4.1-4.2 整式的加减 专项训练 2025--2026学年人教版七年级数学上册

第四章 整式的加减 专题1 单项式 方法提炼 单项式的概念：单独的数、字母、数或字母的积叫做单项式。 单项式中的数字因数叫做单项式的系数。 一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 典例剖析 【例1】下列代数式中，属于单项式的是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 【例2】单项式的系数与次数分别是（ ） A. -5，4　　B. 5，3　　C. -5，3　　D. 5，4 实战演练 1. 下列各式：中，是单项式的有（ ） A. 7个　　B. 6个　　C. 5个　　D. 4个 2. 单项式的系数是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 3. 单项式的次数是（ ） A. 　　B. 　　C. 2　　D. 4 4. 已知单项式与的次数相同。 （1）求m的值； （2）当x=-9，y=-2时，求单项式的值。 专题2 多项式 方法提炼 多项式的概念：几个单项式的和叫多项式。 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 典例剖析 【例1】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的大括号中。 单项式：{； 多项式：{。 【例2】对于多项式，下列说法正确的是（ ） A. 最高次项是2xy²　　B. 一次项系数是2 C. 常数项是1　　D. 是二次四项式 实战演练 1. 多项式的项数及次数分别是（ ） A. 3，3　　B. 3，2　　C. 2，3　　D. 2，2 2. 多项式按x的降幂排列正确的是（ ） A. 3x²y³-2x³y+2y²-6x　　B. 2y²-6x+3x²y³-2x³y C. -2x³y+3x²y³-6x+2y²　　D. 2x³y+3x²y³-6x+2y² 3. 多项式是________次________项式。 4. 有一组多项式：a+b²，a²-b⁴，a³+b⁶，a⁴-b⁸，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为________。 5. 若多项式是关于x，y的三次多项式，求mn的值。 专题3 去括号与添括号 方法提炼 去括号：注意括号前的符号，如果为正，则可直接去括号，如果为负，则去括号后每一项都需要变号； 添括号：注意添括号前的符号，如果为正，则可直接添括号，如果为负，则添括号后每一项都需要变号。 典例剖析 【例1】把去括号得（ ） A. -x+y-z　　B. -x-y-z　　C. -x+y+z　　D. -x-y+z 【例2】下列添括号正确的是（ ） A. a-2b+3c=a-(2b+3c)　　B. a-b-c=a-(b-c) C. -a+b-c=-(a-b+c)　　D. c+2a-b=c+2(a-b) 【例3】化简：=________。 实战演练 1. 下列去括号正确的是（ ） A. a-(b+c-d)=a-b-c+d　　B. (a+1)-(-b+c)=a+1+b+c C. a-(2a-b+c)=a-2a-b+c　　D. -(4a+3b-5c)=-4a+3b-5c 2. 下列变形中，错误的是（ ） A. m³-(2m-n-p)=m³-2m+n+p　　B. m-(n+q-p)=m-n+q-p C. -(-3m)-[5n-(2p-1)]=3m-5n+2p-1　　D. (m+1)+(-n+p)=m+1-n+p 3. 不改变的值，把括号前的“-”号变成“+”号，结果是（ ） A. -x+2(y-3z)　　B. -x+2(-y-3z) C. x+2(y+3z)　　D. -x+2(-y+3z) 4. 以下是马小虎同学化简代数式的过程。 (a²b+4ab)-3(ab-a²b) =a²b+4ab-3ab-3a²b…………第一步， =a²b-3a²b+4ab-3ab…………第二步， =ab-2a²b…………第三步。 （1）马小虎同学解答过程在第________步开始出错，出错原因是________； （2）请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程。 专题4 化简求值 方法提炼 选择合适的整体，运用整体思想进行化简求值。 典例剖析 【例1】如果，那么的值为________。 【例2】化简并求值：，其中x=2。 解：原式=2x-1-2+4x=6x-3， 当x=2时，原式=6×2-3=9。 实战演练 1. 如图，若a-b=4，则左边长方形与右边长方形面积的差为________。 2. 已知a+b=2，c+d=3，则的值为________。 3. 已知，。 （1）求M-N； （2）当x=-1时，求3M-(2M+3N)的值。 专题5 “无关”与“不含”问题 方法提炼 “无关”“不含”就是该项或含有字母的项的系数为零。 典例剖析 【例1】若代数式的值与x的取值无关，则m+n的值为（ ） A. -3　　B. 1　　C. -1　　D. 3 【例2】若多项式中不含xy项，则a的值为（ ） A. 2　　B. -2　　C. 0　　D. 1 实战演练 1. 已知，，其中m为常数，若A+2B的值与x的取值无关，求m的值。 2. 已知无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值12，求m+n的值。 专题6 利用数轴化简绝对值 方法提炼 先通过数轴来判断绝对值内式子与零的大小关系，再去绝对值化简。 典例剖析 【例1】已知a，b，c在数轴上的位置如图，则=（ ） A. 0　　B. 2a+2b　　C. 2b-2c　　D. 2a+2c 实战演练 1. 已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中|a|<|c|，化简：。 2. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：。 3. 已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：。 专题7 整式加减与面积问题 方法提炼 挖掘隐藏线段关系与数量关系，用式子表达未知的量。 典例剖析 【例1】如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一个长方形中，则图1与图2中的阴影部分周长的差为________。 实战演练 1. 如图，公园有一块长为(2a-1)米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来。 （1）花圃的宽AB为米，花圃的长BC为米；（用含a，b的式子表示） （2）求篱笆的总长度；（用含a，b的式子表示） （3）若a=30，b=5，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆的总价。 专题8 整式加减的综合应用 方法提炼 理解题意，利用整式的加减来解决实际问题。 典例剖析 【例1】某商户去批发市场购买了单价为m元的甲糖果20斤和单价为n元的乙糖果10斤，然后将两种糖果混合，以单价元全部卖出。若m>n，则关于该商户的盈亏情况，判断正确的是（ ） A. 赔了　　B. 赚了　　C. 不赔不赚　　D. 无法确定 实战演练 1. 有一个魔术，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于6张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出4张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出6张，放入中间一堆； 第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆。 这时，魔术师准确说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（ ） A. 10　　B. 12　　C. 14　　D. 16 2. 某展览馆周日仅上午开放可供游客观展，已知八点钟开馆时进入游客(a+2b)人，中途陆陆续续有的游客离开，又进来若干游客，十一点时馆内共有游客(3a+3b)人。 （1）此时间段内馆内不变的游客有多少人； （2）求中途进来的游客有多少人；（用含有a，b的式子表示） （3）当a=3，b=9时，中途进来的游客有多少人？ 专题9多项式中整体思想 方法提炼 整体思想：将整个式子看作一个整体，再整体替换或求解的方法。 典例剖析 【例1】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。如：已知m+n=-2，mn=-4，则2(mn-3m)-3(2n-mn)的值为（ ） A. -2　　B. -8　　C. -6　　D. -4 【例2】已知x²-2y=-4，则2x²-4y+2033的值为________。 【例3】已知a²+2ab=2，ab-2b²=-1，则代数式2a²+3ab+2b²的值为________。 实战演练 1. 若代数式x²+x+1的值为3，则代数式2x²+2x-5的值为________。 2. 已知a-2b=7，2b-c的值为最大的负整数，则3a+4b-2(3b+c)的值为________。 3. 阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)。“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。尝试应用： （1）把(a-b)²看成一个整体，合并3(a-b)²-6(a-b)²+5(a-b)²=________； （2）已知x²-2y=4，分别求①3x²-6y-2的值；②4-2x²+4y的值； （3）已知a-5b=3，5b-3c=-5，3c-d=10，求(a-3c)+(5b-2d)-(5b-6c)的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减 专题1 单项式 方法提炼 单项式的概念：单独的数、字母、数或字母的积叫做单项式。 单项式中的数字因数叫做单项式的系数。 一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。 典例剖析 【例1】下列代数式中，属于单项式的是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 答案：A 【例2】单项式的系数与次数分别是（ ） A. -5，4　　B. 5，3　　C. -5，3　　D. 5，4 答案：A 实战演练 1. 下列各式：中，是单项式的有（ ） A. 7个　　B. 6个　　C. 5个　　D. 4个 答案：D 2. 单项式的系数是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 答案：B 3. 单项式的次数是（ ） A. 　　B. 　　C. 2　　D. 4 答案：D 4. 已知单项式与的次数相同。 （1）求m的值； （2）当x=-9，y=-2时，求单项式的值。 解：（1）根据题意得：1+2m-1=2+2，解得m=2。 （2）=，则当x=-9，y=-2时，原式==-48。 答案： 专题2 多项式 方法提炼 多项式的概念：几个单项式的和叫多项式。 每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 典例剖析 【例1】下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？分别填入所属的大括号中。 单项式：{； 多项式：{。 【例2】对于多项式，下列说法正确的是（ ） A. 最高次项是2xy²　　B. 一次项系数是2 C. 常数项是1　　D. 是二次四项式 答案：A 实战演练 1. 多项式的项数及次数分别是（ ） A. 3，3　　B. 3，2　　C. 2，3　　D. 2，2 答案：A 2. 多项式按x的降幂排列正确的是（ ） A. 3x²y³-2x³y+2y²-6x　　B. 2y²-6x+3x²y³-2x³y C. -2x³y+3x²y³-6x+2y²　　D. 2x³y+3x²y³-6x+2y² 答案：C 3. 多项式是________次________项式。 答案：二　三 4. 有一组多项式：a+b²，a²-b⁴，a³+b⁶，a⁴-b⁸，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为________。 答案： 5. 若多项式是关于x，y的三次多项式，求mn的值。 解：∵多项式是关于x，y的三次多项式， ∴n-2=0，1+|m-n|=3， ∴n=2，|m-n|=2， ∴m-n=2或n-m=2， ∴m=4或m=0， ∴mn=0或8。 答案：mn=0或8 专题3 去括号与添括号 方法提炼 去括号：注意括号前的符号，如果为正，则可直接去括号，如果为负，则去括号后每一项都需要变号； 添括号：注意添括号前的符号，如果为正，则可直接添括号，如果为负，则添括号后每一项都需要变号。 典例剖析 【例1】把去括号得（ ） A. -x+y-z　　B. -x-y-z　　C. -x+y+z　　D. -x-y+z 答案：B 【例2】下列添括号正确的是（ ） A. a-2b+3c=a-(2b+3c)　　B. a-b-c=a-(b-c) C. -a+b-c=-(a-b+c)　　D. c+2a-b=c+2(a-b) 答案：C 【例3】化简：=________。 答案： 实战演练 1. 下列去括号正确的是（ ） A. a-(b+c-d)=a-b-c+d　　B. (a+1)-(-b+c)=a+1+b+c C. a-(2a-b+c)=a-2a-b+c　　D. -(4a+3b-5c)=-4a+3b-5c 答案：A 2. 下列变形中，错误的是（ ） A. m³-(2m-n-p)=m³-2m+n+p　　B. m-(n+q-p)=m-n+q-p C. -(-3m)-[5n-(2p-1)]=3m-5n+2p-1　　D. (m+1)+(-n+p)=m+1-n+p 答案：B 3. 不改变的值，把括号前的“-”号变成“+”号，结果是（ ） A. -x+2(y-3z)　　B. -x+2(-y-3z) C. x+2(y+3z)　　D. -x+2(-y+3z) 答案：D 4. 以下是马小虎同学化简代数式的过程。 (a²b+4ab)-3(ab-a²b) =a²b+4ab-3ab-3a²b…………第一步， =a²b-3a²b+4ab-3ab…………第二步， =ab-2a²b…………第三步。 （1）马小虎同学解答过程在第________步开始出错，出错原因是________； （2）请你帮助马小虎同学写出正确的解答过程。 解：（2）(a²b+4ab)-3(ab-a²b) =a²b+4ab-3ab+3a²b =a²b+3a²b+4ab-3ab =4a²b+ab。 答案：（1）一；去掉括号时，没有变号（2）4a²b+ab 专题4 化简求值 方法提炼 选择合适的整体，运用整体思想进行化简求值。 典例剖析 【例1】如果，那么的值为________。 答案： 【例2】化简并求值：，其中x=2。 解：原式=2x-1-2+4x=6x-3， 当x=2时，原式=6×2-3=9。 答案： 实战演练 1. 如图，若a-b=4，则左边长方形与右边长方形面积的差为________。 答案： 2. 已知a+b=2，c+d=3，则的值为________。 答案： 3. 已知，。 （1）求M-N； （2）当x=-1时，求3M-(2M+3N)的值。 解：（1）∵M=5x²-2x-1，N=3x²-2x-5， ∴M-N=(5x²-2x-1)-(3x²-2x-5)=5x²-2x-1-3x²+2x+5=2x²+4。 （2）3M-(2M+3N)=M-3N=5x²-2x-1-3(3x²-2x-5)=-4x²+4x+14， 当x=-1时，3M-(2M+3N)=-4×(-1)²+4×(-1)+14=6。 答案：（1）2x²+4（2）6 专题5 “无关”与“不含”问题 方法提炼 “无关”“不含”就是该项或含有字母的项的系数为零。 典例剖析 【例1】若代数式的值与x的取值无关，则m+n的值为（ ） A. -3　　B. 1　　C. -1　　D. 3 答案：C 【例2】若多项式中不含xy项，则a的值为（ ） A. 2　　B. -2　　C. 0　　D. 1 答案：A 实战演练 1. 已知，，其中m为常数，若A+2B的值与x的取值无关，求m的值。 解：A+2B=3mx-7x+1+2(2mx+3)=3mx-7x+1+4mx+6=(7m-7)x+7。 ∵A+2B的值与x的取值无关，∴7m-7=0，解得m=1。 答案： 2. 已知无论x，y取什么值，多项式的值都等于定值12，求m+n的值。 解：(3x²-my+9)-(nx²+5y-3)=3x²-my+9-nx²-5y+3=(3-n)x²-(m+5)y+12。 ∵多项式的值等于定值12， ∴3-n=0，m+5=0，解得：n=3，m=-5， ∴m+n=-5+3=-2。 答案： 专题6 利用数轴化简绝对值 方法提炼 先通过数轴来判断绝对值内式子与零的大小关系，再去绝对值化简。 典例剖析 【例1】已知a，b，c在数轴上的位置如图，则=（ ） A. 0　　B. 2a+2b　　C. 2b-2c　　D. 2a+2c 答案：A 实战演练 1. 已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，其中|a|<|c|，化简：。 解：由题意得：c<b<0<a，|a|<|c|， ∴b-c>0，a+c<0，b-a<0， ∴|b-c|-|a+c|+2|b-a|=b-c-[-(a+c)]+2(a-b)=3a-b。 答案： 2. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：。 解：由数轴上点的位置可知a<0<b<c，|a|>|b|， ∴a+b<0，a-2c<0，b-c<0， ∴3|a+b|-|a-2c|+2|b-c|=-3(a+b)+(a-2c)-2(b-c) =-3a-3b+a-2c-2b+2c=-2a-5b。 答案： 3. 已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：。 解：由数轴上点的位置关系，得a<0<b<c，|a|>|b|， ∴a+b<0，b+c>0，a-b<0，c-b>0， |a+b|-3|b+c|+2|a-b|-|c-b|=-(a+b)-3(b+c)+2(b-a)-(c-b) =-a-b-3b-3c+2b-2a-c+b=-3a-b-4c。 答案： 专题7 整式加减与面积问题 方法提炼 挖掘隐藏线段关系与数量关系，用式子表达未知的量。 典例剖析 【例1】如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一个长方形中，则图1与图2中的阴影部分周长的差为________。 解：长方形的长为a+b+c，宽为a-c+b， 故图1与图2中的阴影部分周长的差为[2(a+b+c)+2(a-c+b-c)]-[2(a+b+c-b)+2(a-c+b)]=2b-2c。 答案： 实战演练 1. 如图，公园有一块长为(2a-1)米，宽为a米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是b米的小路，余下部分设计成花圃ABCD，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来。 （1）花圃的宽AB为米，花圃的长BC为米；（用含a，b的式子表示） （2）求篱笆的总长度；（用含a，b的式子表示） （3）若a=30，b=5，篱笆的单价为60元/米，请计算篱笆的总价。 解：（2）由图可得，花圃的长为(2a-1-2b)米，宽为(a-b)米， ∴篱笆的总长度为(2a-1-2b)+2(a-b)=2a-1-2b+2a-2b=(4a-4b-1)米。 （3）当a=30，b=5时， 篱笆的总价为(4a-4b-1)×60=(4×30-4×5-1)×60=5940（元）。 答：篱笆的总价为5940元。 答案：（1）(a-b)；(2a-2b-1)（2）(4a-4b-1)米（3）5940元 专题8 整式加减的综合应用 方法提炼 理解题意，利用整式的加减来解决实际问题。 典例剖析 【例1】某商户去批发市场购买了单价为m元的甲糖果20斤和单价为n元的乙糖果10斤，然后将两种糖果混合，以单价元全部卖出。若m>n，则关于该商户的盈亏情况，判断正确的是（ ） A. 赔了　　B. 赚了　　C. 不赔不赚　　D. 无法确定 答案：A 实战演练 1. 有一个魔术，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于6张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出4张，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出6张，放入中间一堆； 第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆。 这时，魔术师准确说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（ ） A. 10　　B. 12　　C. 14　　D. 16 答案：D 2. 某展览馆周日仅上午开放可供游客观展，已知八点钟开馆时进入游客(a+2b)人，中途陆陆续续有的游客离开，又进来若干游客，十一点时馆内共有游客(3a+3b)人。 （1）此时间段内馆内不变的游客有多少人； （2）求中途进来的游客有多少人；（用含有a，b的式子表示） （3）当a=3，b=9时，中途进来的游客有多少人？ 解：（1）=，故此时间段内馆内不变的游客有人。 （2）=，故中途进来的游客有人。 （3）当a=3，b=9时，原式=，故中途进来的游客有22人。 答案：（1） 专题9多项式中整体思想 方法提炼 整体思想：将整个式子看作一个整体，再整体替换或求解的方法。 典例剖析 【例1】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。如：已知m+n=-2，mn=-4，则2(mn-3m)-3(2n-mn)的值为（ ） A. -2　　B. -8　　C. -6　　D. -4 答案：B 【例2】已知x²-2y=-4，则2x²-4y+2033的值为________。 答案： 【例3】已知a²+2ab=2，ab-2b²=-1，则代数式2a²+3ab+2b²的值为________。 答案： 实战演练 1. 若代数式x²+x+1的值为3，则代数式2x²+2x-5的值为________。 答案： 2. 已知a-2b=7，2b-c的值为最大的负整数，则3a+4b-2(3b+c)的值为________。 答案： 3. 阅读材料：我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)。“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。尝试应用： （1）把(a-b)²看成一个整体，合并3(a-b)²-6(a-b)²+5(a-b)²=________； 答案： （2）已知x²-2y=4，分别求①3x²-6y-2的值；②4-2x²+4y的值； （3）已知a-5b=3，5b-3c=-5，3c-d=10，求(a-3c)+(5b-2d)-(5b-6c)的值。 解：（2）∵x²-2y=4， ∴①3x²-6y-2=3(x²-2y)-2=3×4-2=10； ②4-2x²+4y=4-2(x²-2y)=4-8=-4。 （3）∵a-5b=3，5b-3c=-5，3c-d=10， ∴(a-3c)+(5b-2d)-(5b-6c)=a-3c+5b-2d-5b+6c=(a-5b)+(5b-3c)+2(3c-d)=3+(-5)+2×10=18。 答案：（1）2(a-b)²（2）①10；②-4（3）18 学科网（北京）股份有限公司 $