专题19 平面直角坐标系中规律变换问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建平面直角坐标系规律变换问题的方法体系，覆盖动点移动、图形摆放、翻转及新定义四类题型，通过周期规律与坐标运算实现能力迁移，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|周期/递推规律分析，余数定位法|坐标表示→变换规律→符号判断| |题型一至四|每题型1典例+3变式|动点坐标表示、周期余数法、对称性应用、新定义转化|从单一变换到综合应用，层层递进| |压轴挑战|18题|多变换综合，规律探究|对接中考高频考点，提升模型观念与应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题19平面直角坐标系中规律变换问题的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中动点移动问题 题型二、 平面直角坐标系中图形规律摆放问题 题型三、平面直角坐标系中图形翻转问题 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：点按特定路径（如跳跃、旋转、翻折)周期性运动，求第次变换后的坐标，常结合图形变 换或数列规律。 -解题方法：先列出前几次变换的坐标，寻找周期或递推关系；若为循环周期，用除以周期取余数确定 位置：若为等差等比规律，用通项公式表示坐标。 -易错提醒：未发现完整周期即下结论：余数对应坐标时从起始点算错：变换方向（顺时针逆时针）或象 限符号判断错误。 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中动点移动问题 典例1(25-26七年级下·黑龙江佳木斯期末)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点0出发，沿着 (0,1)P(1,1)P(1,0)P(1,-1)P(2,-1)P(2,0) 箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “,则点 的横坐标是一 y P P:P:P: Ps Po 题型模版 1.特征：点按速度运动，求特定时刻坐标、距离或面积，涉及时间t及点坐标表示。 2方法：用t表示运动后坐标，根据路径方向分情况列位移方程，结合几何关系（如距离、面积）求解t。 变式1-1(25-26七年级下辽宁铁岭期末)如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点0出发，水平向左 平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点P(,-)】 接着水平向右平移2个单位长度，再竖 直向上平移2个单位长度得到点B,接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点 P P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4，…，按此作法进行下去， P2026 则点 的坐标为 P 0 变式1-2(25-26七年级下广东广州期中)如图。在平面直角坐标系中，一动点从1(0,1） 出发，其顺序按 图中箭头方向排列如40,1)，4(0,2).42)414(2,1)4(2,2) …按照这样的运动规律， 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A026的坐标是 则 A 12345 变式1-3如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即 A(0,0)→4(1,3)→A(2,0)→A(3,-2)→A(4,0)→A(5,3)→A(6,0)→ ，…,按这样的运动规律，完成 下列任务： A A,A A。A A 1)点的坐标为， 一，点4的坐标为一，点4的坐标为一，点4“的坐标为 (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点 G).（,),(）,(),请直接写出×，。 X3 X4 y y2 y3 y4 之间满足的数量关系为一一一， 之间满足的数量关系为一一· 题型二、平面直角坐标系中图形规律摆放问题 典例2如图，已知 4-5),4,-)4(4,0,么(6045)4)40.04L同，依此规律， 3/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 则点“的坐标为 y 2 A0,A 123本567891112134151617x 2 题型模版 1.特征：图形按周期或递推规律在坐标系中摆放，求第n个图形的项点坐标或数量。 2.方法：先找摆放周期（如几个图形重复），用余数法确定位置；或找坐标递推公式，代入求解。 变式2-1如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为顶点作正方形 PAAAs PA44,,按此规律作下去，所作正方形的项点均在格点上，其中正方形 A,A2A3」 正方 的 顶点坐标分别 P(-3,0).A(-2,,4(-1,0),4(-2,-,则顶点40的坐标为 之 - A12 变式2-2(25-26九年级上·安徽阜阳期中)如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列 组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则点4的坐标为 22),点4 5,2) 的坐标为 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A (1)点的坐标为，点“的坐标为」 (用含”的代数式表示)： (2)2025米长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 变式23在如图所示的平面直角坐标系x0中，按规律排列的 △AA2A△A3A,A△AAA△A,AAg A …, 都是等腰直角三角形，且项点都在格点上（点与坐标原点O重合）· A 名 写出点4的坐标： 2根据点420），4(4,0).4(6,0)4(&，0) ,…,求出点45的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为-2025？若存 在，请说明理由、 题型三、平面直角坐标系中图形翻转问题 典例3(25-26七年级下黑龙江佳木斯期中)如图，长方形ABCD的两边BC,CD分别在x轴、y轴上， 点C与原点重合，点4的坐标为 12),将长方形4BCD沿销向右翻滚，经过1次翻滚，点4对应点记 为，经过2次翻滚，点对应点记为，…依次类推，经过2026次翻滚后点4对应点的坐标为 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O(C) A 题型模版 1.特征：图形沿坐标轴翻折，求对称点坐标或变化规律，利用对称性快速求解。 2方法：关于x轴对称，纵坐标变号；关于y轴对称，横坐标变号；关于原点对称，横纵均变号。 变式3-1(25-26七年级下·山东临沂·期中)如图，在平面直角坐标系中，将△AB0沿x轴向右无滑动的滚 8C的位置，再到48C的置依次进行下去，芳己如点40).BQ),B=5,则点 动到 B2026 的坐标为一· B A B A 变式3-2(2025八年级上·全国·专题练习)如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变 换，若原来点4的坐标是2,3 ,则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为一 6/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1次 关于y轴对称 第2次 第3次 关于x轴对称 关于y轴对称 第4次 关于x轴对称 O 变式3-3长方形ABCD的两边 D分别平行于'轴，轴。点△的坐标为2)，点C的坐标为山 C,CD 如图1，将长方形ABCD绕图形右下侧顶点C顺时针旋转90°，再沿x轴翻折得到长方形A,BCD,称为一 ABC D A 90° 次操作；如图2，接着将长方形 继续绕图形右下侧项点顺时针旋转0，再沿轴翻折得到长方 AB,C2D2 形 ,称为第二次操作；以此类推，… 小一 7B1 图1 图2 图3 6 (1)经过3次操作后，点的坐标为一： （2)经过2025次操作后，点0的坐标为 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题 典例4(25-26八年级上·江苏扬州期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和 坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”· @点1(43) (填“是”或“否”)“完美点”； (2)若 B(5,a）,OB=a+L,求a的值并判断点B是否为“完美点”： (3)若n为整数，点 n2-1,2n 求证：点C为“完美点”. 题型模版 1特征：定义新坐标规则（如“变换点”“距离”），按规则求点、参数或规律，重理解。 2方法：将新定义转化为坐标运算（对称、平移、距离），列方程或不等式，结合坐标系性质求解。 空式41(25-26八年级上江西景德镇期末)在平面直角坠标系中，对于点Pa,)和点2(，川，若满是： m=2a n=2b-1,则称点P的“美好点”为点0.例如，点(2,1)的“美好点”是(4,1). 00点P(-23》的“美好点”坐标是 ②若点P的“美好点”为3，-3 ,则点P的坐标是多少？ P(a,a+3) (2)若点 的“美好点”位于x轴上，求的值. 变式42(25-26八年级上·福建三明阶段检测)在平面直角坐标系中，对于 P(x,》,若点P的坐标为 (ax+y,x+ay ,其中“为常数，则称点P是点P的“a级关联点”，例如：点 (1,4) 的“3级关联点”为 (31+41+3x4),即0(7.13) (1)已知点 A(3,6) 的“2级关联点”是点B,求点B的坐标： 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)已知 P2-的“级关联点”为9,6 ,求a+b的值： M(m-1,2m (3)已知点 的“-3级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标。 变式43(2526八年级上辽宁朝阳期末)对于平面直角坐标系0中的点 (a,b) ,若点P的坐标为 a+kb,b+a (其中k为常数，k≠0)，则称点P为点P的“k系友好点”：例如：P(3,2)的“3系友好 点”为P3+3×2,2+ 3 即p:(9,3) 请完成下列各题： (1)求点 (-2,1) 的“2系友好点”P的坐标为： (2)若 P(63)的k系友好点P的坐标为3月，求和”的值， (3)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系友好点”为点P',若在△OPP'中，PP'=2OP,求k的值. ◆◆ ◆◆ 同压轴挑战一支克高难压轴，突政思绵上保 一、单选题 1.(25-26七年级下·陕西西安·期中)法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之 父”，在平面直角坐标系中，我们定义点P(a) P→P(b+1,-a+1) 的“笛卡尔变换”为： ,已知点的坐 标为) 则经过2025次笛卡尔变换后得到的点4，“的坐标为() A.(0,0) B.(亿，) c.(2,0) D.(1,-) 2.(25-26八年级上河北邢台期末)如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换， 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a,b) 若原来点A的坐标是 经过2026次变换后所得的点A的坐标是() V 第1次 第2次 第3次 第4次 关于y 关于x 关于y 关于x 轴对称 轴对称 轴对称 轴对称 A (a,b) B.(-a,b) C.(a,-b) D.（-a,-b) 3.(25-26七年级下·海南省直辖县级单位期末)如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均 在坐标原点，且各边与轴或'轴平行，从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8，，顶点依次用， AA A 4,…,表示，则顶点02 A,26的坐标为（） 15 412 A13 A.(506,506) B.（507,-507) C.(506,-506) D.（-507,507) 4（25-26七年级下山西吕梁期末)如图，平面直角坐标系中，点1(-3,0，B(-3,.C(0,, 点P从点O 出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动， Q M M2 速度为每秒1个单位长度，记点P与点2在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点 第二次相遇时的点为从，则点M的坐标为() 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（-2,0) B.（31) c.(0,0) D.（) 5.(广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷)如图，在平面直角坐标系中有点 P(1,0) 点P第一次向上平移1个单位至点 (1,1) 接着第二次向左平移2个单位至点 (1山，第三次 向上平移1个单位至点 (-1,2) 第四次右平移3个中位至点2)，一，以北线种平移下去，点上 的坐标是() P P32 P P -3-2-101234 A.(6,10) B.(6,20) c(510) D.(5,20) 6.（25-26七年级下重庆潼南期末)如图，在平面直角坐标系上有一个质点4(0)， 质点第一次移 动至点4() 第二次移动至点4(2， 第三次移动至点4(2,2）， 第四次移动至点 A4（-3,2) …依此规 律移动下去.下列说法： ①第十次移动至点 Ao(5,-6) ②点4”到y轴的距离是1014个单位长度： 11/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③第2-1 移动至点4，第2加次移动至点“，则点与点“之间的距离是 A2n-1 n+1 其中正确的个数是() A 46- As A4- A -54-3-2-1012345x A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 AA As 7.(25-26七年级下河南南阳期末)如图，三角形 444,三角形 4,三角形 44,…,都是斜边 在》轴上，斜边长分别为 246 的部分顶点坐标为4】 A4A3 ,,…的等腰直角三角形，且三角形 A(0,0) 则依图中所示规律， A6的坐标为 A 8.(25-26八年级下广东揭阳阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是边长为2的正方 形，A、C分别在轴正半轴与轴正半镇上，P点坐标为山，将P点关于4对称得到尸，将关于 点对称得到，将尸关于C点对称得到月，将关于8点对称得到，将关下4点对称得到 0 P P P P. … 12/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 按照顺序以此类推，则 ”的坐标为 A 9,（25-26七年级下广西南宁期中)如图，在平面直角坐标系中，第一次将△01B OAB 变换成 ,第二 △OAB, △OAB 次将 变换成 ,第三次将 OA,B1变换成 △OAB3 若按此变化规律将△OAB 进行n次变换， 得到OA,,则 △0MB,= 5 3 B2 0123456789 10.(25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，第1次运 动到点0) 第2次运动到点 (2,0),第次运动到点2-)，第4次运动到点P(-)，第次运动 (3,0).… 到点 按这样的运动规律，点加“的坐标是 Pu P16 \P2 P P P10 Ps Pa Ps Po P13P14 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,(25-26八年级下四川成都期未)定义：在平面直角坐标系0中，点A坐标为 m,n ，若点B坐标 为n-mn+m) 则称点8为点4的“协同点”，设点(5），点P是点的“协同点”(”为正整数)， dn为线段PnPn+的长度，若s=0,t=2,则d= 一若=1,4s-,则 12.(25-26七年级下·北京·期中)在平面直角坐标系中，对于点 如果点 P(x,y) (x,y) 的纵坐标满足 y=x-(≥) y-x(x<y),那么称点Q为点p的“关联点”·例如点(3,5)的“关联点”的坐标为点(3,2)： ①如果点P14) 那么“关联点”的坐标Q为 P(x,y) (2)如果点 的关联点P的坐标为-23)，则此时5a0 三、解答题 13.(25-26七年级下山东临沂期中)在平面直角坐标系中，对于P(,), 我们把点e(r+m,mx+) 叫做“m系联动点”，其中m为常数，且m≠0.例如：点 2,3)的4系联动点”的坐标为 [-2+4×3,4×(-2)+3].即10，-5) (1)已知点 M(5,-3)的3系联动点”是点W,求点N的坐标： A(2a,1-a) (2)已知点 的“-2系联动点”B在轴上，求点B的坐标. 14。(25-26八年级上：安徽六安期中)如图，在平面直角坐标系中，第一次将△01B 变换成 0AB,第二 次将△0AB变换成△04B,第三次将△01，B变换成 OAB3 A(1,3) 已知变换过程中各点坐标分别为 14/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(2,3)A(4,3)A(8,3)B(2,0)B,(4,0)B2(8,0)B(16,0) A A3 B B B B (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再 △OA,B变换成 AB,则的坐标 △OA,B4 为 的坐标为 的面积为 (2②按以上规律将△04B 进行n次变换得到 04B,则的坐标为一 4 “的坐标为一 DA.B (3) 的面积为 15.(25-26八年级上全国单元测试)在平面直角坐标系x0中，对于点 P(x,y ,我们e6--x- 叫微点P的友好点。已知点的友好点为，点的友好点为，点4的友好点为人，这样依次得 到点”(n为正整数). ①芳点4的坐标为2，则点4的坐标为，点4的坐标为 ②若点4m的坐标为32)，设点4），求x+y的值 (3)设点的坐标 为a),若点4，名，4，，4均在》轴的左侧，求“，D的取值范国. 4(02) 16.(25-26八年级上·安徽安庆·期中)如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点 A,(1,3)A(2,2)A(3,2)A(4,3)A(5,2) …按照此规律，完成下列问题： 15/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A As A (1)请写出点 的坐标； A2025A2026A2027 (2)请你写出点 的坐标； (3)设第1个点为 A,(1,3) 第2个点为443)，第3个点为 4(，3)，，第n(”21,且n为整数)个点 为4(W-13) …,请你写出N关于n的函数关系式. 17.(25-26七年级下·安徽合肥期中)如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点 A(0,1) 出发，按照 定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点4(2,0)，第2次移动到点4(3,2)，第3次移动 到点(5) A(6,3) 第4次移动到点 A (①第5次移动到点4的坐标为 :第12次移动到点4的坐标为 (2第2次移动到点4 n+1 的坐标为 第 次移动到点 a1的坐标为 (用含自然 数n的代数式表示) 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母A及下标表示出该点，并写出其坐标. 18.(25-26八年级上江苏扬州期末)定义：在平面直角坐标系中，对于点 M(x,y ,若点N坐标为 (x+2a,-y-2a) 我们称点N是点M的等距平移点，其中a为等距平移常量.例如：当Q=0时，点 M(3,2 的等距平移点N为8-2) 00当等距平移常量0=-3时，点M坐标为43) ,则它的等距平移点V的坐标为： ②若点M坐标为2 ,它的等距平移点V的坐标为 4,-7 ，则等距平移常量a= (②)若点M在轴上，且它的等距平移点V的坐标为 -2a+1,-9+4a ,其中为等距平移常量，0为坐标 原点，求△OMN的面积： M(,H)的等距平移点是 (3)点 (x+2a,2） 其中“为等距平移常量，若”-片=2，且其中一个点到轴 的距离等于另一个点到x轴的距离的2倍，求a的值. 17/17 专题19 平面直角坐标系中规律变换问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中动点移动问题 题型二、平面直角坐标系中图形规律摆放问题 题型三、平面直角坐标系中图形翻转问题 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：点按特定路径（如跳跃、旋转、翻折）周期性运动，求第n次变换后的坐标，常结合图形变换或数列规律。 - 解题方法：先列出前几次变换的坐标，寻找周期或递推关系；若为循环周期，用n除以周期取余数确定位置；若为等差/等比规律，用通项公式表示坐标。 - 易错提醒：未发现完整周期即下结论；余数对应坐标时从起始点算错；变换方向（顺时针/逆时针）或象限符号判断错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中动点移动问题 典例1 （25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，，，，，，，则点的横坐标是_____． 【答案】675 【分析】根据点的移动可知点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1，据此即可解答． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，，， ∴点的横坐标从的开始，每过三个坐标，则增加1， ∵， ∴点的横坐标为． 题型模版 1.特征：点按速度运动，求特定时刻坐标、距离或面积，涉及时间t及点坐标表示。 2.方法：用t表示运动后坐标，根据路径方向分情况列位移方程，结合几何关系（如距离、面积）求解t。 变式1-1（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点；接着水平向左平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度得到点；接着水平向右平移个单位长度，再竖直向上平移个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】由题意得到点的坐标规律，其中为正整数，当时即可得到答案． 【详解】解：由题意可得、、、、， 则，其中为正整数， 点的坐标为． 变式1-2（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从出发，其顺序按图中箭头方向排列如，，，，，……按照这样的运动规律，则的坐标是______． 【答案】 【分析】通过观察图形中特殊点（完全平方数下标的点）的坐标，归纳出规律，确定的坐标，再根据点的运动方向推导的坐标； 【详解】解：由图可知：，，， 观察发现： 当为奇数时，在轴上，坐标为， 当为偶数时，在直线上，坐标为， ，且为奇数， 的坐标为， 由图形运动规律可知，从到，从到均为沿轴正方向移动个单位， 从到也是沿轴正方向移动个单位， 的横坐标为，纵坐标为， ． 变式1-3如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． 题型二、平面直角坐标系中图形规律摆放问题 典例2 如图，已知，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律的变化问题，由函数图象可知点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度，据此解答即可求解，由题意找出点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度， ∵， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 题型模版 1.特征：图形按周期或递推规律在坐标系中摆放，求第n个图形的顶点坐标或数量。 2.方法：先找摆放周期（如几个图形重复），用余数法确定位置；或找坐标递推公式，代入n求解。 变式2-1如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的变化规律，根据坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答，仔细观察图形、数形结合，总结出点的坐标的变化规律是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为， 故答案为：． 变式2-2（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______（用含的代数式表示）； (2)2025米长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【答案】(1)； (2)小正方形675个，大正方形675个． 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2025米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形（个），大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 变式2-3在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由见解析 【分析】本题考查点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键． （1）观察坐标系中第四象限中的点的坐标特征，即可求解； （2）根据已知点的坐标特征得出，，进而即可求解； （3）根据（1）得出，进而代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，的坐标，， 故答案为：． （2）根据点，，，，…， 由此可得 ∵， ∴点的坐标为 （3）解：由，，，，…， ∴ 当 解得： 题型三、平面直角坐标系中图形翻转问题 典例3 （25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点的坐标为，将长方形沿轴向右翻滚，经过1次翻滚，点对应点记为，经过2次翻滚，点对应点记为，…依次类推，经过2026次翻滚后点对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为，依据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 观察图形可知，经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，， ∵长方形的周长为：， 每一次完整循环，相当于对应点的横坐标，纵坐标保持不变， ，即经过了次完整的循环后再向前翻滚次，是的对应点， ∴经过次翻滚后点对应点的坐标为，即． 题型模版 1.特征：图形沿坐标轴翻折，求对称点坐标或变化规律，利用对称性快速求解。 2.方法：关于x轴对称，纵坐标变号；关于y轴对称，横坐标变号；关于原点对称，横纵均变号。 变式3-1（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为____． 【答案】 【分析】结合滚动规律，得到点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，从而得出的规律，最后计算出的坐标． 【详解】解：，， ，， ∵将沿轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，又， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，横坐标为． 同理可求得，点的纵坐标为，横坐标为． 点的纵坐标为，横坐标为． …… ∴点的纵坐标恒为，横坐标为． ， 的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为． 变式3-2（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2025次变换后点A的对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点A第1次关于y轴对称后的对应点坐标为， 第2次关于x轴对称后的对应点坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点坐标为， 即点A回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点A的对应点与第1次变换后的位置相同，在第一象限，坐标为． 故答案为：． 变式3-3长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 【答案】 【分析】（1）点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，，解答即可． （2）当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，， 故答案为：． （2）解：按题意描点可知，当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，当时，， ． 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题 典例4（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”． (1)点______（填“是”或“否”）“完美点”； (2)若点，，求a的值并判断点B是否为“完美点”； (3)若n为整数，点，求证：点C为“完美点”． 【答案】(1)是 (2)，点B是“完美点”； (3) 证明：∵， ∴点到原点的距离为， ∵为整数， ∴，均为整数， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，均为整数， ∴点C为“完美点”． 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据勾股定理求出的值，再根据新定义进行判断即可； （3）根据新定义进行证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为3，到轴的距离为4， ∴点到原点的距离为， ∴点分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数， ∴点是“完美点”； （2）解：由题意，， 解得， ∴，， ∴点到轴的距离为12，到轴的距离为5，到原点的距离为13，均为整数， ∴点B是“完美点”； （3）略 题型模版 1.特征：定义新坐标规则（如“变换点”“距离”），按规则求点、参数或规律，重理解。 2.方法：将新定义转化为坐标运算（对称、平移、距离），列方程或不等式，结合坐标系性质求解。 变式4-1（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的“美好点”是． (1)①点的“美好点”坐标是__________； ②若点的“美好点”为，则点的坐标是多少？ (2)若点的“美好点”位于轴上，求的值． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】此题考查了点的坐标的知识，熟练掌握“美好点”的定义是关键． （1）①设点的“美好点”为，根据定义进行解答即可； ②设点P的坐标是，点P的“美好点”为，根据定义进行解答即可； （2）设点P的“美好点”为，根据定义和点的“美好点”位于x轴上进行解答即可． 【详解】（1）解：①设点的“美好点”为， ∴点的“美好点”坐标是； 故答案为： 点的“美好点”的坐标是． ②设点的坐标是 根据“美好点”的定义可得 解得： 点的坐标是 （2）解：设点的“美好点”为， 根据“美好点”的定义可得，， 即 又在轴上 ． 变式4-2（25-26八年级上·福建三明·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， (1)已知点的“2级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”为，求的值； (3)已知点的“级关联点”位于坐标轴上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或 【分析】本题考查点的坐标，“关联点”的定义，列方程计算是解题的关键 （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据关联点的定义，得到，求出的值代入计算解题； （3）根据关联点的定义得到点，然后分为点在轴和轴上计算即可． 【详解】（1）解：点的“2级关联点”是， 即点的坐标为； （2）解：点的“级关联点”为， 则， 解得， ． （3）解：点的“级关联点”为，即， 当点在轴上时，，解得，这时点， 当点在轴上时，，解得，这时点， 综上所述，点的坐标为或． 变式4-3（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，），则称点为点的“系友好点”；例如：的“3系友好点”为，即 请完成下列各题： (1)求点的“2系友好点”的坐标为 ； (2)若点的“系友好点”的坐标为，求和的值； (3)若点在轴的正半轴上，点的“系友好点”为点，若在中，，求的值． 【答案】(1)点 (2)， (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，理解新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解； （2）根据“k系好友点”的定义列方程求解即可； （3）设点，得点，求出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的“2系友好点”， ∴的坐标为， 点； （2）解：的“系友好点”的坐标为， ， 解得， ； （3）解：设点，其中， 点，即点， 轴， ， 又， ， 解得． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各点坐标得出每4次变换为一个循环，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴经过第一次变换后为：，即， 经过第二次变换后为：，即， 经过第三次变换后为：，即， 经过第四次变换后为：，即， ∴变换周期为， ∵， ∴次变换后得到的坐标与第次变换后的坐标相同，即． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2026除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，所得A点的坐标是； 点A第二次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是； 点A第三次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是； 点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是； 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2026次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 3．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“每个点为一个循环”的规律，通过求余确定点的位置和象限，再结合第个正方形第二象限顶点为，得出​的坐标． 【详解】解：正方形有个顶点， 每个点为一个正方形循环， ， 为第个正方形位于第二象限的点， 根据题意可知，第个正方形位于第二象限的点为， 故为． 4．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，点，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个单位长度，记点与点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点坐标计算长方形的周长为，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出四次相遇一循环，再用的余数即可求出第2001次相遇点的坐标． 【详解】解：长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P、Q第一次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第二次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第三次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第四次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第五次相遇，此时相遇点坐标为， ∴四次相遇一循环， ∵， ∴的坐标为． 5．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中有点，点P第一次向上平移1个单位至点，接着第二次向左平移2个单位至点，第三次向上平移1个单位至点，第四次向右平移3个单位至点，…，以此规律平移下去，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】我们先把平移规律按每4次为一组整理，观察下标为4的倍数的点的坐标特征：已知，第八次平移得……，总结规律：当下标（为正整数）时，对应点的坐标为．对于，令，解得，代入规律得横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：我们先把平移规律按每4次为一组整理，观察下标为4的倍数的点的坐标特征： 已知，继续按规则推导后续点： 第五次向上平移1个单位得， 第六次向左平移5个单位得， 第七次向上平移1个单位得， 第八次向右平移6个单位得…… 总结规律：当下标（为正整数）时， 对应点的坐标为． 对于，令，解得， 代入规律得横坐标为，纵坐标为， 因此的坐标是． 6．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系上有一个质点，质点第一次移动至点，第二次移动至点，第三次移动至点，第四次移动至点，…依此规律移动下去．下列说法： ①第十次移动至点； ②点到y轴的距离是1014个单位长度； ③第次移动至点，第2n次移动至点，则点与点之间的距离是． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】当下标为偶数时，横坐标为，纵坐标为，当下标为奇数时，横坐标为，纵坐标为，解答即可； 【详解】解：根据题意，得点，点，点，第三次移动至点，第四次移动至点，…依此规律移动下去． 当下标为偶数时，横坐标为，纵坐标为， 故第十次移动至点即；故①错误； 下标为奇数时，横坐标为，纵坐标为，此时到y轴的距离为， 故点到y轴的距离是个单位长度； 故②正确； 根据题意，得第次移动至点，下标为奇数，故坐标为， 第次移动至点，下标为偶数，坐标为， ∴轴 故点与点之间的距离是．故③正确． 二、填空题 7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 【答案】 【分析】根据图形可知为第个等腰直角三角形的直角顶点，其横坐标的绝对值等于，符号由的奇偶性决定；纵坐标在和之间循环，由的奇偶性决定，确定对应的值即可求解． 【详解】解：观察图形可知，，，，……，分别为第，，，……，个等腰直角三角形的直角顶点， 第个等腰直角三角形的斜边长为， 该三角形斜边上的高为，即点的横坐标的绝对值为； 观察图形可知，当为奇数时，点在轴左边，横坐标为负；当为偶数时，点在轴右边，横坐标为正， ， 点是第个等腰直角三角形的直角顶点； 是奇数， 点的横坐标为； 点的纵坐标规律：第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； …… 由此可知，当为奇数时，点的纵坐标为；当为偶数时，点的纵坐标为； 是奇数， 点的纵坐标为； 综上所述，点的坐标为． 8．（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，、分别在轴正半轴与轴正半轴上，点坐标为，将点关于对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【详解】解：如图，经过4次操作后与重合，即4次一个循环， ∵， 故与重合，坐标为． 9．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，若按此变化规律将进行n次变换，得到，则________． 【答案】 【分析】根据经过多次变换得到长的变换规律，进而得到的面积规律，据此求解即可． 【详解】解：由图可知，、点到轴的距离为2， ， 第一次变换：中、点到轴的距离为2， ， 第二次变换：中， ， 以此类推，将进行n次变换，得到，此时、点到轴的距离为2， ． 10．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【分析】由题意知，每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加，求得的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） ，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） 规律总结： 每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加， 余数的余数： ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ∵， ：横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点坐标为，若点坐标为，则称点为点的“协同点”．设点，点是点的“协同点”（为正整数），为线段的长度，若，，则__________；若，，则__________． 【答案】 【分析】根据协同点定义推导线段长度的规律，可得是公比为的等比数列，再代入条件计算结果． 【详解】解：根据定义，若点坐标为，则其协同点的坐标为，点的协同点的坐标为， 由两点间距离公式，得， ， ∴，即， ∴， 当，时，，可得， ， ∴； 当时，，可得， ， 已知，代入规律得： ， 解得， ，两边平方得，即， 解得． 12．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”的坐标为点； (1)如果点，那么“关联点”的坐标Q为____________________； (2)如果点的关联点的坐标为，则此时________． 【答案】 或 【分析】根据关联点的定义，分情况计算，第一问比较点的横纵坐标大小，代入对应关系式求解的坐标，第二问分两种情况求出点的坐标，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：（1）∵点， ∴，，可得， 根据关联点定义，得， ∴点的坐标为． （2）∵点的关联点的坐标为， ∴，， 分两种情况讨论： 当时， ，即 ，解得， ∴点， ∵，横坐标相同，线段在直线上， ，原点到直线的距离为， ∴ ． 当时， ，即 ，解得， ∴点， ，原点到直线的距离为， ∴ ． 综上所述， 或． 三、解答题 13．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即． (1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题中“系联动点”定义直接求解即可； （2）先由题中“系联动点”定义求出点的坐标，再由点在轴上，列方程求出参数即可得到答案． 【详解】（1）解：点的“系联动点”是点， 由“系联动点”定义可知，点的坐标为， 即； （2）解：点的“系联动点”是点， 由“系联动点”定义可知，点的坐标为， 即， ∵点在轴上， ， ∴， 则， ∴点的坐标为． 14．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______． (2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______； (3)的面积为______ 【答案】(1)，，48 (2)， (3) 【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律． （1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可； （2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可； （3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：、、． 的横坐标为：，纵坐标为：3． 故点的坐标为：． 又、、． 的横坐标为：，纵坐标为：0． 故点的坐标为：． 的面积为 故答案为：，，48； （2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：， 由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：； 故答案为：，； （3）解：的坐标为：，的坐标为：， 的面积为． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为……，这样依次得到点（n为正整数）． (1)若点的坐标为，则点的坐标为 ，点的坐标为 (2)若点的坐标为，设点，求的值 (3)设点的坐标为，若点，，，，均在轴的左侧，求，的取值范围． 【答案】(1)， (2)3 (3)， 【分析】（1）列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论； （2）根据（1）结论和的坐标为，找出的坐标，由此即可得出、的值，二者相加即可得出结论； （3）结合（1）的结论找出，，，的坐标，令其横坐标均小于0，即可得出关于和关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：观察，发现规律：，，，，，， ，，，，为自然数）． ， 点的坐标为． 故答案为：，； （2）的坐标为， 的坐标为， ， ； （3），，，， ，，，，点均在轴左侧， 和， 解得：，． 16．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…按照此规律，完成下列问题： (1)请写出点，，的坐标； (2)请你写出点，，的坐标； (3)设第1个点为，第2个点为，第3个点为，…，第n（，且n为整数）个点为，…，请你写出N关于n的函数关系式． 【答案】(1)，， (2)，， (3) 【分析】本题考查了坐标系中点的规律，函数关系式，解题的关键是正确从坐标系中找出点的规律． （1）根据坐标系即可求解； （2）可得三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2，据此规律求解即可； （3）由题可知时，，时，，时，，…，即可得． 【详解】（1）解：点，，，，，，…按照此规律，可得，，； （2）解：由图可知，三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2， ， ，，； （3）解：由题可知时，，时，，时，，…， 可得． 17．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）分两种情况进行解答分析即可． 【详解】（1）解：第1次移动到点，即 第2次移动到点，， 第3次移动到点，即 第4次移动到点，即 第5次移动到点的坐标为，即； 则第12次移动到点的坐标为即，即， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第次移动到点的坐标为，第次移动到点的坐标为；（用含自然数的代数式表示） 故答案为：；； （3）解：由（2）知， 当时，解得（不是自然数，舍去）， 当时，解得，符合题意，此时下标为， 所以该点及坐标可记作． 18．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为． (1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________； ②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积； (3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)①，② (2) (3)或或或3 【分析】本题考查了坐标变换、等距平移点的定义及几何图形的面积计算，解题的关键在于根据定义准确计算坐标，利用绝对值条件分类讨论，以及灵活运用几何公式求解面积． （1）直接应用定义计算坐标； （2）需结合点的位置与坐标关系求解面积； （3）需联立方程并分类讨论绝对值条件． 【详解】（1）解： ①由定义，N的坐标为：， 故N的坐标为； 故答案为：， 根据定义：， ，解得； 检验：当时，，成立， 故答案为：3． （2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得， ， ，解得，， ， 的坐标为， ，即N为， O为原点， ． （3）N的坐标为， ， ， ， 验证：，符合题意， 其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍， |或， 因，分情况讨论： 情况一： 即，分四种情况： ①：且（即）， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） ，此时， 方程为：解得，，符合题意； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 不合题意，舍去； ④：且（即且），矛盾，无解； 综上，情况一所有可能的a值为． 情况二： 即|，分四种情况： ①：且（即） ， 方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） 此时， 方程为：，解得，不合题意，舍去； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 符合题意； ④：且（矛盾），无解， 综上，情况二解为或． 综上所述，的值为或或或3． 1 / 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