专题05 代数式与代数式求值的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

专题05 代数式与代数式求值的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 题型二、已知式子的值，求代数式的值 题型三、用代数式表示数的规律 题型四、用代数式表示图形的规律 题型五、程序流程图与代数式求值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及列代数式表示数量关系、化简代数式，以及直接代入、整体代入或程序框图求值。 - 解题方法：列式时抓关键词（和差倍分、平方、倒数）；求值先化简再代入；整体代入法将已知式子看作整体进行代换（如x2+x=3，则2x2+2x=6）。 - 易错提醒：列式时“a与b的平方和”与“a与b和的平方”混淆；代入负数或分数时漏加括号；整体代入时乘系数处理不当；化简中合并同类项符号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 典例1 （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且，则________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义得到，的所有可能取值，结合的条件筛选出符合要求的取值，再计算． 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， ∵ ，当时，，，不满足条件，舍去； 当时，，，两种情况都满足条件， 当，时，， 当，时，， 因此的值为或． 题型模版 1.特征：给定字母的具体数值（或多个字母值），直接代入代数式进行计算。 2.方法：将字母的值代入代数式，按运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算得结果，注意符号。 变式1-1（25-26七年级下·吉林长春·期中）若，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， 解得：， ∴． 变式1-2（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：当时， ； ． （2）解：当，时， ； ． 变式1-3（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b． (1)求阴影部分的面积S（用含a和b的代数式表示）； (2)若，，求阴影部分面积S的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：阴影部分的面积 ． （2）解：当，时， ． 题型二、已知式子的值，求代数式的值 典例2 （26-27七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果； （2）将已知 整体代入代数式，直接计算即可得到结果． 【详解】（1）解：已知， 将代入 ， 得：原式； （2）解：将代入， 得：原式． 题型模版 1.特征：已知一个代数式的值，求另一个相关代数式的值，常需整体代入或变形。 2.方法：将已知式看作整体，对所求式进行变形（如乘以系数、加常数），再整体代入计算。 变式2-1（25-26六年级上·山东泰安·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，请你应用这样的方法完成下列问题： (1)把看成一个整体，化简：______； (2)已知，则______； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值． （1）直接根据“整体思想”计算即可； （2）将化为，进而计算即可； （3）将化为，进而计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：； （3）解： ． 变式2-2（25-26七年级上·四川凉山·期末）【阅读理解】整体思想是一种重要的数学思想．当题目中的字母取值不确定或不易求出时，我们可以将含有这些字母的代数式看作一个“整体”，直接代入所求的代数式进行求值．例如：已知，求的值．我们可以将看作一个整体，则． (1)已知，求的值； (2)若代数式的值为10，求代数式的值； (3)已知当时，代数式的值为2024，求当时，代数式的值． 【答案】(1)11 (2)1 (3)2 【分析】本题主要考查整体思想、代数式求值，利用整体思想进行化简是解题的关键． 每一小问都是利用整体思想先对整式进行变形，再将整体的值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵代数式的值为10， ∴，即， ∵， ∴原式； （3）解：∵当时，代数式的值为2024， ∴,即， 当时，， ∴， ∵， ∴原式． 变式2-3（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以．所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为10，求当时，代数式的值． 【答案】(1)21 (2) 【分析】本题考查了用整体代换法求代数式的值，熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）将化为，整体代入即可求解； （2）把代入得，整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴． ∴ ； （2）解：∵当时，代数式的值为10， ∴， ∴， 当时， ． 题型三、用代数式表示数的规律 典例3 观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式的数字规律，根据题意得到数字的规律是解题的关键． 由分子1、2、3、4、5、…，即可得出第n个数的分子为n；分母为3、5、7、9、11、…，即可得出第n个数的分母为，据此即可解答． 【详解】解：∵分子1、2、3、4、5、…， ∴第n个数的分子为n， ∵3、5、7、9、11、…， ∴第n个数的分母为， ∴第n个数是． 故答案为：． 题型模版 1.特征：观察数列或图形变化，用含n的代数式表示第n个数或图形数量。 2.方法：先找相邻项差或比，确定是一次、二次或指数规律，用通项公式（如an+bn²）表示，验证前几项。 变式3-1观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2)， (3)1023 【分析】本题主要考查代数式及有理数的混合运算，熟练掌握代数式及有理数的混合运算的解法是解题的关键． （1）根据题意得到数字的规律，然后进行求解即可； （2）由题意易得第二行与第一行对应的数字之间相差2，第三行与第一行对应的数字之间的关系是：第一行数字的相反数与1的和等于第三行的数，由此规律可进行求解； （3）根据题意及（2）直接进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第①行第7个数是，第①行第n个数是； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：第②行的第n个数是第①行的第n个数减去2， 故第②行的第n个数是：； 第③行的第n个数是第①行的第n个数的相反数与1的和， 故第③行的第n个数是； 故答案为：，； （3）解：根据题意得：第①行第10个数是， 第②行的第10个数是：， 第③行的第10个数是， 变式3-2—观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想写出___________； (2)计算； (3)探究计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，找到式子的规律，利用有理数的运算法则进行计算是解题的关键． （1）观察等式，找到规律即可求解； （2）将（1）中的式子两边分别相加即可求解； （3）根据，，，……将以上式子两边分别相加，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵=1−， =−， =−， …… ∴； （2）解： ； （3）解：∵， ， ， …… ∴ ． 变式3-3观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题是对数字变化规律的考查，有理数乘方的应用； （1）观察可得，后一个数是前一个数字的倍解答即可； （2）观察可得，第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，即可求解； （3）根据各行的第个数的表达式列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）第①行数的第个数是：， 故答案为； （2）由图中的数据可得， 第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，则第②行数的第个数是， 第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，则第③行数的第个数是， 故答案为：，； （3）解：取每行的第个数，这三个数的和能等于， 令， ∴ 解得，， 即取每行的第个数，这三个数的和能等于． 题型四、用代数式表示图形的规律 典例4 （26-27七年级上·全国·课后作业）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 【答案】(1) 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2) 【分析】第一个图形有小棒根，第二个图形有小棒根，第三个图形有小棒根，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，根据此规律可得答案． 【详解】（1）解：第一个图形小棒根数，第二个图形小棒根数为，第三个图形小棒根数为，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，所以第四个图形小棒根数为，第五个图形小棒根数为． （2）解：由小问1可知后面的图形都比前面相邻的图形多根， 第一个图形小棒根数为，可表示为， 第二个图形小棒根数为，可表示为， 第三个图形小棒根数为，可表示为， 第个图形可表示为． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，求第n个图形中某元素数量，常涉及等差数列或平方规律。 2.方法：数前几个图形中元素个数，找相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法求通项。 变式4-1（26-27七年级·江苏·小升初衔接）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 【答案】(1)2 (2)22 (3) 【详解】（1）解：观察发现：每增加1张桌子，可坐人数就增加2人． （2）解：10张桌子拼在一起，相当于增加了 （张）桌子． （人） 因此如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐22人． （3）解：人 因此按这样拼下去，m张餐桌可坐人． 变式4-2（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 【答案】(1)10，4 (2)， (3)没有，理由如下： ∵当时，， ∴不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【分析】（1）观察图案，首先找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．即可得结论； （2）结合（1）即可得一般形式； （3）根据，可得不存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形． 【详解】（1）解：第4个图案中，三角形10个，六边形有4个； （2）解：由图可知： 第一个图案有三角形（个），六边形1个， 第二个图案有三角形（个），六边形2个， 第三个图案有三角形（个），六边形3个， 那么第n个图案中有三角形个，六边形有个； （3）解：略 变式4-3（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 【答案】(1) (2) (3)2053351 【分析】（1）观察可得空白部分小正方形的个数等于最大的正方形的面积减去阴影部分的正方形的面积，据此规律求解即可； （2）根据（1）可得答案； （3）把所求式子按照（2）结论将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算． 【详解】（1）解：图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； ……， 以此类推可知，图n空白部分小正方形的个数是， ∴第8幅图对应的算式为； （2）解：由（1）可得第幅图对应的算式为； （3）解： ． 题型五、程序流程图与代数式求值 典例5 （25-26七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 【答案】(1) (2)输出的值为 【分析】本题考查程序框图与代数式求值： （1）根据程序框图，列出代数式即可； （2）把代入（1）中的代数式进行求解即可． 【详解】（1）解： ． 所以用含的代数式表示输出的结果为． （2）解：当输入的值为时，输出的值为． 题型模版 1.特征：按程序框图的运算顺序，输入值求输出，或逆向求输入，涉及代数式求值。 2.方法：按流程逐步代入计算；逆向则从输出倒推，用逆运算（加→减，乘→除）求输入值。 变式5-1（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了整式的运算以及代数式求值，熟练掌握整式的运算法则如完全平方公式、乘法分配律等和代入求值的方法是解题的关键． （1）首先根据程序图的顺序，对输入的按照“加、平方、减、乘”的步骤列出代数式，然后对其进行化简； （2）把代入（1）中化简后的代数式，通过计算得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得： ； （2）解：当时， 原式 ． 变式5-2（25-26七年级上·宁夏固原·期中）下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，读懂流程图是解题关键． （1）根据示意图中的运算关系列出代数式即可得； （2）将，代入计算即可得． 【详解】（1）解：图中输出的式子为． （2）解：当输入，时， 则输出的数是 ． 变式5-3（25-26六年级上·上海金山·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果为_______． (2)如图，B同学设置了一个数值转换机，如果输入的x分别为和，那么输出的结果分别为_______和_______． (3)C同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若A，B分别输入1，则输出结果1，记； ②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记 问：当A输入自然数6，B输入自然数1时，的值是_______． 当A输入自然数6，B输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1)6.625 (2)，3 (3)243， 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案； （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算； （3）观察计算条件，先将输入固定1，得到输入6、输入1的输出值，再根据条件③，将输入固定6算出、均输入6时的输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ， ， ， 故答案为：6.625； （2）解：若输入的为时，， ， ， ， 若输入的为时，， ， ， 故答案为：，3； （3）解：由三个条件可知，当，均为1时，输出结果为1， 先输入数值为1，则可得输入的值为2，， 当输入3时，， 同理得，， ， ， 若输入固定值为6，， 同理得，， …… ， ，， 故答案为：243，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查寻找规律问题，观察多项式，将每个多项式拆分为关于的项和常数项，分别分析各自的规律：符号规律：负、正交替出现，即；指数规律：的指数依次为1，2，3，4，5，…，即；从而确定规律，即可得到答案，根据已知多项式找准规律是解决问题的关键． 【详解】解： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， …， 第个：， 故选：B． 2．如果，那么的值为（　　） A．7 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值方法，通过观察可得出求解代数式与已知给出的代数式的相似之处是解题的关键． 根据，可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B 3．已知，，且，则的值为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和代数式求值，熟练掌握绝对值的化简方法是解题的关键．根据所给，绝对值，可知，；又知，即或，，代入求值，即可求解． 【详解】解：已知，， 则，； 且， 或， 当时，，， 当，时，， 故选：A． 4．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，先把代入中，计算出结果，若结果小于，则把结果作为新数输入，重复上述过程，若大于，则输出，据此求解即可． 【详解】解：当输入2时，， 当输入时，， ∴输出的结果为， 故选：B． 5．如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形中规律问题，根据第一个图形中三角形个数为；第二个图形三角形个数为；第三个图形中三角形个数为；找出相应规律即可求解． 【详解】解：第一个图形中三角形个数为， 第二个图形三角形个数为， 第三个图形中三角形个数为， …， ∴第个图案中，三角形的个数为：． 故选D． 6．莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，……，按此规律排列下去，则第100个图案中花朵图案的个数为（   ） A．302 B．301 C．303 D．300 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形中有个花朵图案是解题的关键． 根据图形变化的规律得出第个图形中有个花朵图案即可解答． 【详解】由题知，第①个图案中有个花朵图案，第②个图案中有个花朵图案， 第③个图案中有个花朵图案，…，第个图案中有个花朵图案， 当时，， 故第100个图案中花朵图案的个数为302． 故选：A． 二、填空题 7．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了求代数式的值．把代数式变形后利用整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 8．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y= ．    【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探究，经观察发现：最上面的数与左下的数为两个连续整数，右下的数是最上面的数字加2再乘以左下的数，据此即可求解． 【详解】解：由，，， 得． 故答案为：． 9．已知两个有理数，．满足，且，，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值，有理数的加法和乘法，正确求出是解题的关键． 先根据绝对值的定义得到，再根据，得到，然后代值计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：11． 10．观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2，第三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2，然后即可得到每行的第9个数字，再作和即可解答本题． 【详解】解：由题目中的数据可得， 第一行数据的第n个数是， 第二行数据的第n个数是， 第三行数据的第n个数是， 故第一行的第9个数是，第二行数据的第9个数是，第三行数据的第9个数是， ， 故答案为：． 11．按照如图所示的程序计算，当输入n的值为时，则输出的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式的求值．根据程序代入进行计算即可． 【详解】解：当输入的值为时，则，返回继续运算；，输出结果． 故答案为： 12．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： ； ； ； ； （1）请猜想 ； （2） （为正整数）； 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，找到规律：从1开始的连续的奇数的和是一个完全平方数，是奇数的个数的平方，是解题关键． （1）由图形可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后根据此规律求解即可； （2）利用（1）的规律推出一般规律即可； 【详解】解：（1）∵； ； ； ； ∴； 故答案为： （2）由（1）归纳可得： ， 故答案为：； 三、解答题 13．当，时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，正确计算是解题的关键． （1）直接代值计算即可； （2）直接代值计算即可． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解：解：当，时，． 14．如图，是一个简单的数值运算程序， (1)请用含的代数式表示输出的结果______． (2)计算当时，输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，解题的关键是正确理解题目所给运算程序的运算顺序． （1）根据题目所给的运算程序，列出代数式即可； （2）将代入（1）中得出的代数式，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：输出的结果为， 故答案为：； （2）解：当时，． 15．若互为相反数，互为倒数，是最小的正整数． (1)直接写出，，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相反数，倒数，代数式的计算，理解相关概念，掌握代数式的计算方法是解题的关键． （1）根据相反数，倒数的定义及计算即可求解； （2）代入求值即可． 【详解】（1）解：互为相反数，互为倒数，是最小的正整数， ∴，，； （2）解： ． 16．如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．（取3） (1)用含，的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积； (2)若，时，求剩下铁皮（阴影部分）的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值； （1）由三角形的面积减去半圆面积即可得到答案； （2）把，代入（1）中的代数式，再计算即可； 【详解】（1）解：由题意，得阴影部分的面积为：； （2）解：将，代入上式，得 ， 所以剩下铁皮（阴影部分）的面积为． 17．观察下面两行数，并按规律填空： ①， ，… ②， ，… (1)请你分别写出第①②行的第7个数； (2)取每行数的第9个数，计算这两个数的和． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查规律类型题目，解题的关键在于理解题意找出题中规律． （1）根据第一行的第n个数用表示，第二行的第n个数用表示，然后分别求出第7个数即可； （2）根据（1）中的规律求得每行数的第9个数，计算这两个数的和即可． 【详解】（1）解：∵第①行中，第1个数， 第2个数， 第3个数，…， 故第n个数． 第②行数等于第①行相应的数加2； ∴第①行第7个数为：， 第②行第7个数为：； （2）解：第①行第9个数为：， 第②行第9个数为：， ∴每行数的第9个数和为： ． 18．日历是一份来自时间的礼物，它让生活有迹可循，同时提醒我们要珍惜时间，不负韶华．如图是年月份的日历，小颖用一个“”形框选中了个数． (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系； (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数，（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍 (2)成立，理由见详解 【分析】本题考查有理数的加法，求代数式的值，根据题意列代数式是解题的关键； （1）计算这五个数的和，即可找到与中间数的关系； （2）设中间的数为，其余四个数分别为，，，，计算五个数的和即可求解； 【详解】（1）解：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； （2）解：成立； 设中间的数为，其余四个数分别为，，，， 五个数的和为：； 图中“”形框选中的五个数的和是中间数的倍； 19．如图所示，由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成．    (1)按图示规律填表： 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 … (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为______；（用含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)填表见解析 (2) (3)6073根 【分析】本题考查了代数式求值，图形类规律探索题，正确根据前几个图形中火柴棒的个数总结规律，是解题的关键； （1）根据图形列出算式，求出即可； （2）根据（1）的结果总结规律，从第一个开始每增加一个正方形，则火柴的棒数增加3个，则第n个图形中应用的火柴的棒数为． （3）将代入求解即可． 【详解】（1）解：第3个图形中，火柴棒的根数是； 第4个图形中，火柴棒的根数是； 第5个图形中，火柴棒的根数是； 填表如下 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 10 13 16 … （2）∵每增加一个正方形火柴棒数增加3， ∴第n个图形中应有的火柴棒数为：； 故答案为：； （3）当时，解得：． 答：第2024个图形需要的火柴棒根数为6073根． 20．有这样一道题“代数式的值为7，则代数式的值是多少？”我们可以这样来解：设，，即，，． 利用字母进行一些转化，可以让思路更清晰，让表达更简洁，让运算更简便．仿照以上的解题方法，完成下面问题： (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是正确解决本题的关键． （1）把得，整体代入计算即可； （2）先由，，可得，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 21．【观察思考】 下列图案是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“★”或“▲”．第1个图案中“★”有4个，“▲”有4个；第2个图案中“★”有8个，“▲”有7个；第3个图案中“★”有12个， “▲”有10个；第4个图案中“★”有16个，“▲”有13个． 【规律发现】 （1）请求出第n个图案中“★”和“▲”各有多少个；（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）在第30个图案中，分别求“★”的数量和“▲”的数量． 【答案】（1）第n个图案中“★”有个，“▲”有个；（2）在第30个图案中， “★”有120个， “▲”有91个． 【分析】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键． （1）根据题中的规律进行解答即可； （2）利用（1）中的规律分别求出“★”的数量和“▲”的数量即可得到答案． 【详解】（1）第1个图案中“★”有个；“▲”有个； 第2个图案中“★”有个；“▲”有个； 第3个图案中“★”有个；“▲”有个； 第4个图案中“★”有个；“▲”有个； …… 第n个图案中“★”有个，“▲”有个； （2）第30个图案中，“★”的数量为；（个）， “▲”的数量为：（个）， ∴在第30个图案中， “★”有120个， “▲”有91个． 22．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则______；我们将作为一个整体代入．则原式．仿照这样的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)若，求的值： (3)若，，则______． (4)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握整体思想的应用，是解题的关键． （1）根据，得到，整体代入求值即可； （2）把看作一个整体，代入求值即可； （3）整体代入法，求值即可； （4）把，代入，得到，再把，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：2025； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴； 故答案为：28； （4）解：当时，， ∴， ∴当时， ． 23．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案． （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算． （3）观察计算条件，先将输入固定，得到输入，输入的输出值，再根据条件三，算出均输入时，输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：若输入的为时，， ∵， ∴， ∴， 若输入的为时，， ∵， ∴， 故答案为：和． （3）解：由三个条件可知，当均为时，输出结果为， 先输入数值为，则可得到当输入时，， ∴当输入时， 同理可得，，， 若输入固定值为，， 同理可得， 答：当输入自然数，输入自然数时，的值是． 24．【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，数字的变化规律． （1）根据，，找到规律可得出答案； （2）①根据规律裂项后代入计算即可得出答案； ②根据规律裂项后代入计算即可得出答案； （3），其他项都类似计算后，代入抵消计算即可得答案； （4）设，则，进而得，由此可得出答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， 故答案为：； （2）① ； ② ； （3） ； （4）设， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 代数式与代数式求值的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 题型二、已知式子的值，求代数式的值 题型三、用代数式表示数的规律 题型四、用代数式表示图形的规律 题型五、程序流程图与代数式求值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及列代数式表示数量关系、化简代数式，以及直接代入、整体代入或程序框图求值。 - 解题方法：列式时抓关键词（和差倍分、平方、倒数）；求值先化简再代入；整体代入法将已知式子看作整体进行代换（如x2+x=3，则2x2+2x=6）。 - 易错提醒：列式时“a与b的平方和”与“a与b和的平方”混淆；代入负数或分数时漏加括号；整体代入时乘系数处理不当；化简中合并同类项符号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 典例1 （25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且，则________． 题型模版 1.特征：给定字母的具体数值（或多个字母值），直接代入代数式进行计算。 2.方法：将字母的值代入代数式，按运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算得结果，注意符号。 变式1-1（25-26七年级下·吉林长春·期中）若，则的值为________． 变式1-2（26-27七年级上·全国·课后作业）根据下列各组x、y的值，分别求出代数式和的值： (1)； (2)． 变式1-3（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，两个正方形的边长分别为a和b． (1)求阴影部分的面积S（用含a和b的代数式表示）； (2)若，，求阴影部分面积S的值． 题型二、已知式子的值，求代数式的值 典例2 （26-27七年级上·全国·课后作业）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 题型模版 1.特征：已知一个代数式的值，求另一个相关代数式的值，常需整体代入或变形。 2.方法：将已知式看作整体，对所求式进行变形（如乘以系数、加常数），再整体代入计算。 变式2-1（25-26六年级上·山东泰安·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，请你应用这样的方法完成下列问题： (1)把看成一个整体，化简：______； (2)已知，则______； (3)已知，，求代数式的值． 变式2-2（25-26七年级上·四川凉山·期末）【阅读理解】整体思想是一种重要的数学思想．当题目中的字母取值不确定或不易求出时，我们可以将含有这些字母的代数式看作一个“整体”，直接代入所求的代数式进行求值．例如：已知，求的值．我们可以将看作一个整体，则． (1)已知，求的值； (2)若代数式的值为10，求代数式的值； (3)已知当时，代数式的值为2024，求当时，代数式的值． 变式2-3（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．如表所示是老师安排的作业题． 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以．所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为10，求当时，代数式的值． 题型三、用代数式表示数的规律 典例3 观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第n个数是 ． 题型模版 1.特征：观察数列或图形变化，用含n的代数式表示第n个数或图形数量。 2.方法：先找相邻项差或比，确定是一次、二次或指数规律，用通项公式（如an+bn²）表示，验证前几项。 变式3-1观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 变式3-2—观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： (1)猜想写出___________； (2)计算； (3)探究计算． 变式3-3观察下面三行数： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ (1)第①行数的第个数是______； (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______． (3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 题型四、用代数式表示图形的规律 典例4 （26-27七年级上·全国·课后作业）用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，求第n个图形中某元素数量，常涉及等差数列或平方规律。 2.方法：数前几个图形中元素个数，找相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法求通项。 变式4-1（26-27七年级·江苏·小升初衔接）1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，如图． (1)观察思考，发现规律：每增加1张桌子，可坐人数就增加__________人． (2)如果10张餐桌拼在一起，一共可以坐__________人． (3)按这样拼下去，m张餐桌可坐__________人．（用含有字母的式子表示）． 变式4-2（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 【项目主题】 某校模拟用三角形和六边形地砖改善学校的活动场地． 【预备知识】 用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙也没有重叠的铺成一片，叫做图形的密铺． 【规律探究】 用三角形和六边形按如图所示的规律拼图案． 【规律应用】 (1)第4个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； (2)第（为正整数）个图案中，三角形的个数有_________个，六边形的个数有_________个； 【项目拓展】 (3)是否存在某个符合上述规律的图案，其中有100个三角形与30个六边形？如果有，指出是第几个图案；如果没有，说明理由． 变式4-3（25-26七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】 如图，观察上述各图形，我们会发现： 图1空白部分小正方形的个数是， 图2空白部分小正方形的个数是， 图3空白部分小正方形的个数是； (1)像这样继续排列下去，请写出第8幅图对应的算式：________． (2)请再写出第幅图对应的算式：________（用含有字母的算式表示，其中为正整数）． (3)【问题解决】________． 题型五、程序流程图与代数式求值 典例5 （25-26七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果；（结果化为最简） (2)当输入的值为时，求输出的值． 题型模版 1.特征：按程序框图的运算顺序，输入值求输出，或逆向求输入，涉及代数式求值。 2.方法：按流程逐步代入计算；逆向则从输出倒推，用逆运算（加→减，乘→除）求输入值。 变式5-1（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数学活动课上，小奕利用电脑的技术设计了如图的程序． (1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简） (2)若输入的数值为，则输出的结果是多少？ 变式5-2（25-26七年级上·宁夏固原·期中）下图是“数值转换机”的示意图． (1)用含x，y的式子把图中输出的式子列出来； (2)当输入，时，求出输出的数是多少？ 变式5-3（25-26六年级上·上海金山·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，A同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果为_______． (2)如图，B同学设置了一个数值转换机，如果输入的x分别为和，那么输出的结果分别为_______和_______． (3)C同学也设置了一个计算装置示意图，A，B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由A，B分别输入自然数m和n，经过计算后的有理数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若A，B分别输入1，则输出结果1，记； ②若B输入1，A输入自然数增大1，则输出结果为原来的3倍，记； ③若A输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1，则输出结果比原来增加，记 问：当A输入自然数6，B输入自然数1时，的值是_______． 当A输入自然数6，B输入自然数6时，的值是多少？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么的值为（　　） A．7 B． C．5 D． 3．已知，，且，则的值为(　　) A．或 B．或 C．或 D．或 4．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，…，依此规律，第个图案中三角形的个数是（   ） A． B． C． D． 6．莫高窟坐落于河西走廊西部的尽头——敦煌，是我国古代文明的璀璨艺术宝库，莫高窟保存壁画4.5万多平方米，具有独特的形式美感和艺术魅力．如图，为莫高窟壁画纹样，小明发现，壁画纹样中还蕴藏着数学知识，其中第①个图案中有5个花朵图案，第2个图案中有8个花朵图案，第③个图案中有11个花朵图案，……，按此规律排列下去，则第100个图案中花朵图案的个数为（   ） A．302 B．301 C．303 D．300 二、填空题 7．若，则代数式的值为 ． 8．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，用含有a，b的代数式表示y，即y= ．    9．已知两个有理数，．满足，且，，则的值为 ． 10．观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 11．按照如图所示的程序计算，当输入n的值为时，则输出的结果是 ． 12．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题： ； ； ； ； （1）请猜想 ； （2） （为正整数）； 三、解答题 13．当，时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 14．如图，是一个简单的数值运算程序， (1)请用含的代数式表示输出的结果______． (2)计算当时，输出的结果． 15．若互为相反数，互为倒数，是最小的正整数． (1)直接写出，，的值； (2)求的值． 16．如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．（取3） (1)用含，的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积； (2)若，时，求剩下铁皮（阴影部分）的面积． 17．观察下面两行数，并按规律填空： ①， ，… ②， ，… (1)请你分别写出第①②行的第7个数； (2)取每行数的第9个数，计算这两个数的和． 18．日历是一份来自时间的礼物，它让生活有迹可循，同时提醒我们要珍惜时间，不负韶华．如图是年月份的日历，小颖用一个“”形框选中了个数． (1)请通过计算说明图中“”形框选中的五个数的和与中间数的关系； (2)若在日历中任意画一个这样的“”形框且选中个数，（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由． 19．如图所示，由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成．    (1)按图示规律填表： 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 … (2)按照这种方式拼下去，则拼第n个图形需要火柴棒的根数为______；（用含n的代数式表示） (3)按照这种方式拼下去，用（2）中的代数式求第2024个图形需要的火柴棒根数． 图形标号 … 火柴棒根数 4 7 10 13 16 … 20．有这样一道题“代数式的值为7，则代数式的值是多少？”我们可以这样来解：设，，即，，． 利用字母进行一些转化，可以让思路更清晰，让表达更简洁，让运算更简便．仿照以上的解题方法，完成下面问题： (1)若代数式的值为15，求代数式的值； (2)已知，，求的值． 21．【观察思考】 下列图案是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“★”或“▲”．第1个图案中“★”有4个，“▲”有4个；第2个图案中“★”有8个，“▲”有7个；第3个图案中“★”有12个， “▲”有10个；第4个图案中“★”有16个，“▲”有13个． 【规律发现】 （1）请求出第n个图案中“★”和“▲”各有多少个；（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）在第30个图案中，分别求“★”的数量和“▲”的数量． 22．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则______；我们将作为一个整体代入．则原式．仿照这样的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则______； (2)若，求的值： (3)若，，则______． (4)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值． 23．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 24．【基础演练】：观察下列等式 ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出：_____________ （2）直接写出下列各式的计算结果： ①__________________________________； ②________________________________________． 【举一反三】：（3）探究并计算：． 【拓广探索】：（4）为了求的值，可令，则，因此， 所以．． 仿照上面推理计算：求的值； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $