2.4 二次函数的应用（分层作业）数学北师大版九年级下册

2.4 二次函数的应用 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·月考）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·云南昆明·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）某商店销售一种商品，其利润（元）与销售单价（元）的函数关系式为，则该商品的最大利润为（　　）． A．20元 B．45元 C．50元 D．70元 6．（25-26九年级上·福建厦门·期中）某种迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒 7．（25-26九年级上·天津西青·期中）一次聚会共有n个人参加，参加聚会的每两个人都握一次手，则所有人握手的总次数y与n满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·福建福州·期中）汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶的时间（单位：秒）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了 米． 9．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为 ． 10．（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 11．（25-26九年级上·陕西延安·期中）某商场以每个30元的进价购进某品牌玩具进行销售．根据调查发现，每个玩具的售价为40元时，每周的销售量为600个，每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个．设这种品牌玩具的销售单价上涨x元． (1)这种品牌玩具的销售量为______个；（用含x的代数式表示） (2)①若商场销售该品牌玩具每周获得的利润为y元，求y与x的函数关系式； ②当该品牌玩具的销售单价上涨多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 12．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点P是该抛物线的顶点，求的面积． 13．（25-26九年级上·广西南宁·月考）2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 14．（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 15．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量（把）与单个售价（元）之间的函数关系如图． (1)根据图象，求出与的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在中，，，．点是边上的一个动点，过点作交直角边于点，设为，△的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（         ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）．由题意可得到以下结论： ①； ②当小球落到点处时，点与点的水平距离为； ③当时，小球与斜坡之间的竖直高度最大． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26九年级上·山西朔州·月考）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，该图象与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是 ． 5．（25-26九年级上·青海海西·期中）如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为 ． 6.（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ (3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．如果抛物线还经过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； 8．（25-26九年级上·山东济南·期中）某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是22元，超市规定每盒售价不得少于26元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒26元时，每天可卖出300盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒． (1)试求出每天的销售量（盒）与每盒售价（元）之间的函数关系式； (2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？ (3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于38元．如果超市想要每天获得不低于2800元的利润，且尽量减少库存，该品牌月饼定价为多少元合适？ 9．（25-26九年级上·全国·期中）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K（与相距，离地高度）为飞行距离计分的参照点，落地点超过点 K 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点A滑出，当该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，该运动员最后着陆在着陆坡上.着陆点在点 K 处或在点 K 右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 11.（25-26九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，求证：． (3)已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围． 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上， ，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 3．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是拋物线的顶点． (1)求抛物线的对称轴及点的坐标； (2)连接，抛物线的对称轴与，交于点，与轴交于点，如果，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，已知点是该抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分.在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网.建立如图2的平面直角坐标系，已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，秋千绳长为，与轴形成的夹角为. (1)某次表演中，当时，演员甲在点处接住了演员乙， ①点的坐标为_____ ②若抛物线经过点、、，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； (3)在长期的训练过程中，演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网，若点在抛物线的对称轴上，求线段的长度至少为多少米. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 二次函数的应用 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列函数关系式，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，． 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某同学在实心球训练时，某一次实心球飞行轨迹呈抛物线型，其实心球飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则此次该同学实心球训练的成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用（投球问题），求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标是解题的关键． 令，则，解方程求出的值，即可得出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，从而得解． 【详解】解：令，则， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ∴抛物线与x轴正半轴的交点为，即此次该同学实心球训练的成绩为， 故选：C． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·月考）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所建坐标系及图形特点，结合，可得，设抛物线的解析式为，根据题意可求出点的坐标为，代入，即可求出抛物线解析式，令，求出，即为门高的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故选：B． 4．（24-25九年级上·云南昆明·期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 5．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）某商店销售一种商品，其利润（元）与销售单价（元）的函数关系式为，则该商品的最大利润为（　　）． A．20元 B．45元 C．50元 D．70元 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的最值，首先判断出二次项系数为负，故抛物线开口向下，存在最大值，最大值在顶点处取得，进而求解即可． 【详解】解：∵中， ∴抛物线开口向下， ∵函数的顶点横坐标为， ∴代入，得． ∴最大利润为 45 元． 故选：B． 6．（25-26九年级上·福建厦门·期中）某种迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是关键； 炮弹落地时高度为0，代入关系式求解一元二次方程即可. 【详解】解：∵ 炮弹落地时， ∴ 令， 解得或， ∵表示发射时刻， ∴ 落地时间为 秒； 故选：C. 7．（25-26九年级上·天津西青·期中）一次聚会共有n个人参加，参加聚会的每两个人都握一次手，则所有人握手的总次数y与n满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，握手问题，正确列出二次函数表达式是解题的关键． 每个人与其他人握手次，但每次握手被计算两次，因此总次数为，即可解答． 【详解】解：∵ 每个人握手次， ∴ 初步计算总次数为， 但每次握手被两个人各计算一次， ∴ 实际握手次数， 即 ， 故选C． 8．（25-26九年级上·福建福州·期中）汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶的时间（单位：秒）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了 米． 【答案】27 【分析】本题考查了二次函数的应用，通过求二次函数的最大值来确定汽车刹车后停止时的前进距离即可． 【详解】解：， ∵， ∴当时，有最大值27， ∴汽车刹车后到停下来前进了27米． 故答案为：27． 9．（25-26九年级上·天津·阶段练习）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由题意得，抛物线顶点坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，且过，然后代入求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线对应的函数表达式为，且过， ∴，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为， 故答案为：． 10．（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当，， 当水位上升 时，则此时， 则：， 解得：或， ∴水面宽为：， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·陕西延安·期中）某商场以每个30元的进价购进某品牌玩具进行销售．根据调查发现，每个玩具的售价为40元时，每周的销售量为600个，每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个．设这种品牌玩具的销售单价上涨x元． (1)这种品牌玩具的销售量为______个；（用含x的代数式表示） (2)①若商场销售该品牌玩具每周获得的利润为y元，求y与x的函数关系式； ②当该品牌玩具的销售单价上涨多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)①y与x的函数关系式为；②当该品牌玩具的销售单价上涨元时，每周的销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“每个玩具的售价每上涨1元，每周的销售量就减少10个”可进行求解； （2）①根据（1）及题意可直接进行求解； ②由①中函数解析式可得开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：这种品牌玩具的销售量为个； 故答案为； （2）解：①由题意得：； ∴y与x的函数关系式为； ②由①可知：y与x的函数关系式为， ∴开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为； 答：当该品牌玩具的销售单价上涨元时，每周的销售利润最大，最大利润是元． 12．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点P是该抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，得，解出，即可作答． （2）先求出对称轴为直线，把代入，得，则顶点P的坐标为，再求出，则，最后结合三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点P的坐标为， ∵抛物线与x轴交于A，两点， ∴， 解得， ∵， ∴． ∴， 则的面积． 13．（25-26九年级上·广西南宁·月考）2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)水流不会碰到这棵景观树，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 14．（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】(1) (2)当为米，围成的菜地面积最大． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答． （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 15．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量（把）与单个售价（元）之间的函数关系如图． (1)根据图象，求出与的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法可求出函数解析式； （2）设每天的利润为元，根据“利润（销售单价成本单价）销售量”可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设（，为常数）， 将点，代入得：， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：设每天获得的利润为元， 由题意得： ， ，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，． ∴销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元． 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在中，，，．点是边上的一个动点，过点作交直角边于点，设为，△的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（         ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质可求出；再分点在上和点在上两种情况，分别求出的长，进而用含x的式子表示出y即可得到答案． 【详解】解：，， ∴， ∴； 如图所示，当点在上时， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 当点D恰好与点C重合时，则； 如图所示，当点在上时， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴当时，与的函数关系的图象是开口向上的抛物线，当时，与的函数关系的图象是开口向下的抛物线， 故选：B． 2．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）．由题意可得到以下结论： ①； ②当小球落到点处时，点与点的水平距离为； ③当时，小球与斜坡之间的竖直高度最大． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； ①根据对称轴可得，当时，则，联立求解即可； ②联立，即可求解； ③小球与斜坡之间的竖直高度为，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：①当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值， ； 因为对称轴为； 则； ， 解得：， 则； 故①说法正确； ②∵，， ∴， 联立， 解得：； 当小球落到点处时，点与点的水平距离为； 故②说法正确； ③由题意小球与斜坡之间的竖直高度为， ∵， ∴当时，小球与斜坡之间的竖直高度有最大距离，故③说法正确； 综上所述，正确的有①②③，有3个； 故选：D． 3．（25-26九年级上·山西朔州·月考）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，该图象与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数图象的对称轴确定点的坐标，易得，然后根据，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，该二次函数的图象的对称轴为直线，且与轴负半轴交于点， 则与轴正半轴的交点的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·青海海西·期中）如图，在中，，，点D在边上，过D作于点E，作于点F，则矩形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意得出二次函数的解析式，再求出最值即可． 【详解】解：设， 于点E，于点F，， 为矩形， 在中，，， ，， ， ，， 矩形面积， 当时，面积最大为， 故答案为： 6.（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ (3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 【答案】(1) (2)这辆货运汽车能安全通过 (3)两排灯的水平距离最小是 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出抛物线的顶点为，设抛物线的表达式为，再把点代入计算，即可作答． （2）理解题意，得出货运汽车的另一侧与地面交点的横坐标为2或10，再把或分别代入，进行计算，即可作答． （3）把代入进行计算，得， ，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵隧道宽度为12米，最高处离地面10米， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的表达式为， ∵长方形宽为4米 ∴抛物线经过点， 把代入， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， 即该抛物线的表达式为， （2）解：由（1）得抛物线的顶点为 ∵一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽为，隧道内设双向车道， ∴货运汽车靠路面中心线行驶时，或 则其另一侧与地面交点的横坐标为2或10， ∴当时，， 当时，． ∴这辆货运汽车能安全通过． （3）解：由（1）得， 依题意，令，则， ∴， 解得， ， 则， ∴两排灯的水平距离最小是． 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．如果抛物线还经过点．    (1)求抛物线的解析式； (2)求四边形的面积； 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． （1）根据题意设二次函数解析式为，把代入解析式求出的值即可； （2）连接，求出D点坐标为，点坐标为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：． 抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图，   ， 点坐标为． 和， ，， 当时，， ， ． ∴． 8．（25-26九年级上·山东济南·期中）某超市在“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是22元，超市规定每盒售价不得少于26元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒26元时，每天可卖出300盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒． (1)试求出每天的销售量（盒）与每盒售价（元）之间的函数关系式； (2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？ (3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于38元．如果超市想要每天获得不低于2800元的利润，且尽量减少库存，该品牌月饼定价为多少元合适？ 【答案】(1) (2)当售价定为39元时，每天利润最大，最大值为2890元 (3)该品牌月饼定价为36元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用． （1）根据“当售价定为每盒26元时，每天可卖出300盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒”，即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润盒月饼所获得的利润销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的与x的函数关系式，根据这种月饼的每盒售价不得高于38元，且每天销售月饼的利润不低于2800元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解： ， 当（元）时，， （元）， 答：当售价定为39元时，每天利润最大，最大值为2890元； （3）解：当时，， 解得， ， ， ， ， 尽量减少库存，中随的增大而减小， ， 答：该品牌月饼定价为36元． 9．（25-26九年级上·全国·期中）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K（与相距，离地高度）为飞行距离计分的参照点，落地点超过点 K 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点A滑出，当该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，该运动员最后着陆在着陆坡上.着陆点在点 K 处或在点 K 右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由． 【答案】(1) (2)该运动员的成绩达标，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：该运动员的成绩达标，理由如下： 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴着陆点的坐标为， ∵， ∴该运动员的成绩达标． 10．（2025九年级下·全国·专题练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）①设解析式为，将代入解方程，即可得；②分别考虑点落到、处时，抛物线对应的，即可判断出取值范围． 【详解】（1）解：由题可设图象所在抛物线的解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． （2）解：①， ∴点E的坐标为． 当图象所在抛物线经过点E时，设其解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． ②当图象所在抛物线经过点E时，． ， ∴点F的坐标为． 当图象所在抛物线经过点F时，设其解析式为． 将分别代入，得 解得 图象的最高点低于图象的最高点， ， 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11.（25-26九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标． (2)若函数图象经过点，求证：． (3)已知函数图象经过点，．若对于任意的，都有成立，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）可求出，，则； （3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线设函数图象经过点，．则点在对称轴左侧，当时，，当时，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵函数图象经过点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线 设函数图象经过点，． ∴点在对称轴左侧， ∵对于任意的，都有成立， ∴存在如下情况： 如图1，当时， 则关于对称轴的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 如图2，当时， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为或． 1．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上， ，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积y关于平移距离x的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象． 【详解】解：设点平移的距离为，与正方形重合部分的面积为． ①当时，如图1，，； ②当时，如图2，，，， ∴ ． 综上，， 由分段函数可以看出A选项中的函数图象与所求的分段函数对应． 故选：A． 【点睛】 2．（25-26九年级上·广东中山·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C、P、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 【答案】(1)，； (2)Q的坐标为或或或； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的翻折问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用一次函数解析式求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化为顶点式求出点P的坐标即可； （2）设，由两点距离计算公式可得，， ，再分三种情况，分别建立方程求解即可； （3）图象翻折后点P对应点的坐标为，①当直线恰好经过，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴点B、C的坐标分别为、， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点P的坐标为； （2）解：由（1）可知抛物线对称轴为直线， 设， ∵， ∴，， ； ①当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点Q的坐标为； ②当时，则， ∴， 解得或， ∴此时点Q的坐标为或； ③当时，则， ∴， ∴， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或或； （3）解：图象翻折后点P对应点的坐标为， ①当直线恰好经过，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， ∴ ∴； ②当直线与x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象相切时，此时，直线与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 设点为原抛物线x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象上一点，则点是原抛物线x轴上方的部分的图象上一点， ∴， ∴， ∴原抛物线x轴上方的部分沿x轴向下翻折后的图象对应的函数解析式为， 联立得， 则， 解得． 综上所述，或． 3．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）如图，在平面直角坐标系中，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是拋物线的顶点． (1)求抛物线的对称轴及点的坐标； (2)连接，抛物线的对称轴与，交于点，与轴交于点，如果，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，已知点是该抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的对称轴是直线，点B； (2)抛物线的解析式为； (3)点． 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求点B坐标； （2）先求出点M，点D坐标，由可列等式，求a的值，即可求解； （3）通过证明，可得，可证点A，点C，点B，点F四点共圆，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线与x轴交于、B两点， ∴点B； （2）解：当时，， ∴点， ∵抛物线，与y轴交于点C， ∴点， 又∵点， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （3）解：如图， ∵点，点，点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A，点C，点B，点F四点共圆， ∵， ∴， ∴， ∴是直径， ∴点H是圆心， ∴， ∴点． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．（25-26九年级上·广西南宁·期中）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分.在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网.建立如图2的平面直角坐标系，已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，秋千绳长为，与轴形成的夹角为. (1)某次表演中，当时，演员甲在点处接住了演员乙， ①点的坐标为_____ ②若抛物线经过点、、，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； (3)在长期的训练过程中，演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网，若点在抛物线的对称轴上，求线段的长度至少为多少米. 【答案】(1)①② (2)米 (3)至少为米 【分析】（1）①先得出，得，再结合点坐标为，求出，故点的坐标为； ②理解题意，把，，分别代入，进行计算，即可作答． （2）先根据，得出开口方向向下，在对称轴处取得最大值，求出对称轴直线，代入，进行计算，即可作答． （3）理解题意，则把代入，得，即，因为主办方设置高为3米的保护网，得，整理得，结合，故，又因为，则，因为点在抛物线的对称轴上，则，即，考虑安全问题，即至少为米． 【详解】（1）解：①过点B分别作轴，作轴，如图所示： ∵绳长为，与轴形成的夹角为，且， ∴， ∴，即， 则， ∵点坐标为， ∴， 则， 即， ∴点的坐标为； ②设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点、、，且点坐标为，点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在（1）的条件下，抛物线的解析式为； ∵， ∴开口方向向下，在对称轴处取得最大值， 则对称轴为直线， 把代入，得， 即演员乙能达到的最高高度是米； （3）解：∵演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，且点坐标为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵主办方设置高为3米的保护网， ∴， ∴， ∴， 则， ， 令，则在中，随着的增大而减小， ∴当时，则；当时，则， 即， 故， ∴， ∴， ∴， ∵若点在抛物线的对称轴上， ∴， 即． ∵预防表演时演员乙出现失误，安全问题， ∴至少为米． 【点睛】本题考查了二次函数的其他应用，二次函数的解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，30度角的直角三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $