专题1.6 角平分线的性质（8大题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边距离相等）及逆定理，系统梳理从定义、符号语言到关键条件的知识脉络，通过“知识点-即学即练-题型分类”的递进式学习支架，衔接角平分线概念与几何证明应用。 资料以8类题型（求线段长、角度、面积等）为载体，融入实际应用（如度假村选址）和尺规作图，通过典例与变式题培养几何直观和推理能力，课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习，强化知识理解与应用意识。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.6 角平分线的性质 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01角平分线的性质 2.知识清单 题型01根据角平分线的性质求线段长 题型02根据角平分线的性质求角度 题型03根据角平分线的性质求周长 角平分线的性质 题型04根据角平分线的性质求面积 3.题型精讲 题型05根据角平分线的性质求最值 题型06角平分线的判定定理 题型07角平分线性质的实际应用 题型08尺规作角平分线 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.掌握角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边距离相等）及其逆定理，能准确表述 定理内容。 教学目标 2. 会用逻辑推理证明定理，能运用定理解决线段相等、角相等及实际距离相关问题。 3.经历定理探究过程，提升几何直观与推理能力，体会数学的实用性与严谨性。 1.重点 (1)理解并熟记角平分线的性质定理与逆定理，明晰定理的条件与结论。 教学重难 (2)熟练运用定理进行几何证明和计算，解决线段相等、距离求解等实际问题。 点 2.难点 (1)区分角平分线性质定理与逆定理的逻辑关系，避免定理应用混淆。 (2)复杂图形中挖掘隐含条件，构造辅助线（如作距离）运用定理解决综合问题。 1/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识清单 知识点01角平分线的性质 性质定理 。内容：角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。 -符号语言：若OC平分∠AOB,点P在OC上，PD⊥OA于D,PELOB于E,则PD=PE。 ·关键条件：①点在角平分线上；②垂直于角的两边（距离定义）。 逆定理（判定定理） ·内容：到一个角的两条边距离相等的点，在这个角的平分线上。 ·符号语言：若PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,且PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上。 -作用：判定点的位置（是否在角平分线上）。 【即学即练】1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若CD=4,AB=9,则△ABD的面积 为() B A.13 B.26 C.36 D.18 2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E,若AB=6,AC=4,DE=2,则△ABC的面 积为(). E D A.20 B.12 C.10 D.6 3.如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C,点D在OB上，若PC=2,OD=4,则aPOD的面积为 2/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ B 4.填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，CD平分∠ACB,交AB于点D,DE∥AC,交BC于点E,EF∥CD交AB于点F,那么EF平分 ∠DEB吗？ 4 D /4 5 E 解：CD平分∠ACB(已知)， ∠1=∠2((1))， ·AC∥DE(已知)， .∠1=∠(2)， ∴∠2=∠3（等量代换）， ·CD∥EF(已知)， .∠4=∠3((3))， (4)(两直线平行，同位角相等)， ∠4=∠5（等量代换）. .EF平分∠DEB 题型精讲 题型01根据角平分线的性质求线段长 【典例1】(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，在△ABC中，AB=6,AD平分∠BAC交BC于点D, DE⊥AC,垂足为E,△ABD的面积为5，则DE的长为() 3/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.2 B.3 e 10 D.3 【变式1】(25-26七年级下，陕西西安·阶段检测)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,DE⊥BC于点E, △ABC的面积为28，DE=4,BC=9,则AC的长是() D B A.4 B.5 C.6 D.7 【变式2】(25-26七年级下·重庆期末)如图，在△ABC中，∠B=90°.AD平分∠BAC,DH⊥AC于点 H,若BD:CD=2:3,BC=15,则DH= 【变式3】(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE是 △ABD的中线，过点D分别作DF⊥AB,DH⊥AC,垂足分别为点F,H,若△BED的面积为2，AB的 长为4，则DH的长为 H 题型02根据角平分线的性质求角度 LBC 【典例1】(25-26八年级下山东淄博·期末)如图，在。ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的长为半径画弧，两弧相交于点E,F,作直线EF交AC于点D,连接BD,以A为圆心，适当长为半径 画弧，分别交AB,AC于M,N,再分别以点M和点N为圆心，大于2MN的长为半径画弧，两弧在 ∠BAC的内部相交于点P,连接AP并延长，交BC于点G,若∠ABD=68°，则∠AGB的大小是() E A.55° B.56° C.57 D.58 【变式1】(2026黑龙江哈尔滨二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线MN,分别交ACAB于点P、D,连接BP,若点P 到AB、BC的距离相等，则∠APD的度数为() D B XN A.30° B.45 C.60 D.75° 【变式2】(25-26七年级下·广东深圳期中)如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=42,AD是△ABC 的一条角平分线，则∠ADB= 题型03根据角平分线的性质求周长 【典例1】(2425七年级下重庆期中)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90,∠BAC的平分线AE交BC于 点E,过点E作DE⊥AC于点D,若△ABC的周长为24，△DEC的周长为12，则AB=() 5/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E C A.5 B.5.5 C.6 D.6.5 【变式1】(25-26八年级上江苏无锡阶段检测)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E, 过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若△AMN的周长是9，BC=6,则△ABC的周长为() A.9 B.15 C.21 D.24 【变式2】(25-26八年级上江苏南京期中)如图，已知△ABC面积是10，OB,OC分别平分∠ABC和 ∠ACB,OD⊥BC于点D,OD=2,则△ABC的周长是 B D 【变式3】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在△ABC中，△ABC的三条角平分线相交于点O, OM⊥AB于点M.若OM=4,S.Bc=90,则△ABC的周长是一· M C N D 点 是三条角平分线的交点 M B O 6/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点O到△ABC三边的距离相等 即OM=ON=OP=4 S.ABC=S.048+Sonc+S.OBc, 题型04根据角平分线的性质求面积 【典例1】(23-24八年级上湖北随州期中)如图，在△ABC中，E为AC的中点，AD平分∠BAC, BA:CA=2:3,AD与BE相交于点O,若aOAE的面积比△BOD的面积大1，则△ABC的面积是() D A.8 B.9 C.10 D.11 【变式1】(25-26八年级上·福建莆田阶段检测)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点P是AD的中 点，连接BP,若AB=8,AC=6,△PBD的面积是6，则△ADC的面积是() D A.8 B.9 C.10 D.11 【变式2】(25-26八年级下·陕西西安阶段检测)如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BE是△ABD 边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB=5,AC=3,则△ABE的面积是 B D 【变式3】(25-26七年级下·重庆期中)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,AB:BC=2:3,点E为BC 上一点，连接AE交BD于点F,若AF=2EF,且△ADF的面积比△BEF的面积大3，则四边形CDFE的面 积为 7/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型05根据角平分线的性质求最值 【典例1】(25-26七年级下·安徽宿州期末)如图，已知OC平分∠AOB,点P在OC上，PD⊥OA于D, PD=3cm,点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为() B E D D A A.3cm B 14 cm C 2cm D.1cm 【变式1】(2425八年级上广东珠海阶段检测)如图，在RIAABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8, AB=10,AD是∠BAC的平分线，若P,Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PO的最小值是() B A.5.6 B.4.8 C.6.4 D.3.9 【变式2】(25-26八年级上新疆喀什期末)如图，OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点是射线OM 上一个动点，若PA=3,则PQ的最小值为一 M 0 【变式3】(25-26七年级上·山东淄博·期中)如图，锐角三角形ABC的面积是15，AB=5,BD平分 8/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC,若MN分别是BD,BC上的动点，则CM+MN的最小值是 D 题型06角平分线的判定定理 【典例1】(23-24八年级上·天津滨海新区·期中)如图，AC⊥BC,DC⊥EC,BC=DC,AC=EC, (I)求证：AB=DE: (2)设AB与ED相交于点F,连接CF,求证：CF平分∠BFE. 【变式1】(25-26八年级上广东广州期中)如图，DE L AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD, BE=CF. E F (I)求证：AD平分∠BAC: (2)已知AC=15,DE=4,BE=3，,求△AEC的面积. oEC的面积4证CE-x12x9-=54 2 【变式2】(25-26八年级上内蒙古鄂尔多斯期中)已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，AD,CE分别是 ∠BAC与∠ACB角平分线，AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N 9/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D N C (I)求证：F在∠ABC的角平分线上： (2)求证：FE=FD 【变式3】(25-26八年级上：河北石家庄期中)如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交 于点P,过点P作BE、BF的垂线，垂足分别为M,N E C为F (I)求证：点P在∠ACF的平分线上： (2)用等式表示AC、AM、CN的数量关系，并说明理由. 题型07角平分线性质的实际应用 【典例1】(25-26七年级下·贵州毕节阶段检测)如图所示的是一块三角形草坪ABC，现要在草坪上建 一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在() Ψ平( A.△ABC三条中线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条高所在直线的交点处 D.△ABC三边的垂直平分线的交点处 【变式1】(25-26八年级上·贵州遵义·期中)某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平 地上修建一个度假村，如图所示.要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在() 10122 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.△ABC三条高线的交点处 B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条中线的交点处 D.以上都不对 【变式2】(2425八年级上·湖北武汉期中)如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村. 要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有 处可供选择。 【变式3】(23-24八年级上·北京西城期中)某地计划新建一所学校，如图直线AB,AC表示两条公路， 点M,N表示两个村庄，学校的位置点P需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的 距离相等；③在∠BAC的内部.，请运用尺规作图确定学校的位置并说明作图依据（不写作法，保留作图痕 迹)· B N ·M 作图依据： 题型08 尺规作角平分线 【典例1】(25-26七年级下山西临汾期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=28°.根据尺规 作图的痕迹可知，∠ADE的度数为() 11/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.660 B.59° C.48 D.42° 【变式1】(2425七年级下·贵州六盘水期末)如图，已知∠BAC,按如下步骤作图： ①在AB和AC上分别截取AD,AE,使AD=AE: ②分别以点DE为圆心，以大于2DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点M: ③作射线AM,过点M作MN‖AC交AB于点N; 若∠AMN=15°，则∠AWM=」 度 N D 【变式2】(25-26七年级下·陕西宝鸡期末)如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，请用尺规作图 法求作一点P,使点P到OA,OB的距离相等且CP=OC,(保留作图痕迹，不写作法) B 【变式3】(25-26七年级下·山东青岛期末)尺规作图：如图，已知∠AOB和一点M,请按以下要求完 成作图： A …M B (I)过点M作OB的垂线MH,垂足为点H: (2)在线段MH上试确定一点P,使得P到射线OA,OB的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）， 12122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26八年级上·浙江·期末)两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M,则点M一定 在() C A.∠A的平分线上 B.AC边的高上 C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上 2.(25-26八年级上·黑龙江七台河期中)如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE、BD相交于 点E,EF⊥AB于点F,AB=14,AC=12,若△BDC的面积是30，则EF的长为() A.4 B.3 C.2 D.1 3.(25-26八年级上浙江金华月考)如图，已知AC平分∠DAB,CE L AB于E,若AB=6,AD=4, S,Bc=6,则△ACD的面积为() B A.8 B.6 C.5 D.4 13122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上·安徽芜湖期中)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC,若DE=2, SAABC=12,AC=7,则AB的长是() D A A.9 B.8 C.6 D.5 5.(25-26八年级上山东德州期中)如图，已知△ABC的周长是20cm,∠ABC和∠ACB的角平分线交 于点O,OD⊥BC于点D,若OD=4cm,则△ABC的面积是()cm2 D A.24 B.27 C.40 D.33 二、填空题 6.(25-26八年级上·天津河西期中)如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC, AB=6,BC=8,CD=5,则四边形ABCD的面积是一 A D 7.(2025八年级上全国专题练习)如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E.若 AB=4,DE=2,则△ABD的面积为一 E 14122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 8.(25-26八年级上江苏扬州期中)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3,AB=4,连接BD,若 BD⊥CD,∠ADB=∠C,点P是BC边上一动点，则DP长的最小值为一 D 9.(25-26八年级上四川德阳期中)如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于 点P,BE=BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,连接CP.下列结论：① ∠ACB=2∠APB;②SPAC:SPB=AC:AB;③BP垂直平分CE;④∠PCF=∠CPF.其中正确的有 D GB E 10.(25-26八年级上重庆期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AE平分∠CAB交BC于点 E,EF⊥AB于点F,且AC=12,则BF+BE= 三、解答题 11.(25-26八年级上河北邢台期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边AC上，过点D作 DE⊥BC于点E,连接AE,且BD垂直平分AE. (I)若∠ABC=54°，求∠ABD的度数； (2)若△ABC的周长为24，△DEC的周长为12，求AB的长. 12.(25-26八年级上广东广州期中)如图，AD是△ABC的角平分线，DE L AB,DF LAC,垂足分 15122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 别是E、F,连接EF,EF与AD相交于点G. E D (I)求证：DE=DF: (2)若DE=6,AB=8,S△MBc=60,求AC的长， 13.(25-26八年级上江苏无锡期中)如图，在△ABC中，∠CBA=80°，∠C=60°，BE平分∠CBA, ED⊥AB于点D. (I)求证：AD=BD (2)若CE=2,求ED的长. 14.(25-26八年级上：河南新乡·期中)如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD;∠ABC+∠ADC=180°， CF⊥AD于F. C B A (I)求证：CB=CD: (2)若AD=16,AB=6,求DF和AF的长. 15.(22-23八年级上重庆江津期末) A D B B C D 图一 图二 图三 (I)【感知】：如图1，点P是∠AOB角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,证 16122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 明PC=PD(不需要证明)· (2)【探究】如图2，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，点E在AC边上， ∠AED+∠B=180° ①证明：DB=DE: ②请判断AB,AE,CE三条线段之间的数量关系，并说明理由 (3)【拓展】如图3，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若 ∠BAC=80°，请直接写出∠CAP的度数. 能力提升 一、单选题 1.(25-26八年级下·陕西西安阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC 于点D,DE⊥AB于点E,若BD=5,BC=7,则DE的长为() D A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26八年级下广东佛山期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,AB=8,CD=3, 则△ABD的面积是() A.12 B.14 C.16 D.18 3.(25-26八年级下·山西运城期末)运城某社区被学苑路AB、禹都大道AC、条山街BC三条道路合围 而成.随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患.现要求 充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在△ABC() 17122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.三个角的平分线的交点处 B.三条中线的交点处 C.三条边的垂直平分线的交点处 D.三条高线的交点处 4.(25-26七年级下·江苏准安期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，结合尺规作图 痕迹提供的信息，则∠DAC的度数为() C A.15° B.30° C.45° D.60 5.(25-26七年级下山东青岛期末)如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC 上的一个动点，若△ABD的面积为10，AB=5,则线段DP的长不可能是() M D P C A.3 B.4 C.5 D.5.5 E M D 根据三角形面积公式 ,代入已知 ·AB.DE P S.ABD=10 AB=5 二、填空题 6.(25-26七年级下·陕西西安期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,若S.ACn=3, AC=3,AB=4,则△ABC的面积是 18122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 7.(25-26七年级上山东烟台期中)如图，△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB于点 E,△ABC的面积是42cm2,AB=10cm,BC=14cm,则DE=一 B 8.(25-26七年级下·河南南阳期未)如图，在△ABC中，∠B=90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说 法：①∠DAC=∠C;②∠BAD=∠CAD:③∠CDE=∠CAB.其中正确的是 (填序号). D 9.(25-26八年级下河南平顶山期末)如图，ADI‖BC,CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC,AB过点 P,且与AD垂直，垂足为A,交BC于B,若AB=I0,则点P到DC的距离是 AD B C 10.(25-26七年级下河北廊坊期末)如图，已知AB∥CD,CD∥EF,AE平分∠BAC,AC⊥CE, 则∠1与∠4的关系为. A B 14 D 3 E -F 11.(25-26七年级下·安徽宿州期末)在锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，BE、CD分别为△ABC的角 平分线，BE、CD相交于点F. 19122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1)则∠BFC的度数为 (2)若FG平分∠BFC,当BD=3,CE=2,△BFC的面积为2.5时，则△BCD的面积为 三、解答题 12.(25-26七年级下甘肃白银期末)如图，在△ABC中，∠C=90,BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB, 垂足为E,若△ABC的面积为24cm',AB=10cm,BC=6cm,求DE的长. A E B 13.(25-26七年级下·重庆万州期末)如图，在△ABC中，∠A=70°，BD平分∠ABC交AC于点D,点 E在BC的延长线上，且∠ACB=2∠E. D C E (I)尺规作图：作∠ACB的平分线CF交AB于点F,交BD于点O.(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的作图下，求∠BDE的度数.解答过程如下，请你补充完整： 解：在△ABC中，：∠A=70 .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110 :BD平分∠ABC,CF平分∠ACB OC 20CB-1LACB ∠08c+∠0CB=Ac+∠ACB)=5r ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=125 20122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CF平分∠ACB .∠ACB=② .∠ACB=2∠E ∴③（等量代换） .OC∥DE. .∠BDE=∠BOC=125°（④_） 14.(25-26七年级下·辽宁本溪期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC=90°」 D (I)请利用尺规在BC边上作一点M,使得△ADM≌△ABM；(保留作图痕迹，标明字母，不写作法) (②)若∠DAB+2∠C=180°，求证：AM∥CD 15.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D 作DE⊥BC于点E,点F在CD上，连接EF,∠ABD=∠FEC. (L)试说明∠BDF+∠DFE=180°； (②)已知AB=2,BC=5,SABD=m,求△ABC的面积.（结果用含m的代数式表示） 16.(25-26七年级下·海南海口期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°. B (I)在△ABC中作∠ABC的角平分线BD,作AB边上的高CE: (2)若∠ABC=60°，求∠ADB的度数； (3)若AC=4,BC=3,AB=5,求CE的长. 17.(25-26七年级下江西抚州期末)完成以下问题 21122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ B P B D 图① 图② 图③ ()【感知】如图O,OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任一点，作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为 D和E,若PD=5,则PE= (2)【探究】如图②，在△ABC中，AD是它的角平分线.若AB:AC=7:5.求△ABD与△ACD的面积比： (3)【应用】如图③，△ABC的周长是13.BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D.若 OD=3,求△ABC的面积. 22122 专题1.6 角平分线的性质 教学目标 1. 掌握角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边距离相等）及其逆定理，能准确表述定理内容。 2. 会用逻辑推理证明定理，能运用定理解决线段相等、角相等及实际距离相关问题。 3. 经历定理探究过程，提升几何直观与推理能力，体会数学的实用性与严谨性。 教学重难点 1.重点 （1）理解并熟记角平分线的性质定理与逆定理，明晰定理的条件与结论。 （2）熟练运用定理进行几何证明和计算，解决线段相等、距离求解等实际问题。 2.难点 （1）区分角平分线性质定理与逆定理的逻辑关系，避免定理应用混淆。 （2）复杂图形中挖掘隐含条件，构造辅助线（如作距离）运用定理解决综合问题。 知识点01 角平分线的性质 性质定理 - 内容：角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。 - 符号语言：若OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，则PD=PE。 - 关键条件：①点在角平分线上；②垂直于角的两边（距离定义）。 逆定理（判定定理） - 内容：到一个角的两条边距离相等的点，在这个角的平分线上。 - 符号语言：若PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。 - 作用：判定点的位置（是否在角平分线上）。 【即学即练】1．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 【答案】D 【分析】过点作，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积. 2．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】如图：过D作于F，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积关系以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作于F， ∵是的角平分线，，垂足为， ∴， ∴的面积为． 3．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为_______． 【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分， ， ． 4．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，平分，交于点，，交于点，交于点，那么平分吗？ 解：平分（已知）， （（1））， （已知）， （2）， （等量代换）， （已知）， （（3））， （4）（两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 平分． 【答案】角平分线的定义；3；两直线平行，内错角相等； 【分析】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得到，等量代换可得到，再利用平行得到，，最后等量代换即可． 【详解】解：平分（已知）， （角平分线的定义）， （已知）， ， （等量代换）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 平分． 题型01 根据角平分线的性质求线段长 【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，平分交于点，，垂足为，的面积为5，则的长为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先作，根据角平分线的性质定理得，再根据可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作，交于点F， ∵平分，， ∴． ∵， ∴, 解得． 【变式1】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，．平分，于点，若，，则______． 【答案】6 【分析】先求得，再根据角平分线的性质定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵．平分，， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 【答案】2 【分析】根据是的中线，可得的面积是面积的两倍，再利用的面积求出，然后根据角平分线的性质得． 【详解】解：∵的面积为，是的中线， ∴的面积为4， ∴， ∵的长为， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴． 题型02 根据角平分线的性质求角度 【典例1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点D，连接，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长，交于点G．若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直平分线和角平分线的性质结合三角形内角和为表示出各个角，化简即可得出解． 【详解】解：由题意得垂直平分，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，得到，，再得到，根据题意得到是的角平分线，得到，进一步得到，即可求解． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵点到的距离相等， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图所示，在中，是的一条角平分线，则__________．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理及三角形的外角的性质，先根据三角形的内角和定理计算的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和计算的度数即可．注意：在三角形中求角的度数时常常要用到“三角形的内角和是这一隐含的条件． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵是的一条角平分线， ∴， ∵是的外角， ∴． 题型03 根据角平分线的性质求周长 【典例1】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，若的周长为24，的周长为12，则（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】本题考查了角平分的性质，理解角平分线的性质是解答关键． 根据角平分线的性质得到，，再利用三角形周长来求解． 【详解】解：中，，的平分线交于点，过点作于点， ，， ∴． 的周长为12， ， 即． 的周长为24， ， 即， ， ． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若的周长是，，则的周长为（　 ） A．9 B．15 C．21 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形周长的计算，通过证明等腰三角形，将的周长转化为即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知面积是，，分别平分和，于点，，则的周长是________． 【答案】10 【分析】此题考查三角形角平分线的性质定理．连接，过点O作于E，于F，根据角平分线的性质得到，利用的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过点O作于E，于F， ∵，分别平分和，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴，即的周长是10， 故答案为：10． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，的三条角平分线相交于点，于点．若，，则的周长是_____． 【答案】45 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形面积公式，掌握将大三角形分割为以内心为顶点的小三角形并利用等高求和的方法是解题的关键． 点是的内心，到三边的距离相等，都等于，将的面积拆分为三个小三角形的面积和，利用面积公式推导出周长． 【详解】解：过点作于，作于． ∵点 是三条角平分线的交点 ∴点 到三边的距离相等 即 ∵， 且 ，， ∴ ∵ ∴ 则 的周长是 ． 故答案为：45． 题型04 根据角平分线的性质求面积 【典例1】（23-24八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大1，则的面积是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积、角平分线的性质定理、三角形的中线等知识，作于，于，由角平分线的性质定理可得，首先证明，设的面积为，则的面积为，的面积为，再构建方程，解方程即可得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，于， 平分，于，于， ， ， ， 设的面积为，则的面积为， 为的中点， 的面积为， 的面积比的面积大1，, 的面积比的面积大1， ， ， 的面积是10 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，平分，点P是的中点，连接，若，的面积是6，则的面积是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线性质，角平分线性质． 过D作，，根据中线得到，根据角平分线得到，结合，，即可得到答案． 【详解】解：过D作，， ∵点P是的中点，的面积是6， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，由角平分线的性质可得，从而得到，则，由中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，，点E为上一点，连接交于点F，若，且的面积比的面积大3，则四边形的面积为________． 【答案】22 【分析】根据，设，，利用角平分线性质得到，，，表示出和的面积，由的面积比的面积大3列出方程并求解，即可得出最终结果． 【详解】解：∵， ∴设，则， 如图，连接， ∵平分，， 由角平分线的性质可知，点D到和到的距离相等，设距离为h， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵的面积比的面积大3， ∴， 解得：， ∴． 题型05 根据角平分线的性质求最值 【典例1】（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平分，点在上，于，，点是射线上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短可得当时，取得最小值，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而求出的最小值． 【详解】解：如图，当时，线段的长度取得最小值， 平分，，， ． 【变式1】（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．5.6 B．4.8 C．6.4 D．3.9 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、角平分线的性质，作点Q关于的对称点，连接，过点C作于点H．结合角平分线的性质以及轴对称的性质可得点在上，，根据题意可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，过点C作于点H． ∵是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，． ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为4.8． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·新疆喀什·期末）如图，平分，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，根据垂线段最短，得到时，取得最小值是解题的关键． 连接，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，然后根据角平分线的性质定理可知此时，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵点Q是射线上一个动点， ∴当时，取得最小值， ∵平分，，，， ∴． 故答案为：3． 【变式3】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，锐角三角形的面积是15，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值是______． 【答案】6 【分析】过C作于点E，交BD于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为的最小值． 本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过C作于点E，交BD于点，过点作于，如图： 平分，，， ， 是最小值， 此时M与重合，N与重合， 三角形的面积为15，， ， 即的最小值为 故答案为： 题型06 角平分线的判定定理 【典例1】（23-24八年级上·天津滨海新区·期中）如图，，，，，    (1)求证：； (2)设与相交于点F，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据证明，得出即可； （2）过点C作于点G，于点H，根据三角形全等的性质得出，，根据，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：过点C作于点G，于点H，如图所示：    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，三角形面积的计算，垂线的定义，解题的关键是根据三角形全等的判定证明． 【变式1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，于E，于F，若， (1)求证：AD平分； (2)已知，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）由勾股定理求出，则，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2），，， ， ， ， ， 的面积． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知：如图，在中，分别是与角平分线，与相交于点，垂足分别为M，N． (1)求证：在的角平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键： （1）过点F作，根据角平分线的性质，推出，即可； （2）证明，即可得证； 【详解】（1）证明：（1）过点F作， ∵分别是与角平分线，， ，； ， ， 在的角平分线上； （2）， ， 分别是与角平分线， ， ， ， ， ， ∴， ， 在与中 ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，中，、的平分线、交于点，过点作、的垂线，垂足分别为，． (1)求证：点在的平分线上； (2)用等式表示、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质． （1）作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可判断结论正确； （2）由全等三角形的性质得出，，即可得出． 【详解】（1）证明：作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上； （2）解：，理由如下， 在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ． 题型07 角平分线性质的实际应用 【典例1】（25-26七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）某市政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的三角形平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在三条角平分线的交点处． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 【答案】4 【分析】本题考查角平分线的性质．角的平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：如图， 三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择． 故答案为：4． 【变式3】（23-24八年级上·北京西城·期中）某地计划新建一所学校，如图直线，表示两条公路，点，表示两个村庄，学校的位置点需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置并说明作图依据（不写作法，保留作图痕迹）．    作图依据：________________________． 【答案】画图见解析，作图依据：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与相等垂直平分线的性质以及角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，熟知与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：尺规作图如图所示：    点的位置即为学校的位置． 作图依据：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上． 题型08 尺规作角平分线 【典例1】（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，．根据尺规作图的痕迹可知，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理求出的度数，由作图方法可得平分，，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在直角三角形中，，， ∴， 由作图方法可得平分，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·贵州六盘水·期末）如图，已知，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使； ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； ③作射线，过点作交于点； 若，则__________度． 【答案】 【详解】解：根据题意可知为的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，已知点C是的边上的一点，请用尺规作图法求作一点P，使点P到，的距离相等且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】根据到角两边距离相等的点在角平分线上可知：点在的角平分线上，故先作出的角平分线，再在角平分线上取点，使即可解题． 【详解】略 【变式3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）尺规作图：如图，已知和一点，请按以下要求完成作图： (1)过点作的垂线，垂足为点； (2)在线段上试确定一点，使得到射线，的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)如图，直线即为所求． (2)如图，点即为所求． 【分析】（1）以为圆心，以大于点到的距离为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，以大于它们距离的为半径画弧，连接与两弧的交点所得的直线与交于点； （2）用尺规作的角平分线，其与的交点即为所求的点，根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可知到射线，的距离相等． 【详解】（1）略 （2）略 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 2．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于点F，，，若的面积是30，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键．过作于，由角平分线的性质推出，求出，由三角形的面积公式得到的面积的面积，得，即可求出． 【详解】解：如图，过作于， ∵是的平分线，， ∴， ∵是中线，，的面积是， ∴，的面积的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，作，垂足为，根据角平分线的性质，得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：作，垂足为， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的角平分线，，若，，，则的长是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，三角形的高；根据角平分线的性质定理得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：过点D作于点F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（   ） A．24 B．27 C．40 D．33 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． O点作于E，于F，连接，如图，根据角平分线的性质得，由于，所以根据三角形的面积公式可计算出的面积． 【详解】解：过O点作于E，于F，连接，如图， ∵平分， ∴， 同理可得， ∴ ， 的周长是20， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·天津河西·期中）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查角平分线的性质，能求出是解此题的关键． 如图，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作，交的延长线于E，则， ∵平分， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：35． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的角平分线，于点．若，，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据的面积求解即可． 本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示：    是的角平分线，， ， ，， ， 的面积， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在四边形中，，连接，若，，点是边上一动点，则长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查点到直线垂线段最短、直角三角形的性质及角平分线的性质定理，熟练掌握点到直线垂线段最短、直角三角形的性质及角平分线的性质定理是解题的关键；由题意易得，过点D作于点E，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即平分， 过点D作于点E，如图所示： ∴， 根据点到直线垂线段最短可知：长的最小值为3； 故答案为3． 9．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，与交于点，交于，交于，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质证得和，进而证得，过点作于点、于点、于点，证得平分，根据三角形的面积公式证得，根据等腰三角形的性质，证得垂直平分，根据和平分证得，据此判断即可． 【详解】解：与的平分线相交于点 、 、 故①正确； 过点作于点、于点、于点 平分 故②正确； 、平分 垂直平分 故③正确； 平分 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，平分交于点，于点，且，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握角平分线的点到两边距离相等是解题的关键． 由角平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即，然后再根据等量代换以及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵平分交于点，，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：12． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，点在边上，过点作于点 ，连接，且垂直平分． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2)． 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、角平分线的性质与判定，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． （1）由垂直平分线性质得，再由，即可判定平分，进而求得的度数； （2）由垂直平分线性质得，再结合的周长为，的周长为即可得解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ， 又， 平分， ， 即的度数为； （2）解：垂直平分， ， 的周长， 的周长， ， ， 即的长为． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E、F，连接，与相交于点G． (1)求证：； (2)若，，，求的长， 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再证，得，推导出是的垂直平分线，则，即可解答； （2）由列式计算，求出，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）∵， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴． 答：的长为12． 13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，平分，于点D． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出相关角的度数，证明为等腰三角形，利用三线合一即可得出结论； （2）过点作交于点，利用含角的直角三角形的性质，得出，利用勾股定理求出，然后利用角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， ∴为等腰三角形， ， ； （2）解：如图，过点作交于点， ， ， ， 中，， ， 由勾股定理得，， 平分，且，， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 14．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，四边形中，平分；，于． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于， 平分， ，， ， ，即， 在和中，， ， ； （2）解：， ， 由（1）知， ， ， ， ． 15．（22-23八年级上·重庆江津·期末） （1）【感知】：如图1，点P是角平分线上一点，过点P作于点C，于点D，证明（不需要证明）． （2）【探究】如图2，在中，，是的平分线，点E在边上，． ①证明：； ②请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请直接写出的度数． 【答案】（2）①见解析；②，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （2）①过D作于F，则；证即可； ②根据推出，再证，得，即可； （3）过P作交延长线于H，于G，于K，由题意得，，推出，得出平分，即可求解； 【详解】（2）①证明：过D作于F，如图： ∵是的平分线，， ∴， ∵，且． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：之间的数量关系为，理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：过P作交延长线于H，于G，于K，如图： ∵平分 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，的平分线交于点D，于点E，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：，， ． ，的平分线交于点D，于点E， ． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，平分，，，则的面积是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】作于点E，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解． 【详解】解：作于点E，如图， ∵平分，，，， ∴， ． 3．（25-26八年级下·山西运城·期末）运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（     ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条高线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：充电点到三条路的距离相等， 充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 4．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，结合尺规作图痕迹提供的信息，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和，求出，由作图，可知平分，于，得到，，再根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：，， ， 由作图得：平分，于， ，， ． 5．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，是的平分线，点D是上一点，点P为直线上的一个动点．若的面积为10，，则线段的长不可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】已知的面积和的长，利用三角形面积公式，可求出点到的距离．因为是的平分线，根据角平分线的性质，可得点到的距离等于点到的距离．因为点是直线上的动点，根据垂线段最短，可知的长度大于等于点到的距离，据此判断选项即可． 【详解】解：过点作于，过点作于， 根据三角形面积公式，代入已知，， 得， 解得． 是的平分线，在上， ． 根据垂线段最短，的最小值为，即． 选项中只有， 因此的长不可能是． 二、填空题 6．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分交于点D，若，，，则的面积是_______． 【答案】7 【分析】过点D作于点E，于H，先根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质可以得到，求出的面积，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，于H， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，中，平分，交于点D，于点E，的面积是，则_______． 【答案】 【分析】作，根据角平分线的性质计算即可． 【详解】解：作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 8．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①；②；③．其中正确的是________（填序号）． 【答案】②③ 【分析】根据尺规作图判断出平分，，即可作答． 【详解】解：根据尺规作图：平分，， ∴②正确； ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵无法确定是否平分， ∴无法确定， 即无法确定①， 故正确的有：②③． 9．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图，，和分别平分和，过点，且与垂直，垂足为，交于，若，则点到的距离是________． 【答案】5 【分析】过点P作于点F，可证明，由角平分线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点F， ∵，， ∴， 又∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴点到的距离是5． 10．（25-26七年级下·河北廊坊·期末）如图，已知，，平分，，则与的关系为__________． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得到，从而，由平行线的性质得到，由平分，得到，即可推导出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即． 11．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）在锐角三角形中，，、分别为的角平分线，、相交于点． （1）则的度数为________； （2）若平分，当，，的面积为时，则的面积为________． 【答案】 /度 【分析】过点作于点，过点作于点，根据角平分线性质定理得，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，再通过证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可． 【详解】解：（1），，分别为的角平分线， ， ； （2）如图，过点作于点，过点作于点， ∵，平分， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， 为的角平分线，，， ， ， 的面积． 三、解答题 12．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，是的平分线，，垂足为，若的面积为，求的长． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质可得，进而根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：因为，所以． 又是的平分线，， 所以． 因为， 所以， 解得． 13．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，在中，，平分交于点，点在的延长线上，且． (1)尺规作图：作的平分线交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图下，求的度数．解答过程如下，请你补充完整： 解：在中， 平分，平分 ① ， 平分 ② ∴③ （等量代换） ， （④ ） 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)；；；两直线平行，同位角相等 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，等量代换，平行线的性质，进行作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 14．（25-26七年级下·辽宁本溪·期末）如图，在四边形中，，． (1)请利用尺规在边上作一点，使得；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (2)若，求证：． 【答案】(1)如图，点为所求作的点． (2)证明：由（1）可知，， ， ， 即， ， ， ， ． 【分析】（1）已知、公共边，只需作的角平分线，角平分线与的交点即为点，作图保留角平分线弧痕即可． （2）由全等得平分，将替换为代入已知等式化简，结合直角三角形两锐角互余推出，依据同位角相等，两直线平行即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，点在上，连接，． (1)试说明； (2)已知，，，求的面积．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)证明：是的角平分线， ，   ， ， ，                                             ． (2) 【分析】（1）证明，即可解答； （2）利用角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 是的角平分线，， ，       ， ， ∴， ． 16．（25-26七年级下·海南海口·期末）如图，在中，． (1)在中作的角平分线，作边上的高； (2)若，求的度数； (3)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线尺规作图方法，过直线外一点作已知直线的垂线的作图方法画图即可； （2）根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和性质即可求解； （3）利用等面积法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的角平分线， ． ． （3）解：， ． 17．（25-26七年级下·江西抚州·期末）完成以下问题 (1)【感知】如图①，是的平分线，点是上任一点，作，，垂足分别为和，若，则__________； (2)【探究】如图②，在中，是它的角平分线．若．求与的面积比； (3)【应用】如图③，的周长是13．、分别平分和，于点．若，求的面积． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的性质，求解即可； （2）根据角平分线的性质，可知与的高相等，面积比等于底边长的比； （3）确定O为三条角平分线的交点，该交点到三边距离相等，将面积分割为三个小三角形面积之和，利用周长和距离计算总面积． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，，， ∴； （2）解：作，，垂足分别为和， ∵是的角平分线，     ∴． 设， 则， ∴． ∵， ∴与的面积比为． 答：与的面积比为； （3）解：作，，垂足分别为和，连接， ∵、分别平分和，， ∴，． 的面积可分割为、、 的面积之和（如图）， 即 ． ∵的周长是13，即， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $