专题 1.7 角平分线的性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“角平分线的性质”核心知识点，系统梳理角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）及尺规作角平分线原理，通过表格整合性质、图示与数学语言，题型从基础求值证明到与全等三角形、垂直平分线综合应用，构建递进式学习支架。 该资料亮点在于分层设计题型，例题结合油库选址、平板支架等生活情境，培养数学眼光与应用意识，尺规作图强调推理过程提升几何直观，同步检测覆盖选择填空解答，助力课中教学效率提升，课后学生可通过练习查漏补缺，强化知识应用能力。

专题 1.7 角平分线的性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】角平分线性质 1 【题型 1】利用角平分线性质求值 2 【题型 2】利用角平分线性质证明 2 【知识点二】尺规作图——作角平分线 4 【题型 3】尺规作图——作角平分线 4 【题型 4】角平分线性质的应用 5 【题型 5】尺规作图——角平分线与垂直平分线综合 6 【题型 6】利用角平分线与全等三角形求值证明 7 【题型 7】利用角平分线与垂直平分线性质综合求值证明 9 二.同步检测 11 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 13 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】角平分线性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 性质 图示 数学语言 角平分线上的点到角两边的距离相等 ，, 【题型 1】利用角平分线性质求值 【例题1】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）求证：平分； 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，是角平分线，，，，则的面积为______． 【变式3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． （1）求证：； （2）若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【题型 2】利用角平分线性质证明 【例题2】（2025·云南昆明·三模）证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，平分，点在上，___________． 求证：___________． 【变式1】（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则以下结论一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知，平分，平分，则下列结论：①；②；③；④中一定正确的是_______．（只填序号） 【变式3】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． （1）求证：； （2）若，求证：． 【知识点二】尺规作图——作角平分线 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。 类型 图示 作图步骤 角平分线 图1 图2 1.以点为圆心,适当长为半径作弧，与角的两边分别交于、两点； 2.分别以点、圆心,大于为半径作弧，两条弧交于内一点； 3.作射线。 射线就是的平分线。 【题型 3】尺规作图——作角平分线 【例题3】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，． （1）尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【变式1】（2026·山东济南·模拟预测）在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北石家庄·二模）如图，已知，点P为上一点，嘉嘉利用尺规进行了作图，作图痕迹如下，并发现，则_________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）校园一角的形状如图（1）所示，其中，，表示围墙．如图（2）所示，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点，使得点到三面墙的距离都相等．请解释他这样做的道理． 【题型 4】角平分线性质的应用 【例题4】（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【变式1】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有______个． 【变式3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【题型 5】尺规作图——角平分线与垂直平分线综合 【例题5】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（2026·辽宁铁岭·二模）如图，下列尺规作图中，分别表示的中线、高线、角平分线的是（     ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 【变式2】（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则为_____度． 【变式3】（2026·广东·二模）如图，已知． 【动手操作】 （1）请用圆规和无刻度的直尺按照以下步骤作图： 步骤1：以点O为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点 M，交于点 N； 步骤 2： 分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部交于点 C； 步骤3：作射线． 【推理证明】 （2）请证明平分． 【题型 6】利用角平分线与全等三角形求值证明 【例题6】（25-26八年级下·贵州·期末）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与，相交于点，． （1）如图①，若于点，于点．求证：； （2）当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 【变式1】（25-26八年级下·四川·期中）如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现：角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等． （1）请你协助他们进行证明： 在图①中，已知平分，过点作，，求证：； （2）如图②所示，四边形、是长方形，为公共点，在上，在延长线上，、为长方形的对角线．已知， ①用尺规作的角平分线，与相交于点； ②若， ，请结合（）中的结论，求与的面积之比． 【题型 7】利用角平分线与垂直平分线性质综合求值证明 【例题7】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，为边的垂直平分线，与，分别交于点，，平分．请补充完整证明“”的推理过程及证明过程中的依据． 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴_____，_____． ∵， ∴ ∵是的平分线，， ∴_________．（______________________） ∵在和中， ∴， ∴． ∵， ∴（______________________________________） 【变式1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式2】（23-24八年级上·河北沧州·期末）（1）如图，在中，，．的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为______． （2）如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，，则的面积为______． 【变式3】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的垂直平分线与的角平分线相交于点E，过E点作，，分别交于点F，交的延长线于点G． （1）定理回顾： ∵是的角平分线，根据角平分线定理，得出的结论是：___________ 连接和， ∵是的垂直平分线，根据垂直平分线定理，得出的结论是：___________ （2）猜想论证：猜想与是否相等？并证明你的结论． （3）能力提升：①若，，的长为___________； ②若，则的度数为___________； ③探究、和的数量关系，直接写出结论___________． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，点P是的角平分线上一点，于点E，点F是射线上任意一点，则（       ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，作图痕迹如图，过点作，交于点，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知在四边形中，，平分，，，四边形的面积为，则是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·北京昌平·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 10．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 11．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 12．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当平分时，点B到桌面的距离是，则点B到的距离是_______． 13．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 14．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分交于点D，E为边的中点，若，，则的面积为______． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点．点为边上的一动点，则的最小值为______． 16．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． （1）求证：； （2）已知，求的长． 18．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到边的距离相等，且点到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 19．（2026·湖南长沙·模拟预测）数学课上，张老师用无刻度的直尺和圆规按照教材完成角平分线的作法，痕迹如图所示，在中： （1）连接，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是_____（填序号）． ①      ②      ③     ④ （2）若，的面积为，过点作于点，求的长． 20．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）如图，为的中线，为的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）在中作边上的高； （3）在（1）的条件下，若的面积为40，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.7 角平分线的性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】角平分线性质 1 【题型 1】利用角平分线性质求值 2 【题型 2】利用角平分线性质证明 4 【知识点二】尺规作图——作角平分线 7 【题型 3】尺规作图——作角平分线 8 【题型 4】角平分线性质的应用 11 【题型 5】尺规作图——角平分线与垂直平分线综合 14 【题型 6】利用角平分线与全等三角形求值证明 17 【题型 7】利用角平分线与垂直平分线性质综合求值证明 22 二.同步检测 28 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 28 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 34 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 39 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】角平分线性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 性质 图示 数学语言 角平分线上的点到角两边的距离相等 ，, 【题型 1】利用角平分线性质求值 【例题1】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）求证：平分； 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）由平角的定义可求解，再利用三角形的内角和定理可求解，即可求解； （2）过点作于点，作于点，根据角平分线的性质可证得，，从而得到，即可证得． 解：（1）解：， ∴， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，作于点， 平分， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又∵点在的内部， ∴平分． 【变式1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，是角平分线，，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作于点，由角平分线上的点到角的两边距离相等，得，再根据三角形面积公式进行计算，即可得出结果． 解：如图，过点作于点， 是角平分线，，， ， 的面积． 【变式3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． （1）求证：； （2）若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），见分析 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，结合，可得结论. 解：（1）证明：在和中， ∵， ∴． （2）解：， 理由如下： ∵，     ∴． ∵，，   ∴． 【题型 2】利用角平分线性质证明 【例题2】（2025·云南昆明·三模）证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，平分，点在上，___________． 求证：___________． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合题意补全已知和求证，证明，由全等三角形的性质可证明结论． 解：已知：如图，平分，点在上， ，，垂足分别为点，． 求证：． 证明：∵，， ∴； ∵在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则以下结论一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可求解． 解：∵平分，，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，已知，平分，平分，则下列结论：①；②；③；④中一定正确的是_______．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】由，即可判断结论①；结合平分，，得出角相等，可判断结论②；由平分，平分，且，可证得，故可判断结论③；由，可得，判断出当平分时，结论④才正确；综合以上结论，得出正确答案． 解：∵， ∴，故结论①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 即， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， 当平分时，才有，故结论④不一定正确； 综上，一定正确的结论是①②③． 【变式3】（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 解：（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点二】尺规作图——作角平分线 定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。 类型 图示 作图步骤 角平分线 图1 图2 1.以点为圆心,适当长为半径作弧，与角的两边分别交于、两点； 2.分别以点、圆心,大于为半径作弧，两条弧交于内一点； 3.作射线。 射线就是的平分线。 【题型 3】尺规作图——作角平分线 【例题3】（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，． （1）尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【答案】（1）的平分线如图所示： （2）3 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； （2）作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求出即可. 解：（1）略； （2）解：作于点E，如图， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴. 【变式1】（2026·山东济南·模拟预测）在中，，按以下步骤作图：  ①以点为圆心，以小于的长为半径画图，分别交，于点，；  ②分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；  ③作射线，交边于点，若，  则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图得到平分，如图所示，过点D作于点H，由角平分线的性质定理得到，再根据面积的计算公式求解即可． 解：根据作图可知平分，如图所示，过点D作于点H， ∵，即， ∴， ∴， 故选：B ． 【变式2】（2026·河北石家庄·二模）如图，已知，点P为上一点，嘉嘉利用尺规进行了作图，作图痕迹如下，并发现，则_________． 【答案】 解：，， ， 由作图痕迹，可知平分， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）校园一角的形状如图（1）所示，其中，，表示围墙．如图（2）所示，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点，使得点到三面墙的距离都相等．请解释他这样做的道理． 【答案】解：如图，过作于，于，于， ，分别是，的角平分线， ，， ， 故点到三面墙的距离都相等． 【分析】过作于，于，于，根据角平分线的性质即可得到结论． 解：略 【题型 4】角平分线性质的应用 【例题4】（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见分析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 【变式1】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 【变式3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 解：如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 【题型 5】尺规作图——角平分线与垂直平分线综合 【例题5】（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【分析】先连接，然后作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求． 【答案】解：如图，点即为所求． 【变式1】（2026·辽宁铁岭·二模）如图，下列尺规作图中，分别表示的中线、高线、角平分线的是（     ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 【答案】D 解：由作图过程可得：③中线段是的中线； ②中线段是的高线； ①中线段是的角平分线． 【变式2】（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，在中，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，若，，则为_____度． 【答案】28 【分析】本题考查了作图——基本作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的内角和可得，由作图可得垂直平分，平分，推出，，得到，求出，即可求解． 解：，， ， 由作图可得垂直平分，平分， ，， ， ， ， 故答案为： 【变式3】（2026·广东·二模）如图，已知． 【动手操作】 （1）请用圆规和无刻度的直尺按照以下步骤作图： 步骤1：以点O为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点 M，交于点 N； 步骤 2： 分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部交于点 C； 步骤3：作射线． 【推理证明】 （2）请证明平分． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定与性质： （1）根据尺规作图的步骤完成作图即可； （2）连接，通过证明三角形全等，利用全等三角形对应角相等来证明角平分． 解：（1）解：如图所示， （2）证明：连接， 由作图步骤1可知，， 由作图步骤2可知，， ， ， ， 平分． 【题型 6】利用角平分线与全等三角形求值证明 【例题6】（25-26八年级下·贵州·期末）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与，相交于点，． （1）如图①，若于点，于点．求证：； （2）当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 【分析】（1）由角平分线的性质定理即可证明；（2）过点作于点，于点，利用角平分线的性质定理可得，容易计算出，由“同角的余角相等”可得，进而证明，因此． （1）证明：∵平分， 又∵，， ∴． （2）成立，证明如下; 如图，过点作于点，于点， ∵平分， 又∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·四川·期中）如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】在上截取线段，作，垂足为，容易证明，则．由垂线段最短可得，点、、都在垂线段上时，最小，利用三角形的面积公式求出的值即可． 解：如图，在上截取线段，作，垂足为， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴当点、、都在垂线段上时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和最值问题，三角形的面积公式，掌握好相关知识是关键． 【变式3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）本学期我们认识了“角平分线”的概念后，老师布置了一项探究性作业：角平分线除了将已知角分为完全相同的两部分以外，还有怎样的性质特点呢？我校七年级某班“探海数学小组”经过研究发现：角平分线上的任意一点到角两边的垂直距离都相等． （1）请你协助他们进行证明： 在图①中，已知平分，过点作，，求证：； （2）如图②所示，四边形、是长方形，为公共点，在上，在延长线上，、为长方形的对角线．已知， ①用尺规作的角平分线，与相交于点； ②若， ，请结合（）中的结论，求与的面积之比． 【答案】（1）见分析；（2）①见分析；② 【分析】（1）利用证明即可解答： （2）①根据角平分线的作法作出角平分线即可； ②利用证明，得到，，设，则，利用线段的长度关系求出的值，过点作，，由角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式进行比较即可． 解：（1）解：证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①如图所示即为所求： ②∵四边形、是长方形， ∴， 又∵， 即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 即， ∵， ∴， 解得：， ，， 过点作，如图所示： 又∵平分，由（）结论得：， ∴， ∴与的面积之比为． 【题型 7】利用角平分线与垂直平分线性质综合求值证明 【例题7】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，为边的垂直平分线，与，分别交于点，，平分．请补充完整证明“”的推理过程及证明过程中的依据． 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴_____，_____． ∵， ∴ ∵是的平分线，， ∴_________．（______________________） ∵在和中， ∴， ∴． ∵， ∴（______________________________________） 【答案】见分析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得，，然后即可角平分线的性质得，，再利用可证，结合全等三角形的性质即可证得结论． 解：证明：∵是线段的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴ ∵是的平分线，， ∴，．（角平分线的性质） ∵在和中， ∴， ∴． ∵， ∴（等量代换）． 【变式1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质及线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理得到，根据角平分线的性质得到，利用含30度角的直角三角形的性质求得即可． 解：∵的垂直平分线交于点，垂足为， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又，平分， ∴， 在中，，， ∴，即， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·河北沧州·期末）（1）如图，在中，，．的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为______． （2）如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，，则的面积为______． 【答案】 2 36 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形中线的性质，解题关键是掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等、角平分线上的点到角两边的距离相等、三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． （1）根据垂直平分线的性质，得到，，即可求出的周长； （2）过点作于点，由角平分线的性质，得到，进而得到，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即可求出的面积． 解：（1）垂直平分，垂直平分， ，， 的周长， 故答案为：2； （2）如图，过点作于点， 平分，， ， ， ， 点E为的中点， ， 故答案为：36． 【变式3】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，中，的垂直平分线与的角平分线相交于点E，过E点作，，分别交于点F，交的延长线于点G． （1）定理回顾： ∵是的角平分线，根据角平分线定理，得出的结论是：___________ 连接和， ∵是的垂直平分线，根据垂直平分线定理，得出的结论是：___________ （2）猜想论证：猜想与是否相等？并证明你的结论． （3）能力提升：①若，，的长为___________； ②若，则的度数为___________； ③探究、和的数量关系，直接写出结论___________． 【答案】（1），；（2）；（3）①7；②；③ 【分析】（1）根据题中所给的两个定理得出结论即可； （2）利用（1）中结论，用“”证明全等，即可得到； （3）①利用得出，再由已知条件根据线段的和差关系可得的长度；②利用，可推出，结合四边形内角和为即可求解；③根据①中，得出对应的线段之间的和差关系并通过计算即可得到． 解：（1）解：∵是的角平分线，根据角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得出， 又∵是的垂直平分线，根据垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得出， 故答案为：，． （2）解：， 理由：如图，连接和， ∵是的角平分线，，， ∴， 又∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：①∵是的角平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：7． ②在四边形中，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． ③由①知，，， ∴，， ∴， 即， ∴，即． 故答案为：． 【点拨】本题考查了角平分线定理，垂直平分线定理，全等三角形的判定与性质，四边形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·浙江杭州·一模）如图，点P是的角平分线上一点，于点E，点F是射线上任意一点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合角平分线的性质得点到的距离，又因为垂线段最短得出，即可作答． 解：∵点P是的角平分线上一点，于点E， ∴点到的距离， ∵点F是射线上任意一点， ∴． 2．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，作图痕迹如图，过点作，交于点，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行线的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，根据图示判断是的角平分线，继而得到的度数，继而根据两直线平行内错角相等得到的度数． 解：, ， 如图所示，是的角平分线， ， ， ． 3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】由角平分线的性质定理可得，再根据计算即可得出结果． 解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，为的角平分线，于点，点为边上的动点，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，当动点运动到点时，时，有最小值时，，即可． 解：过点作于点， ∵为的角平分线，于点， ∴， ∵点为边上的动点，， ∴点与点重合时，，，此时有最小值，即， ∴． 5．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知在四边形中，，平分，，，四边形的面积为，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，设，由角平分线的性质可得，根据建立方程并求解即可． 解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，设， ∵平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 7．（2026·北京昌平·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（，），进而证明和，最终利用证明，从而得出平分的结论． 解：∵由作图可知，， ∴， 在和中， ∵ ∴（）， ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴， ∴， ∴选项正确． 8．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，分别平分，，过点作，分别交，于点，．若，的面积为12，则的长为（     ） A．8 B．10 C．12 D．18 【答案】A 【分析】过点P作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，再根据三角形的面积公式得，求出，即可求的长． 解：如图，过点P作于H， ∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵的面积为12，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 【答案】4 【分析】过点D作于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进行解答． 解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为4． 10．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相等．过点D作，垂足为F，根据角平分线的性质得到，再利用面积求即可． 解：如图，过点D作，垂足为F， 是的角平分线，， ， ，， ， ． 故答案为：8． 11．（2026·浙江温州·三模）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出______． 【答案】/25度 解：由尺规作图可知是的角平分线， ． 12．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当平分时，点B到桌面的距离是，则点B到的距离是_______． 【答案】12 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质直接求出结论即可． 解：已知平分，点到的距离为， 根据角平分线的性质，点到的距离等于点到的距离， 所以点到的距离是． 故答案为：12． 13．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，由角平分线的性质可得，从而得到，则，由中线的性质可得． 解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 14．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分交于点D，E为边的中点，若，，则的面积为______． 【答案】3 【分析】过点作于点，由角平分线的性质可得，由线段中点可得，再利用三角形面积公式求解即可． 解：如图，过点作于点， 平分，， ， 点E为的中点，， ， 的面积． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，中，，，，，利用尺规在，上分别截取，．使，分别以，为圆心，以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点，作射线交边于点．点为边上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据基本作图得到平分，过点作于，如图，则根据角平分线的性质得到，再利用面积法求出，然后根据垂线段最短解决问题； 解：由作法得平分， 过点作于，如图， ，即， ， ， ，，，， ， ， ， ， 点为边上的一动点， 当时，点到的距离最短，即最小，即为， 的最小值为． 16．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等即可得到，结合平分，则，最后在中利用三角形内角和为求解即可． 解： ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，已知：，，，垂足为E，，垂足为F． （1）求证：； （2）已知，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，证明出是解题的关键． （1）先利用证明，再根据全等三角形的对应角相等即可得出； （2）根据全等三角形的对应角相等得出，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得出，即可得出答案． 解：（1）证明：在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，垂足为E，，垂足为F， ∴， ∵， ∴． 18．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到边的距离相等，且点到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见分析 【分析】作的垂直平分线，的角平分线，两线交点即为所求. 解：如图，作的垂直平分线，的角平分线，两线交点即为所求. 19．（2026·湖南长沙·模拟预测）数学课上，张老师用无刻度的直尺和圆规按照教材完成角平分线的作法，痕迹如图所示，在中： （1）连接，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是_____（填序号）． ①      ②      ③     ④ （2）若，的面积为，过点作于点，求的长． 【答案】（1）④；（2） 【分析】（）连接，根据全等三角形的判定定理“”即可求解； （）过点作于点，由角平分线的性质得，再利用的面积解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：（1）解：如图，连接， 由作图可知，，， ∵， ∴， ∴证明的依据是； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， ∵的面积为， ∴， ． 20．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）如图，为的中线，为的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）在中作边上的高； （3）在（1）的条件下，若的面积为40，，求的长． 【答案】（1）；（2）见分析；（3） 【分析】（1）由三角形外角的定义和性质得出，再由角平分线的定义即可求出． （2）过点E作交于点M． （3）过点作于点，过点作于点．由三角形面积公式求出，由含30度直角三角形的性质得出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出的值． 解：（1）解：，， ． 为的角平分线， （2）解：如图，即为所求作 （3）解：如图，过点作于点，过点作于点． ，为的中线， ． ． ． 在中， ， ． 为的角平分线，，， ． ， ， 即． ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $