专题06 代数式规律性探究的两类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦代数式规律探究，以“数形结合”为通法，分数字、图形两类题型构建“通法-典例-变式-压轴”四层训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1通法|强调数形结合核心原则|明确规律探究问题本质| |题型归纳-数字类|1典例+3变式|按顺序拆解寻找规律|从具体数字到代数式抽象| |题型归纳-图形类|1典例+3变式|按顺序拆解寻找规律|从图形结构到数量关系转化| |压轴挑战|14题（选择5+填空5+解答4）|综合应用规律探究方法|基础到高难，形成完整认知链|

专题06 代数式规律性探究的两类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数字类规律性探究问题 题型二、图形类规律性探究问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 代数式规律性探究问题是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕规律探究问题，，解题贯穿基本底线原则：数形结合。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数字类规律性探究问题 典例1 2．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：数字类规律性探究问题. 2.方法：按顺序拆解寻找规律即可． 变式1-1观察：，，，，……按照此排列规律，第个式子应该是（） A． B． C． D． 变式1-2按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第2025个单项式是______． 变式1-3观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：=______． (2)直接写出计算结果：=______． (3)探究并计算，请写出计算过程： ①； ②． 类型二、图形类规律性探究问题 典例2观察下列图形的构成规律，依照此规律，第8个图形中点的个数是（   ） A．71个 B．73个 C．75个 D．77个 题型模版 1.特征：数字类规律性探究问题. 2.方法：按顺序拆解寻找规律即可． 变式2-1汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，记第个图的圆点个数为个，其中，，…依此规律则，_____，若，则_____． 变式2-2如图，将同样大小的铜币有规律地摆放为以下四个图案，则第九个图案需要铜币（   ） A．29个 B．32个 C．37个 D．46个 变式2-3（1）观察图，猜想⑤中共有__________个圆，其中有__________个“○”； （2）根据（1）中的规律，第个图中共有__________个圆，第100个图中共有__________个“○”； （3）广场计划铺设图所示图案，由内而外分别为：第1层（中心）1块白色瓷砖，第2层8块灰色瓷砖，第3层16块白色瓷砖，第4层24块灰色瓷砖……（依次白色灰色相间）若铺10层，总共需___________块瓷砖，其中有__________个“○”． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．观察下列各数：，1，，，⋯，按此规律，第12个数为（   ） A． B． C． D． 2．喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是（     ） A．54 B．64 C．72 D．80 3．一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 4．数学实践课研究“低多边形风格”，小漳将五边形区域分割成若干个三角形．他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有2026个点时，可分得三角形个数为（    ） A． B． C．4057 D．4055 5．给出一列数，，，，，，…，，，，…，，…，在这列数中，第4900个数是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖每层均有个正方形，且从里向外的第层有个正三角形，第层有个正三角形，以此类推，第层中含有正三角形的个数是______ ． 7．观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________． 8．由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图1有颗棋子，图有颗棋子，图3有颗棋子，…，则图有____________颗棋子． 9．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成如图所示的图形．设第个图中有个“△”，个“★”，则与之间的数量关系为________． 10．古希腊的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，他们经常研究用多少个点能排列成不同的正多边形，组成美丽的图案．如图是他们研究多少个点可以组成正五边形的研究过程，则第个正五边形是由___________个点组成． 三、解答题 11．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 12．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．．．．． 根据上述规律，解决下列问题． (1)请直接写出第4个等式：_______，第个等式：______； (2)下列图形由边长为1的正方形拼成，设每个图形的面积分别为，，，，．．．计算：． 13．根据下表，回答问题： ⋯ 0 1 2 3 ⋯ ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 5 1 ⋯ ⋯ 9 4 1 0 1 9 ⋯ (1)______，______； (2)①若，则______； ②代数式的值随着的变化规律是：的值每增加1，的值就随之增加1，类似地，的值随着的变化规律是______； (3)当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 14．观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 代数式规律性探究的两类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数字类规律性探究问题 题型二、图形类规律性探究问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 代数式规律性探究问题是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕规律探究问题，，解题贯穿基本底线原则：数形结合。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数字类规律性探究问题 典例1 2．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式：…… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 题型模版 1.特征：数字类规律性探究问题. 2.方法：按顺序拆解寻找规律即可． 变式1-1观察：，，，，……按照此排列规律，第个式子应该是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从符号、系数、字母部分找规律，合并后即可得到第n个式子． 【详解】解：根据题意可得字母规律：所有项都含因式，，且的次数为1，的次数等于项数，则字母部分为； 符号规律为：为奇数时符号为正，为偶数时符号为负； 系数绝对值规律为：第项系数的绝对值是； ∴系数可整理为； 因此第个式子为． 变式1-2按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第2025个单项式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律，分部分发现规律是解题的关键． 通过观察单项式的系数符号、分母和字母指数的变化规律，得出第n个单项式的一般表达式，然后将代入计算即可． 【详解】解：给定单项式序列：， ， ， ， ， … 观察可知，第n个单项式的符号为，分母为，字母指数为， 因此第n个单项式为． 代入，符号，分母，字母指数， 故第2025个单项式为． 故答案为． 变式1-3观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：=______． (2)直接写出计算结果：=______． (3)探究并计算，请写出计算过程： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）观察第一行等式，可得答案； （2）仿照第二行等式的运算结合（1）中等式计算即可； （3）仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）解： ； （3）解：① ； ② ． 类型二、图形类规律性探究问题 典例2观察下列图形的构成规律，依照此规律，第8个图形中点的个数是（   ） A．71个 B．73个 C．75个 D．77个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的规律探索，正确探索发现规律是解题的关键． 根据题意，第1个图形中点的个数为（个），第2个图形中点的个数为（个），第3个图形中点的个数为（个），第4个图形中点的个数为（个），依次规律即可得第n个图形中点的个数为个，代入第8个图形即可求得个数． 【详解】解：根据题意，第1个图形中点的个数为（个）， 第2个图形中点的个数为（个）， 第3个图形中点的个数为（个）， 第4个图形中点的个数为（个）， …… 第n个图形中点的个数为个， 第8个图形中点的个数为（个）， 故选：B． 题型模版 1.特征：数字类规律性探究问题. 2.方法：按顺序拆解寻找规律即可． 变式2-1汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，记第个图的圆点个数为个，其中，，…依此规律则，_____，若，则_____． 【答案】 52 21 【分析】本题考查了图形的变化规律类问题，运用特殊到一般的数学思想是解题的关键． 将每个图形分为2部分看，每个图形左边均为6个点；右边中间都是1个点；右边上面依次增加一行，每行依次增加一个；右边下面依次增加一行，每行都是2个点；总结出一般规律即可求解． 【详解】解：在图①中，圆点个数为 在图②中，圆点个数为 在图③中，圆点个数为 在图④中，圆点个数为．． 图n中圆点个数为： ∴； 按此规律依次计算可知， ， 故答案为：，． 变式2-2如图，将同样大小的铜币有规律地摆放为以下四个图案，则第九个图案需要铜币（   ） A．29个 B．32个 C．37个 D．46个 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，根据图形变化找出规律是解题关键．分别计算四个图案需要的铜币数量，进而得到第n个图案需要个；把代入即可求解． 【详解】解：第1个图案需要铜币个； 第2个图案需要铜币个； 第3个图案需要铜币个； 第4个图案需要铜币个； ……， 所以第n个图案需要个； 当时，． 故选：D 变式2-3（1）观察图，猜想⑤中共有__________个圆，其中有__________个“○”； （2）根据（1）中的规律，第个图中共有__________个圆，第100个图中共有__________个“○”； （3）广场计划铺设图所示图案，由内而外分别为：第1层（中心）1块白色瓷砖，第2层8块灰色瓷砖，第3层16块白色瓷砖，第4层24块灰色瓷砖……（依次白色灰色相间）若铺10层，总共需___________块瓷砖，其中有__________个“○”． 【答案】（1）25，15；（2），4950；（3）361，161 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）用算式表示前4个图形中圆的个数，找出其中的规律，再利用规律求解； （2）根据（1）中得到的规律用n表示出来，再代入求值即可； （3）先求出铺10层，总共需瓷砖数量，分别求出第1、3、5、7、9层“○”的个数，求出这10层中“○”的总个数． 【详解】（1）解：第1个图中有个圆； 第2个图中有个圆； 第3个图中有个圆； 第4个图中有个圆； 第5个图中有个圆； “○”的个数，可以画图得出， 第1个图与第2个图的“○”相同，第3个图与第4个图的“○”相同，第5个图与第6个图的“○”相同，… 第1个图为一个“○”， 第3个图中最右边1列的上面两个“○”，可放为第二行，如图： 共个“○”； 第6个图应该是： 第5个图中所有“○”可排列为如图： 共个“○”； 故答案为：25，15； （2）解：根据（1）中的规律，第个图中共有个圆， 第99个图与第100个图的“○”相同， 第99个图中的所有“○”，可排列为： 第1行1个“○”， 第2行2个“○”， 第3行3个“○”， … 第99行99个“○”， 共个“○”， 故答案为：，； （3）解：铺1层有1块瓷砖； 铺2层，形成，共有9块瓷砖； 铺3层，形成，共有25块瓷砖； … 铺n层，形成，共有块瓷砖； 所以铺10层共有块瓷砖； “○”只出现在奇数层（第1、3、5、7、9层）， 第1层“○”有：， 第3层“○”有：， 第5层“○”有：， 第7层“○”有：， 第9层“○”有：， 共有个“○”． 故答案为：，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．观察下列各数：，1，，，⋯，按此规律，第12个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据前4个数的数字变化特点得出规律，再根据规律解答． 【详解】解：第1个数为：； 第2个数为：； 第3个数为：； 第4个数为：； …； 第n个数是， 第12个数是． 2．喜欢动手动脑筋的创创同学在玩“俄罗斯方块”游戏时突发奇想，他用灰色的小方块和白色的小方块摆成了如图的形状，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个灰色小方块，依次类推，则当图中含有20个灰色小方块时，该图中白色的小方块的个数是（     ） A．54 B．64 C．72 D．80 【答案】B 【分析】先确定当图中含有20个灰色小方块时是第几幅图，再结合图中规律求解即可． 【详解】解：由图形规律可知，第一幅图中有2个灰色小方块，第二幅图中有4个，第三幅图中有6个，依次类推，第n幅图中有个灰色小方块， ∴当含有20个灰色小方块时是第十幅图， 第一幅图中的白色小方块的个数是个； 第二幅图中的白色小方块的个数是个； 第三幅图中的白色小方块的个数是个；…… 第n幅图中的白色小方块的个数是， ∴第十幅图中的白色小方块的个数是， 故选：B． 3．一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别从符号、系数绝对值、x的次数三个方面分析规律，整合后即可得到第n个代数式． 【详解】解：符号规律： 第1项为正，第2项为负，第3项为正……， ∴符号规律为； 系数绝对值依次为，且，，， ∴系数绝对值规律为； 的次数依次为，∴的次数规律为； 整合得第个代数式为． 4．数学实践课研究“低多边形风格”，小漳将五边形区域分割成若干个三角形．他在五边形内取一定数量的点，连同五边形的5个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形．如当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；当五边形内有2个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）．当五边形内有2026个点时，可分得三角形个数为（    ） A． B． C．4057 D．4055 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形个数变化的规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中三角形的个数，发现规律当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为个，即可求解． 【详解】解：由所给图形可知， 当五边形内有1个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有2个点时，可分得的三角形的个数为：； 当五边形内有3个点时，可分得的三角形的个数为：； ……； 所以当五边形内有n个点时，可分得的三角形的个数为个， 所以当五边形内有2026个点时，可分得的三角形的个数为． 故选：D． 5．给出一列数，，，，，，…，，，，…，，…，在这列数中，第4900个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式型找规律，观察数列并总结出规律是解题关键． 该数列按分母k分组，每组k个数，前n组数字总数为，通过求解来确定n值，再计算第4900个数在第n组中的位置，并根据分组规律得出该数． 【详解】解：观察题干数列可得，该数列按分子与分母之和分组，分子与分母之和为的项在第组，每组个数，组内第个数为． ∴前n组数字总数为， 当时，；当时，． ∵，且， ∴第4900个数在第99组序号49的位置， ∴第4900个数为． 故选：B． 二、填空题 6．如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖每层均有个正方形，且从里向外的第层有个正三角形，第层有个正三角形，以此类推，第层中含有正三角形的个数是______ ． 【答案】90 【分析】观察正三角形的规律，发现：正三角形依次是，，，块，据此可得． 【详解】解：第层包括个正三角形， 第层包括个正三角形 第3层包括个正三角形， ， 故第层中含有正三角形的个数是（个）． 7．观察下列一组代数式：，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为____________． 【答案】 【分析】观察代数式可得分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为，由此即可得出结果． 【详解】解：分子的规律是，分母的规律是，正负交替出现的规律为． ∴可表示为． 8．由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图1有颗棋子，图有颗棋子，图3有颗棋子，…，则图有____________颗棋子． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 列出各图形的棋子数，找到规律，由此规律计算得出棋子的数即可． 【详解】解：根据题意可得第①个图形有颗棋子， 第②个图形一共有颗棋子， 第③个图形一共有颗棋子， …， 第个图形一共有颗棋子， 故答案为：． 9．若干个“△”和“★”按照一定规律排列成如图所示的图形．设第个图中有个“△”，个“★”，则与之间的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现“△”和“★”个数的变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“△”和“★”的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由所给图形可知， 图1中“△”的个数为，“★”的个数为； 图2中“△”的个数为，“★”的个数为； 图3中“△”的个数为，“★”的个数为， … 所以图中“△”的个数为个，“★”的个数为个． ， ． ． 故答案为：． 10．古希腊的毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，他们经常研究用多少个点能排列成不同的正多边形，组成美丽的图案．如图是他们研究多少个点可以组成正五边形的研究过程，则第个正五边形是由___________个点组成． 【答案】 【分析】本题考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，关键是分析图案变化找到规律； 观察图案，可以发现这组数是有规律的，由此可以根据规律得出第个正五边形由多少个点组成．依此解答即可． 【详解】解：由图案数据可知，； ； ； ④； 第个正五边形：． 故答案为：． 三、解答题 11．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①； ②； ③； ④________； (2)试用含有n的式子表示这一规律：；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ② 【答案】(1) (2) (3)①2500；②2400 【分析】（1）根据已知等式填写即可； （2）把已知等式发现规律即可； （3）①根据，确定； ②转化成的差，根据规律求解即可． 【详解】（1）解：由题知，第④个等式为：； （2）解：因为；；；…， 所以； （3）解：①原式； ②原式 ． 12．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．．．．． 根据上述规律，解决下列问题． (1)请直接写出第4个等式：_______，第个等式：______； (2)下列图形由边长为1的正方形拼成，设每个图形的面积分别为，，，，．．．计算：． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了数字变化规律问题，用代数式表示， 对于（1），根据前三个数字变化规律可得第4个等式为，进而得出第个等式解答即可； 对于（2），先将待求式整理为再计算即可． 【详解】（1）解：第4个等式为，第个等式为 故答案为：； （2）解：由题意，得． ． 原式， ． 13．根据下表，回答问题： ⋯ 0 1 2 3 ⋯ ⋯ 0 1 2 3 4 5 ⋯ ⋯ 5 1 ⋯ ⋯ 9 4 1 0 1 9 ⋯ (1)______，______； (2)①若，则______； ②代数式的值随着的变化规律是：的值每增加1，的值就随之增加1，类似地，的值随着的变化规律是______； (3)当的值从增加到时，猜想关于的代数式（为一次项的系数，且）的值会怎样变化，并通过计算加以说明． 【答案】(1)； (2)①或；②的值每增加1，的值就随之减少2 (3)当时，值增加；当时，值减少|k| 【分析】本题考查了代数式的求值、一元二次方程的求解及代数式的变化规律，解题的关键是利用表格数据代入计算，结合方程和代数式运算分析规律． （1）将对应值代入代数式求、； （2）①根据表格找与相等的值；②分析每增加1时的变化量； （3）计算从到时代数式的差值，确定变化情况． 【详解】（1）解：当时，； 当时，． 故答案为：；． （2）①解：由表格知，或时，. 故答案为：或. ②解：每增加1，的变化量为， 即的值每增加1，的值就随之减少2． 故答案为：的值每增加1，的值就随之减少2． （3）解：当时，代数式的值为； 当时，代数式的值为,差值为 故当时，值增加；当时，值减少|k|． 14．观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查用代数式表示运算规律，涉及有理数的混合运算，关键是观察等式中分母的变化规律并概括． （1）通过观察前4个等式，找到第个等式分母的两个数为和，代入即可写出第6个等式； （2）根据前几个等式的共性，用含的代数式表示出第个等式的分母及裂项形式； （3）利用裂项相消法，将每一项展开后，中间的项相互抵消，最后计算剩余的部分即可求出总和． 【详解】（1）解：观察等式可知，第个等式的分母为两个连续奇数的乘积，即，当时，，， ； （2）解：由前个等式的规律可得，第个等式的分母为， ； （3）解： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $