26.4 实际问题与二次函数 专题训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，分基础、提升、综合三层设计，覆盖拱桥、图形、投球三大情境，实现从解析式求解到综合决策的进阶，培养数学建模与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（求解析式）|拱桥/图形基础模型（如题1-2、7-8），直接应用顶点式/交点式| |提升层|情境应用（判断通过、面积计算）|加入对称立柱/隔墙等复杂情境（如题3-4、12），强化几何直观| |综合层|综合决策（最值、多条件限制）|结合坡度/运动轨迹多维度分析（如题16-18），发展模型意识与推理能力|

26.4 实际问题与二次函数  题型分类解答题专题训练 一、拱桥问题 1．如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米，现有一艘宽20米，高出水面11米的轮船． (1)求出抛物线解析式； (2)请通过计算说明这艘船能否通过这座拱桥？ 2．如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高为（最高点到地面的距离），把它放在直角坐标系中，其解析式为． (1)求城门洞最宽处的长（保留根号）； (2)现在有一高，宽的小型运货车，问它能否完全通过此城门？请说明理由． 3．某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图1所示，示意图如图2，且已知图2中矩形的长为米，宽为米，抛物线的最高处距地面为米． (1)请根据题意建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式． (2)若观景拱桥下放置两根长为米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离． 4．定远池河大桥，原名太平桥，位于安徽省定远县池河镇西官驿道上，雄跨于蜿蜒的池河之上，如图，拱桥的拱形是抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度米时，水面离桥洞最大距离为1米，以水平面为轴，点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该拱桥所在抛物线的解析式； (2)当水面离桥洞最大距离为3米时，求此时拱桥内水面的宽度． 5．一座桥如图，桥下水面宽度是10米，高是4米．如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 6．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高，在长度为的两支柱和之间，还安装着三根支柱，相邻两支柱间的距离均为． (1)建立如图所示的直角坐标系，求拱桥抛物线的函数表达式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下面拟铺设行车道，要保证高的汽车能够通过（车顶与拱桥的距离不小于），行车道最宽可以铺设多少米？ 二、图形问题 7．相框边的宽可影响放入的相片的大小，如图所示，相框长，宽．设相框边的宽为，相框内的面积为． (1)写出关于的函数解析式． (2)在这个函数解析式中，自变量的取值范围是什么？ (3)当取1，1.5，2时分别可以放入多大面积的相片？ 8．如图，学校要用一段长为32米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为14米． (1)若矩形ABCD的面积为96平方米，求矩形的边AB的长． (2)要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？ 9．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)请设计一种砌法，使矩形花园的面积为； (2)请设计一种砌法，使矩形花园的面积最大． 10．喜迎新学期，学校要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成，围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围） (2)求花圃的最大面积． 11．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为． (1)围成的矩形花圃的面积能否为？若能，求出x的值；若不能，说明理由； (2)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由． 12．如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米． (1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简） (2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值． (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？ 三、投球问题 13．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为，O、两点相距米． (1)求出点的坐标及球的飞行路线所在抛物线的解析式； (2)请通过计算，判断小明这一杆能否把球直接打入球洞． 14．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 15．如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 16．如图，已知女排球场的长度为18米，位于球场中线处的球网的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米处的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式． (2)在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． (3)排球从C点飞出去，要想排球既能过网又不会出界，直接写出球运行的最大高度h（米）的取值范围．（排球压线属于没出界） 17．嘉琪同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛技术进行技术分析，下面是他对某次击球线路的分析．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的线路为抛物线的一部分，如图，甲在点O正上方的点P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数关系式．已知点O与球网的水平距离为5米，球网的高度为1.5米． (1)当时． ①求h的值； ②通过计算判断此球能否过网； (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7米，离地面高度为米的Q处时，乙扣球成功，求a的值． 18．在坡度为3∶4的斜坡与水平地面的纵向截面图上，建立如图所示的平面直角坐标系，一个单位长度代表长．点在斜坡上，，从点向右发射出的小球，其运动路线为抛物线的一部分． (1)直接写出点的坐标，并求，所满足的数量关系； (2)当小球恰好落到原点时，求的表达式，并直接写出的顶点坐标； (3)在点右侧处有一面与轴垂直的墙，且，若使得小球能碰触到墙面（含点和），直接写出的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)能，理由如下： 对于抛物线， 令，可得， 解得，， ∵， ∴这艘船能通过这座拱桥 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确确定该抛物线解析式是解题关键． （1）设抛物线解析式为，将点坐标代入求解即可； （2）令，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：如图，设点为原点，根据题意，可知米，米， 则，，， 设抛物线解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）略 2．(1) (2) 解：能通过， 理由：当时，， ， ∴能通过． 【分析】本题考查了二次函数的应用，截图的关键是： （1）令，求出A、B的坐标，即可求解； （2）把代入函数解析，求出y，然后用减去所求y的绝对值，所得的差与货车高度比较即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 即城门洞最宽处的长为； （2）略 3．(1) (2)这两根立柱之间的水平距离为米 【分析】（1）以所在的直线为轴，点为顶点，以过点且垂直的直线为轴，建立直角坐标系，由题意得，，，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求解即可； （2）根据题意可列式， 求出x的值，由此可求出两根立柱之间的水平距离． 【详解】（1）解：以所在的直线为轴，过点且垂直的直线为轴，建立直角坐标系， 由题意得，，， 设抛物线的解析式为， 代入可得， 解得， ∴． （2）解：依题意可得， 解得， ， 答：这两根立柱之间的水平距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，能够根据图形建立直角坐标系，并根据建立的直角坐标系找出重要点的坐标，是解决本题的关键． 4．(1)拱桥所在抛物线的解析式为：； (2)此时拱桥内水面的宽度为米． 【分析】（1）根据水面宽度，求出抛物线的对称轴，进而通过水面离桥洞最大距离，确定抛物线顶点坐标，设顶点式抛物线方程，将点坐标代入即可求解， （2）根据题意，得出水面所在的直线解析式，与抛物线方程联立，求出两交点间的距离，即为所求答案， 本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，以及求一元二次方程与直线交点，解题的关键是：实际问题到数学问题的转化． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，． ∵水面离桥洞最大距离为1米， ∴该抛物线顶点坐标为． 设该抛物线解析式为，把代入， 得，解得， 故该拱桥所在抛物线的解析式为：； （2）由题意，得． 把代入， 得，解得：，， （米）， 故此时拱桥内水面的宽度为米． 5．(1) (2)宽度须不超过5米 【分析】（1）先根据题意得到，然后把抛物线设成交点式进行求解即可； （2）求出当时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，则， 解得， ∴要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的抛物线解析式是解题的关键． 6．(1) (2)3．5m (3)米 【分析】（1）根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N点的坐标为可求出支柱EF的长度． （3）令求得x的值即可求解． 【详解】（1）根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为:： ∵相邻两支柱间的距离均为5m， 两点都在抛物线上， （2）设点F的坐标为 （3）当时， ∴行车道最宽可以铺设米． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． 7．(1) (2) (3)分别可以放入面积为，，的相片 【分析】（1）由四周相框边的宽度相同，进一步求出相框内部的长和宽从而能求出内部的面积； （2）根据镜框的长、宽以及相框边的宽大于0，列出不等式组，解不等式组，可得答案； （3）把分别为、，，分别代入函数解析式求得值即可． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）由题意，得 ∴． （3）把，，分别代入， 得，，， ∴分别可以放入面积为，，的相片． 【点睛】本题考查二次函数的实际运用，关键是看到四周相框边的宽度和内部长方形的长和宽的关系，从而求出函数式，进一步利用解析式解决问题． 8．(1)矩形的边AB的长为12米； (2)AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米 【分析】（1）根据题意：矩形的面积=AB×BC，设未知数列方程可解答； （2）设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC=（32-2x）米，可以得到y与x的函数关系式，在x的取值范围内求出函数的最大值即可． 【详解】（1）解：设AB为x米，则BC=（36-2x）米， 由题意得：x（32-2x）=96， 解得：=4，=12， ∵墙长为14米，32米的篱笆， ∴32-2x≤14，2x＜32， ∴9≤x＜16， ∴x=12， ∴AB=12， 答：矩形的边AB的长为12米； （2）解：设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC=（32-2x）米， ∴， ∵9≤x＜16，且-2＜0，故抛物线开口向下， ∴当x=9时，y有最大值是126， 答：AB边的长应为9米时，有最大面积，且最大面积为126平方米． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9．(1)可以围成的长为15米，为10米的矩形 (2)可以围成的长为米，为米的矩形，矩形花园的面积最大 【分析】（1）设，则，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解，根据题意取舍的值； （2）设，则，矩形花园的面积为，求得的取值范围，根据二次函数的性质求得最大值即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得：， 解得：， 当时，，故不合题意，舍去； ∴， ∴可以围成的长为15米，为10米的矩形， （2）解：设，则，矩形花园的面积为， 则， ∵， 解得：， ∴当时，取得最大值， ∴可以围成的长为米，为米的矩形，矩形花园的面积最大． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键． 10．(1) (2)128 【分析】本题考查了两个变量之间的函数关系式，二次函数求最值，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先用表示，再利用面积公式即可建立起函数关系式； （2）配方求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：， 而，， ∴当时，花圃的最大面积为． 11．(1)围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25 (2)围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），二次函数的实际应用（图形问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式或方程是解题的关键． （2）根据题意设未知数列一元二次方程，判断此方程有解，然后再解方程即可； （3）先列函数关系式，将二次函数解析式化成顶点式，然后根据自变量的取值范围和二次函数的性质求二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：围成的矩形花圃的面积能为． ∵平行于墙的边， 而，且， ∴． 由题意，得． 解得（舍去）或． 答：围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25． （2）解：设围成的矩形花圃的面积为． 由题意，得． ∵，且， ∴当时，S取得最大值800． 答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20． 12．(1) (2)162 (3)当时，取得最大值，最大值为180 【分析】本题主要考查列代数式，一元一次方程的应用以及二次函数的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得米，根据矩形的面积公式可得结论； （2）根据正方形的性质可列方程，求得的长，可得的值； （3）设菜园面积为S，得出S关于x的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解． 【详解】（1）解：∵的长为米， ∴米， ∴（平方米）， 故答案为：； （2）解：由题意，得， 解得， （平方米）， 的值为162平方米； （3）解：． 墙长为18米，正前方有两个1米宽的门， . ， 抛物线开口向下， 当时，随着的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为． 13．(1)， (2)不能 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据含30度的直角三角形的性质，求出的长，进而求出点的坐标，设出顶点式，利用抛物线经过原点，待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将点的横坐标代入解析式，求出函数值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由图可知：，由题意，， ∴，， ∴， 由题意，抛物线的顶点坐标为，且过原点， 设抛物线的解析式为，把代入，得，解得， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴小明这一杆不能把球直接打入球洞． 14．(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2）略 15．(1) (2)小球M能飞过这棵树 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合及实际应用，求出抛物线的解析式是解题的关键 （1）根据顶点坐标设顶点式，将原点坐标代入，即可求解； （2）计算出树的顶点的纵坐标，以及时抛物线上对应点的纵坐标，比较大小即可． 【详解】（1）解：小球到达的最高的点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过原点O， ， 解得， ， 即抛物线的解析式为； （2）解： B点的横坐标为2，B点在斜坡上， B点的纵坐标为， 树高为4，树与y轴平行， 树的顶点的纵坐标为：， 将代入，得：， ， 小球M能飞过这棵树． 16．(1) (2)解：球可以过网且不出界，理由如下： 当时，， 当时，， ∴球可以过网且不出界； (3) 【分析】（1）顶点坐标为，可设解析式为，再将点C坐标代入即可； （2）由解得的解析式，求得时y的值，时，y的值； （3）设解析式为，将点C坐标代入上式，再求出h的范围． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入可得，， 解得， ； （2）略 （3）解：设解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴解析式为， 由题意可知当时，， 解得， 当时， 解得， ∴． 17．(1)①，②此球能过网 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）①将，代入解析式即可求解h，②把代入求出函数值与1.5比较即可； （2）将，解方程组即可． 【详解】（1）解：①由题意得，当时， 则 将代入得 解得， ②∵ ∴当时， ∵ ∴此球能过网； （2）解：将代入， 得， 解得 ∴． 18．(1)点A的坐标是； (2)，抛物线的顶点坐标是 (3)． 【分析】本题考查了二次函数的应用，难度不大．利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）作轴于点D，设，则，利用勾股定理列式计算求得a的值，即可求解，将代入求解即可求出，所满足的数量关系； （2）将原点代入求解即可； （3）根据题意知，分别把代入求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点D， ∵坡度为， ∴设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴点A的坐标是； ∵点A在抛物线上， ∴， ∴ （2）解：当小球落到原点时，点在抛物线上， ∴． ∴． ∴， ∴抛物线的函数表达式为； ∵ ∴抛物线的顶点坐标是 （3）解：根据题意知：， ∵． ∴． ∴当抛物线过点时，有：， 解得：； 当抛物线过点时，有：， 解得：． ∴当小球能碰触到墙面时，b的取值范围是． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $