1.1锐角三角函数同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

锐角三角函数 一、单选题 1．若，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 2．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 4．如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 5．在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 7．如图，在中，若，，，则的值估计在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 8．若，则（    ） A． B． C． D． 9．已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，为边上的中线．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，，，那么 ． 12．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 13．在中，，，则 ． 14．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 15．若为锐角，且，则的范围是 ． 16．在中，，，，则边的长为 ， 三、解答题 17．如图，在中，是中点，， (1)求的长 (2)求的值． 18．如图，矩形中，，，求的长． 19．如图，在中，点是边上一点，且． (1)求的长． (2)求的值． 20．如图，在中，，于点D，，，求与的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锐角三角函数 一、单选题 1．若，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 2．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．在中，若，则的长为（    ） A． B．2 C．8 D．10 4．如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 5．在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 7．如图，在中，若，，，则的值估计在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 8．若，则（    ） A． B． C． D． 9．已知是锐角，且，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，为边上的中线．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，，，那么 ． 12．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 13．在中，，，则 ． 14．已知为锐角，用“”或“”填空： （1）若，则 ； （2）若，则 ． 15．若为锐角，且，则的范围是 ． 16．在中，，，，则边的长为 ， 三、解答题 17．如图，在中，是中点，， (1)求的长 (2)求的值． 18．如图，矩形中，，，求的长． 19．如图，在中，点是边上一点，且． (1)求的长． (2)求的值． 20．如图，在中，，于点D，，，求与的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D D C B C B C 1．B 【分析】本题考查了解直角三角形，根据，得出，然后根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了求正弦，勾股定理， 先画出图形，再根据勾股定理求出，然后根据正弦定义求解. 【详解】解：标注点D，， 根据勾股定理，得， ∴. 故选：D. 3．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据正弦的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 5．D 【分析】本题考查了余弦的定义，画出图形，根据余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了解直角三角形，连接构造直角三角形是解决本题的关键． 连接格点、，在中求出的正切值． 【详解】解：如图，连接格点、， 在中，． 故选：C． 7．B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，无理数的估算，根据正切的定义得到，则，再根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵在中，若，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值估计在4到5之间， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查三角函数，先将余弦函数、正弦函数进行转换，再根据正弦函数的增减性求解． 【详解】解：， 当时，随的增大而增大， ， ， ， 故选C． 9．B 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】 解：，，， 又∵解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小， ∴ ． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了三角形的中线，勾股定理，正弦函数，由勾股定理得，再由正弦函数定义即可求解． 【详解】解：为边上的中线， ， ， ， 故选：C． 11． 【分析】本题考查勾股定理逆定理以及正弦的定义，先通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后再利用正弦的定义解题即可． 【详解】解：在中，，，， ∵ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，． ∴ ． 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 13．60° 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的对边与邻边的比叫做的正切．根据正切的定义得到，再根据直角三角形的两个锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了正切函数，掌握正切函数的性质是解题的关键． 根据正切函数的增减性求解即可． 【详解】（1） 解：由正切函数随角增大而增大，得； （2）解：由正切函数随角减小而减小，得； 故答案为：（1）；（2）． 15． 【分析】根据和锐角的余弦是减函数即可得出答案 【详解】解：∵， 又，锐角余弦函数值随角度的增大而减小， ∴当时，． 故答案为． 【点睛】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键 16．12 【分析】本题考查利用正弦函数值求线段长．根据三角函数正弦值列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ，即， 解得， 故答案为：12． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数的应用，正弦和正切的概念，过点E作于E构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点E，在中，利用求出，在中，利用求出，最后求出； （2）根据是的中点求出，然后求出，最后根据正切定义求得结果． 【详解】（1）解：作于点E， ，， ， ， 在，， ， ， （2），点为的中点， ， ， ， 即． 18． 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据矩形的性质，三角函数的定义，勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，求一个角的正切值，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先结合等腰三角形的三线合一，得，则，再把数值代入进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴在中，． （2）解：∵ ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 则． 20． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．根据余角的性质得，根据勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $