专题03 绝对值的综合应用（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

专题03 绝对值的综合应用 （题型突破·举一反三） 题型1 绝对值的代数意义与几何意义 题型2 已知绝对值求原数（多解问题） 题型3 非负性应用（绝对值+平方=0） 题型4 含绝对值的不等式比较大小 题型5 绝对值化简（不含参数） 题型6 绝对值化简（含参数分类讨论） 题型7 多个绝对值和的最值（零点分段） 题型8 绝对值创新型问题 ▌题型01 绝对值的代数意义与几何意义 1. 绝对值的代数意义 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 2. 绝对值的几何意义 表示数轴上表示数 的点到原点的距离。 表示数轴上表示数 与数 的两点之间的距离。 3. 重要推论 ① 任意有理数的绝对值都是非负数：。 ② 互为相反数的两个数绝对值相等：。 ③ 若 ，则 或 。 4. 易错提醒 ① 误认为绝对值等于正数的数只有一个（实际上有两个，互为相反数）。 ② 忽略 的绝对值为 ，误认为绝对值一定是正数。 ③ 几何意义中混淆 与 的距离含义。 【典例1】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）绝对值不大于1的整数有____________． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，明确绝对值不大于1即为绝对值小于或等于1，找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：设这个整数为，根据题意可得： ， 去绝对值得， 又因为是整数，因此满足条件的整数为． 【变式1-1】（2023七年级上·福建宁德·竞赛）当______时，的最小值是______． 【答案】 【分析】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 【变式1-2】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上一个动点到两定点的距离之和求解． 【详解】解：表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，当对应的点在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）已知数轴上的点A、B所表示的数分别为a、b，用含a、b的代数式表示： (1)A、B两点间的距离： (2)到点A、B的距离相等的点所表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在数轴上，任意两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值，列代数式即可． （2）数轴上两点中点所表示的数，等于这两点所表示的数之和的一半，列代数式即可． 【详解】（1）解：数轴上的点A、B所表示的数分别为、， 则A、B两点间的距离就是和的差的绝对值 距离为． （2）解：数轴上的点A、B所表示的数分别为、， 则到点A、B的距离相等的点所表示的数为 ． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法是否正确？为什么？ (1)有理数的绝对值一定是正数； (2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； (3)如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身； (4)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． 【答案】(1)解：不正确，理由如下： ∵0是有理数，，且0不是正数， ∴该说法错误； (2)解：不正确，理由如下： ∵互为相反数的两个数绝对值相等，例如，但， ∴该说法错误； (3)解：正确，理由如下： ∵正数的绝对值是它本身， ∴该说法正确； (4)解：不正确，理由如下： ∵，即0的绝对值是它本身，且0不是正数， ∴该说法错误． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 ▌题型02 已知绝对值求原数（多解问题） 1. 绝对值方程的通解 若 （），则： 2. 绝对值方程的一般形式 若 （），则： 3. 解题步骤 ① 将绝对值符号内的式子视为一个整体。 ② 去掉绝对值，得到两个一元一次方程。 ③ 分别求解，检验是否满足原方程。 4. 易错提醒 ① 忘记分类讨论，只取正数解。 ② 解出两个解后，未验证是否满足原方程。 ③ 当 时，方程无解，误认为仍有解。 【典例1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）绝对值等于5的数是（    ） A．5 B． C．5或 D．0 【答案】C 【详解】解：绝对值等于5的数是5或． 【变式1-1】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）若，则_____． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义，绝对值等于正数的数有两个，且这两个数互为相反数，据此求解． 【详解】解：若，则． 【变式1-2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式1-3】（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）若，且，则_________． 【答案】3 【分析】根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再结合即可得． 【详解】解：∵， ∴或， 又∵， ∴． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）填空： （1）的正负号是________，绝对值是________； （2）10.5的正负号是________，绝对值是________； （3）绝对值是7的正数是________； （4）绝对值是5.1的负数是________． 【答案】 负号 正号 【分析】根据有理数的正负定义与绝对值的性质，直接判断或计算各空结果即可． 【详解】解：（1）的正负号是负号，绝对值是； （2）10.5的正负号是正号，绝对值是； （3）绝对值是7的正数是； （4）绝对值是5.1的负数是． ▌题型03 非负性应用（绝对值+平方=0） 1. 非负性原理 绝对值和平方（偶次幂）都是非负的，即： 2. “和为0”型问题 若若干个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0： 3. 常见形式 4. 易错提醒 ① 只利用了绝对值的非负性，忽略了平方（偶次幂）的非负性。 ② 平方项中变量求值时，忘记考虑正负号（平方后相等，原数可能互为相反数）。 ③ 将“和为0”误认为“和为常数”来处理。 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 【变式1-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为： 且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期末）成立时，______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出的值，然后将它们的值代入中求解即可． 【详解】， ， 解得， ． 【变式1-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 【变式1-4】（2026七年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，求得，，然后将原式变形为，然后化简求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴原式 ． ▌题型04 含绝对值的不等式比较大小 1. 绝对值与大小比较 对于任意实数 ，，且 。 2. 含绝对值的不等式 ① （）。 ② （）。 ③ （） 或 。 ④ （） 或 。 3. 解题策略 ① 利用数轴，将绝对值转化为距离，直观判断大小。 ② 去绝对值时，根据绝对值内部式子的正负分类讨论。 ③ 多个绝对值比较时，可取特殊值代入排除。 4. 易错提醒 ① 解 时，只写出 ，遗漏 。 ② 解 时，误写成 （这是小于号的解集）。 ③ 多个绝对值比较时，代入特殊值选取不当导致判断错误。 【典例1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 【变式1-1】（2026·江苏泰州·一模）如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 【变式1-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【分析】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可； （2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列大小比较是否正确： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 正确 (2) 正确 (3) 错误 (4) 错误 【分析】先利用绝对值的性质，去掉每个式子中的绝对值符号，计算出两边的具体数值．如果是正数，绝对值是它本身；如果是负数，绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．再将得到的两个数值进行大小比较，判断给出的不等关系是否成立。比较分数大小时可以用通分的方法，比较小数时直接按照小数比较规则判断． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴；原式大小比较正确． （2）解：，， ∵， ∴；原式大小比较正确． （3）解：，， ∵分子相同的正分数，分母越大分数越小， ∴， ∴， ∴不成立，比较错误． （4）解：，， ∵， ∴， ∴不成立，比较错误． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）字母a取怎样的有理数时，下列关系式成立？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（3）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可； （2）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合正数大于负数可得答案； （4）讨论的取值范围，进而确定的取值范围，结合正数大于负数可得答案． 【详解】（1）解： ∵ 正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0， ∴ 当时，成立； （2）解：∵ 当时，，不满足， 当时，，满足条件， ∴ 当时，成立； （3）解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，0的相反数为0， ∴ 当时，成立； （4）解：当时，， ∵正数大于负数， ∴此时满足； 当时，， ∴此时不满足； 当时，， ∴此时不满足； 综上所述，当时，． ▌题型05 绝对值化简（不含参数） 1. 化简步骤 ① 判断绝对值内部的整体符号（正、负、零）。 ② 若内部为非负数，直接去掉绝对值。 ③ 若内部为负数，去掉绝对值后整体取相反数（括号前加负号）。 2. 常见化简形式 ① （因为 ）。 ② 3. 多重绝对值化简 从内向外逐层判断符号，逐层去掉绝对值。 4. 易错提醒 ① 不判断符号直接去掉绝对值。 ② 内部为负数时，只在前面加负号，未将内部整体用括号括起。 ③ 多重绝对值化简时，外层判断时忽略了内层已经化简后的结果。 【典例1】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，则 ． 【变式1-1】（2026·河北张家口）________． 【答案】． 【详解】解：根据绝对值的性质，一个负数的绝对值是它的相反数， ． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期中）的绝对值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义． 根据任何数的绝对值均为0或正数作答即可． 【详解】解：的绝对值是． 故答案为：． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ▌题型06 绝对值化简（含参数分类讨论） 1. 分类讨论的依据 含参数的绝对值化简，关键是判断绝对值内部的符号。由于参数取值范围未知，需根据参数的不同取值范围，分情况讨论绝对值内部的正负性，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号。 2. 分类讨论的步骤 ① 确定临界点：令绝对值内部的代数式等于0，解出参数的临界值。 ② 划分区间：用临界值将参数的取值范围分成若干个区间。 ③ 分段化简：在每个区间内确定绝对值内部的符号，按定义去掉绝对值。 ④ 合并结果：将各段的结果用分段的形式呈现。 3. 含多个绝对值时的处理 若有多个绝对值，需同时考虑各个绝对值内部的符号，通常采用“零点分段法”，将所有临界值在数轴上标出，将数轴分成若干区间，在每个区间内所有绝对值内部的符号均可唯一确定。 4. 易错提醒 ① 分类讨论时区间端点归属混乱。 ② 求零点时漏解或解错。 ③ 分段化简后合并时，未按参数从小到大的顺序整理各段结果。 【典例1】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时， ；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则___________；当时，则___________． (2)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1， (2)2或 【分析】本题考查了有理数的绝对值和有理数的运算，正确理解题意、熟练掌握有理数的相关知识是解题的关键； （1）先化简绝对值，再计算除法即可； （2）由可得或，再分两种情况结合绝对值的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则， 故答案为：1，． （2）解：当，则或， 当时，； 当时，； 综上，的值是2或． 【变式1-1】（24-25七年级上·四川乐山·阶段检测）已知a+b+c＝0，其中a＞0，c＜0且|a|＜|c|，请根据绝对值的意义化简： （1）＝　 　，＝　 　； （2）b　 　0（用＜、＞或＝填写） （3）求出的值． 【答案】（1）1，﹣1；（2）＞；(3)1. 【分析】（1）根据即可求出答案． （2）根据|a|＜|c|可知由于a+b+c＝0，所以b＞0． （3）由于a+b+c＝0，所以代入原式即可求出答案． 【详解】解：（1）∵a＞0， ∴ ∵c＜0， ∴ （2）∵|a|＜|c|， ∴ ∴ （3）原式 ＝1， 故答案为（1）1，﹣1；（2）＞； 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是正确理解绝对值的意义，本题属于基础题型． 【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）对于整式：，在每个式子前添加“+”或“﹣”号；先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为M．例如，若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数＝ _____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了绝对值的性质和意义， 根据各个代数式中x的系数，通过添加“+”或“﹣”号，使合并后x项的系数为0，即可解答． 【详解】解：因为操作后化简的结果是常数，即x的系数为0， 则|或. 故答案为：4． 【变式1-3】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 【变式1-4】（22-23七年级上·陕西西安·期中）绝对值是初中数学中的一个重要概念，我们从“距离”出发，定义“绝对值”并用数轴理解绝对值的意义，请你利用所学知识，解决下列问题： (1)已知，则的值为___________； (2)有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且a，b互为相反数请化简； 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质求出x、y的值，然后代值计算即可； （2）先根据题意得到，由此化简绝对值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：由题意得：，， ∴， ∴ ． ▌题型07 多个绝对值和的最值（零点分段） 1. 几何意义法求最值 多个绝对值的和表示数轴上一点到多个定点的距离之和。 2. 最值规律（奇偶性法则） ① 若 为奇数，当 取最中间的那个定点时，和取得最小值。 ② 若 为偶数，当 取最中间两个定点之间的任意值时，和取得最小值。 3. 代数法（零点分段）求最值 按零点分段化简，逐段分析每一段，确定各段的最小值，再取全局最小值。 4. 易错提醒 ① 只凭感觉判断最值，未严格证明。 ② 分段化简后，未逐一比较各段的最小值。 ③ 忽视 取区间端点或区间内部时的不同情况。 【典例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，熟练掌握绝对值的性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 根据零点分段法和绝对值的性质，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：依题意，和分别为和的零点值， 当时， ； 当时，； 当时，； 综上所述，原式． 【变式1-1】（22-23七年级上·重庆渝北·阶段检测）阅读材料： 我们知道绝对值的代数意义为：，它告诉我们打开绝对值的关键是先判断绝对值里面的式子的符号，再根据代数意义打开绝对值即可，那么我们可以利用这一结论化简所有含绝对值的式子． 例如： （1）化简：； （2）化简：． 解：（1）∵， ∴． ∴． （2）令和，得，（称2，-3分别为，的零点值），那么零点值可把数轴上的数分为如下三种情形： ①当时，则，， ∴原式=； ②当时，则，， ∴原式=； ③当时，则，， ∴原式=． 综上，． 通过上述过程我们可以发现，化简绝对值的关键在于找到每个绝对值的零点，再按零点将所有有理数分段讨论，即可化简绝对值，这也是我们化简绝对值的常用方法——零点分段法．根据材料，回答问题： (1)若，化简：__________； (2)若，则__________； (3)化简：． 【答案】(1)2 (2)或3 (3) 【分析】（1）根据，可知，，化简即可； （2）根据每个绝对值的零点，分三种情况，分别化简即可； （3）根据每个绝对值的零点，分四种情况，分别化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴． 故答案为：2． （2）解：令，，解得． 分三种情况讨论： ①当时， ∴原式=． 解得． ②当时， ∴原式=． 解得，不合题意舍去． ③当时， ∴原式=． 解得． ∴． 故答案为：1或3． （3）解：令． 解得． 分四种情况讨论： ①当时， ∴原式=； ②当时， ∴原式=； ③当时， ∴原式=； ④当时， ∴原式=． 综上，． 【点睛】本题考查绝对值的化简，解题的关键是理解零点的应用． 【变式1-2】（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 【材料一】我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含x有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式= 【材料二】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示和的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）对于任意有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）与4分别为的零点值；（2）；（3）有最小值，最小值为． 【分析】本题主要考查了整式的加减，绝对值，相反数，数轴等有关知识，正确理解题干中的方法和解题思想是解题的关键． （1）利用零点值的定义解答即可； （2）利用题干【材料一】的方法解答即可； （3）利用【材料二】中的方法和（2）的结论解答即可． 【详解】解：（1）令和， 求得，， ∴与4分别为和的零点值． （2）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． ∴； （3）有最小值，为． 由【材料二】对于任意有理数x，表示x的点，到数轴上表示和4的两个点的距离之和，当时，有最小值为． 【变式1-3】（25-26）七年级上·山东济宁·期末）阅读理解： 在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为，解得：，符合． 当时，原方程可化为，解得：，符合． 原方程的解为：或． 解题回顾： 本题中，2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 尝试应用： (1)仿照上面方法解方程：． 迁移拓展： (2)运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． （提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？ 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分两种情况讨论，和； （2）分三种情况讨论，，，． 【详解】（1）分两种情况： 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 原方程的解为：或； （2）分三种情况讨论： 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，不符合， 原方程的解为：或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值，熟练准确的计算是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【变式1-4】（期末押题预测卷（考试范围：七上全册）-2024-2025学年七年级数学上册课后培优分级练（人教版））阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： (1)零点值是_________和_________； (2)化简代数式； (3)解方程； (4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________． 【答案】(1)3， (2)当时，；当时，；当时， (3)或 (4)2025， 【分析】（1）令和，再解方程可得答案； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，合并同类项即可； （3） 分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，建立一元一次方程，再解方程即可； （4）先求解零点值，，，，再分五种情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，再化简绝对值，从而可得答案． 【详解】（1）解：令和， 解得：和， 故答案为：，； （2）当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，． （3）当时，， 解得； 当时，， 方程无解； 当时，， 解得； ∴方程的解为或． （4）中的零点值分别为： ，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 显然，当时，原式取得最小值，最小值为2025， 【点睛】本题是材料阅读题，考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解零点值的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． ▌题型08 绝对值创新型问题 1. 绝对值与数轴结合 创新型问题常将绝对值与数轴上的距离、折叠、动点等知识结合，考查数形结合思想。 2. 绝对值与定义新运算 通过新定义运算（如 等），将绝对值运算融入新规则中，需按定义严格转化。 3. 绝对值与规律探究 观察多个绝对值式子的规律（如裂项相消），利用规律进行化简或求值。 4. 易错提醒 ① 对新定义理解偏差，代入时遗漏或重复运算。 ② 数形结合时，数轴上的点与数的对应关系搞混。 ③ 规律探究时，前几项归纳的规律不具代表性，需验证更多项。 【典例1】（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究新定义的运算“⊕”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；； 【归纳法则】 （1）归纳“⊕”运算的运算法则； 【应用法则】 （2）计算：； 【拓展延伸】 （3）探究交换律（为有理数）是否成立，并说明理由． 【答案】 （1）由题意得， “⊕”运算的运算法则如下：同号两数进行“⊕”运算，结果为两数的差的绝对值；异号两数进行“⊕”运算，结果为两数差的绝对值的相反数；一个数与0进行运算“⊕”运算和0与一个数进行运算“⊕”运算，结果为原数． （2）4； （3）交换律（为有理数）成立，理由如下： 若a，b同号，，， ； 若a，b异号，，， ； 若，，，， ； 若，，，， ； 若，，，， 综上，交换律交换律（为有理数）成立， 【分析】（1）依据给出的算式归纳即可； （2）利用（1）中归纳的法则解答即可； （3）利用（1）中归纳的法则解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，熟练掌握新定义逼格熟练应用是解题的关键． 【详解】解：（1）略 （2） ； （3）略 【变式1-1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：         【类比探究】（1）的几何意义是数轴上表示数与数_____两点之间的距离． 【解决问题】（2）请你借助数轴探究：当表示数的点在整条数轴上移动时，直接写出能使成立的的值_____． 【拓展延伸】（3）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中点与点之间的距离为2个单位长度，点与点之间的距离为1个单位长度，且点到原点的距离为20，设点、、所表示的数、、的和是，求的值． 【答案】（1） ；（2）或4；（3）59或 【分析】本题主要考查了实数和数轴，绝对值的几何意义，两点之间的距离，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （2）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）根据点之间的距离求出表示的数，再利用两点之间的距离表示出表示的数，最后利用有理数的加法法则进行求解即可． 【详解】解：（1）的几何意义是数轴上表示数与数两点之间的距离， 故答案为：；      （2）根据题意得，表示数与数两点之间的距离和数与数3两点之间的距离之和为7， 和3两点之间的距离为， ∴或，且到的距离为或到3的距离为， ∴或， 故答案为：或4； （3）因为点到原点的距离为20，所以或， 因为数轴上从左到右有点、、，其中点与点之间的距离为2个单位长度，点与点之间的距离为1个单位长度， 所以，， 当时，，， 此时； 当时，，， 此时； 综上，的值为59或． 【变式1-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）探索材料1： （1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____，数轴上表示数3和的两点距离为_____；则的意义可理解为数轴上表示数_____这两点的距离； 探索材料2： （2）①如图1、在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？在图中画出满足条件的点即可． ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． 结论应用(填空)： （3）①代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______； ②代数式的最小值是______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______． 【答案】（1）3，4，x，； （2）探索材料2（填空）： ①如图： 则当材料供应点P应设在A与B之间，P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小， 故答案为：①A与B之间；②B处；③之间． （3）①1；3、4；②8，；③16；1、2、3、4． 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离的意义、绝对值化简等知识点，灵活运用数形结合思想求最小的距离之和是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离以及绝对值的意义求解即可； （2）①通过观察，比较可得点P设在A与B之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长即可；②通过观察，比较可得点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长；③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为3和4之间的距离；②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离；③结合（2）中的③，可得最小距离为和6与1和4的距离之和． 【详解】解：（1）探索材料1（填空）： ，， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离． 故答案为：3，4，x，． （2） 略 （3）结论应用（填空）： ①代数式表示x到3的距离与x到4的距离之和， ∴的最小值是，所有x的整数值为3、4． 故答案为：1；3、4； ②代数式表示x到的距离与x到与x到2的距离之和， ∴的最小值是，此时x的值为． 故答案为：8，； ③代数式表示x到的距离与x到4与x到1与x到6的距离之和， ∴最小值是．此时x的所有整数值是1到4之间的整数，即1、2、3、4． 故答案为：；1、2、3、4． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①________； ②________． (2)当时，________；当时，________． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为________．    (4)合理的方法计算： 【答案】(1)①② (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了化简绝对值，运用数轴判断式子的符号，有理数的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据条件要求化简，即可作答； （2）根据两个数的大小关系化简绝对值即可； （3）结合数轴得出，然后进行化简绝对值即可； （4）分别化简绝对值，再进行加减混合运算，即可作答． 【详解】（1）解：①；； 故答案为：，； （2）解：当时，；当时，； 故答案为：，； （3）解：根据数轴得，， ∴， 故答案为：； （4）解： ． 【变式1-4】（25-26七年级上·广东深圳·期中）请观察下列算式： ，① ，② ，③ … 探索规律，并根据规律解答以下问题 (1)第n个等式是_______________； (2)计算：； (3)若有理数a、b满足，试求： 的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，绝对值的非负性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据规律可得第个算式； （2）根据规律将各项展开，然后拆项相加互相抵消即可得出结果； （3）先根据绝对值的非负性求得a和b的值，再模仿上述规律将各项展开，拆项相加即可． 【详解】（1）解：， ， ， …， ∴第n个等式是， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值的综合应用 （题型突破·举一反三） 题型1 绝对值的代数意义与几何意义 题型2 已知绝对值求原数（多解问题） 题型3 非负性应用（绝对值+平方=0） 题型4 含绝对值的不等式比较大小 题型5 绝对值化简（不含参数） 题型6 绝对值化简（含参数分类讨论） 题型7 多个绝对值和的最值（零点分段） 题型8 绝对值创新型问题 ▌题型01 绝对值的代数意义与几何意义 1. 绝对值的代数意义 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 2. 绝对值的几何意义 表示数轴上表示数 的点到原点的距离。 表示数轴上表示数 与数 的两点之间的距离。 3. 重要推论 ① 任意有理数的绝对值都是非负数：。 ② 互为相反数的两个数绝对值相等：。 ③ 若 ，则 或 。 4. 易错提醒 ① 误认为绝对值等于正数的数只有一个（实际上有两个，互为相反数）。 ② 忽略 的绝对值为 ，误认为绝对值一定是正数。 ③ 几何意义中混淆 与 的距离含义。 【典例1】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）绝对值不大于1的整数有____________． 【变式1-1】（2023七年级上·福建宁德·竞赛）当______时，的最小值是______． 【变式1-2】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）已知数轴上的点A、B所表示的数分别为a、b，用含a、b的代数式表示： (1)A、B两点间的距离： (2)到点A、B的距离相等的点所表示的数． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法是否正确？为什么？ (1)有理数的绝对值一定是正数； (2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等； (3)如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身； (4)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数． ▌题型02 已知绝对值求原数（多解问题） 1. 绝对值方程的通解 若 （），则： 2. 绝对值方程的一般形式 若 （），则： 3. 解题步骤 ① 将绝对值符号内的式子视为一个整体。 ② 去掉绝对值，得到两个一元一次方程。 ③ 分别求解，检验是否满足原方程。 4. 易错提醒 ① 忘记分类讨论，只取正数解。 ② 解出两个解后，未验证是否满足原方程。 ③ 当 时，方程无解，误认为仍有解。 【典例1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）绝对值等于5的数是（    ） A．5 B． C．5或 D．0 【变式1-1】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）若，则_____． 【变式1-2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）若，则_________． 【变式1-3】（26-27七年级上·河南新乡·开学考试）若，且，则_________． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）填空： （1）的正负号是________，绝对值是________； （2）10.5的正负号是________，绝对值是________； （3）绝对值是7的正数是________； （4）绝对值是5.1的负数是________． ▌题型03 非负性应用（绝对值+平方=0） 1. 非负性原理 绝对值和平方（偶次幂）都是非负的，即： 2. “和为0”型问题 若若干个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0： 3. 常见形式 4. 易错提醒 ① 只利用了绝对值的非负性，忽略了平方（偶次幂）的非负性。 ② 平方项中变量求值时，忘记考虑正负号（平方后相等，原数可能互为相反数）。 ③ 将“和为0”误认为“和为常数”来处理。 【典例1】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【变式1-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期末）成立时，______． 【变式1-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【变式1-4】（2026七年级下·全国·专题练习）若与互为相反数，求的值． ▌题型04 含绝对值的不等式比较大小 1. 绝对值与大小比较 对于任意实数 ，，且 。 2. 含绝对值的不等式 ① （）。 ② （）。 ③ （） 或 。 ④ （） 或 。 3. 解题策略 ① 利用数轴，将绝对值转化为距离，直观判断大小。 ② 去绝对值时，根据绝对值内部式子的正负分类讨论。 ③ 多个绝对值比较时，可取特殊值代入排除。 4. 易错提醒 ① 解 时，只写出 ，遗漏 。 ② 解 时，误写成 （这是小于号的解集）。 ③ 多个绝对值比较时，代入特殊值选取不当导致判断错误。 【典例1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·江苏泰州·一模）如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【变式1-2】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知点A、B、C、D、E、F在数轴上分别对应下列各数：，，，，，． (1)如图所示，在数轴上标出表示其余各数的点；（标字母） (2)用“<”号把这些数连接起来． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）判断下列大小比较是否正确： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）字母a取怎样的有理数时，下列关系式成立？ (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型05 绝对值化简（不含参数） 1. 化简步骤 ① 判断绝对值内部的整体符号（正、负、零）。 ② 若内部为非负数，直接去掉绝对值。 ③ 若内部为负数，去掉绝对值后整体取相反数（括号前加负号）。 2. 常见化简形式 ① （因为 ）。 ② 3. 多重绝对值化简 从内向外逐层判断符号，逐层去掉绝对值。 4. 易错提醒 ① 不判断符号直接去掉绝对值。 ② 内部为负数时，只在前面加负号，未将内部整体用括号括起。 ③ 多重绝对值化简时，外层判断时忽略了内层已经化简后的结果。 【典例1】（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·河北张家口）________． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期中）的绝对值是_______． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型06 绝对值化简（含参数分类讨论） 1. 分类讨论的依据 含参数的绝对值化简，关键是判断绝对值内部的符号。由于参数取值范围未知，需根据参数的不同取值范围，分情况讨论绝对值内部的正负性，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号。 2. 分类讨论的步骤 ① 确定临界点：令绝对值内部的代数式等于0，解出参数的临界值。 ② 划分区间：用临界值将参数的取值范围分成若干个区间。 ③ 分段化简：在每个区间内确定绝对值内部的符号，按定义去掉绝对值。 ④ 合并结果：将各段的结果用分段的形式呈现。 3. 含多个绝对值时的处理 若有多个绝对值，需同时考虑各个绝对值内部的符号，通常采用“零点分段法”，将所有临界值在数轴上标出，将数轴分成若干区间，在每个区间内所有绝对值内部的符号均可唯一确定。 4. 易错提醒 ① 分类讨论时区间端点归属混乱。 ② 求零点时漏解或解错。 ③ 分段化简后合并时，未按参数从小到大的顺序整理各段结果。 【典例1】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时， ；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则___________；当时，则___________． (2)已知是有理数，当时，试求的值． 【变式1-1】（24-25七年级上·四川乐山·阶段检测）已知a+b+c＝0，其中a＞0，c＜0且|a|＜|c|，请根据绝对值的意义化简： （1）＝　 　，＝　 　； （2）b　 　0（用＜、＞或＝填写） （3）求出的值． 【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）对于整式：，在每个式子前添加“+”或“﹣”号；先求和再求和的绝对值，称这种操作为“全绝对”操作，并将绝对值化简的结果记为M．例如，若存在一种“全绝对”操作使得操作后化简的结果为常数，则此常数＝ _____． 【变式1-3】（23-24七年级上·湖北武汉·期中）我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【变式1-4】（22-23七年级上·陕西西安·期中）绝对值是初中数学中的一个重要概念，我们从“距离”出发，定义“绝对值”并用数轴理解绝对值的意义，请你利用所学知识，解决下列问题： (1)已知，则的值为___________； (2)有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且a，b互为相反数请化简； ▌题型07 多个绝对值和的最值（零点分段） 1. 几何意义法求最值 多个绝对值的和表示数轴上一点到多个定点的距离之和。 2. 最值规律（奇偶性法则） ① 若 为奇数，当 取最中间的那个定点时，和取得最小值。 ② 若 为偶数，当 取最中间两个定点之间的任意值时，和取得最小值。 3. 代数法（零点分段）求最值 按零点分段化简，逐段分析每一段，确定各段的最小值，再取全局最小值。 4. 易错提醒 ① 只凭感觉判断最值，未严格证明。 ② 分段化简后，未逐一比较各段的最小值。 ③ 忽视 取区间端点或区间内部时的不同情况。 【典例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为和的零点值．在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式； 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：化简代数式． 【变式1-1】（22-23七年级上·重庆渝北·阶段检测）阅读材料： 我们知道绝对值的代数意义为：，它告诉我们打开绝对值的关键是先判断绝对值里面的式子的符号，再根据代数意义打开绝对值即可，那么我们可以利用这一结论化简所有含绝对值的式子． 例如： （1）化简：； （2）化简：． 解：（1）∵， ∴． ∴． （2）令和，得，（称2，-3分别为，的零点值），那么零点值可把数轴上的数分为如下三种情形： ①当时，则，， ∴原式=； ②当时，则，， ∴原式=； ③当时，则，， ∴原式=． 综上，． 通过上述过程我们可以发现，化简绝对值的关键在于找到每个绝对值的零点，再按零点将所有有理数分段讨论，即可化简绝对值，这也是我们化简绝对值的常用方法——零点分段法．根据材料，回答问题： (1)若，化简：__________； (2)若，则__________； (3)化简：． 【变式1-2】（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料并解决有关问题： 【材料一】我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含x有绝对值的代数式， 如化简代数式时可令和，分别求得，（称与2分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式= 【材料二】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示和的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）对于任意有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【变式1-3】（25-26）七年级上·山东济宁·期末）阅读理解： 在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为，解得：，符合． 当时，原方程可化为，解得：，符合． 原方程的解为：或． 解题回顾： 本题中，2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 尝试应用： (1)仿照上面方法解方程：． 迁移拓展： (2)运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． （提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？ 【变式1-4】（期末押题预测卷（考试范围：七上全册）-2024-2025学年七年级数学上册课后培优分级练（人教版））阅读下列有关材料并解决有关问题． 我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况：①；②；③．化简时，对应三种情况为：①当时 ，原式；②当时，原式；③当时 ，原式． 通过以上阅读，请你解决问题： (1)零点值是_________和_________； (2)化简代数式； (3)解方程； (4)的最小值为_________，此时的取值范围为____________． ▌题型08 绝对值创新型问题 1. 绝对值与数轴结合 创新型问题常将绝对值与数轴上的距离、折叠、动点等知识结合，考查数形结合思想。 2. 绝对值与定义新运算 通过新定义运算（如 等），将绝对值运算融入新规则中，需按定义严格转化。 3. 绝对值与规律探究 观察多个绝对值式子的规律（如裂项相消），利用规律进行化简或求值。 4. 易错提醒 ① 对新定义理解偏差，代入时遗漏或重复运算。 ② 数形结合时，数轴上的点与数的对应关系搞混。 ③ 规律探究时，前几项归纳的规律不具代表性，需验证更多项。 【典例1】（25-26七年级上·福建厦门·期中）研究新定义的运算“⊕”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；； 【归纳法则】 （1）归纳“⊕”运算的运算法则； 【应用法则】 （2）计算：； 【拓展延伸】 （3）探究交换律（为有理数）是否成立，并说明理由． 【变式1-1】（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）数学实验室：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：         【类比探究】（1）的几何意义是数轴上表示数与数_____两点之间的距离． 【解决问题】（2）请你借助数轴探究：当表示数的点在整条数轴上移动时，直接写出能使成立的的值_____． 【拓展延伸】（3）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中点与点之间的距离为2个单位长度，点与点之间的距离为1个单位长度，且点到原点的距离为20，设点、、所表示的数、、的和是，求的值． 【变式1-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）探索材料1： （1）数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例如数轴上表示数2和5的两点距离为_____，数轴上表示数3和的两点距离为_____；则的意义可理解为数轴上表示数_____这两点的距离； 探索材料2： （2）①如图1、在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？在图中画出满足条件的点即可． ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在何处才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？在图中画出一个满足条件的点即可． 结论应用(填空)： （3）①代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______； ②代数式的最小值是______，此时x的值为______； ③代数式的最小值是______，此时x的所有整数值是______． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： (1)根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①________； ②________． (2)当时，________；当时，________． (3)有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为________．    (4)合理的方法计算： 【变式1-4】（25-26七年级上·广东深圳·期中）请观察下列算式： ，① ，② ，③ … 探索规律，并根据规律解答以下问题 (1)第n个等式是_______________； (2)计算：； (3)若有理数a、b满足，试求： 的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值的综合应用 （题型突破·举一反三） 题型1 绝对值的代数意义与几何意义 题型2 已知绝对值求原数（多解问题） 题型3 非负性应用（绝对值+平方=0） 题型4 含绝对值的不等式比较大小 题型5 绝对值化简（不含参数） 题型6 绝对值化简（含参数分类讨论） 题型7 多个绝对值和的最值（零点分段） 题型8 绝对值创新型问题 ▌题型01 绝对值的代数意义与几何意义 1. 绝对值的代数意义 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 2. 绝对值的几何意义 表示数轴上表示数 的点到原点的距离。 表示数轴上表示数 与数 的两点之间的距离。 3. 重要推论 ① 任意有理数的绝对值都是非负数：。 ② 互为相反数的两个数绝对值相等：。 ③ 若 ，则 或 。 4. 易错提醒 ① 误认为绝对值等于正数的数只有一个（实际上有两个，互为相反数）。 ② 忽略 的绝对值为 ，误认为绝对值一定是正数。 ③ 几何意义中混淆 与 的距离含义。 【典例1】 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，明确绝对值不大于1即为绝对值小于或等于1，找出该范围内的所有整数即可． 【详解】解：设这个整数为，根据题意可得： ， 去绝对值得， 又因为是整数，因此满足条件的整数为． 【变式1-1】 【答案】 【分析】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 【变式1-2】 【答案】D 【分析】利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上一个动点到两定点的距离之和求解． 【详解】解：表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，当对应的点在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在数轴上，任意两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值，列代数式即可． （2）数轴上两点中点所表示的数，等于这两点所表示的数之和的一半，列代数式即可． 【详解】（1）解：数轴上的点A、B所表示的数分别为、， 则A、B两点间的距离就是和的差的绝对值 距离为． （2）解：数轴上的点A、B所表示的数分别为、， 则到点A、B的距离相等的点所表示的数为 ． 【变式1-4】 【答案】(1)解：不正确，理由如下： ∵0是有理数，，且0不是正数， ∴该说法错误； (2)解：不正确，理由如下： ∵互为相反数的两个数绝对值相等，例如，但， ∴该说法错误； (3)解：正确，理由如下： ∵正数的绝对值是它本身， ∴该说法正确； (4)解：不正确，理由如下： ∵，即0的绝对值是它本身，且0不是正数， ∴该说法错误． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 ▌题型02 已知绝对值求原数（多解问题） 1. 绝对值方程的通解 若 （），则： 2. 绝对值方程的一般形式 若 （），则： 3. 解题步骤 ① 将绝对值符号内的式子视为一个整体。 ② 去掉绝对值，得到两个一元一次方程。 ③ 分别求解，检验是否满足原方程。 4. 易错提醒 ① 忘记分类讨论，只取正数解。 ② 解出两个解后，未验证是否满足原方程。 ③ 当 时，方程无解，误认为仍有解。 【典例1】 【答案】C 【详解】解：绝对值等于5的数是5或． 【变式1-1】 【答案】 【分析】根据绝对值的定义，绝对值等于正数的数有两个，且这两个数互为相反数，据此求解． 【详解】解：若，则． 【变式1-2】 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式1-3】 【答案】3 【分析】根据绝对值的定义得到的所有可能取值，再结合即可得． 【详解】解：∵， ∴或， 又∵， ∴． 【变式1-4】 【答案】 负号 正号 【分析】根据有理数的正负定义与绝对值的性质，直接判断或计算各空结果即可． 【详解】解：（1）的正负号是负号，绝对值是； （2）10.5的正负号是正号，绝对值是； （3）绝对值是7的正数是； （4）绝对值是5.1的负数是． ▌题型03 非负性应用（绝对值+平方=0） 1. 非负性原理 绝对值和平方（偶次幂）都是非负的，即： 2. “和为0”型问题 若若干个非负数的和为0，则每一个非负数都必须为0： 3. 常见形式 4. 易错提醒 ① 只利用了绝对值的非负性，忽略了平方（偶次幂）的非负性。 ② 平方项中变量求值时，忘记考虑正负号（平方后相等，原数可能互为相反数）。 ③ 将“和为0”误认为“和为常数”来处理。 【典例1】 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 【变式1-1】 【答案】 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为： 且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 【变式1-2】 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出的值，然后将它们的值代入中求解即可． 【详解】， ， 解得， ． 【变式1-3】 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 【变式1-4】 【答案】 【分析】根据题意得到，求得，，然后将原式变形为，然后化简求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴原式 ． ▌题型04 含绝对值的不等式比较大小 1. 绝对值与大小比较 对于任意实数 ，，且 。 2. 含绝对值的不等式 ① （）。 ② （）。 ③ （） 或 。 ④ （） 或 。 3. 解题策略 ① 利用数轴，将绝对值转化为距离，直观判断大小。 ② 去绝对值时，根据绝对值内部式子的正负分类讨论。 ③ 多个绝对值比较时，可取特殊值代入排除。 4. 易错提醒 ① 解 时，只写出 ，遗漏 。 ② 解 时，误写成 （这是小于号的解集）。 ③ 多个绝对值比较时，代入特殊值选取不当导致判断错误。 【典例1】 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 【变式1-1】 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 【变式1-2】 【答案】(1)由题意，在数轴上标出表示其余各数的点，如图 (2) 【分析】（1）化简各数，再在数轴上标出各点即可； （2）根据数轴各点所在的位置，比较各数大小即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：由数轴可知， 【变式1-3】 【答案】(1) 正确 (2) 正确 (3) 错误 (4) 错误 【分析】先利用绝对值的性质，去掉每个式子中的绝对值符号，计算出两边的具体数值．如果是正数，绝对值是它本身；如果是负数，绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．再将得到的两个数值进行大小比较，判断给出的不等关系是否成立。比较分数大小时可以用通分的方法，比较小数时直接按照小数比较规则判断． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴；原式大小比较正确． （2）解：，， ∵， ∴；原式大小比较正确． （3）解：，， ∵分子相同的正分数，分母越大分数越小， ∴， ∴， ∴不成立，比较错误． （4）解：，， ∵， ∴， ∴不成立，比较错误． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（3）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可； （2）正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，结合正数大于负数可得答案； （4）讨论的取值范围，进而确定的取值范围，结合正数大于负数可得答案． 【详解】（1）解： ∵ 正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0， ∴ 当时，成立； （2）解：∵ 当时，，不满足， 当时，，满足条件， ∴ 当时，成立； （3）解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，0的相反数为0， ∴ 当时，成立； （4）解：当时，， ∵正数大于负数， ∴此时满足； 当时，， ∴此时不满足； 当时，， ∴此时不满足； 综上所述，当时，． ▌题型05 绝对值化简（不含参数） 1. 化简步骤 ① 判断绝对值内部的整体符号（正、负、零）。 ② 若内部为非负数，直接去掉绝对值。 ③ 若内部为负数，去掉绝对值后整体取相反数（括号前加负号）。 2. 常见化简形式 ① （因为 ）。 ② 3. 多重绝对值化简 从内向外逐层判断符号，逐层去掉绝对值。 4. 易错提醒 ① 不判断符号直接去掉绝对值。 ② 内部为负数时，只在前面加负号，未将内部整体用括号括起。 ③ 多重绝对值化简时，外层判断时忽略了内层已经化简后的结果。 【典例1】 【答案】C 【详解】解：，则 ． 【变式1-1】 【答案】． 【详解】解：根据绝对值的性质，一个负数的绝对值是它的相反数， ． 【变式1-2】 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义． 根据任何数的绝对值均为0或正数作答即可． 【详解】解：的绝对值是． 故答案为：． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． ▌题型06 绝对值化简（含参数分类讨论） 1. 分类讨论的依据 含参数的绝对值化简，关键是判断绝对值内部的符号。由于参数取值范围未知，需根据参数的不同取值范围，分情况讨论绝对值内部的正负性，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号。 2. 分类讨论的步骤 ① 确定临界点：令绝对值内部的代数式等于0，解出参数的临界值。 ② 划分区间：用临界值将参数的取值范围分成若干个区间。 ③ 分段化简：在每个区间内确定绝对值内部的符号，按定义去掉绝对值。 ④ 合并结果：将各段的结果用分段的形式呈现。 3. 含多个绝对值时的处理 若有多个绝对值，需同时考虑各个绝对值内部的符号，通常采用“零点分段法”，将所有临界值在数轴上标出，将数轴分成若干区间，在每个区间内所有绝对值内部的符号均可唯一确定。 4. 易错提醒 ① 分类讨论时区间端点归属混乱。 ② 求零点时漏解或解错。 ③ 分段化简后合并时，未按参数从小到大的顺序整理各段结果。 【典例1】 【答案】(1)1， (2)2或 【分析】本题考查了有理数的绝对值和有理数的运算，正确理解题意、熟练掌握有理数的相关知识是解题的关键； （1）先化简绝对值，再计算除法即可； （2）由可得或，再分两种情况结合绝对值的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则， 故答案为：1，． （2）解：当，则或， 当时，； 当时，； 综上，的值是2或． 【变式1-1】 【答案】（1）1，﹣1；（2）＞；(3)1. 【分析】（1）根据即可求出答案． （2）根据|a|＜|c|可知由于a+b+c＝0，所以b＞0． （3）由于a+b+c＝0，所以代入原式即可求出答案． 【详解】解：（1）∵a＞0， ∴ ∵c＜0， ∴ （2）∵|a|＜|c|， ∴ ∴ （3）原式 ＝1， 故答案为（1）1，﹣1；（2）＞； 【点睛】本题考查绝对值的性质，解题的关键是正确理解绝对值的意义，本题属于基础题型． 【变式1-2】 【答案】4 【分析】本题主要考查了绝对值的性质和意义， 根据各个代数式中x的系数，通过添加“+”或“﹣”号，使合并后x项的系数为0，即可解答． 【详解】解：因为操作后化简的结果是常数，即x的系数为0， 则|或. 故答案为：4． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 【变式1-4】 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质求出x、y的值，然后代值计算即可； （2）先根据题意得到，由此化简绝对值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：由题意得：，， ∴， ∴ ． ▌题型07 多个绝对值和的最值（零点分段） 1. 几何意义法求最值 多个绝对值的和表示数轴上一点到多个定点的距离之和。 2. 最值规律（奇偶性法则） ① 若 为奇数，当 取最中间的那个定点时，和取得最小值。 ② 若 为偶数，当 取最中间两个定点之间的任意值时，和取得最小值。 3. 代数法（零点分段）求最值 按零点分段化简，逐段分析每一段，确定各段的最小值，再取全局最小值。 4. 易错提醒 ① 只凭感觉判断最值，未严格证明。 ② 分段化简后，未逐一比较各段的最小值。 ③ 忽视 取区间端点或区间内部时的不同情况。 【典例1】 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，熟练掌握绝对值的性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 根据零点分段法和绝对值的性质，分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：依题意，和分别为和的零点值， 当时， ； 当时，； 当时，； 综上所述，原式． 【变式1-1】 【答案】(1)2 (2)或3 (3) 【分析】（1）根据，可知，，化简即可； （2）根据每个绝对值的零点，分三种情况，分别化简即可； （3）根据每个绝对值的零点，分四种情况，分别化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∴． 故答案为：2． （2）解：令，，解得． 分三种情况讨论： ①当时， ∴原式=． 解得． ②当时， ∴原式=． 解得，不合题意舍去． ③当时， ∴原式=． 解得． ∴． 故答案为：1或3． （3）解：令． 解得． 分四种情况讨论： ①当时， ∴原式=； ②当时， ∴原式=； ③当时， ∴原式=； ④当时， ∴原式=． 综上，． 【点睛】本题考查绝对值的化简，解题的关键是理解零点的应用． 【变式1-2】 【答案】（1）与4分别为的零点值；（2）；（3）有最小值，最小值为． 【分析】本题主要考查了整式的加减，绝对值，相反数，数轴等有关知识，正确理解题干中的方法和解题思想是解题的关键． （1）利用零点值的定义解答即可； （2）利用题干【材料一】的方法解答即可； （3）利用【材料二】中的方法和（2）的结论解答即可． 【详解】解：（1）令和， 求得，， ∴与4分别为和的零点值． （2）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． ∴； （3）有最小值，为． 由【材料二】对于任意有理数x，表示x的点，到数轴上表示和4的两个点的距离之和，当时，有最小值为． 【变式1-3】 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分两种情况讨论，和； （2）分三种情况讨论，，，． 【详解】（1）分两种情况： 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 原方程的解为：或； （2）分三种情况讨论： 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，符合， 当时，原方程可化为：，解得：，不符合， 原方程的解为：或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，数轴，绝对值，熟练准确的计算是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【变式1-4】 【答案】(1)3， (2)当时，；当时，；当时， (3)或 (4)2025， 【分析】（1）令和，再解方程可得答案； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，合并同类项即可； （3） 分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，建立一元一次方程，再解方程即可； （4）先求解零点值，，，，再分五种情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，再化简绝对值，从而可得答案． 【详解】（1）解：令和， 解得：和， 故答案为：，； （2）当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，． （3）当时，， 解得； 当时，， 方程无解； 当时，， 解得； ∴方程的解为或． （4）中的零点值分别为： ，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 显然，当时，原式取得最小值，最小值为2025， 【点睛】本题是材料阅读题，考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解零点值的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． ▌题型08 绝对值创新型问题 1. 绝对值与数轴结合 创新型问题常将绝对值与数轴上的距离、折叠、动点等知识结合，考查数形结合思想。 2. 绝对值与定义新运算 通过新定义运算（如 等），将绝对值运算融入新规则中，需按定义严格转化。 3. 绝对值与规律探究 观察多个绝对值式子的规律（如裂项相消），利用规律进行化简或求值。 4. 易错提醒 ① 对新定义理解偏差，代入时遗漏或重复运算。 ② 数形结合时，数轴上的点与数的对应关系搞混。 ③ 规律探究时，前几项归纳的规律不具代表性，需验证更多项。 【典例1】 【答案】 （1）由题意得， “⊕”运算的运算法则如下：同号两数进行“⊕”运算，结果为两数的差的绝对值；异号两数进行“⊕”运算，结果为两数差的绝对值的相反数；一个数与0进行运算“⊕”运算和0与一个数进行运算“⊕”运算，结果为原数． （2）4； （3）交换律（为有理数）成立，理由如下： 若a，b同号，，， ； 若a，b异号，，， ； 若，，，， ； 若，，，， ； 若，，，， 综上，交换律交换律（为有理数）成立， 【分析】（1）依据给出的算式归纳即可； （2）利用（1）中归纳的法则解答即可； （3）利用（1）中归纳的法则解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，熟练掌握新定义逼格熟练应用是解题的关键． 【详解】解：（1）略 （2） ； （3）略 【变式1-1】 【答案】（1） ；（2）或4；（3）59或 【分析】本题主要考查了实数和数轴，绝对值的几何意义，两点之间的距离，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （2）利用绝对值的几何意义进行求解即可； （3）根据点之间的距离求出表示的数，再利用两点之间的距离表示出表示的数，最后利用有理数的加法法则进行求解即可． 【详解】解：（1）的几何意义是数轴上表示数与数两点之间的距离， 故答案为：；      （2）根据题意得，表示数与数两点之间的距离和数与数3两点之间的距离之和为7， 和3两点之间的距离为， ∴或，且到的距离为或到3的距离为， ∴或， 故答案为：或4； （3）因为点到原点的距离为20，所以或， 因为数轴上从左到右有点、、，其中点与点之间的距离为2个单位长度，点与点之间的距离为1个单位长度， 所以，， 当时，，， 此时； 当时，，， 此时； 综上，的值为59或． 【变式1-2】 【答案】（1）3，4，x，； （2）探索材料2（填空）： ①如图： 则当材料供应点P应设在A与B之间，P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小， 故答案为：①A与B之间；②B处；③之间． （3）①1；3、4；②8，；③16；1、2、3、4． 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离的意义、绝对值化简等知识点，灵活运用数形结合思想求最小的距离之和是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离以及绝对值的意义求解即可； （2）①通过观察，比较可得点P设在A与B之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长即可；②通过观察，比较可得点P应设在B处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长；③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； （3）①结合（2）中的①，可得最小距离为3和4之间的距离；②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离；③结合（2）中的③，可得最小距离为和6与1和4的距离之和． 【详解】解：（1）探索材料1（填空）： ，， 的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离． 故答案为：3，4，x，． （2） 略 （3）结论应用（填空）： ①代数式表示x到3的距离与x到4的距离之和， ∴的最小值是，所有x的整数值为3、4． 故答案为：1；3、4； ②代数式表示x到的距离与x到与x到2的距离之和， ∴的最小值是，此时x的值为． 故答案为：8，； ③代数式表示x到的距离与x到4与x到1与x到6的距离之和， ∴最小值是．此时x的所有整数值是1到4之间的整数，即1、2、3、4． 故答案为：；1、2、3、4． 【变式1-3】 【答案】(1)①② (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了化简绝对值，运用数轴判断式子的符号，有理数的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据条件要求化简，即可作答； （2）根据两个数的大小关系化简绝对值即可； （3）结合数轴得出，然后进行化简绝对值即可； （4）分别化简绝对值，再进行加减混合运算，即可作答． 【详解】（1）解：①；； 故答案为：，； （2）解：当时，；当时，； 故答案为：，； （3）解：根据数轴得，， ∴， 故答案为：； （4）解： ． 【变式1-4】 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了规律型-数字的变化类，绝对值的非负性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据规律可得第个算式； （2）根据规律将各项展开，然后拆项相加互相抵消即可得出结果； （3）先根据绝对值的非负性求得a和b的值，再模仿上述规律将各项展开，拆项相加即可． 【详解】（1）解：， ， ， …， ∴第n个等式是， 故答案为：，； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $