专题03 代数式压轴10大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦代数式压轴题，构建“规律探究-运算技巧-综合应用”三阶突破体系，融合整体思想、分离系数法等8种解题策略，强化抽象能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字类规律探究|4题|裂项相消、错位相减|从特殊到一般的归纳推理| |图形类规律探究|4题|几何建模、递推公式|数形结合的直观想象| |整式运算综合|4题|分离系数法、对称式判定|代数变形的逻辑推理| |整体思维应用|4题|整体代入、参数消元|代数结构的整体把握| |综合应用|4题|实际问题建模、幻方性质|数学建模与应用意识| |无关型问题|4题|系数归零法、动态几何分析|变量控制的推理能力| |数轴综合|4题|绝对值几何意义、分类讨论|数形结合的空间观念| |最值问题|4题|距离模型、极端值分析|优化思想的抽象应用| |新定义问题|4题|定义迁移、规则转化|创新情境的问题解决| |绝对值化简|4题|零点分段、符号判定|分类讨论的逻辑思维|

专题03 代数式压轴 常考题型·精准突破 考点一 代数式压轴满分题型 题型1 数字类规律探究大题 题型2 图形类规律探究大题 题型3 整式的加减运算综合 题型4 整式加减中的整体思维方法 题型5 整式的加减应用综合 题型6 无关型问题与几何综合 题型7 整式的加减与数轴结合 题型8 代数式中的最值问题 题型9 代数式的新定义问题 题型10 带有字母的绝对值化简问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 代数式压轴满分题型 ◆题型1 数字类规律探究大题 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据，，，得出一般规律即可得出； （2）①可根据（1）的结论进行解答； ②可类比（1）的裂项方法，将其通项分解后再进行计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． 2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 【答案】(1)6；六 (2)；89 (3)2026 (4) 【分析】（1）根据逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，据此即可解答； （2）仿照材料二中的思路，运用除2取余法，可知把十进制63对应的二进制数为，根据材料三中：n进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为89； （3）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为2026； （4）根据材料三中：n进制转换为十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为38，仿照材料二中的思路，运用除7取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为6，逢六进一， （2）解：运用除2取余法，如图所示，    ∴十进制63对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为：， （3）解：将十二进制转化为十进制数为：， （4）解：先将转化为十进制数为：， 运用除7取余法，如图所示，    将所得的十进制数转化为七进制数为：． 3．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）观察下列各式： ①  ②  ③ (1)按照上述规律，第4个等式是：________； (2)写出第n个等式：________； (3)根据上述规律，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的四则混合运算，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）分别从两个因数找规律，利用规律求解； （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解． 【详解】（1）解：①  ②  ③ 按照上述规律，第4个等式是：； 故答案为：． （2）解：第n个等式： 故答案为：． （3）解： ． 4．（25-26六年级上·山东威海·期末）【信息提取】信息1：从2开始，连续的正偶数相加，和的情况如下表： 偶数的个数 个偶数的和 1 2 2 3 4 信息2：计算． 解：(方法一)令，． 则 所以 ． 即． (方法二)令． 则 ． 所以 ． 即． 【问题解决】 (1)若，则__________×_________； (2)①猜想______；(为正整数，结果用的代数式表示) ②写出“①猜想”合理性的理由； (3)利用上述规律和方法进行计算： ③； ④． 【答案】(1)；； (2)①； ②理由如下： 令， 将等式倒序得， 将两式相加得：， 每一组括号内的和均为，且共有组， ， 两边同时除以2得：． (3)③；④ 【分析】（1）依据信息1中归纳出的n个连续正偶数的和为的规律，直接代入求解即可； （2）①结合信息1的表格特征，猜想出从2开始n个连续正偶数和的代数式； ②用倒序相加法，将和式正序与倒序相加，合并同类项后化简推导，验证猜想的合理性； （3）①先根据最后一个偶数2026求出对应的n值，再代入归纳的和的公式，结合乘法分配律进行有理数混合运算得出结果； ②借鉴信息2的错位相减法，先设和式为，给等式两边乘以等比数列的公比5，再将两式作差，化简后求解即可得到结果． 【详解】（1）解：观察信息1的表格可知，个连续正偶数的和， 当时，． （2）①解：猜想：； ②略 （3）③解：最后一项为，即， ， 根据，可得：． ④解：令， 两边同时乘以5得：， ， 化简得：， 两边同时除以4得：． ◆题型2 图形类规律探究大题 5．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 【答案】(1)①6，54；② (2) (3)铺设这样的图案，最多能铺11层．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案20层； 由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为 ， 令， ， 因为，，且为正整数， 所以最大取12，即最大取11， 所以最多可以铺设这样的图案11层． 【分析】（1）列出前面几层正方形和三角形个数，找出规律，利用规律求解； （2）观察前面几个式子，找出规律，利用规律求解； （3）先计算出正方形地板可以铺多少层，由（1）（2）知，铺设层需要正三角形地板砖的数量为：，令，即可求解． 【详解】（1）解：①第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖， 第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，， 第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，， …… 以此类推，第4层包括正方形地板砖6块，正三角形地板砖：（块）； ②由①可知，第层含有正三角形地板砖的数量为； （2）解：由题意知，； （3）略 6．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 解：如图所示， （答案不唯一） (4) 【分析】（1）①的面积为的一半，②的面积是①的一半； （2）可以看成，可以看成把所得的数相加即可； （3）由（2）得到的规律计算即可． （4）由（2）得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：图1中，正方形①的面积是；矩形②的面积是； （2）解： ； （3）略 （4）解： ． 7．（2026·安徽合肥·一模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层． 【规律总结】 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 (1)当有层时，图中共有__________个圆圈； (2)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________； [问题解决] (3)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）已知层的总圆圈个数公式，将时，代入公式即可解答； （）要求第层最左边的数，先通过公式算出前层的总圆圈数为，再用前层总圆圈数加，得到第层最左边的数是； （）先算出层的总圆圈数，确定其中负数、和正数的数量，再计算所有数的绝对值之和，最终结果为． 【详解】（1）解：已知层的总圆圈个数公式为：， 当时，代入公式得： ； （2）解：最底层第层最左边的数前层总圆圈数， 先算前层总圆圈数：； ∴第11层最左边的数是； （3）解：先算层总圆圈数：， 其中个负数，个，个正数， 按题图方式填数后所有圆圈中各数的绝对值之和 ． 8．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图①，用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x． (1)图①中的格点多边形，其内部都只有一个格点．这些格点多边形的面积S与各边上格点的个数和x的对应关系如下表，请填写下表并写出S与x之间的关系式：S=________________． 格点多边形的序号 a b c d … 格点多边形的面积S 2 ________ 3 ________ … 各边上格点的个数和x 4 5 6 ________ … (2)请画些格点多边形，使这些格点多边形内部都有而且只有2个格点．此时所画的各个格点多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是________． (3)请继续探索，当格点多边形内部有且只有n（n是正整数）个格点时，猜想S与x，n之间的关系式：________________．（用含有字母x，n的代数式表示） 如图②，对等边三角形网格中的类似问题进行探究：等边三角形网格中每个小等边三角形的面积为1，小等边三角形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形． (4)设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x，当格点多边形内部有且只有n（n是正整数）个格点时，猜想S与x，n之间的关系式：_______________________．（用含有字母x，n的代数式表示） 【答案】(1)填表如下； 多边形的序号 ① ② ③ ④ … 多边形的面积S 2 2.5 3 4 … 各边上格点的个数和x 4 5 6 8 … (2)如图所示； (3) (4) 【分析】此题主要考查了应用作图与设计，此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算． （1）由（1）可以直接得到； （2）由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，①的各边上格点的个数为10，面积为6，②的各边上格点的个数为4，面积为3，③的各边上格点的个数为6，面积为4，进而得出答案； （3）由图可知多边形内部都有而且只有n格点时，图形的面积； （4）由图可知多边形内部都有而且只有n格点时，图形的面积． 【详解】（1）解：∵①各边上格点个数和为：4，， ②各边上格点个数和为：5，， ③各边上格点个数和为：6，， ④各边上格点个数和为：8，， ∴； 故答案为：； （2）解：由图可知多边形内部都有而且只有2格点时， ⑤的各边上格点的个数为4，面积为3， ⑥的各边上格点的个数为10，面积为6， ∴； 故答案为：； （3）解：由图1可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：； 故答案为：； （4）解：由图2可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：． 故答案为：． ◆题型3 整式的加减运算综合 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③ (2)①；②（答案不唯一） (3)，不是对称式 【分析】（1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及单项式的定义即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∵， ∴是对称式； 即其中是对称式的是①③； （2）解：①根据题意得：该单项式是； ②根据题意得：该多项式可以为； （3）解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴所得结果不是对称式． 10．（25-26七年级上·福建漳州·期末）【阅读材料】用分离系数法进行整式的加减运算 我们已经学过整式的加减，知道整式的加减可以归结为合并同类项．如果把两个整式的各同类项对齐，我们就可以像小学列竖式做加减法一样，来进行整式的加减运算． 只要将参与运算的整式按同一个字母进行降幂排列，凡缺项则留出空位或添零，然后让常数项对齐（即右对齐）即可，例如，计算，步骤如下： 1．降幂排列并补0：     2．列竖式计算（整式形式）： 我们发现按同一个字母降幂排列后，各项排列的位置对应该项字母的指数，所以只需写出系数，计算出结果后，再把字母和相应的指数补充上去，从而使演算过程简化．这种方法叫做分离系数法．按分离系数法，上一道题的演算过程可以简化为： 所以． 根据以上材料回答下列问题 (1)列竖式计算； (2)利用分离系数法解决问题：已知多项式的值为常数，求的值和这个常数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式加减运算，整式加减运算的无关型问题，理解题意，是解题的关键． （1）根据题干中提供的信息列出竖式进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息列出竖式进行计算得出,再结合多项式的值为常数，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：竖式： ∴； （2）解：依题意，分离系数法： ∴ ． ∵多项式的值为常数， ∴， 解得， 此时． 11．（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)在（2）条件下，若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或或或； (3) 【分析】本题考查整式的加减运算、绝对值与平方根的性质及分类讨论思想，关键是熟练运用整式加减法则化简代数式，根据绝对值和平方的非负性求解未知数的所有可能值，并结合附加条件筛选出符合的取值． （1）先将、代入，利用乘法分配律去括号，再合并同类项得到化简结果； （2）根据绝对值的性质解方程得到的两个可能值，根据平方根的定义求出的两个可能值，再分四种组合计算的所有可能结果； （3）由得出，结合确定、的唯一符合条件的取值，再代入（1）中化简后的的表达式计算最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴或， 解得或； ∵， ∴或； 分情况计算： 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 故的值为：或或或； （3）解：∵， ∴，即； 又∵， ∴与同号，且； 由（2）知的可能值为，，的可能值为，； ∴，； 当，时，． 12．（25-26七年级上·河北保定·期末）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)已知，求代数式的值； (3)若，，直接写出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值，解决问题的关键是整体代入的方法求代数式的值． (1)把整体看成一个字母，根据合并同类项的法则进行计算； (2)由，可得，再利用整体代入的方法求代数式的值； (3)把与的两式相减，可得：． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 即， ； （3）解：，， ， 去括号得：， 合并同类项得：． ◆题型4 整式加减中的整体思维方法 13．（24-25七年级上·山东威海·期末）中学数学有一种重要的解题思维方式是“整体思想”． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 请运用“整体思想”解决下列问题： (1)①若，则的值为_______． ②已知，则的值为_______． (2)已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当，化简求值：． 【答案】(1)①−2；②−11 (2) 【分析】本题考查代数式求值，化简绝对值，熟练掌握整体思想，是解题的关键： （1）①利用整体思想，代入求值即可；②代数式变形后，利用整体思想，代入求值即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，化简绝对值后，整体思想求值即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴； （2）由数轴可知：， ∴， ∴ ， ∵， ∴原式． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读理解，并解决问题．“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．因而“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： 例：当整式的值为7时，求整式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是______； (2)设，则______；（用含y的整式表示） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用，将式子中的某一部分看成一个整体进行运算是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可求解； （2）设，逆用分配律将化为，代入化简即可求解； （3）根据得到，再逆用分配律即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：设，则； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 15．（24-25七年级上·全国·单元复习）数学思想·整体思想 “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入、整体换元等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼整体思考，会使问题化繁为简、化难为易，复杂问题也能迎刃而解． 例：当的值为7时，求的值． 解：因为，所以．所以 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是_____； (2)设，则_____（用含的代数式表示）； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2045 【分析】本题考查了整体思想的应用，合并同类项，以及已知式子的值，求代数式的值，掌握整体思想的应用是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可求解； （2）把变形成，然后再将代入求解即可． （3）由已知条件可知，然后将变形求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ， ∴ （3）解：∵， ∴， ∴ ． 16．（25-26七年级上·广东江门·期中）综合与实践 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了整体思想在整式加减中的应用． （1）通过合并同类项系数求解； （2）将已知条件整体代入求值； （3）通过等式变换和整体代入求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ． ◆题型5 整式的加减应用综合 17．（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 【答案】(1)11张 (2)第25张 【分析】（1）根据规则：取牌张数+牌点数=13，分别算出点数3、Q对应的取牌数量，再求和即可； （2）设两张牌点数分别为，先表示出步骤④取牌总数，再结合，计算步骤⑤翻开牌在整堆牌的上层位置，再换算成从下往上的序数． 【详解】（1）解：已知规则：取牌张数牌点数，Q视为点数12． 点数为3时，取牌数量：张； 点数为Q时，取牌数量：张， 总共取牌：张， 所以步骤4中共需取扑克牌11张． （2）解：设两张翻开的扑克牌点数分别为和：两张牌点数之和， 步骤④总共取走的牌数：对于点数为的牌，取牌数为；对于点数为的牌，取牌数为，总取牌数为， 剩余牌堆的总张数：步骤②抽取30张，步骤③抽取（张），步骤④取走张，因此剩余牌堆张数为， 步骤⑤要求从剩余牌堆从上往下数第张翻开，那么从下往上数的位置为总张数减去从上往下数的位置再加1，即，因此最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第张． 18．（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将、、整体代入化简即可解答； （2）设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，据此补全幻方，并根据其定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，   ∴． （2）解：设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，则有： ∴，即． 19．（25-26六年级上·山东烟台·期末）为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神”文化长廊．如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖．其中，阴影部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖． (1)若长廊长8米，则需彩色地砖_________块，普通地砖_________块； (2)若长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖_________块； (3)学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块．经协商，商家推出如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖．已知购买的所有地砖的边长均为1米． ①若长廊长n米（n为正整数），请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用； ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度． 【答案】(1)12；28 (2) (3)①元；②可打造的长廊的最大长度为16米 【分析】本题考查了图形规律，整式的加减运算的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，观察图形规律，再结合长廊长8米进行列式计算，即可作答． （2）结合长廊长米（m为正整数），得出是奇数，然后列式化简，即可作答． （3）①先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，以及当n为奇数时，分别算出彩色地砖以及普通地砖的数量，再根据商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块进行列式计算，即可作答． ②先理解题意，进行分类讨论，当n为偶数时，当n为奇数时，列式计算分析，得可打造的长廊的最大长度为16米． 【详解】（1）解：依题意，（块）， ∴当长廊长8米，则需彩色地砖12块， ∵长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖 ∴（块）， ∴当长廊长8米，则普通地砖28块； （2）解：∵长廊长米（m为正整数）， ∴是奇数， 则（块）， ∴当长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖块； （3）解：①当n为偶数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）， 此时，所需钱数为（元）， 当n为奇数时， 彩砖数量为（块）， 普砖数量为（块）．   此时，所需钱数为（元）； ②当n为偶数时，，，此时最大偶数为16， 则剩余钱数为（元）， 不足再铺1米，故长廊长度为16米， 当n为奇数时，，，此时最大奇数为15， 剩余钱数为（元）， 可再铺1米，故长廊长度为16米， 因此，可打造的长廊的最大长度为16米． 20．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值； (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． 【答案】(1)， (2)166 (3)两块阴影部分的周长之差为定值 【分析】本题考查了几何图形中的代数关系及周长计算，关键在于通过图形中正方形边长的关联，准确表示各线段长度，进而利用周长公式进行计算，并通过代数运算判断两块阴影部分周长之差是否为定值． （1）通过观察图形中正方形边长的关系，结合已知和最小正方形边长，推导和的表达式； （2）先确定长方形的长和宽，再利用周长公式计算并代入求值； （3）设定平移距离，分别表示两块阴影部分的周长，再求其差判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵最小的正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴长方形的周长为：， 当时， ， ∴长方形的周长为166； （3）解：两块阴影部分的周长之差为定值，理由如下： 设正方形沿方向向右平移，则， ∴左上角阴影部分的周长为：， ∵右下角阴影部分的邻边长为和， ∴右下角阴影部分的周长为：， 则， ∴图中两块阴影部分的周长之差为定值． ◆题型6 无关型问题与几何综合 21．（25-26七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大； 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，代数式求值，正确理解题意和熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）求出此时的长，再根据列式求解即可； （2）同（1）求出，根据面积与t无关可得，据此可得答案； （3）根据题意求出时，M区和N区的结果，再利用作差法求解即可． 【详解】解：（1）当，时，， ∴， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积与的取值无关， ∴， ∴； （3）略 22．（25-26七年级上·天津河东·期中）点A、B在数轴上分别对应数a、b，则A、B两点之间距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离为______，表示x和两点之间的距离为______； (2)若，则______； (3)若，则______；若，则______； (4)若，则最大值＝______； (5)若在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒．当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或10 (3)；或 (4)5 (5)存在， 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，绝对值的意义，有理数的加减运算，以及整式的加减，掌握绝对值的意义是解题的关键． （）根据两点之间距离的定义直接求解即可； （）根据两点之间距离的定义分两种情况求解即可； （3）根据绝对值的性质化简，再计算即可求解； （4）根据的几何意义得出当时，取到最小值6，根据的几何意义得出当时，取到最小值5， 根据，推出且，据此即可求解； （5）使的值为定值，列出等式中的含的项合并为0，从而求出． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和两点之间的距离为， 故答案为：，； （2）解：表示数表示的点到数2表示的点的距离等于8， 当x在2的右边时：， 当x在2的左边时：， 综上可知，x的值为或10； （3）解：∵， ∴； 当时，， ∴； 当时，，该种情况不存在； 当时，， ∴； 综上，或； 故答案为：；或； （4）解：的几何意义为：数表示的点到数2表示的点与到数表示的点的距离之和， ∴，当时，取到最小值6； 同理，的几何意义为：数表示的点到数5表示的点与到数表示的点的距离之和， ∴，当时，取到最小值8； ∵， ∴且， ∴当，时，有最大值；且最大值为； 故答案为：5． （5）假设存在． 在右侧，在右侧， ， ， ， 当即时， 为定值， 存在常数，使的值为定值． 23．（25-26七年级上·全国·周测）【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是整式的加减运算，多项式的值与某个字母的值无关的含义. （1）先转化为关于的多项式，然后去括号，合并同类项化简，再根据多项式的值与无关，再建立方程求解即可； （2）先分别表示，，再计算，再根据与无关，从而可得答案. 【详解】（1）解：由题意，得 ． ∵的值与的取值无关， ∴，解得． （2）由题意，得， ∴ ． 的值始终保持不变， ，即． 24．（24-25七年级上·全国·单元复习）中考新考法·过程性学习七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形纸片，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． (4) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，正确的将整式进行整理化简，令题中项的系数为零是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令的系数为0，即可求出； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知，，即可得到关于的代数式，根据取值与无关可得． 【详解】（1）解：， 因为其值与的取值无关， 所以，解得， 故当时，多项式的值与的取值无关； （2）因为，， 所以 因为的值与的取值无关，所以，即； （3）解：设，由图可知，， 所以， 因为当的长变化时，的值始终保持不变， 即的值与的取值无关， 所以，即． ◆题型7 整式的加减与数轴结合 25．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 【答案】（1）3；2；7；（2）①10或；②7；③，，，，0，1 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的性质与绝对值方程的求解，熟练掌握“数轴上两点间的距离等于两数差的绝对值”是解题的关键． （1）①利用数轴上两点距离公式，计算和的距离； ②同理，计算和的距离； ③同理，计算和的距离； （2）①根据绝对值方程，分情况求解； ②根据的范围判断绝对值内式子的符号，去掉绝对值后计算； ③根据绝对值的几何意义，分析的取值，结合为整数求解． 【详解】（1）解：①数轴上表示和的两点之间的距离：； ②数轴上表示和的两点之间的距离：； ③数轴上表示和的两点之间的距离：， 故答案为：3；2；7； （2）解：①， 或， 当时，； 当时，， 即或， 故答案为：10或； ②， ，， ， 故答案为：； ③表示数轴上到和的距离之和， 到的距离为， 当时，距离和为 又为整数， ， 故答案为：． 26．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，点和点分别表示数，．可以用绝对值表示点，两点间的距离，即． (1)如图1，在数轴上，点，，分别表示数，4，，解决以下问题： ①若，则______； ②若，则______； ③若，求的值． (2)如图2，在数轴上，点，分别表示数，，点是数轴上一动点，且不小于．请在数轴上表示出所有符合条件的点．（在数轴上把选定区域用黑色签字笔加粗，并标注必要的数据，用含，的代数式表示） 【答案】(1)①2或6  ②1  ③x的值为或0 (2) 如图所示， 【分析】本题考查数轴上的距离与绝对值方程的应用，将数轴上的距离关系转化为绝对值方程是解题关键． （1）根据题意，利用“绝对值的几何意义”求解． （2）先通过距离公式转化为绝对值表达式，再分区间讨论去绝对值，进而求解不等式． 【详解】（1）①解：代数式可看成数轴上表示数的点与表示4的点之间的距离， ， ，， 或6． ②解：代数式可看成数轴上表示到和4距离相等的点， ， ． ③解：代数式可看成数轴上表示到4的距离是到距离两倍的点， ， ， 当表示数的点在点左侧时，，解得， 当表示数的点在点和点之间时，，解得， 当表示数的点在点右侧时，， 所以此种情况不存在，综上所述，或0； 答：x的值为或0． （2）解：由题可知，设点D表示的数为x， 不小于， ， ， 当时，，解得，故， 当时，，解得，故， 当时，，解得（不符合，舍去）， 在数轴上，选定区域为， 符合条件的点为签字笔加粗部分的点． 27．（25-26七年级上·重庆·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6．点从点出发，前内以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，之后以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发的同一时刻，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)运动秒后，用含的代数式表示点表示的数（分情况讨论）． (2)设点为线段的中点，点为线段的中点，用含的代数式表示点、表示的数（点需分情况讨论）． (3)当时，求线段的长度（用含的代数式表示），并判断该代数式是几次几项式． (4)当时，若线段的中点为H，用含t的代数式表示点H，并写出该代数式的常数项． 【答案】(1)前内，点表示的数为；后，点表示的数为 (2)当时，点表示的数为，当时，点表示的数为；点表示的数为 (3)；一次二项式 (4)； 【分析】本题考查数轴上点与点之间的距离，线段中点定义，列代数式，多项式的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据题意，分前和之后的速度分别讨论即可； （2）根据中点公式即可解答； （3）根据点到点之间的距离公式和多项式的概念即可解答； （3）根据点到点之间的距离公式和多项式的概念即可解答． 【详解】（1）解：前内，点表示的数为， 后，点表示的数为； （2）解：点表示的数为， 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 点表示的数为； （3）解：当时，， 该代数式是一次二项式； （4）解：当时，线段的中点为H为， 该代数式的常数项为． 28．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【问题背景】：的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离；如图，在数轴上，点，，，，的位置如图所示，则；；． 【问题解决】 （1）计算________． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，，则________． 【关联运用】 （3）代数式的最小值为________． （4）当是________时，代数式 （5）若点表示的数，点与点的距离是10，且点在点的右侧，动点、同时从、出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，、、三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点? 【答案】（1）5；（2）1或；（3）5；（4）或3；（5）运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，列代数式，整式加减的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间的距离并运用数形结合思想是解题的关键． （1）直接计算即可得出答案； （2）由数轴上两点之间的距离公式得出，解方程即可直接得出答案； （3）代数式表示点x与1的距离与点x与点距离的和，然后分三种情况讨论，得到答案； （4）由（3）知当时取最小值3，已知，然后分情况讨论，得到答案； （5）先求出运动秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为，再分三种情况讨论，根据线段中点的定义，分别列方程求解． 【详解】解：（1）； （2）由题意得：， 或， 或； （3）代数式表示点x与1的距离与点x与点距离的和， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：当时，取最小值为5； （4）由（3）知，当时，取最小值为3， ，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当是或3时，代数式； （5）∵点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点在点的右侧， ∴点B所表示的数是9， 运动t秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为， ①当B是的中点时，， ∴， 解得； ②当P是的中点时，则， ∴， 解得； ③当Q是的中点时，则， ∴， 解得； 综上所述，运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． ◆题型8 代数式中的最值问题 29．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 30．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______； (2)应用二：若点表示的整数为，则当为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数的和为______； (4)应用四：求的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3)7， (4) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的点与表示2和的点的距离相等，则数轴上表示的点是表示2和的点的中点，据此求解即可； （3）分情况讨论，再求出符合题意的的值的和即可； （4）将化为，分别求出三组最小时x的取值范围，进而求出最小时x的取值范围，计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：与的值相等， 表示的点与表示2和的点的距离相等， 表示的点是表示2和的点的中点， ， 故答案为：； （3）解：当时， 当时， 当时， 当时，有最小值，最小值为7， 整数有、、、、、0、1、2，它们的和为， 故答案为：7；； （4） ， 由（3）可知，当时，有最小值； 当时，有最小值； 当时，有最小值； 可知当时，有最小值， 此时 ． 故答案为：． 31．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2； (3)6； (4)1025156． 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值时，求得最小值； 【详解】（1）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和； 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3． （2）解：当a取中间数2时，绝对值最小； 的最小值是． （3）解：当a取最中间数时， 绝对值最小；的最小值是； （4）解：当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： ． 32．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下面材料： 在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离，例如，当，． 回答下列问题： (1)①在数轴上表示与两点间的距离是 ， ②在数轴上表示x与4两点间的距离是 ； ③在数轴上表示x与________两点之间的距离为． (2)下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________． ②要使，数轴上表示的数___________________． (3)求的最小值． 【答案】(1)①4；②；③ (2)①6；②5或 (3)9 【分析】本题考查了绝对值的几何意义是数轴上两点之间的距离，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接根据题干中两点之间的距离公式计算即可； （2）①分析出的意义，再结合数轴可得； ②分析出的意义，再根据两点之间的距离为8列式计算即可； （3）分5种情况去绝对值符号，计算各种不同情况的值，最后讨论得出最小值． 【详解】（1）解：①在数轴上表示与两点间的距离是； ②在数轴上表示x与4两点间的距离是； ③ 则在数轴上表示x与两点之间的距离为； （2）解：①当表示数x的点在与4之间移动时， 表示数轴上x与的距离和与4的距离之和， 则此时； ②表示数轴上x与的距离和与4的距离之和为8， 则x的值为或； （3）解：表示数轴上x分别与4，2，，的距离之和， 时，原式,此时的最小值是13； 时，原式，此时的最小值是9； 时，原式， 时，原式，此时的最小值是9； 时，原式，此时的最小值是11， 综上：的最小值为9． ◆题型9 代数式的新定义问题 33．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）对于4个关于x的一次二项式∶，我们定义∶取其中任意两个作差，再与剩余两个多项式的差相减，其结果称为“淬炼结果”，例如∶，则多项式便是一个“淬炼结果”．则下列结论中∶ ①存在一种“淬炼结果”为； ②x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除； ③共有6种不同的“淬炼结果”． 正确的有(　　) A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，根据题意，写出所有情况，计算结果，逐一进行判断即可． 【详解】解：设 由题意，共有6种情况： 第1种：； 第2种：； 第3种：； 第4种：； 第5种：； 第6种：； ∴存在一种“淬炼结果”为；故①正确； x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除；故②正确； 共有5种不同的“淬炼结果”；故③错误； 故选C 34．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）规定用表示有序数对．给出定义：将变化为称为一次“f变化”，将变化为称为一次“g变化”．下列说法： ①将进行3次f变化后得到的结果为； ②将进行3次g变化后得到的结果为； ③对，每次选择f变化或g变化中的一种变化，随机进行3次变化后有6种不同的结果： ④将先进行一次g变化，再进行一次f变化得到，若，，对于任意的有理数x，代数式的值恒等于0，则，． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算的理解与计算，整式加减运算，说法①通过直接计算3次f变化验证；说法②通过计算3次g变化验证；说法③通过枚举所有3次变化序列，得到一般形式下的不同结果数量；说法④通过计算变化后的表达式，利用恒等式条件求解参数． 【详解】解：f变化：，g变化：． ① 对进行3次f变化： 第一次：， 第二次：， 第三次：，故此说法正确； ② 对进行3次g变化： 第一次：， 第二次：， 第三次：， 但说法为，故此说法错误； ③ 序列：； 序列：先进行两次f变化为，再进行1次g变化为； 序列：先进行1次f变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次f变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次g变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次f变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次f变化为，最后进行1次g变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次f变化为； 序列：先进行1次g变化为，再进行1次g变化为，最后进行1次g变化为； 实际不同结果为：，，，，，共6种，故此说法正确； ④ 先g变化：， 再f变化：， 即, ， ， ∵代数式的值恒等于0， ∴， 代入, ， 得， 即， ∴且， 解得：, ， 但说法为, ，故此说法错误． 综上，正确说法有①和③，共2个． 故选：B． 35．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）定义一种运算：，其中k是正整数，且，例如，．若，则的值为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，通过计算前若干项的值，归纳出数列的循环规律，再利用规律计算的值. 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 同理可得， 数列从开始，每个数为一个循环，依次为， ，即是的整数倍， ． 36．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3) 不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）略 ◆题型10 带有字母的绝对值化简问题 37．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【答案】（1）1；；（2）或2；（3）或0 【分析】本题考查化简绝对值、有理数的乘法法则， （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据有理数的乘法法则得a、b同号，即，或，，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可； （3）根据有理数的乘法法则得a、b、c全为负数或两正一负，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 38．（25-26七年级上·全国·寒假作业）（1）数学实验室： 若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即． 利用数轴回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是　　， ②数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______． ③若x表示一个有理数，且，则______． ④若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围 　． （2）三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则的值是　　． （3）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第2016次“F运算”的结果是　　． 【答案】（1）①3；②；③4；④或；（2）；（3）1 【分析】（1）①②在数轴上A、B两点之间的距离，依此即可求解； ③根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解； ④由于，可得有理数的取值范围是的左边，的右边； （2）由三个数a、b、c的积为负数，可知三数中只有一个是负数，或三个都是负数；又三数的和为正，故a、b、c中只有一个是负数，根据对称轮换式的性质，设三种情况，分别求的值即可； （3）由于是奇数，则第一次利用①进行计算，得到结果1352，此时是偶数，利用②进行计算，除以8，才能成为奇数，然后再利用①计算得到结果是512，接着利用②除以512才能成为奇数，结果为1，再利用①结果为8，以后的结果一直循环，利用这个规律即可求出结果． 【详解】解：（1）①数轴上表示2和5两点之间的距离是； ②数轴上表示和的两点之间的距离表示为； ③， ； ④， 有理数的取值范围或， 故答案为：，，，或； （2）， 中只有一个是负数，或三个都是负数，且都不为0， 又， 中只有一个是负数． 设或或， 则或或， ∴或或， ∴， ∴ ， 故答案为：； （3）第一次：， 第二次：， 根据题意得时结果为169； 第三次：， 第四次：∵512是2的9次方， ∴， ∴； 第五次：； 第六次：，∵8是2的3次方， ∴， ∴计算结果是1， 则此后计算结果8和1循环． ∵2016是偶数， ∴第2016次“运算”结果是1． 故答案为：． 【点睛】此题考查了数轴，绝对值的性质，数轴上两点间的距离，注意分类思想的运用，整式的运算和数字规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 39．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． （1）根据绝对值的性质化简求值即可； （2）根据有理数的加法和乘法运算法则可得三个数中必定有两个正数，一个负数，可设，，，再根据绝对值的性质化简求值即可； （3）分四种情况，根据绝对值的性质化简求值即可． 【详解】（1）解：， ； ， ； （2）解：， ，，， 由可知，中有一个负数或三个负数； 若均为负数，则与矛盾， 故中必为两正一负， 分情况讨论： ①，，， ； ②，，， ； ③，，， 综上，的值为； （3）解：①当，，都为正数时，则原式； ②当，，中只有一个负数时， 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； 当是负数，则原式； ③当，，中有两个负数时， 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； 当，是负数，则原式； ④当，，都是负数时，则原式； 综上所述，所求式子的值是． 40．（25-26七年级上·广东广州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当为不等于的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于的有理数，若这个数中有个正数，，求的值．（请用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的定义即可求解； （2）已知，则一正两负，分类讨论即可； （3）个正数，负数有个，式子中由个正个，相加即得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的正负性可能为： ①当为正数，为负数时，原式； ②当为正数，为负数时，原式； ③当为正数，为负数时，原式； ∴原式或3； （3）解：个正数，负数的个数为， ； 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 41．（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 【答案】C 【分析】观察可知第2个图在第1个图的基础上增加3个白色三角形，第3个图在第2个图的基础上增加个三角形，第4个图在第3个图的基础上增加个三角形，，第n个图在第个图的基础上增加个三角形，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个大三角形中白色三角形有个， 第②个大三角形中白色三角形有个， 第③个大三角形中白色三角形有个， ， 以此类推可知，第个大三角形中白色三角形有个， ∴第⑥个大三角形中白色的三角形有个． 42．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设1号正方形边长为，2号正方形边长为，根据图①的拼接关系表示出其他图形的边长，利用图①周长求出的值，再通过平移法或分段计算法表示出图②中阴影部分的周长，代入求值即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 由图可知，3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图①中长方形的周长为40， ， 即， ， 设图②中大长方形的长为，宽为，则， 阴影部分的周长由水平线段和竖直线段组成， 竖直线段之和：左侧边界长为，右侧边界长为，共， 水平线段之和：大长方形上下边未被覆盖部分长为，内部水平线段长为， 水平线段总长为， 阴影部分的周长为， 阴影部分的周长为． 43．（26-27七年级·全国·暑假作业）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A的值应是（     ） 0 4 2 6 4 8 …… 10 2 8 4 22 6 44 A A．156 B．158 C．160 D．162 【答案】B 【分析】由前三个正方形可知，规律为正方形中右上和左下的两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上、左下、右上的三个数是相邻的偶数，即可求解． 【详解】解：由前三个正方形可知，规律为正方形中右上和左下的两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上、左下、右上的三个数是相邻的偶数， ∴第四个正方形中左下的数是12，右上的数是14， 则． 44．（26-27七年级·全国·暑假作业）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ， ∴第2026次计算输出的结果是. 45．（2026·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的名同学从到编号，并按编号从小到大的顺序站成一排．第一轮报数、、、，报到非的倍数的退下，的倍数的留下；留下的同学从编号小的开始继续报数、、、，同样报到非的倍数的退下，的倍数的留下，如此继续多轮后，当留下的同学少于人时停止报数．则最后留下的同学中，编号较小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据操作规则可总结出每轮过后留下的编号都是的倍数，按要求计算每轮后剩余人数，直到人数少于4，即可得到最后留下的最小编号． 【详解】解：由题意得第一轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第二轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第三轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第四轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，停止报数； 最后留下的同学中，编号较小的是． 46．（2025·山东潍坊·模拟预测）下表是一个改造的三阶幻方，表中已经给出3个数．请在空格中填入适当的数，使得每行、每列以及对角线上各数之和都等于27，则用这9个数可以构造出不同幻方的种数是________种． 10 13 12 【答案】8 【分析】先求出基础幻方，再通过基础幻方的旋转和翻转得到不同的幻方，即可． 【详解】解：如下表： a b 10 13 c d e f 12 根据题意得：， ， ， ，， ， 所以基础幻方为 6 11 10 13 9 5 8 7 12 顺时针旋转得到： 8 13 6 7 9 11 12 5 10 顺时针旋转得到： 12 7 8 5 9 13 10 11 6 顺时针旋转得到： 10 5 12 11 9 7 6 13 8 水平翻转（左右对称）得到： 10 11 6 5 9 13 12 7 8 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 12 5 10 7 9 11 8 13 6 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 8 7 12 13 9 5 6 11 10 水平翻转（左右对称）顺时针旋转得到： 6 13 8 11 9 7 10 5 12 所以用这9个数可以构造出不同幻方的种数是8种． 47．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）下表中，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，________． 【答案】 【分析】由前三个图可发现四个数之间的规律如图所示： 【详解】解：由前三个图可知： 左下角的数， 右上角的数， ． 48．（2025七年级上·福建宁德·竞赛）已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 【答案】 【分析】由题意可得a，b，c中有两个负数，一个正数，不妨设，则，，由得出，，，再结合绝对值的性质求出、的值，即可得出结果． 【详解】解：∵a，b，c为有理数，且，， ∴a，b，c中有两个负数，一个正数， 不妨设，则，， ∵， ∴，，， ∴，， ∴． 49．（25-26七年级下·四川成都·期末）按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 【答案】 【分析】先观察已知数中分子底数的变化规律，推导出第个数的表达式，再将代入计算即可． 【详解】解：观察已知排列的数：第个数：， 第个数：， 第个数：， 第个数：， 由此可得规律，第个数为， 当时，代入得：． 50．（24-25八年级下·四川成都·期末）随着信息时代的发展，个人网络信息安全成为越来越重要的事．在网上进行登录时，往往需要设置组合密码提高信息安全级别．为提升同学们的网络安全意识，我校数学组和信息组拟开展“密码猜猜猜”的跨学科综合实践活动．活动前老师设计了一个密码规则，并给出了如表“密文—明文”提示，请同学们猜一猜．若密码的密文为“”，则可破译出它表示的明文是_____． 密码猜猜猜 密文 明文 284214 563224 244824 【答案】 452718 【分析】根据给定密文和明文得到密文中后两个数字的积为明文的前两位数字，第一个数字和第三个数字的积为明文的中间两位数字，明文的前两个数字与中间两位数字的差值的绝对值为明文的最后两位数字，据此即可得出结果. 【详解】解：观察可知：密文中后两个数字的积为明文的前两位数字，第一个数字和第三个数字的积为明文的中间两位数字，明文的前两个数字与中间两位数字的差值的绝对值为明文的最后两位数字， ∴对应的明文的前两个数字为，中间两位数字为，最后两位数字为， 故明文为. 51．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）密码学融合古老智慧与现代技术，是研究信息保密通信的核心学科．课本102页有一个密码盘如图所示，这个密码盘在数字和字母之间可建立一种对应关系，其中数字为密文，字母为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“B”，密文“3  55”翻译成明文为“”． 密文Ⅰ：t 1 2 3 4 … 密文Ⅱ： 1 3 5 … (1)密文“19  46”翻译成明文为“________”； (2)为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文Ⅰ”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”． ①若密文Ⅰ中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为________； ②若密文Ⅰ中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文． 【答案】(1)SQ (2)①增加2；②明文为“C” 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出密文与明文之间的转换关系是解题的关键． （1）根据题中所给密文和明文之间的转换关系即可解决问题； （2）①根据密文I与密文Ⅱ之间的关系即可解决问题； ②根据题意建立关于t的方程即可解决问题； 【详解】（1）解：密文“19  46”翻译成明文为． 故答案为：． （2）解：①∵, ∴若密文Ⅰ中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数增加2． 故答案为：增加2． ②由密码盘信息可知，每一个明文对应密文数字相差，其中n为自然数， 当时，，，对应的明文是C； 当时，，，对应的明文是C； 当时，，，对应的明文是C； … 则，，对应的明文是C． 明文为“C”． 52．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律：，因为的末尾数字是1，所以的末尾数字是1，所以的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)判断能否被5整除，并说明理由． 【答案】(1)9；6 (2) 解：能被5整除 理由：的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字是7，的末尾数字是9，的末尾数字是3，的末尾数字是1； 的末尾数字是9， 的末尾数字是5， 能被5整除． 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字是9；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是6，于是得解； （2）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字是9推出的末尾数字是5，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为9； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是6； 故答案为：9，6； （2）略 53．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）阅读理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，我们规定常数项的导数为0，并且当时．已知是关于t的多项式，其中、、…、、都是常数，我们把求导得到的多项式称为它的“伴生多项式”，记为，则．例如：若，则的“伴生多项式”．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的“伴生多项式”_____________． (2)设是的“伴生多项式”． ①若，当时，_____________，_____________． ②若，已知与的差不含有t的二次项，则的值为_____________． ③若，与多项式的值相等，且，求的值． ④若，，的伴生多项式为，若，则_____________． 【答案】(1) (2)①6；；②1③④的值为或8 【分析】本题考查列代数式、整式的加减以及解一元一次方程，正确理解“伴生多项式”是解答本题的关键． （1）根据“伴生多项式”的定义解答即可； （2）①先求出，再代入，求出，即可； ②先求出，再求得，根据差不含有二次项得； ③求出，根据与多项式的值相等列方程，求出，代入方程，求解方程得m的值； ④分别求出，代入，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据定义得：， 故答案为：； （2）解：①， 当时， ； ； 故答案为：6；； ②∵， ∴ ∴ ∵差不含有二次项，即二次项系数为0， ∴， 解得， 故答案为：1； ③∵， ∴， 又与多项式的值相等， ∴， 解得， 把代入方程得：， 解得： ④∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，，此时无解； 当时，， 解得：， 综上，的值为或8． 故答案为：或8． 54．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 【答案】(1) ；（2）；（3）①；② 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合上面发现的规律进行计算即可； （3）根据所给等式，发现规律，并据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知：，，⋯⋯， 所以，， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①因为；；；… 所以，， 故答案为：； ② ． 55．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）【问题情境】课本196页有这样一个数学探究《鸡蛋饼的分割》，小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题：鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题． 【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点数、分割出的最多区域数之间存在什么样的数量关系？ 【问题探究】为了解决这个问题，我们利用图1、图2、图3借助表格探索圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数 n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的一般规律．       m n t 图1 1 0 2 图2 2 1 4 图3 3 3 7 图4 4 x y （1）请在图4中用四条分割线将圆面分割出最多的区域，并画出分割后的图形； 【问题解决】 （2）将表格中的数据补充完整， ； ； （3）猜想：圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n，圆面被分割出的最多平面区域数t之间的数量关系为： ； 【实际应用】 （4）早餐摊师傅准备用8刀分鸡蛋饼，最多能将鸡蛋饼分成 块； （5）七年级1班有44名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕．小明给大家提了这样一个问题：最少切 刀分蛋糕（大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切），使每位同学都能分到一块？ 【答案】 （1）如图， （2）6，11；（3）；（4）37；（5）7 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意结合图形进行推导是解答本题的关键． （1）根据题意，画出图形即可； （2）由（1）中的图形即可得到答案； （3）由表格中的数据规律进行推导即可得到答案； （4）由表格中数据得出规律，再进行求解即可； （4）先竖直于蛋糕面切4刀，再平行于蛋糕面切3刀，根据分割方案写出理由即可． 【详解】解：（1） 略 （2）由（1）中图可得分割线是4条、分割线的最多交点数6个、分割出的最多区域数是11个， 所以，， 故答案为：6，11； （3）根据表格中数据可得，， 答案为：； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 将代入，得， 所以最多能将鸡蛋饼分成37块， 故答案为：37； （5）分割方案：先竖直于蛋糕面切4刀，再平行于蛋糕面切3刀，理由： ， 切1刀最多2块，切2刀最多4块，切3刀最多7块，切4刀最多11块， 将一个长方体大蛋糕竖直方向切4刀，最多可切割成11块，然后再平行于桌面切3刀得四层蛋糕，每层有11块， 共切成蛋糕有块． 故答案为：7． 56．（江苏省南通市如皋外国语初级中学2025-2026学年上学期七年级数学模拟试卷）如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为，，， (1)当点为原点时， ， ； (2)改变（1）中原点的位置，式子的值是否发生变化？若不变，请求出式子的值；若改变，请说明理由． (3)为线段上一点，其所表示的数为e，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)不会发生变化，， (3)最大值为，最小值为 【分析】本题考查了数轴上点的距离，绝对值的化简运算，熟悉掌握数轴上点的距离特征和绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据位置信息得到，，，进而运算求解即可； （2）把转化成，再根据位置信息代入运算即可； （3）分析点的位置，结合绝对值进行化简运算即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：当为原点时，则，，， ∴， 故答案为：； （2）解：的值不会变化，理由如下： 由数轴可得：，，， ∴， ∴的值为定值，的值不会变化； （3）解：当对应的点在线段上时，即， ， ∵在线段上，即, ∴ ， ∵， ∴， ∵在线段上，即, ∴ ， ∵， ∴， 综上：的最大值为和最小值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 代数式压轴 常考题型·精准突破 考点一 代数式压轴满分题型 题型1 数字类规律探究大题 题型2 图形类规律探究大题 题型3 整式的加减运算综合 题型4 整式加减中的整体思维方法 题型5 整式的加减应用综合 题型6 无关型问题与几何综合 题型7 整式的加减与数轴结合 题型8 代数式中的最值问题 题型9 代数式的新定义问题 题型10 带有字母的绝对值化简问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 代数式压轴满分题型 ◆题型1 数字类规律探究大题 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）综合与实践： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的计数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．    材料一：最常用的是十进制，例如：6273中的6表示6个千，2表示2个百，7表示7个十，3表示3个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数1101的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除2取余法，以此类推，8进制就是除8取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为：；八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为__________，逢__________进一． (2)问题解决：十进制63对应的二进制数为__________，二进制对应的十进制数为__________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示12年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，．其中代表10，代表11.请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数． (4)拓展应用：将二进制数转化为七进制数是多少？（思路：先将二进制数转化为十进制数，再转化为七进制数） 3．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）观察下列各式： ①  ②  ③ (1)按照上述规律，第4个等式是：________； (2)写出第n个等式：________； (3)根据上述规律，计算： 4．（25-26六年级上·山东威海·期末）【信息提取】信息1：从2开始，连续的正偶数相加，和的情况如下表： 偶数的个数 个偶数的和 1 2 2 3 4 信息2：计算． 解：(方法一)令，． 则 所以 ． 即． (方法二)令． 则 ． 所以 ． 即． 【问题解决】 (1)若，则__________×_________； (2)①猜想______；(为正整数，结果用的代数式表示) ②写出“①猜想”合理性的理由； (3)利用上述规律和方法进行计算： ③； ④． ◆题型2 图形类规律探究大题 5．（25-26八年级下·安徽宣城·期末）综合实践： 【问题背景】在生活中经常看到一些拼合图案如图1，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 【问题情境】如图2是某广场用正十二边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正十二边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第1层包括6块正方形和18块正三角形地板砖，第2层包括6块正方形和30块正三角形地板砖，第3层包括6块正方形和42块正三角形地板砖，…，依此类推． (1)【问题探究】①第4层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖； ②第层中含有_______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． (2)观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； _______． (3)【问题拓展】现打算在此广场中央，采用如图2样式的图案铺设地面，现有1块正十二边形、120块正方形和870块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，从里向外最多能铺多少层？请说明理由． 6．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【问题背景】研究利用图形的面积求几个分数的和． 【实践操作】如图1，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形；接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的正方形；再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的矩形；……如此进行下去； 【问题解决】 (1)图1中，正方形①的面积是___________；矩形②的面积是___________； (2)根据图形规律求的值； (3)在图2中，再设计一个能求的值的几何图形； 【拓展延伸】 (4)参考上述方法，直接写出的值． 7．（2026·安徽合肥·一模）[观察思考] 图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层． 【规律总结】 将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为 (1)当有层时，图中共有__________个圆圈； (2)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________； [问题解决] (3)如果图中的圆圈共有层，我们从上往下，在每个圆圈中都按图的方式填上一串连续的整数，求图中所有圆圈中各数的绝对值之和． 8．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图①，用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x． (1)图①中的格点多边形，其内部都只有一个格点．这些格点多边形的面积S与各边上格点的个数和x的对应关系如下表，请填写下表并写出S与x之间的关系式：S=________________． 格点多边形的序号 a b c d … 格点多边形的面积S 2 ________ 3 ________ … 各边上格点的个数和x 4 5 6 ________ … (2)请画些格点多边形，使这些格点多边形内部都有而且只有2个格点．此时所画的各个格点多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是________． (3)请继续探索，当格点多边形内部有且只有n（n是正整数）个格点时，猜想S与x，n之间的关系式：________________．（用含有字母x，n的代数式表示） 如图②，对等边三角形网格中的类似问题进行探究：等边三角形网格中每个小等边三角形的面积为1，小等边三角形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形． (4)设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x，当格点多边形内部有且只有n（n是正整数）个格点时，猜想S与x，n之间的关系式：_______________________．（用含有字母x，n的代数式表示） ◆题型3 整式的加减运算综合 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 10．（25-26七年级上·福建漳州·期末）【阅读材料】用分离系数法进行整式的加减运算 我们已经学过整式的加减，知道整式的加减可以归结为合并同类项．如果把两个整式的各同类项对齐，我们就可以像小学列竖式做加减法一样，来进行整式的加减运算． 只要将参与运算的整式按同一个字母进行降幂排列，凡缺项则留出空位或添零，然后让常数项对齐（即右对齐）即可，例如，计算，步骤如下： 1．降幂排列并补0：     2．列竖式计算（整式形式）： 我们发现按同一个字母降幂排列后，各项排列的位置对应该项字母的指数，所以只需写出系数，计算出结果后，再把字母和相应的指数补充上去，从而使演算过程简化．这种方法叫做分离系数法．按分离系数法，上一道题的演算过程可以简化为： 所以． 根据以上材料回答下列问题 (1)列竖式计算； (2)利用分离系数法解决问题：已知多项式的值为常数，求的值和这个常数． 11．（25-26七年级上·四川乐山·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)在（2）条件下，若，且，求的值． 12．（25-26七年级上·河北保定·期末）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)已知，求代数式的值； (3)若，，直接写出代数式的值． ◆题型4 整式加减中的整体思维方法 13．（24-25七年级上·山东威海·期末）中学数学有一种重要的解题思维方式是“整体思想”． 例如：，求的值． 我们将作为一个整体代入，则原式． 请运用“整体思想”解决下列问题： (1)①若，则的值为_______． ②已知，则的值为_______． (2)已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，当，化简求值：． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读理解，并解决问题．“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．因而“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： 例：当整式的值为7时，求整式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是______； (2)设，则______；（用含y的整式表示） (3)已知，求的值． 15．（24-25七年级上·全国·单元复习）数学思想·整体思想 “整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入、整体换元等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼整体思考，会使问题化繁为简、化难为易，复杂问题也能迎刃而解． 例：当的值为7时，求的值． 解：因为，所以．所以 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是_____； (2)设，则_____（用含的代数式表示）； (3)已知，求的值． 16．（25-26七年级上·广东江门·期中）综合与实践 “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，． 【尝试应用】 （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值． 【拓广探索】 （3）已知，，，求的值． ◆题型5 整式的加减应用综合 17．（25-26七年级下·福建厦门·期末）术中蕴含着许多数学原理，基于数学原理可以设计一些扑克牌魔术． 小鹭设计了一款扑克牌魔术，具体步骤如下： ①将一副扑克牌（共52张，不含大小王）随机打乱； ②将打乱后的扑克牌，抽取三十张，依次背面向上，叠放在桌上，第1张扑克牌在最下方，第30张扑克牌在最上方，如下图所示： ③从剩余的扑克牌中，随机抽取两张，翻开后依次摆放在桌上，余下扑克牌背面向上，叠放在原来三十张扑克牌之上，形成牌堆； ④根据每张翻开的扑克牌点数，从牌堆中从上往下数取扑克牌，放在对应扑克牌的下方，使得数取张数与该张扑克牌点数之和为13； 例如，若翻开的扑克牌为4，则取9张扑克牌；若翻开的扑克牌为K，则不取牌． ⑤将步骤③中翻开的两张扑克牌点数之和记为，在剩余牌堆中从上往下数第张，翻开对应的扑克牌． 例如，步骤③中翻开的两张扑克牌为4，K，则此时，即翻开从上往下数的第17张扑克牌．（注：本魔术中，扑克牌中的A，J，Q，K分别视为点数1，11，12，13） 在该魔术中，只需在步骤②中提前记忆特定位置的扑克牌，即可准确预测最终翻开的结果． (1)如果在步骤③中翻开的扑克牌为3，Q，按照上述步骤，步骤④中共需取的扑克牌为几张？ (2)对于任意翻开的两张扑克牌，步骤⑤中最终翻开的扑克牌是剩余牌堆中从下往上数的第几张？请说明理由． 18．（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 19．（25-26六年级上·山东烟台·期末）为厚植雷锋精神，涵养时代新风，某校准备打造一条“雷锋精神”文化长廊．如图，长廊的地面宽为5米，并按如图方式在地面铺设边长为1米的正方形地砖．其中，阴影部分为彩色地砖，白色部分为普通地砖． (1)若长廊长8米，则需彩色地砖_________块，普通地砖_________块； (2)若长廊长米（m为正整数），则需彩色地砖_________块； (3)学校拟向某商家购买地砖，该商家彩色地砖原价90元/块，普通地砖原价40元/块．经协商，商家推出如下优惠：买一块彩色地砖赠送一块普通地砖．已知购买的所有地砖的边长均为1米． ①若长廊长n米（n为正整数），请用含n的代数式表示购买地砖所需的费用； ②已知学校采购地砖的预算为3600元，求可打造的长廊的最大长度． 20．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图1，用四种大小不同的五个正方形和一个长方形（阴影部分）无重叠地拼成长方形，其中，最小的正方形的边长为x． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)用含x的代数式表示长方形的周长，并求当时，该周长的值； (3)如图2，将正方形沿方向向右平移，得到两块阴影部分．若x为定值，则图中两块阴影部分的周长之差是否为定值，若是用含x的代数式表示该定值，若不是请说明理由． ◆题型6 无关型问题与几何综合 21．（25-26七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 22．（25-26七年级上·天津河东·期中）点A、B在数轴上分别对应数a、b，则A、B两点之间距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离为______，表示x和两点之间的距离为______； (2)若，则______； (3)若，则______；若，则______； (4)若，则最大值＝______； (5)若在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒．当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 23．（25-26七年级上·全国·周测）【问题背景】已知，若的值与的取值无关，则，解得． 【类比探究】（1）已知．若的值与的取值无关，求的值． 【拓展应用】（2）8个如图①所示的小长方形，长为，宽为，按如图②所示的方式不重叠地放在大长方形内．对于大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设．若当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． 24．（24-25七年级上·全国·单元复习）中考新考法·过程性学习七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形纸片，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的数量关系． (4) ◆题型7 整式的加减与数轴结合 25．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题． 探究： （1）你能发现：与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ②数轴上表示和的两点之间的距离是___________． ③数轴上表示和的两点之间的距离是___________． 归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． 应用： （2）①如果数和两点之间的距离是6，则可记为：，则_____． ②若数轴上表示数的点位于与之间，则_____． ③若，其中为整数，则_____ 26．（25-26七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，点和点分别表示数，．可以用绝对值表示点，两点间的距离，即． (1)如图1，在数轴上，点，，分别表示数，4，，解决以下问题： ①若，则______； ②若，则______； ③若，求的值． (2)如图2，在数轴上，点，分别表示数，，点是数轴上一动点，且不小于．请在数轴上表示出所有符合条件的点．（在数轴上把选定区域用黑色签字笔加粗，并标注必要的数据，用含，的代数式表示） 27．（25-26七年级上·重庆·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6．点从点出发，前内以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，之后以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发的同一时刻，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)运动秒后，用含的代数式表示点表示的数（分情况讨论）． (2)设点为线段的中点，点为线段的中点，用含的代数式表示点、表示的数（点需分情况讨论）． (3)当时，求线段的长度（用含的代数式表示），并判断该代数式是几次几项式． (4)当时，若线段的中点为H，用含t的代数式表示点H，并写出该代数式的常数项． 28．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【问题背景】：的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离；如图，在数轴上，点，，，，的位置如图所示，则；；． 【问题解决】 （1）计算________． （2）如果点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，，则________． 【关联运用】 （3）代数式的最小值为________． （4）当是________时，代数式 （5）若点表示的数，点与点的距离是10，且点在点的右侧，动点、同时从、出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，、、三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点? ◆题型8 代数式中的最值问题 29．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 30．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______； (2)应用二：若点表示的整数为，则当为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数的和为______； (4)应用四：求的最小值为______． 31．（26-27七年级·全国·小升初衔接）【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 32．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下面材料： 在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离，例如，当，． 回答下列问题： (1)①在数轴上表示与两点间的距离是 ， ②在数轴上表示x与4两点间的距离是 ； ③在数轴上表示x与________两点之间的距离为． (2)下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________． ②要使，数轴上表示的数___________________． (3)求的最小值． ◆题型9 代数式的新定义问题 33．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）对于4个关于x的一次二项式∶，我们定义∶取其中任意两个作差，再与剩余两个多项式的差相减，其结果称为“淬炼结果”，例如∶，则多项式便是一个“淬炼结果”．则下列结论中∶ ①存在一种“淬炼结果”为； ②x为任意整数时，所有“淬炼结果”的值都能被2整除； ③共有6种不同的“淬炼结果”． 正确的有(　　) A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 34．（25-26七年级上·四川宜宾·期末）规定用表示有序数对．给出定义：将变化为称为一次“f变化”，将变化为称为一次“g变化”．下列说法： ①将进行3次f变化后得到的结果为； ②将进行3次g变化后得到的结果为； ③对，每次选择f变化或g变化中的一种变化，随机进行3次变化后有6种不同的结果： ④将先进行一次g变化，再进行一次f变化得到，若，，对于任意的有理数x，代数式的值恒等于0，则，． 其中正确说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）定义一种运算：，其中k是正整数，且，例如，．若，则的值为_____ ． 36．（25-26七年级上·湖北武汉·周测）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． ◆题型10 带有字母的绝对值化简问题 37．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 38．（25-26七年级上·全国·寒假作业）（1）数学实验室： 若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即． 利用数轴回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是　　， ②数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______． ③若x表示一个有理数，且，则______． ④若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围 　． （2）三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则的值是　　． （3）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第2016次“F运算”的结果是　　． 39．（25-26七年级上·吉林长春·期中）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，，，求的值． (3)如果，，是有理数且，那么的值是______． 40．（25-26七年级上·广东广州·期中）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当为不等于的有理数时，的值为______； (2)已知，，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于的有理数，若这个数中有个正数，，求的值．（请用含的式子表示） 综合攻坚·知能拔高 41．（26-27七年级上·全国·开学考试）观察图中每个大三角形中白色三角形的排列规律，则第⑥个大三角形中白色的三角形有（     ）个． A．121 B．154 C．364 D．467 42．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 43．（26-27七年级·全国·暑假作业）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A的值应是（     ） 0 4 2 6 4 8 …… 10 2 8 4 22 6 44 A A．156 B．158 C．160 D．162 44．（26-27七年级·全国·暑假作业）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 45．（2026·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的名同学从到编号，并按编号从小到大的顺序站成一排．第一轮报数、、、，报到非的倍数的退下，的倍数的留下；留下的同学从编号小的开始继续报数、、、，同样报到非的倍数的退下，的倍数的留下，如此继续多轮后，当留下的同学少于人时停止报数．则最后留下的同学中，编号较小的是（     ） A． B． C． D． 46．（2025·山东潍坊·模拟预测）下表是一个改造的三阶幻方，表中已经给出3个数．请在空格中填入适当的数，使得每行、每列以及对角线上各数之和都等于27，则用这9个数可以构造出不同幻方的种数是________种． 10 13 12 47．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）下表中，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，________． 48．（2025七年级上·福建宁德·竞赛）已知a，b，c为有理数，且，，，，则______． 49．（25-26七年级下·四川成都·期末）按一定规律排列的数：，，，，⋯，以此规律排列，第7个数是___． 50．（24-25八年级下·四川成都·期末）随着信息时代的发展，个人网络信息安全成为越来越重要的事．在网上进行登录时，往往需要设置组合密码提高信息安全级别．为提升同学们的网络安全意识，我校数学组和信息组拟开展“密码猜猜猜”的跨学科综合实践活动．活动前老师设计了一个密码规则，并给出了如表“密文—明文”提示，请同学们猜一猜．若密码的密文为“”，则可破译出它表示的明文是_____． 密码猜猜猜 密文 明文 284214 563224 244824 51．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）密码学融合古老智慧与现代技术，是研究信息保密通信的核心学科．课本102页有一个密码盘如图所示，这个密码盘在数字和字母之间可建立一种对应关系，其中数字为密文，字母为明文．例如，密文“2”翻译成明文为“B”，密文“3  55”翻译成明文为“”． 密文Ⅰ：t 1 2 3 4 … 密文Ⅱ： 1 3 5 … (1)密文“19  46”翻译成明文为“________”； (2)为了增加密码的破译难度，对于密文按如下规则又进行了再次加密，原密文记为“密文Ⅰ”，再次加密的密文记为“密文Ⅱ”． ①若密文Ⅰ中的正整数每增加1，则密文Ⅱ中正整数的变化规律为________； ②若密文Ⅰ中的“t”对应的明文与密文Ⅱ中的“”直接利用原规则对应的明文相同，求该明文． 52．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是，的末尾数字是1，的末尾数字是3，……，观察规律：，因为的末尾数字是1，所以的末尾数字是1，所以的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是的末尾数字是7． 解答下列问题： (1)的末尾数字是_______，的末尾数字是_______； (2)判断能否被5整除，并说明理由． 53．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）阅读理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，我们规定常数项的导数为0，并且当时．已知是关于t的多项式，其中、、…、、都是常数，我们把求导得到的多项式称为它的“伴生多项式”，记为，则．例如：若，则的“伴生多项式”．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的“伴生多项式”_____________． (2)设是的“伴生多项式”． ①若，当时，_____________，_____________． ②若，已知与的差不含有t的二次项，则的值为_____________． ③若，与多项式的值相等，且，求的值． ④若，，的伴生多项式为，若，则_____________． 54．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【猜想结论】（1）用含字母n的式子表示裂项的结果： ； 【类比计算】（2）计算：； 【类比推理】（3）我们知道：；；；… ①用一个含有n（n为正整数）的等式表示上述规律为： ． ②根据你发现的规律，计算下面这个算式的值：． 55．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）【问题情境】课本196页有这样一个数学探究《鸡蛋饼的分割》，小明帮妈妈切鸡蛋饼的时候联想到一个数学问题：鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题可转化为直线分平面区域的问题． 【数学问题】分割线的条数、分割线的最多交点数、分割出的最多区域数之间存在什么样的数量关系？ 【问题探究】为了解决这个问题，我们利用图1、图2、图3借助表格探索圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数 n、圆面被分割出的最多平面区域数t之间的一般规律．       m n t 图1 1 0 2 图2 2 1 4 图3 3 3 7 图4 4 x y （1）请在图4中用四条分割线将圆面分割出最多的区域，并画出分割后的图形； 【问题解决】 （2）将表格中的数据补充完整， ； ； （3）猜想：圆中分割线的条数m、分割线的最多交点数n，圆面被分割出的最多平面区域数t之间的数量关系为： ； 【实际应用】 （4）早餐摊师傅准备用8刀分鸡蛋饼，最多能将鸡蛋饼分成 块； （5）七年级1班有44名同学，在元旦晚会上，班级买了一个长方体大蛋糕．小明给大家提了这样一个问题：最少切 刀分蛋糕（大小不限，只能竖直或平行于蛋糕面切），使每位同学都能分到一块？ 56．（江苏省南通市如皋外国语初级中学2025-2026学年上学期七年级数学模拟试卷）如图，数轴上相邻两点之间的距离为1个单位长度，现有四个点A，B，C，D所表示的数分别为，，， (1)当点为原点时， ， ； (2)改变（1）中原点的位置，式子的值是否发生变化？若不变，请求出式子的值；若改变，请说明理由． (3)为线段上一点，其所表示的数为e，请直接写出的最大值和最小值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $