专题05 代数式与代数式求值的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”为框架，系统提炼代数式求值五类题型的核心解法，构建从直接代入到规律探究的完整思维链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|列式抓关键词、化简代入、整体代换|从代数式表示到求值的基础方法链| |题型归纳|5题型（每题型含典例+3变式）|直接代入法、整体代入法、通项公式法、程序顺逆推法|从具体数值到抽象规律的认知进阶| |压轴挑战|20题（选择+填空+解答）|综合运用多法解决复杂问题|知识横向整合与思维深度拓展|

专题05 代数式与代数式求值的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 题型二、已知式子的值，求代数式的值 题型三、用代数式表示数的规律 题型四、用代数式表示图形的规律 题型五、程序流程图与代数式求值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及列代数式表示数量关系、化简代数式，以及直接代入、整体代入或程序框图求值。 - 解题方法：列式时抓关键词（和差倍分、平方、倒数）；求值先化简再代入；整体代入法将已知式子看作整体进行代换（如x2+x=3，则2x2+2x=6）。 - 易错提醒：列式时“a与b的平方和”与“a与b和的平方”混淆；代入负数或分数时漏加括号；整体代入时乘系数处理不当；化简中合并同类项符号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 典例1 （26-27七年级·全国·暑假作业）若，且，则的值为___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分别计算的值即可． 【详解】解：，， ，， ， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； 的值为或． 题型模版 1.特征：给定字母的具体数值（或多个字母值），直接代入代数式进行计算。 2.方法：将字母的值代入代数式，按运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算得结果，注意符号。 变式1-1（2026·贵州遵义·一模）若为有理数，且，则_____． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质求出，代入计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， ∴． 变式1-2（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）代入计算即可求解； （2）代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； （2）解：当时， 原式 ； 变式1-3（25-26七年级下·广西桂林·阶段检测）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 【答案】(1) (2)草坪的面积是平方米 (3)购买草坪的总费用为6200元 【分析】（1）根据正方形面积公式进行计算即可； （2）根据草坪面积=长方形面积-正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简即可； （3）将，，代入（2），计算即可． 【详解】（1）解：花坛的面积为平方米． （2）解：∵， ∴ ， ∴草坪的面积是平方米； （3）解：当，时，， ∴（元）． 答：购买草坪的总费用为6200元． 题型二、已知式子的值，求代数式的值 典例2 （25-26七年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题考查代数式的化简与整体代入思想的应用．通过代数变形将原式转化为与已知条件相关的形式，避免了解方程的繁琐步骤，体现了代数运算中的技巧性与简洁性．关键在于合并同类项后识别出结构中的整体表达式． 【详解】解：原式= = =． 当时， 原式 ． 题型模版 1.特征：已知一个代数式的值，求另一个相关代数式的值，常需整体代入或变形。 2.方法：将已知式看作整体，对所求式进行变形（如乘以系数、加常数），再整体代入计算。 变式2-1（25-26七年级上·宁夏固原·期中）【阅读材料】已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【学以致用】 （1）若，则________； （2）若，求代数式的值； （3）若，求代数式的值． 【拓展延伸】 （4）若，，求代数式的值． 【答案】（1）4；（2）5；（3）4；（4）4 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键． （1）根据，代入计算即可得； （2）根据，代入计算即可得； （3）先求出，再根据，代入计算即可得； （4）根据，代入计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：4． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． （4）∵，， ∴ ． 变式2-2（25-26七年级上·青海西宁·期中）【阅读理解】在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解：小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，求代数式的值． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1)6 (2)1 【分析】本题主要考查了求代数式的值，理解和熟练运用整体思想是解题的关键； （1）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可； （2）将原式变形后，然后整体代入已知条件计算即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时 变式2-3（25-26七年级上·四川眉山·期中）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为 ； 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，则代数式的值为 ； (2)若时，代数式的值为19，当时，则代数式的值为 ； 【拓展应用】 (3)若，则的值为 ； (4)若  ，则代数式的值为_______． 【答案】(1)23 (2) (3) (4) 【分析】本题考查代数式求值，整式加减中的化简求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照题干，利用整体代入法进行求值即可； （2）把代入，得到，再把和代入计算即可； （3）去括号，合并同类项，再利用整体代入法求值即可； （4）将变形，得到，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， 原式； 故答案为：23； （2）解：当时，， 当时，； 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 故答案为：； （4）解：， ，即， ， 故答案为：． 题型三、用代数式表示数的规律 典例3 有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 不难看出，分子部分为从1开始的自然数，分母部分为，据此可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 第个数为：， 故答案为：． 题型模版 1.特征：观察数列或图形变化，用含n的代数式表示第n个数或图形数量。 2.方法：先找相邻项差或比，确定是一次、二次或指数规律，用通项公式（如an+bn²）表示，验证前几项。 变式3-1观察下面一列有规律的数：，，，，，，…根据规律可知第个数应是 ．（为正整数） 【答案】 或 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．找分数的规律时，一定要分别观察分数的分子和分母的规律．观察分数的规律时：第n个的分子是n，分母是分子加1的平方减去1，即 或． 【详解】解：∵ ； ； … 则根据分子和分母的规律可知第n个数为 或． 变式3-2观察下面三行数： ，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，8，，32，，128，…．③ (1)第①行第8个数为______； (2)用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 【答案】(1)256； (2)第①行第n个数为；第②行第n个数为；第③行第n个数为； (3)1． 【分析】本题考查了数的规律探索，用代数式表示规律，求代数式的值，找到规律是解题的关键． （1）根据前面6个数的规律，可写出第7个、第8个数，从而完成解答； （2）找出每行的规律即可完成；第①行：符号是第一个数为负，第二个数为负，且负正相间，数字为2的乘方；第②行：第①行对应的数加1；第③行：第①行对应的数的2倍； （3）由（2）可分别得到行的第2024个数，即x、y、z的值，代入即可得的值． 【详解】（1）解：由规律得：第7个数为，第8个数为256； 故答案为：256； （2）解：第①行第n个数为； 第②行为第①行对应的数加1，即第n个数为； 第③行为第①行对应的数的2倍，即第n个数为； （3）解：由（2），当时，， ． 变式3-3如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探索： （1）根据已知图形、等式找出规律，利用规律求解即可； （2）利用（1）中结论进行简便运算． 【详解】（1）解：图1中， 图2中， 图3中， …… 以此类推，图中，， 故答案为：； （2）解：结合（1）中结论，可知： ． 题型四、用代数式表示图形的规律 典例4 （25-26七年级下·重庆江北·开学考试）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推． (1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ； (2)计算：． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据图形推理即可解得答案； （2）根据图形得出图n中空白部分的面积为．再将代入得出答案即可． 【详解】（1）解：由题知： 图①中阴影部分的面积为：； 图②中阴影部分的面积为：； 图③中阴影部分的面积为：； …， 所以图n中阴影部分的面积为． （2）解：由题知， 图①中空白部分的面积为：； 图②中空白部分的面积为：； 图③中空白部分的面积为：； …， 所以图n中空白部分的面积为：． 当时， ． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，求第n个图形中某元素数量，常涉及等差数列或平方规律。 2.方法：数前几个图形中元素个数，找相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法求通项。 变式4-1（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 【答案】（1）10；（2）49；（3） 【分析】本题考查图形类规律探索，找出图形变化规律是解题的关键． （1）根据前3组数据找出变化规律，利用规律求解； （2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒，由此列方程求解； （3）第n个图形有n层，每层竖放小棒数为 【详解】解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒， 故答案为：10； （2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒， 令， 解得； （3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为， 解得． 变式4-2（25-26七年级上·四川达州·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面： (1)观察图形，填写下表： 图形 （1） （2） （3） … 黑色瓷砖的块数 4 7 … 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 … (2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为________；黑白两种瓷砖的总块数为________（用含n的代数式表示） (3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多3020块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，35 (2)， (3) 解：不能， 理由：假设白色瓷砖的块数比黑色瓷砖的块数多3020块，则可得： ，即， 解得： ∵n为整数， ∴假设不成立，故不能． 【分析】本题考查了图形的变化规律． （1）观察图形可得出第三个图形的黑色瓷砖数量和黑白两种瓷砖数量的总数； （2）通过观察图形找出黑色瓷砖块数、黑白瓷砖总块数的规律即可列出代数式； （3）结合（2）的代数式列出方程，求解方程判断是否为整数，若为整数，则能，否则不能． 【详解】（1）解：由图形（3）可知，黑色瓷砖的块数为10，白色瓷砖的块数为25， ∴黑白两种瓷砖的总块数为， 故答案为：10，35． （2）解：根据表格中的信息可得出：第n个图形中黑色瓷砖的块数为，黑白两种瓷砖的总块数为， 故答案为：，． （3）略 变式4-3（25-26七年级上·陕西西安·期末）【观察思考】 如图，这是由正六边形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正六边形；第2个图案有7个正六边形；第3个图案有10个正六边形；第4个图案有13个正六边形…… 【规律发现】 （1）第5个图案有__________个正六边形． （2）第（是正整数）个图案有__________个正六边形．（用含的式子表示） 【规律应用】 （3）若小明在摆某一个图案时用到了2026个正六边形，请你通过计算判断小明摆的是第几个图案． 【答案】（1）16；（2）；（3）第675个 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据题意得出正六边形个数变化的规律是解题的关键； （1）根据所给图形，依次求出图形中正六边形的个数，发现规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律即可解决问题； （3）结合上面发现的规律进行计算即可． 【详解】解：（1）由所给图形可知， 第1个图案中正六边形的个数为：； 第2个图案中正六边形的个数为：； 第3个图案中正六边形的个数为：； ， 所以第个图案中正六边形的个数为． 当时， ， 即第5个图案中正六边形的个数为16． 故答案为：16； （2）由（1）知， 第个图案中正六边形的个数为． 故答案为：； （3）由得， ， 所以小明摆的是第675个图案． 题型五、程序流程图与代数式求值 典例5 （25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)1 (3)1 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键理解题中的数值转换的运算程序； （1）根据是奇数，然后代入数值转换运算即可； （2）根据是偶数，然后代入数值转换运算即可； （3）由题意易得第1次输出的数为，第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….；由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为； 故答案为：5； （2）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为； 故答案为：1； （3）解：由题意得： 第1次输入的数为8，则第1次输出的数为， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….； 由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现， ∵， ∴第2019次输出的数为1． 题型模版 1.特征：按程序框图的运算顺序，输入值求输出，或逆向求输入，涉及代数式求值。 2.方法：按流程逐步代入计算；逆向则从输出倒推，用逆运算（加→减，乘→除）求输入值。 变式5-1（25-26七年级上·甘肃甘南·阶段检测）如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果； (2)设当输入的值为时输出的值为，当输入的值为时输出的值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据程序框图列代数式及代入求值的能力；解题的关键是准确理解运算顺序，将文字步骤转化为代数表达式，并注意运算符号与代入计算的准确性；易错点是在列式时可能忽略负号或运算顺序错误． （1）先根据框图步骤写出输出结果的代数式； （2）再分别代入给定的值计算和，最后求的值． 【详解】（1）解：根据框图步骤得 （2）解：， 当时， 当时， ， 则． 变式5-2（25-26七年级上·山西运城·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，右面是一组“数值转换机”． (1)图1输出的结果为______________；图2的问号处应为______________； (2)填表； 输入 0 图1的输出 ______________ 图2的输出 ______________ (3)预测图______________（填序号）输出的代数式的值先超过20． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了列代数式、代数式的求值，根据题意正确列式是解题的关键； （1）根据运算程序进行计算，列出代数式即可求解； （2）将和分别代入代数式，进行计算即可求解； （3）将分别代入代数式，进行计算即可求解； 【详解】（1）解：图1输出的结果为；图2的问号处应为， 故答案为：；． （2）解：当时，， 依题意，图2输出的结果为 当时，图2的输出为 故答案为：；． （3）当时， 当时， ∴预测图1输出的代数式的值先超过20． 故答案为：． 变式5-3（25-26七年级上·江苏南京·期中）在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． (1)如图，当输入时，输出 ；如图，第一个运算框“”内应填 ；第二个运算框“”内应填 ． (2)如图，当输入时，输出 ；如图，当输出时，输入的值 ． (3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过（含）时，以元的价格收费；当每月用水量超过时，超过部分以元的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数为每月用水量，输出数为水费． 【答案】(1)；， (2)；42或 (3) 解：设计如框图如图： 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． （1）①由图1列出关系式，将代入计算即可求出值； ②根据即可得到处的结果； （2）①将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为小于，输出即可； ②分两种情况考虑：当大于时，即可得到的值；小于时，根据开方求出负数的值； （3）因为当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以元/吨的价格收费，所以水费收缴分两种情况，和，分别计算，则可以设计计算程序如详解所示． 【详解】（1）解：①； ②∵， ∴先给乘，然后再给输出结果减，即可得到， ∴应填、； 故答案为：，，； （2）解：①当时，， ∵， ∴继续运算， ， ∵， ∴继续运算， ∴， ∵， ∴输出，则； ②若，则，解得， 若，则，解得（正值舍去）， 即输入的值或， 故答案为：或； （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知，，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值，把，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 2．若，则的值为（   ） A．7 B．11 C．13 D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值．将整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．下列表示个位上的数是m，十位上的数是n的式子（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列代数式，根据题意用乘以十位上的数加上个位上的数，即可求解． 【详解】解：表示个位上的数是m，十位上的数是n的式子为， 故选：D． 4．小明用火柴棒摆正方形，图1用了4根火柴棒，图2用了7根火柴棒，图3用了10根火柴棒，……，照此规律摆下去，图n要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，根据已知图形找出变化规律，利用规律列代数式即可． 【详解】解：摆1个正方形，需要4根火柴，可以写成； 摆2个正方形，需要7根火柴，可以写成； 摆3个正方形，需要10根火柴，可以写成； …… 以此类推，图n要用火柴棒的根数为． 故选C． 5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为5， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，即为，，，， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：C． 6．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为，记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形中第n个数的表达式：三角形数，正方形数，五边形数，六边形数，据此可推测的表达式，由此计算等于多少（　　） A．2272 B．1136 C．568 D．284 【答案】C 【分析】本题考查了整式的变化规律，根据题意得出n的二次项系数依次增加，n的一次项系数依次减少，进而得出，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 三角形数， 正方形数， 五边形数， 六边形数， 观察可知，n的二次项系数依次增加，n的一次项系数依次减少， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查偶次方、绝对值的非负性、代数式求值等知识点，理解绝对值、偶次方的非负性是解题的关键． 先根据非负数的性质求得、，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 8．若代数式的值为6，那么代数式：的值等于 ． 【答案】61 【分析】本题考查代数式求值，先求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为6， ∴，则， ∴， 故答案为：61． 9．一组按规律排列的数： 第 （为正 整数）个数是    ． 【答案】 【分析】本题是对数字变化规律的考查，分别根据正负，分子分母的规律得出第个数的规律，即可求解． 【详解】解：观察数字规律，是一负，一正，一负，一正，所以用表示符合； 再观察分母是，，，，是奇数，所以用表示奇数； 最后观察分子是，，，，，后一个是前一个的倍，用表示第个， 所以第个数是． 故答案为：． 10．如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为时，则输出的结果为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了代数式求值，根据运算程序，先列出代数式，将n的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴令， ∴， ∴输出结果30， 故答案为：30． 11．如图1所示，在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，图2所示的是用“列竖式”计算某个两位数的部分过程，这个两位数的个位数字是，则这个两位数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化规律，观察出前两行的数与两位数的十位和个位上的数字的关系是解题的关键． 观察图1可知∶第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补；第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解设这个两位数的十位数字为b，根据图2，利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关系列出方程用a表示出b，然后写出结果． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为b，两位数为， 由题意得，，解得， 所以，这个两位数是． 故答案为：． 12．观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 【答案】 【分析】本题考查有理数和整式的知识，解题的关键是观察等式，得到规律，进行解答． （ 1）根据上述等式可知，减数的分母是被减数分母分子的乘积，分子是被减数分子分母的和，即可得到第六个等式； （ 2）根据上述等式的规律，求解等式的左边等于等式的右边，即可． 【详解】解：（1）∵第个等式：， 第个等式， 第个等式， 第个等式， ∴第个等式为：． 故答案为：． （2）由（ 1）得，第个等式：， 故答案为：． 三、解答题 13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，． (1)写出，，m的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】此题考查了相反数、绝对值、倒数等概念和求代数式的值． （1）根据相反数、绝对值、倒数等概念得到，，； （2）把（1）中的结果分别整体代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，， ∴，， （2）由（1）得： 当时， 当时，． 14．学校办公楼前有一长为m，宽为n的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为a的圆形区域建一个喷泉，两边是长为b，宽为a的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留） (2)当，，，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 【答案】(1) (2)1437 【分析】题目主要考查列代数式及求代数式的值，根据图形列出相应代数式是解题关键． （1）根据阴影部分的面积等于长方形的面积减去圆及两个小长方形的面积即可； （2）将已知值代入（1）中代数式即可． 【详解】（1）解：根据题意得，圆的半径为， ∴； （2）解：当，，，，取3时， ， ∴阴影部分的面积是1437． 15．下图是一个数值转换机的示意图，写出计算过程并填写下表．    (1)请用x、y写出数值转换机的运算过程的代数式． (2)请按要求计算并填空 x －1 0 1 2 y 1 －0.5 0 0.5 输出 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值与程序流程图； （1）根据数值转换机的运算过程即可写出代数式； （2）根据（1）写出的代数式，直接代入即可求得代数式的各值，并填入表格． 【详解】（1）解：由数值转换机的运算知：； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x 0 1 2 y 1 0 输出 1 16．自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①a与b的差的平方：________； ②a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差：________； (2)完成下列表格： a与b的差的平方 a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差 ， ， ， (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？用含有字母的等式表示出来； (4)利用你发现的结论，求的值． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) (4)1 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． （1）①a与b的差是，则差的平方就是；②a与b的平方和是，a，b两数积的2倍是，再作差即可表示； （2）分别将，，，，，代入（1）所得的代数式即可求值填表； （3）根据（2）计算的结果，比较两个式子的大小即可得规律； （4）根据（3）中发现的结论进行计算即可得． 【详解】（1）解：①；②； （2）解：当，时，，； 当，时，， 当，时，， 完成下列表格如下： 与的差的平方 ，两数的平方和与，两数积的2倍的差 ， 9 9 ， 4 4 ， 0 0 （3）解：根据（2）中表格发现：； （4）解： ． 17．将连续奇数1，3，5，7，9………排成如图所示的数表． (1)十字框中的五个数字之和与中间数有什么关系？ (2)将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为a，请你用代数式表示其它四个数，并写出十字框的五个数之和． (3)设中间数为a，十字框中的五个数之和能等于吗？说明理由． 【答案】(1)五个数字之和是中间数的5倍 (2)四个数分别为：；和为 (3)不能，见解析 【分析】此题主要考查列代数式，解题的关键是根据题意发现规律求解． （1）求出数表十字框中的五个数的和即可判断； （2）观察数表中的数可知，上下两数之间相差10，左右两数之间相差2，由中间的数为a，得到其他的数，故可求解； （3）由五个数的和为，得到a的值，再根据其特点进行判断． 【详解】（1）观察数表十字框中的五个数发现， 五个数的和为：． ， 所以十字框中的五个数字之和是中间数15的5倍． （2）观察数表中的数可知， 上下两数之间相差10，左右两数之间相差2， 又因为中间的数为a， 则其它四个数分别为：； 这五个数的和为：． （3）十字框中的五个数之和不能等于2005． 由题知， ， 解得． 又因为401是数表中的最左边一列数， 则其左边没有数了， 所以十字框中的五个数之和不能等于2005． 18．运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ______； (2)已知，，则 ； (3)当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 【答案】(1)6 (2)17 (3) 【分析】本题考查了代数式求值，准确计算是关键． （1）根据整体思想代入计算即可求解； （2）先把原式变形为，再整体代入到所求代数式中即可； （3）根据已知可得，再整体代入到所求代数式中即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵，， ∴； 故答案为：17； （3）解：∵当时，代数式的值为8， ∴， ∴， ∴当时，． 19．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)请观察图形，并填写下列表格； 图形标号 第1个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … ______ 白色方块的个数 4 ______ ______ … ______ (2)第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有多少个？ (3)第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多多少个？（用含n的式子表示） 【答案】(1)，7，10， (2)第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有807个 (3)第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多个 【分析】本题考查了图形的变化规律，仔细观察图形，总结出一般变化规律是解题的关键． （1）根据图形，得出结论，灰色方块每次增加5个，白色方块每次增加3个，分别算出各个数据即可； （2）根据（1）中的规律，分别算出第100个图形中的灰色方块数和第102个图形中的白色方块数，再相加即可； （3）根据（1）中的规律，第个图形中的灰色方块数和第个图形中的白色方块数，再相减即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第2个图形中白色方块数为（个）， 第3个图形中白色方块数为（个）， 第n个图形中灰色方块数为：个，白色方块数为个， 故答案为：，7，10，； （2）解：第100个图形中的灰色方块有（个）， 第102个图形中的白色方块有（个）． （个）． 答：第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有807个； （3）解：第个图形中的灰色方块有个， 第个图形中的白色方块有（个）， （个）． 答：第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多个． 20．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：    第（1）个图形中有2张正方形纸片； 第（2）个图形中有张正方形纸片； 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片； 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： (1)第（6）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）； (2)根据上面的发现我们可以猜想：__________（用含的代数式表示）；根据你的发现计算：． 【答案】(1)42 (2)； 【分析】（1）从已知入手，找到数据和个数之间的关系． （2）通过多个情况，找到规律． 【详解】（1）解：第（6）个图形中有， 故答案为： 42； （2）解：， ， 故答案为： ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 代数式与代数式求值的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 题型二、已知式子的值，求代数式的值 题型三、用代数式表示数的规律 题型四、用代数式表示图形的规律 题型五、程序流程图与代数式求值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及列代数式表示数量关系、化简代数式，以及直接代入、整体代入或程序框图求值。 - 解题方法：列式时抓关键词（和差倍分、平方、倒数）；求值先化简再代入；整体代入法将已知式子看作整体进行代换（如x2+x=3，则2x2+2x=6）。 - 易错提醒：列式时“a与b的平方和”与“a与b和的平方”混淆；代入负数或分数时漏加括号；整体代入时乘系数处理不当；化简中合并同类项符号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、已知字母的值，求代数式的值 典例1 （26-27七年级·全国·暑假作业）若，且，则的值为___________． 题型模版 1.特征：给定字母的具体数值（或多个字母值），直接代入代数式进行计算。 2.方法：将字母的值代入代数式，按运算顺序（先乘方，再乘除，后加减）计算得结果，注意符号。 变式1-1（2026·贵州遵义·一模）若为有理数，且，则_____． 变式1-2（25-26七年级上·四川宜宾·期中）当时，求下列代数式的值： (1)； (2)． 变式1-3（25-26七年级下·广西桂林·阶段检测）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建花坛，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)请你直接写出花坛的面积．_____平方米．（用含的代数式表示） (2)求草坪的面积是多少平方米？（用含的代数式表示，结果请化简） (3)若，，草坪的单价为每平方米40元，求购买草坪所需的总费用． 题型二、已知式子的值，求代数式的值 典例2 （25-26七年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 题型模版 1.特征：已知一个代数式的值，求另一个相关代数式的值，常需整体代入或变形。 2.方法：将已知式看作整体，对所求式进行变形（如乘以系数、加常数），再整体代入计算。 变式2-1（25-26七年级上·宁夏固原·期中）【阅读材料】已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【学以致用】 （1）若，则________； （2）若，求代数式的值； （3）若，求代数式的值． 【拓展延伸】 （4）若，，求代数式的值． 变式2-2（25-26七年级上·青海西宁·期中）【阅读理解】在解决数学问题时，整体思想有着广泛的应用，尤其在解决整式加减的运算中经常使用．比如，已知：，求代数式的值． 解：小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下： 在解决上面问题时，我们无需知道a的具体数值，只需将前两项利用乘法分配律的逆运用，变为已知的形式，再将已知代入求值即可． 请你利用上述整体思想方法，解决以下问题： (1)若，求代数式的值． (2)若，求代数式的值． 变式2-3（25-26七年级上·四川眉山·期中）【教材呈现】“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．下题是华师版七年级上册数学教材第120页的部分内容． 代数式的值为7，则代数式的值为 ； 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，则有，，所以代数式的值为5． 【方法运用】 (1)若代数式的值为15，则代数式的值为 ； (2)若时，代数式的值为19，当时，则代数式的值为 ； 【拓展应用】 (3)若，则的值为 ； (4)若  ，则代数式的值为_______． 题型三、用代数式表示数的规律 典例3 有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 题型模版 1.特征：观察数列或图形变化，用含n的代数式表示第n个数或图形数量。 2.方法：先找相邻项差或比，确定是一次、二次或指数规律，用通项公式（如an+bn²）表示，验证前几项。 变式3-1观察下面一列有规律的数：，，，，，，…根据规律可知第个数应是 ．（为正整数） 变式3-2观察下面三行数： ，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，8，，32，，128，…．③ (1)第①行第8个数为______； (2)用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 变式3-3如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 题型四、用代数式表示图形的规律 典例4 （25-26七年级下·重庆江北·开学考试）将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形如图①，再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图②，再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形如图③，以此类推． (1)图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，图③中阴影部分的面积为 ； (2)计算：． 题型模版 1.特征：图形随序号变化，求第n个图形中某元素数量，常涉及等差数列或平方规律。 2.方法：数前几个图形中元素个数，找相邻差（一次差恒定则一次，二次差恒定则二次），用待定系数法求通项。 变式4-1（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 变式4-2（25-26七年级上·四川达州·期末）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面： (1)观察图形，填写下表： 图形 （1） （2） （3） … 黑色瓷砖的块数 4 7 … 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 … (2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为________；黑白两种瓷砖的总块数为________（用含n的代数式表示） (3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多3020块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 变式4-3（25-26七年级上·陕西西安·期末）【观察思考】 如图，这是由正六边形组成的一系列图案，其中第1个图案有4个正六边形；第2个图案有7个正六边形；第3个图案有10个正六边形；第4个图案有13个正六边形…… 【规律发现】 （1）第5个图案有__________个正六边形． （2）第（是正整数）个图案有__________个正六边形．（用含的式子表示） 【规律应用】 （3）若小明在摆某一个图案时用到了2026个正六边形，请你通过计算判断小明摆的是第几个图案． 题型五、程序流程图与代数式求值 典例5 （25-26七年级上·广东阳江·阶段检测）如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 题型模版 1.特征：按程序框图的运算顺序，输入值求输出，或逆向求输入，涉及代数式求值。 2.方法：按流程逐步代入计算；逆向则从输出倒推，用逆运算（加→减，乘→除）求输入值。 变式5-1（25-26七年级上·甘肃甘南·阶段检测）如图是一个简单的数值运算程序． (1)用含的代数式表示输出的结果； (2)设当输入的值为时输出的值为，当输入的值为时输出的值为，求的值． 变式5-2（25-26七年级上·山西运城·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，右面是一组“数值转换机”． (1)图1输出的结果为______________；图2的问号处应为______________； (2)填表； 输入 0 图1的输出 ______________ 图2的输出 ______________ (3)预测图______________（填序号）输出的代数式的值先超过20． 变式5-3（25-26七年级上·江苏南京·期中）在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． (1)如图，当输入时，输出 ；如图，第一个运算框“”内应填 ；第二个运算框“”内应填 ． (2)如图，当输入时，输出 ；如图，当输出时，输入的值 ． (3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过（含）时，以元的价格收费；当每月用水量超过时，超过部分以元的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数为每月用水量，输出数为水费． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知，，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．4 2．若，则的值为（   ） A．7 B．11 C．13 D． 3．下列表示个位上的数是m，十位上的数是n的式子（    ） A． B． C． D． 4．小明用火柴棒摆正方形，图1用了4根火柴棒，图2用了7根火柴棒，图3用了10根火柴棒，……，照此规律摆下去，图n要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 5．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第次输出的结果为（   ） A． B． C． D． 6．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为，记第n个k边形数为，以下列出了部分k边形中第n个数的表达式：三角形数，正方形数，五边形数，六边形数，据此可推测的表达式，由此计算等于多少（　　） A．2272 B．1136 C．568 D．284 二、填空题 7．已知，则的值为 ． 8．若代数式的值为6，那么代数式：的值等于 ． 9．一组按规律排列的数： 第 （为正 整数）个数是    ． 10．如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为时，则输出的结果为 ． 11．如图1所示，在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，图2所示的是用“列竖式”计算某个两位数的部分过程，这个两位数的个位数字是，则这个两位数为 ．（用含的代数式表示） 12．观察以下等式：第个等式：；第个等式；第个等式；第个等式；……；按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式 ； （2）写出你猜想的第个等式 （用含的等式表示）． 三、解答题 13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，． (1)写出，，m的值； (2)求的值． 14．学校办公楼前有一长为m，宽为n的长方形空地（如图），在中心位置留出一个直径为a的圆形区域建一个喷泉，两边是长为b，宽为a的两块长方形的休息区，阴影部分为绿地． (1)用代数式表示阴影部分的面积；（结果保留） (2)当，，，时，阴影部分的面积是多少？（取3） 15．下图是一个数值转换机的示意图，写出计算过程并填写下表．    (1)请用x、y写出数值转换机的运算过程的代数式． (2)请按要求计算并填空 x －1 0 1 2 y 1 －0.5 0 0.5 输出 16．自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． (1)用代数式表示： ①a与b的差的平方：________； ②a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差：________； (2)完成下列表格： a与b的差的平方 a，b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差 ， ， ， (3)由第（2）题的结果，你发现了什么结论？用含有字母的等式表示出来； (4)利用你发现的结论，求的值． 17．将连续奇数1，3，5，7，9………排成如图所示的数表． (1)十字框中的五个数字之和与中间数有什么关系？ (2)将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为a，请你用代数式表示其它四个数，并写出十字框的五个数之和． (3)设中间数为a，十字框中的五个数之和能等于吗？说明理由． 18．运用整体思想在代数式求值中经常会有用到． 例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ______； (2)已知，，则 ； (3)当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值． 19．如图是由边长相同的灰、白方块拼成的图形． (1)请观察图形，并填写下列表格； 图形标号 第1个 第2个 第3个 … 第n个 灰色方块的个数 5 10 15 … ______ 白色方块的个数 4 ______ ______ … ______ (2)第100个图形中的灰色方块和第102个图形中的白色方块共有多少个？ (3)第个图形中的灰色方块比第个图形中的白色方块多多少个？（用含n的式子表示） 20．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：    第（1）个图形中有2张正方形纸片； 第（2）个图形中有张正方形纸片； 第（3）个图形中有张正方形纸片； 第（4）个图形中有张正方形纸片； 请你观察上述图形与算式，完成下列问题： (1)第（6）个图形中有__________张正方形纸片（直接写出结果）； (2)根据上面的发现我们可以猜想：__________（用含的代数式表示）；根据你的发现计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $