可记为 (). A.-10910米B.-9090米 c.-910米 D.10910米 【变式2】(25-26七年级上·浙江湖州期末)气象播报早晨的气温为-2℃，中午气温上升了8℃，则中午 的气温是 C 【变式3】(25-26六年级上·上海虹口·期末)小爱同学有每月1日称体重的习惯，并和上个月作比较，下 面的表记录下她的体重变化情况，己知她6月1日的体重是40.2kg,那么她12月1日的体重是 kg 7月1日 8月1日 9月1日 10月1日 11月1日 12月1日 -1.2kg +1.3kg +2.0kg -1.5kg -1.5kg +0.8kg 题型05有理数的减法运算 【典例1】(2026吉林长春·模拟预测)计算-1-2的结果是() A.-1 B.-3 C.3 D.2 5/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(2026天津红桥·一模)计算(-3)-(6)的结果等于() A.-9 B.9 C.-3 D.3 【变式2】(25-26七年级上·湖南湘潭期末)（-3)6= 【变式3】(26-27七年级全国暑假作业)计算： 题型06有理数减法的实际应用 【典例1】(2026河北唐山三模)某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为-18℃，冷藏室温度为3℃ 则冷藏室温度比冷冻室温度高() A.-21C B.21C C.-15℃ D.15C 【变式1】(2026福建中考真题)福建省首届“闽超”足球比赛正如火如荼进行中，在某轮比赛中甲队 与乙队的比赛结果为O1,丙队与丁队的比赛结果为2：0.若把这轮比赛中甲队的净胜球数记作-1，则丙 队的净胜球数应记作() A.-2 B.-1 C.+1 D.+2 【变式2】(2026辽宁阜新·二模)为计数方便，某果园以每筐水果30kg为准，超过的千克数记作正数， 不足的千克数记作负数.则“-3kg”表示的实际千克数是 一千克 【变式3】(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨阶段检测)小东身高150cm,小红身高147cm,小明身高 152cm.如果小东身高记作0cm,小明身高记作+2cm,则小红身高记作】 cm 题型07有理数的加减混合运算 【典例1】(24-25七年级上·吉林白城阶段检测)计算-17+25-(-10)+(-8)的结果是() A.10 B.-10 C.9 D.-9 【变式】(2425七年级上北京期胖)起第式写段代数的形式：}7-引（到） 【变式2】(26-27七年级全国暑假作业)计算：（-8)-(-15)+(-9)-(+6) 【变式3】(25-26七年级上河南郑州阶段检测)计算： (1)25-（-8)+(-13)-36. 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a》-6-(←525)+（←3）. 题型08 有理数加减中的简便运算 【典例1】(25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测)计算 A.-1 B.-5 C.1 D.5 【变式1】(24-25九年级下湖北武汉：自主招生)10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=」 【变式2】(2425大年级下上海期中)计算，2号〔引（引(》 【变式3】(26-27七年级全国暑假作业)计算： (1)(-8)+10+2+(-): a4-（5+4-+ 题型09 有理数加减混合运算的应用 【典例1】(25-26七年级上湖北宜昌·期末)手机移动支付给生活带来便捷，如图是小李某天微信账单的 收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小李当天微信收支的最终结果是() 微信红包一来自王某某： +14.00 某平台商户：-8.00 扫二维码付给某店：-9.00 A.支出17.00元B.收入14.00元 C.收入3.00元 D.支出3.00元 【变式1】(24-25六年级下·黑龙江开学考试)某商店营业五天的盈亏情况如下表： 星期 一 二 三 四 五 盈亏元 +4300 +1800 -4000 +4000 -1500 这个商店营业五天的总情况是() A.盈利 B.亏损 C.不盈不亏 D.无法判断 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26六年级上·上海崇明·期末)以全新视角呈现抗美援朝战争的电影《志愿军：浴血和平》 在2025年国庆档口碑稳居第一.10月8日，该电影在上海某片区的票房收入为180万元，接下来7天的票 房变化情况如表：（注：正数表示比前一天增加的票房，负数表示比前一天减少的票房）这7天中，票房 收入最高的当天票房是 万元 日期 9日 10日 11日 12日 13日 14日 15日 票房变化（万元） +32 -10 0 +40 -32 -74 +4 【变式3】(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨阶段检测)1 食堂管理：下表是实验小学食堂库存大米在这个星 期内的变化情况.（运进为正，运出为负） 星期 日 四 五 六 运进 和运 出仓 +300 +260 +800 +260 +180 库的 -290 +100 -280 -260 -270 -250 -90 大米 质量 /千克 (①)星期四运进大米()千克，运出大米()千克。 (2)星期()只运出大米，而没有运进大米；星期()运出的大米和运进的大米同样多， (3)如果上个星期六剩余大米200千克，那么到这个星期六食堂剩余多少千克大米？ 题型10有理数加减中的新定义型问题 【典例1】(2425七年级上·宁夏银川期中)已知a、b皆为正有理数，定义运算符号“O”表示一种新 的运算，它是这样定义的：a⊙b=-a+b.则4o(5o3)的值等于() A.-2 B.5 C.-6 D.10 【变式1】(25-26七年级上浙江金华期中)已知[表示不大于x的最大整数，如：[3.6]=3，[0.9]=-1 现定义：{=x-[,如：{1.6=1.6-[1.6=0.6，则计算{4.9}-{1.8的结果为() 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0.7 B.1.9 C.2.9 D.3.1 a-b(azb) 【变式2】(23-24七年级上·贵州贵阳阶段检测)定义运算a⑧b= a+b(a<b),则(-2)8(-3)= 【变式3】(2425七年级上福建莆田阶段检测)对于有理数a、b,定义运算：a⑧b=-a+b (1)计算(-3)8(-4)的值： (②)求[(-6)⑧3⑧9的值： (3)计算5⑧(6)和(-6)⑧5的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换律. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(2026广东清远·一模)计算-13+5的结果是（) A.-8 B.-18 C.8 D.18 2.(25-26七年级上北京朝阳·期末)生活中经常能看到用正负数表示允许误差的情形，某品牌乒乓球的 产品参数如图所示，按照这个参数，下列质量、直径的乒乓球合格的是（) 型号 3星级 ★ 颜色 黄色 ★ 质量 2.74g±0.02g ★ 直径 40mm±0.05mm 包装规格 10只/盒 A.质量2.64g,直径40.00mm B.质量2.73g,直径40.20mm C.质量2.75g,直径39.96mm D.质量2.76g,直径39.85mm 3.(2425七年级上河北唐山阶段检测)甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正 确的是() 甲：11+(-14)+19+(-6)=11+19+[(-14)+(-6)]=10 2:（引+引( 9/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.甲、乙都正确 B.甲、乙都不正确 C.只有甲正确 D.只有乙正确 4.(25-26七年级上辽宁大连阶段检测)下列计算正确的是（) A.-7-(-2)=5 B.（-3.6)-(+5.4)=1.8 。.（引 D.4-(-5)=-1 5.(26-27七年级全国暑假作业)将(-2)-(+)-(-5)+(4)统一为加法运算，正确的是() A.（-2)+(+1)+(-5)+(-4) B.(-2)+(-1)+(+5)+(-4) C.(-2)+(+1)+(+5)+(+4) D.（-2)+(-1)+(-5)+(+4) 二、填空题 6.(25-26七年级上江苏常州期中)下表是国外城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京时 间早的时数)，如果现在是北京时间11月13日21：00，那么纽约时间是 点 纽 巴 东 多伦 城市 约 黎 京 多 时差 -13 -7 +1 -12 (时) 7.(25-26六年级上·上海奉贤·期中)《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别 表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图①，表示1+(-2)=-1，则图②所表示的结果是 图① 图② 8,（25-26七年级上山东济南期末)定义新运算：a*b=】 a6,a⑧b=1 ab (右边的运算为平常的加、 减、乘、除) 咖，37片京387写 11 =3×7=21: 10116 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若a⑧b=a*b,则称有理数a,b为“隔一数对”. 例如：2*3=)，283=1=1 236 2×36,2⑧3=2*3，所以2,3就是一对“隔一数对”. 己知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则1⑧2+2⑧3+3⑧4+4⑧5+…+2025⑧2026= 9.(25-26七年级上广东深圳期末)数轴上表示有理数m和表示有理数n的两个点之间的距离可以用 m-川来表示，例如：数轴上-3的点到表示2的点的距离用-3-2表示.设点P在数轴上表示的有理数是 x,则-5+r+2到的最小值是 5432012345→ 10.(25-26九年级下·北京开学考试)某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再 经过组装工序.两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表： 零部件 甲 丙 丁 冲压时间 8 3 组装时间 6 4 9 2 若按零部件顺序甲-乙丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要 分钟；若要使全部 零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按 的先后顺序加工零部件. 三、解答题 11.(25-26七年级上全国课后作业)计算： (1)(-2.4)+(-3.7)+(-4.6)+3.7. ®引. 12.(2026河北保定·三模)如图，数轴上的点M,N分别表示数-3,1. 身号含青。9文方好式 (I)求点M,N之间的距离； (2)数x对应此数轴上的点A,若点A,N之间的距离为2，求x的值. 13.(26-27七年级全国暑假作业)计算： (1)22+(-2016)+(-2)+2016 (2)(-8)-(-15)+(-9)-(-12) 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e1-[e)-4)-(】4 0-075+(3-(025)号 14.(24-25七年级上·江苏阶段检测)小明家购置了一辆续航为350km(能行驶的最大路程)的新能源纯 电汽车，他将汽车充满电后连续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表（单位：k,以40km为 标准，超过部分记为“+”，不足部分记为“·”)，已知该汽车第三天行驶了45km,第六天行驶了 34km 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 -6 +2 -3 +8 ● +7 (1)“■”处的数为 “●”处的数为 (②)已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足续航的20%，行车电脑就会发出充电提示.请通过 计算说明该汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示. 15.(25-26七年级上·安徽芜湖·期末)先阅读理解第(1)小题的计算方法，再计算第(2)小题， (1)计算：-205+4003+(-2043+(1 4 解：原式=205+(40+子+(-204-号+(-1 =-205+40+}+(-2040+(3+(0+(2 =-205+400+(-204+(-1+[2+(3+(2】 =-10+( -10 2 上面的计算方法叫做拆项法， 16.(24-25七年级上江苏镇江·阶段检测)小东对有理数a,b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”， 记作“a⑧b”,他写出了一些按照“乘减法”运算的算式： (+3)8(+2)=+1,(+11)8(-3)=-8,(-2)8(+5)=-3,（6)8(-1)=+5: 4=+号 12116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (48(05=-35(←8®-8=02482=0：2380=+23.0@(-}=+7 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了.”她将法则整理出来给小东看，小东说： “你的理解完全正确.” ()请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得」 一，异号得一，并用 ；绝对值相等 的两数相“乘减”，都得一 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得 (2)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同， ①用“乘减法”计算：[(+7)8(-3)]⑧[(-9)8(-5)]= ②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即a⑧b=b⑧a,请你探究结合律在有理数的“乘 减法”中是否成立，若成立，请你说明理由：若不成立，请以a=2,b=-3,c=4为例说明 (a⑧b)8c=a⑧(b⑧c)不成立. 能力提升 一、单选题 1.计算(-5)-（-2)的结果等于() A.7 B.10 C.-7 D.-3 2.把-2-(+3)-(4)写成省略加号的和的形式，正确的是() A.-2+3+4 B.-2-3+4 C.-2-3-4 D.-2+3-4 3.某市2025年1月份连续四天的天气预报信息如图所示，其中日温差最大的一天是() 1月28日（除夕） 1月29日（春节） 1月30日（初二） 1月31日（初三） 4-14℃ 0-11℃ -2~11℃ 6~-4℃ 晴 多云 阴 阴 西北风<4级 北风<4级 北风<4级 北风<4级 A.1月28日 B.1月29日 C.1月30日 D.1月31日 4.下列说法正确的是() A.两个有理数的差为正数，则这两个数中至少有一个是正数 B.若a<b,则la<bl 13116 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.a为任何有理数，则-a-2必为负数 D.若lad+a=0,则a为非正数 5.我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用 不同颜色的算簿（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图①表示的是-2+(+4)=+2的运算过程. 按照这种方法，图②中表示的算式是() 图① 图② A.（-3)+4=1 B.(-3)+(-4)=-7 C.(+3)+(-4)=-1 D.(+3)+(+4)=+7 二、填空题 2 6.计算3+1的结果为 7.已知x-4+5-=0,则x+y的值为 x w 8.规定图形b表示运算a-b+c, 图形y2表示运算x+z-y-w, (直 接写出答案) 9.己知m=2,m=3且m+n≠m+n,则m+n= 10.同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将一6,8，-10,12， -14,16,-18,20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相 等，则a+b的值为一 -14 16 三、解答题 11.计算： (-8)+(-8)=-: (-8)-8=; (-8)-(-8)=-: 8-(-8)= 0-8=-； 0-(-8)= 14116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 （-3.6)-(+7)=: (-5.9)-（6.0=_ 引 2(引 12.计算 (1)12+(-6)+(-2)+6 引到引 13.计算： ①)8+(-1)--5： 20.125+3日+5号-0.25： 483 5(引（6别 14.计算： (1)15-6+4-8+7-20: @o5r3(7》25 (3)(-27）-(-38)+(-38)-(-12)+(+49) 15.例5引173》 解：原武[+(+】7+[( [-+(-*17+(-明++ -(引 上面这种解题的方法叫做拆项法，按此方法计算： （-2010+-2018号+4036号+2. 16.“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具.于是规定每人每天要做50个毛绒玩具， 为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：5个 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 15116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 星期 星期 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 -3 -2 +4 ()从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具. 17. 设[a表示不超过a的最大整数，例如[2.3]=2，【-4.6]=-5，[5]=5. (1)求 3 ×[5.5]-[-8.2]的值： ④令0=a-@求349+72的值 18.小虫从某点O出发，在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数， 爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10. (1)小虫最后是否回到出发点O?如果没有，在出发点O的什么地方？ (2)小虫离开出发点O最远时多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬2厘米奖励两粒芝麻，则小虫一共得到多少粒艺麻？ 19.如图，一只蜗牛从点A沿着数轴向右爬行4个单位长度到达点B,从点B沿着数轴又向左爬行7个单 3 位长度到达点C,点A表示的数为2：设点B表示的数为a,点C表示的数为b, A■ (1)求a,b的值. (2)求(a+b)-la-的值. 20.阅读材料： 5-g5台斗6片到5a 根据以上规律，解决下列问题： 11 (0)2019 (2)计算： -+上业上 232435465 11,11.,11.1 1 (3)计算： 十…十 32432023202220242023· 16116