专题14 平面直角坐标系中的平移和对称变换5大重难题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以“变换规律+题型模版”构建方法体系，聚焦平面直角坐标系中平移、对称的坐标运算及综合应用，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|平移“左减右加、下减上加”，对称“轴/原点坐标规律”，新定义“翻译运算式”，动点“参数表示+方程”|从基本变换规律到复合变换应用，形成“规律-翻译-建模”逻辑链| |题型归纳|5题型（含16例题）|自定义问题“定义翻译+分类讨论”，对称问题“对称规律+图形性质”，平移问题“坐标差表示距离”，中点公式“坐标平均数”，动点问题“路径分析+函数关系”|按“基础变换-公式应用-动态综合”递进，题型与方法一一对应| |压轴挑战|16例题|复合变换规律迁移，动点路径与面积最值推理|整合多知识点，提升推理意识与创新意识|

专题14 平面直角坐标系中的平移和对称变换 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 平面直角坐标系中的自定义问题 题型2 平面直角坐标系中的对称问题 题型3 平面直角坐标系的平移问题 题型4 中点坐标公式的应用 题型5 平面直角坐标系中的动点（图）问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 平面直角坐标系中的平移与对称变换，关键是抓住坐标变化规律：点左右平移改变横坐标（左减右加），上下平移改变纵坐标（下减上加）；关于x轴对称则横坐标不变、纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变、横坐标互为相反数，关于原点对称则横、纵坐标均互为相反数。对于新定义或复合变换，要先把文字规则翻译成坐标运算式；涉及动点问题时，用参数表示动点坐标，再根据条件列方程或不等式；注意分类讨论不同象限、不同对称轴的情况。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 ◆题型1 平面直角坐标系中的自定义问题 题型模版 1.特征：题目先定义一种新的变换（如“型对称变换”“衍生图”“倍镜像接收距离”等），再按要求求解。 2.方法：仔细阅读定义，把新变换翻译为坐标运算；按步骤逐步计算；注意定义中的限制条件与分类讨论。 1．（25-26七年级下·重庆·期中）阅读材料：在平面直角坐标系中，点关于轴对称后得到点． 现在我们规定一种型复合对称：先把点关于轴对称，再将对称后的点横坐标加，得到对应点，我们把这种变换叫做点的“型对称变换”．对于平面直角坐标系中的图形，将图形上的所有点进行“型对称变换”称为图形的“型对称图形” 例如：将点作“3型对称变换”：，，对应点为． 在平面直角坐标系中，已知点和点． (1)将点进行“2型对称变换”后的对应点的坐标为_________； (2)将线段进行“型对称变换”后与轴有公共点，则的取值范围为__________； (3)已知同一平面内两点，，将线段进行“1型对称变换”后得到的对应线段为，在坐标轴上是否存在一点，使得，若存在请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据规定即可求解； （2）先求得，，再根据与轴有公共点，可得，即可求解； （3）先求得，，，再分点在轴上、在轴上进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点作“2型对称变换”：，，对应点为． （2）解：将点作“型对称变换”：，，对应点为， 将点作“型对称变换”：，，对应点为， ∵将线段进行“型对称变换”后与轴有公共点， ∴， ∴． （3）解：将点作“1型对称变换”：，，对应点为， 将点作“1型对称变换”：，，对应点为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点在轴上时，设， ∵，， ∴， 解得，， ∴或； 当点在轴上时，设， ∵，， 当时，如图，， 解得，不符合，舍去； 当时， 如图，在的上方时， ， 解得， ∴； 如图，在的下方时， ， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 2．（25-26八年级上·北京大兴·期末）对于平面直角坐标系中的点P，点Q和图形W，给出如下定义：点Q在x轴上，过点Q做垂直于x轴的直线l，图形W关于直线l的对称图形为，称图形为图形W关于点Q的衍生图形，若点P恰好在图形上，则称点P是图形W关于点Q的衍生点．已知点，点，点． (1)如图1，已知线段， ①当时，下列各点中，是线段关于点Q的衍生点的是 ； ②若点是线段关于点Q的衍生点，则 ； (2)已知点， ①如图2，若线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，则m的取值范围是 ； ②如图3，点，正方形关于点Q的衍生图形为正方形，若正方形上存在正方形关于原点的衍生点，则m的取值范围是 ． 【答案】(1)①， ；②2 (2)①；② 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、点的坐标的特征、关于轴对称的图形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握新定义的规定并灵活应用是解题的关键． （1）①依据新定义的规定画出线段关于点Q的衍生图形，结合图形解答即可；②利用衍生点的定义得到线段关于点Q的衍生图形，利用轴对称的性质解答即可． （2）①利用衍生图形和衍生点的定义确定m的临界值即可；②利用分类讨论的思想方法求得m的临界值即可得出结论． 【详解】（1）解：①当时，点Q为， ∴线段是线段关于点Q的衍生图形，如图， 由图形可知点在线段上， ∴是线段关于点Q的衍生点的是． 故答案为：，． ②∵点是线段关于点Q的衍生点， ∴以为端点的线段为线段关于点Q的衍生图形， ∵线段与线段关于直线对称， ∴． ∴． 故答案为：2． （2）解：①∵当或时，线段上恰好有关于点Q的一个衍生点， 当或时，线段上没有关于点Q的衍生点， ∴当时，线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，如图： ∴若线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，则m的取值范围是． 故答案为：； ②设正方形为正方形关于原点的衍生图形，如图， 当正方形关于点Q的衍生图形正方形的边与重合时，正方形关于原点的衍生点恰好在线段上， ∵， ∴， ∵， ∴A，关于直线对称， ∴此时． 当正方形关于点Q的衍生图形正方形的边与重合时，正方形关于原点的衍生点恰好在线段上， ∵， ∴， ∵， ∴D，关于直线对称， ∴此时． ∵正方形上存在正方形关于原点的衍生点， ∴m的取值范围是． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形关于直线的对称图形为，图形上任一点到轴，轴的距离的最大值是，称是图形关于直线的倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线的1倍镜像“接收距离”是________； ②线段关于直线的倍镜像“接收距离”是3，的取值范围是________； (2)点，关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值是________； (3)点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了轴对称的性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是数形结合． （1）①求出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，进而根据定义判断； ②表示出、关于直线的倍镜像的对应点坐标，根据定义列出不等式组，进一步得出结果； （2）可推出、关于直线的倍镜像、的距离之差也是，从而得出关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值； （3）表示出、、、于直线的倍镜像的对应点坐标，关于直线的倍镜像的线段是，根据当点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线的倍镜像“接收距离”时，得出，从而求得临界的值，进而得出结果． 【详解】（1）解：①设线段关于直线的倍镜像的线段为， ∵倍镜像即， ∴直线即为直线， 点，关于直线的对称点为，， 到轴最大距离为，到轴最大距离为， 故线段关于直线的倍镜像“接收距离”为； ②点，关于直线的对称点为，， ∵线段关于直线的倍镜像“接收距离”是3， ∴，得， 解得， 故答案为：①；②． （2）解：如下图： ∵，，， ∵、距离轴的距离之差是， ∴、关于直线的倍镜像、的距离之差也是， ∴，关于直线的m倍镜像“接收距离”的最小值是， 故答案为：． （3）解：如图： 点，关于直线的对称点为，， 点，关于直线的对称点为，， 当点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”等于线段关于直线的倍镜像“接收距离”时， ， 解得， 当点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”时， ∴． 4．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点． 对于点给出如下定义：先将点关于直线对称，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，则称点为点的“睿智点”． (1)如图1，点坐标为， ①当点坐标为时，则点的“睿智点”的坐标为______； ②若点为点的“睿智点”，则的坐标为______； (2)如图2，点、，点与点关于轴对称．点在边上，点坐标为． ①画出点所有的“睿智点”； ②这些关联点组成的图形围成的面积是______． (3)如图3，点、、、，，点在正方形边上，点、，若线段上存在点的“睿智点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①如图所示： ② (3) 【分析】本题考查了坐标变换，解题关键是得到“睿智点”变化规律. （1）①根据“睿智点”的定义求解即可；②设，根据“睿智点”的定义列方程即可求解； （2）①根据“睿智点”的定义得到当、、三点作为点时，设点的“睿智点”分别为、、，则，，，依次连接，，，则点所有的“睿智点”形成的图形为的三边；②求出的面积即可； （3）分别求出点关于、、、四点作为“点”时的“睿智点”坐标：，，，，则矩形四条边即为点的“睿智点”的轨迹，由点、，并且线段上存在点的“睿智点”，可知线段需与矩形四条边有交点，分情况：①当线段与有交点时，②当线段与有交点时，③当线段与有交点时，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可得，， 点坐标为，点坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为， 故答案为：； ②设， 由题意得， 解得， ， 故答案为：； （2）①点与点关于轴对称，， ， 当、、三点作为点时，设点的“睿智点”分别为、、， ，，， 如图，依次连接，，，则点所有的“睿智点”形成的图形为的三边； ②这些关联点组成的图形围成的面积是， 故答案为：； （3）根据，，分别求出点关于、、、四点作为“点”时的“睿智点”坐标：，，，， 如图，矩形四条边即为点的“睿智点”的轨迹， 点、，并且线段上存在点的“睿智点”， 线段需与矩形四条边有交点， ①当线段与有交点时， ，无解，则没有交点， ②当线段与有交点时， ， 解得， ③当线段与有交点时， 或， 解得， 综上所述：当时，线段上存在点的“睿智点”． ◆题型2 平面直角坐标系中的对称问题 题型模版 1.特征：涉及点、线段或图形关于x轴、y轴、某直线或某点的对称，求坐标、长度或最值。 2.方法：熟记对称坐标规律；关于直线x=a对称则横坐标满足“到轴距离相等”，关于直线y=b类似；结合图形性质列方程。 5．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点、在轴上，且关于轴对称，，，，，分别为垂足，则与的长度之比为______． 【答案】 【分析】本题考查了等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键； 连接，根据题意得到是的中线，从而可知，进而由三角形面积公式代入表示，最后结合即可得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵、在轴上，且关于轴对称， ∴点是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的长度之比为， 故答案为：． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知，点． (1)若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． (2)点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)最大值，的坐标为 【分析】（1）依据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）来确定点的坐标并作图；（2）利用轴对称性质将转化为，再结合三角形三边关系确定的最大值，进而求出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图， ∵，其关于轴对称的点的横坐标保持3不变，纵坐标为2的相反数， 因此的坐标为． 在直角坐标系中，找到横坐标为、纵坐标为的位置，标记该点即为． （2）解：由于点是关于轴的对称点，且点在轴上， ． ． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边， 即． 当且仅当点在直线的延长线与轴的交点时，等号成立， 此时， 即的最大值为的长度． ，， ， ， ， ， ， 的最大值为． 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，C，D是直线上的两动点，且，已知，，则四边形的周长最小值时，该四边形的面积为________． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称—最短路径问题、用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先将点向下平移1个单位长度得到点，连接，易得四边形是平行四边形，因此， 可得四边形的周长，作点关于直线的对称点，连接，易得当、、三点共线时，取最小值，由，，求出直线所在的解析式为，即可求出点，点，求出此时该四边形的面积即可． 【详解】解：将点向下平移1个单位长度得到点，连接， C，D是直线上的两动点，且， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 四边形的周长， 作点关于直线的对称点，连接， ， 当、、三点共线时，取最小值，如图所示， ，， 设直线所在的解析式为， 把点，代入解析式， 得，解得， 直线所在的解析式为， 当时，点， ， 点， ． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线．若先将图形关于直线对称，再向下平移个单位长度，得到图形，则称图形是图形“关于的对称平移图形” (1)当时，若三个顶点的坐标分别是，，，记关于的对称平移图形为，在图中画出，并直接写出它的三个顶点的坐标； (2)记点关于的对称平移点为，若点始终在的垂直平分线上，试探究满足的数量关系． 【答案】(1)即为所求； (2) 【分析】本题考查坐标轴对称和平移画图，熟练掌握轴对称性质和平移性质，是解题的关键． （1）利用轴对称和平移即画出图形； （2）写出关于m的对称平移点，过点G作轴于点D，过点H作轴于点E，连接，证明,得，得． 【详解】（1）解：∵三个顶点的坐标分别是，，， ∴，，关于直线对称，再向下平移1个单位长度，得到， （2）解：∵关于直线对称的点为，再向下平移m个单位长度的点为， ∴， 过点G作轴于点D，过点H作轴于点E，连接， 则， ∵线段的垂直平分线过点O， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ◆题型3 平面直角坐标系的平移问题 题型模版 1.特征：点或图形按向量平移，求平移后坐标、平移距离或平移过程中的不变量。 2.方法：左减右加改变横坐标，下减上加改变纵坐标；图形平移时各点平移向量相同；用坐标差表示平移距离。 9．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，点均在轴上，点在轴正半轴上，且满足．已知满足：． (1)请写出点，，的坐标：________，________，________． (2)如图2，连接，，点为直线上一动点（不与、重合），且，求点的坐标； (3)如图3，将点向下平移4个单位得到点，点是直线上的动点，若点横坐标为，且满足，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)点D的坐标为或 (3)或 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数的非负性求出b，进而得到a的值，从而得到点A，B的坐标，根据得到点C的坐标； （2）由点A，B的坐标得到，即可求出的面积．设点D的坐标为，分三种情况讨论：①点D在线段上；②点D在线段的延长线上；③点D在的延长线上，根据各三角形面积之间的关系求解即可； （3）根据平移点的坐标变化得到点F的坐标为．设点P的坐标为，分两种情况讨论：①若点P在的上方，连接，，根据得出，根据表示出的面积，根据列出不等式，求解即可；②若点P在的下方，连接，，同①思路求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在轴正半轴上， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 设点D的坐标为 ①当点D在线段上时，，，如图， ∴ ∴ ∵， ∴，解得． 连接， ∵， ∴， 即，解得， ∴点D的坐标为． ②当点D在线段的延长线上时，，，如图， ∴ ∴ ∵， ∴，解得． 连接， ∵， ∴， 即，解得， ∴点D的坐标为． ③当点D在的延长线上时，如图 ， ∴不存在． 综上所述，点D的坐标为或． （3）解：∵将点向下平移4个单位得到点， ∴点F的坐标为． 设点P的坐标为， ①若点P在的上方，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． ∴ ， 当时，， 解得． ②若点P在的下方，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． ∴ ， 当时，， 解得． 综上所述，的取值范围为或． 10．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当________时，点的横坐标与纵坐标相等； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． ④当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)； ； ，理由： 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 或． 【分析】（1）由非负数的性质得出，； （2）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（1）得，，进而可得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解； 由（1）得，，进而求得四边形的面积为，直线将四边形的面积分成两部分，然后分当在上时和当在上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴，解得：； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， ∵，， ∴，，， 由平移性质可知，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 略 ∵，， ∴，， 由平移性质可知，，，，， ∴四边形的面积 ， ∵直线将四边形的面积分成两部分 ∴当在上时，， ∴，解得：； ∴当在上时，， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴当直线将四边形的面积分成两部分时，的值为或． 11．（25-26七年级下·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且a，b满足． (1)如图1，求出点A，B的坐标； (2)如图2，把线段沿x轴的方向平移得到线段，B的对应点F在y轴上，作的平分线，连接，，设，求（用含的式子来表示） (3)如图3，在（2）的前提下，继续平移线段至，点A的对应点M在第三象限，点B的对应点在第四象限，且，，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据绝对值、偶次方的非负性，求出，，即可得到点A，B的坐标； （2）由平移得，，根据平行线的性质得到，，结合角平分线定义求出，根据，求出，再利用三角形内角和求出； （3）先求出的面积，根据平移得到点E、F的坐标，设，则，得，利用列式计算求解即可 【详解】（1）解：∵． ∴， 解得， ∴； （2）解：由平移得，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵把线段沿x轴的方向平移得到线段，B的对应点F在y轴上， ∴，， ∵平移线段至，点A的对应点M在第三象限，点B的对应点在第四象限，且， ∴设，则，即， ∴， 得， 过点E作轴，作于点R，于点H，交y轴于点W，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，连接，． (1)点的坐标为________； (2)如图2，若点从点出发沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，点同时从点出发沿射线运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒． ①当轴时，求的值； ②连接，，，若的面积等于的面积的一半，求点的坐标； ③连接，，用等式表示，与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①；②； ③解：或，证明如下： ∵点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， ∴点A向下平移个单位长度得到点D，点B向下平移个单位长度得到点C， ∴线段向下平移4个单位长度得到， ∴； 如图所示，当点F在上时，过点F作， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点F在的延长线上时，过点F作， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【分析】（1）根据点A和点B的坐标判断出平移方式，根据平移方式即可得到点C的坐标； （2）①根据题意用含t的式子表示出点E和点F的坐标，根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同建立方程求解即可；②由平移的性质可得，则点E到的距离，等于点C到的距离；设点E到的距离为h；根据题意可得，可推出，据此建立方程求解即可；③分两种情况：点F在上和点F在的延长线上，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴点C的坐标为，即； （2）①解：∵点从点出发沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，点同时从点出发沿射线运动，速度为每秒个单位长度， ∴， ∴，， ∵轴， ∴点E和点F的纵坐标相同， ∴， 解得； ②解：如图所示， 由平移的性质可得， ∴点E到的距离，等于点C到的距离； ∵点，的坐标分别为，， ∴， 设点E到的距离为h， ∴， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 由（2）①得， ∴ ③略 ◆题型4 中点坐标公式的应用 题型模版 1.特征：已知两点坐标求中点，或利用中点反求端点、比例分点等。 2.方法：中点坐标为两端点对应坐标的平均数；遇比例分点可用参数法或向量法；常与平移、对称结合考查。 13．（25-26七年级下·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义： 若线段上存在点，使得点在坐标轴上，则称点P是线段的伴随点． (1)如图，点． ①在点，，中，线段的伴随点是 ； ②点是线段的伴随点，则n的最小值为 ，n的最大值为 ． (2)已知点，，点，点E是线段的伴随点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①；②，1 (2)t的取值范围为或 【分析】（1）①将“点M在坐标轴上”转化为横坐标或纵坐标为0，即或．结合线段上点Q的坐标特征（，）逐一检验即可； ②设，由伴随条件得或，利用得n的范围，故最值直接取不等式的端点值； （2）线段为竖直线，点E坐标含参．伴随条件分两类：横坐标为0（得）或纵坐标为0（得，再令其在的纵坐标范围内，解不等式组）． 【详解】（1）解：①由点可知：线段：，且， 若点P是伴随点，则在线段上存在，使得点M在坐标轴上， 即或， 解得：或， 检验：：需，但是，故排除， ：需，可取，成立， ：即，故成立； ②点，设线段上存在， 由①可知：伴随条件为或， 因为， 所以， 即或， 最小值为，最大值为1； （2）解：由点，可知：线段：， 点，设线段上存在， 所以， 伴随条件为或， 解得：或， ∴， 解不等式：； 综上所述：t的取值范围为或． 14．（2026·山西大同·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为．下列说法正确的是（     ） A．当时，点B是线段的中点 B．存在唯一一个m的值，使得 C．不存在m，使得 D．无论m取何值，线段的长度恒为定值 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据已知点坐标计算各线段长度，逐个验证选项即可得到答案． 【详解】解：∵点，，，轴，点纵坐标为， ∴横坐标与相同，． 验证选项A： 当时，，， 中点横坐标为，点横坐标为， ∵ ，∴ 不是线段的中点，A错误； 验证选项D： ，长度随变化，不是定值，D错误； 验证选项C： ，若，则， 两边平方得，整理得，解得，存在满足条件的，C错误； 验证选项B： ，若，则， 两边平方得，整理得，解得，只有唯一一个解， ∴ 存在唯一一个满足条件，B正确． 15．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且，连接，以，为边作长方形，点D为直线上一动点． (1)直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (2)若点D为的中点，点F在y轴负半轴上，连接．当的面积与的面积相等时，求点F的坐标； (3)若，的平分线与的平分线所在直线交于点E，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)点F的坐标为 (3)，理由如下：如下图， 四边形是长方形， ， ， 的平分线与的平分线所在直线交于点E， ， ， ． 【分析】（1）利用非负数的性质求出a和b的值，即可得答案； （2）先求出D的坐标和三角形的面积，用面积公式求出三角形的底的长，即可解答； （3）用表示出，用角平分线和三角形的内角和即可解答． 【详解】（1）解：， ， ； （2）点D为的中点， ， 设点F的坐标为，其中， ， ， ， 解得：， 点F的坐标为； （3）略． 16．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，轴于点，已知点，，其中，满足． (1)直接写出点的坐标； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．过点作轴于点．设运动时间为秒，当时，求的取值范围； (3)连接，如图，并平移线段，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，进而即可求解； （2）设运动时间为秒， 则，，，即得，，再根据题意列出不等式解答即可； （3）易知四边形为平行四边形，所以为与的中点，设，又因为，因此的中点的坐标为，根据，分情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴于点，轴于点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 由题意可知，四边形是矩形， ∴，， ∵个单位，个单位， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：设， 连接，由平移可知四边形为平行四边形， ∴为与的中点，， 设，则， ①当点P在y轴正半轴，即时，如图， ， ，解得， ， ②当点P在y轴负半轴，即时，如图， ， ，解得， ， 综上所述，当时，点的坐标或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，动点问题，平行四边形的性质，用中点坐标公式写出点P坐标是解题关键，列方程时要注意坐标中值的正负性． ◆题型5 平面直角坐标系中的动点（图）问题 题型模版 1.特征：点在坐标系中按规律运动，或图形随参数变化，求坐标、路程、面积或最值。 2.方法：用时间或参数表示动点坐标；分析运动路径与边界；结合方程、不等式或几何性质求解；注意分类讨论。 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 存在． 理由：过作的延长线，垂足为，如图所示： 由题意得点和点的坐标分别为和， ∴ ， 设点坐标为，连接， ∴， ∵， ∴，即，解得， 存在这样的，使得四边形的面积等于； (3) 不变．理由如下： 当点在线段上时，如图所示，设运动时间为秒，， 过作的延长线，垂足为 ，连接， ∵，， ∴ ， 当点运动到线段的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，，连接， ∴为定值，故其值不会变化． 【分析】（）利用绝对值与平方的非负性求出的值，即可求解； （）由平移的性质可得点，点，，由面积关系可求解； （）分点在线段上，点在的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，解得， ∴点和点的坐标分别为和； （2）略 （3）略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，非负式性质求解，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键． 18．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足：，连接． (1)如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)如图2，若点在轴上，当时，求点的坐标； (3)如图3，对于正方形，连接，将正方形分割成两个直角三角形，称这两个直角三角形为“半正方形”，故和分别是以，为直角的“半正方形”．若点在坐标平面内，且，将轴向下平移2个单位得到直线，在直线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为直角的“半正方形”，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，即可求解； （2）设的坐标为，过点作轴于点，分两种情况讨论，当在点上方时，即，；当时，，分别解方程，即可求解； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明得出，，则或，根据建立方程解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且满足：， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵点在轴上， 设的坐标为 ∵ ∴， ∴ ∴ 如图，过点作轴于点， ∴ ∴ ∴ 显然，当点在之间时，，不合题意， 分两种情况讨论： ①如图，当在点上方时，即 ∴ 解得： ∴ ②当时，如图 ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 （3）如图，过作直线， 过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵将轴向下平移2个单位得到直线， ∴， 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，即或即 ∵，， 当时， 如图，共线，连接 ∴ 当时，即 解得： ∴ 当时， 解得： ∴ 即或 当时，如图，过点作于点，则， 当时，即时 ∴ ∴，解得： ∴ 当时，即时 如图，延长交轴于点 ∴，， ∴ ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 19．（25-26七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则称点是关于方程的“阳光点”． 已知关于x，y的二元一次方程． (1)当，时，试判断点是否为关于已知方程的“阳光点”？ (2)若将线段平移，平移后的点A、B的对应点分别是点D、E，点，，，且，点A，D都是关于已知方程的“阳光点”，求的值（用含的式子表示）； (3)若点和轴上的点都是关于已知方程的“阳光点”，点的坐标为，且三角形的面积等于3，求的值． 【答案】(1)点是该方程的“阳光点” (2) (3)或 【分析】（1）将点坐标代入方程验证即可判断； （2）先根据平移规律得到平移后点D的坐标，再将A、D代入方程，消去参数后化简得到h用k表示的结果； （3）先根据P是阳光点得到b，c的关系式，再结合M在x轴上的条件，利用三角形面积公式得到，分情况代入计算得到的值即可． 【详解】（1）解：当时，方程为， 将代入方程左边，得 ∵左边=右边， ∴是方程的解． 答：点是关于已知方程的“阳光点”． （2）解：由题意得方程为， ∵点是“阳光点”， ∴． ∵线段平移得到，且对应， ∴点的对应点的坐标为． ∵点也是“阳光点”， ∴． 两式相减得： ， ， ， ， 答：的值为． （3）解：∵点是“阳光点”，代入方程得： ∵点在轴上且是“阳光点”，令，得，即， ∴． 又∵， ∴ 三角形的高为． 由得： ∴或． 第一种情况：当时，，代入①得： 解得， 此时． 第二种情况：当时，，代入①得： 解得， 此时． 答：的值为或． 20．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，过点D作轴，垂足为E，点E的坐标为．动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着向终点D运动，设运动时间为t秒． (1)点C的坐标是，点D的坐标是，的长为，的长为； (2)当点P运动时，求点P的坐标（用含t的式子表示）； (3)如图2，当点P运动到线段上时，连接交于点Q，是否存在点P使得三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，，8，4 (2)当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为； (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）先求出，根据平移的性质得到，，进而根据点E的坐标为作答即可； （2）由题意可知动点P运动的路程为，分两种情况求出t的取值范围，即可求出点P的坐标； （3）由题意可知，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∵将线段向右平移得到线段， ∴，， ∵点E的坐标为， ∴点D的坐标是，，， ∴， ∴点C的坐标是； （2）解：∵动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发， ∴动点P运动的路程为， 当点P在线段上运动时，，解得， 此时点P的坐标为； 当点P在线段上运动时，，解得， 此时点P的坐标为； （3）解：存在， 如图， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 21．（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图，将点向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点；将点向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点；将点向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到点；……．按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移方式求出点，，的横坐标，进而总结规律即可得到答案． 【详解】解：第1次平移，向右平移2个单位长度，则横坐标增加2，点的横坐标为， 第2次平移，向右平移4个单位长度，则横坐标增加4，点的横坐标为， 第3次平移，向右平移8个单位长度，则横坐标增加8，点的横坐标为 ……， 以此类推，可知第n次平移，向右平移个单位长度，则横坐标增加，点的横坐标为， ∴点的横坐标为． 22．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，规定：将向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，称为一次“L变换”．则连续经过101次“L变换”后，顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过B作轴于D，过C作轴于E，即，，；证明可得、、，即；再利用平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：过B作轴于D，过C作轴于E，即，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵将向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，称为一次“L变换”． ∴连续经过101次“L变换”后，点C对应的坐标为，即． 23．（21-22七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，平面直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形顶点坐标求出各边长及周长，利用相遇问题公式求出第2022次相遇时点P运动的总路程，通过总路程除以周长的余数确定点P在长方形上的具体位置，进而得出点的坐标． 【详解】解：，，，， 、， 长方形的周长为：， 设点P、Q第2022次相遇时运动时间为秒， 、是相向运动，每次相遇路程和为周长， ， 解得：， 此时点P的运动路程为， ， 点P运动了808圈后，又沿顺时针方向走了8个单位长度， 顺时针方向路径为，且、、， ， 点P到达点B后，还需沿方向走个单位长度， ， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 24．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：； 观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ___________，点的坐标为 ___________． 若按第题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ___________，点坐标为 ___________． 【答案】 【分析】根据图形变化规律写出图形变换后点的坐标，根据点的坐标变化的规律写出、的坐标即可； 根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标的长度变为上一次的倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点的坐标的长度每变化一次横坐标就变为上一次的倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是，然后写出即可． 【详解】解：根据图形变换的规律： ，，，， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为； ，，，， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为 ； 解：由图形变换的规律可得： 点坐标为：； 点的坐标为：． 【点睛】本题考查了规律型中的坐标问题，解题的关键是根据给定点的坐标结合图形找出变化规律． 25．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，点且．将线段平移，平移后A，B的对应点分别为点，，其中．连接，若点在直线上运动，连接，记三角形的面积为S，其中，则n的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】根据平移的性质列出方程组求得的值，进而得出，根据已知条件列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：依题意，点，点平移后，的对应点分别为点，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∵在线段上，则，三角形的面积为，其中， ∴， ∴，即或， 解得：或． 26．（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段分别与轴、轴交于、两点，将线段向左平移5个单位得到线段（，分别为，平移后的对应点），点恰好落在轴上，若点的纵坐标为，图中阴影部分面积是18，则点的坐标为__________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】由平移的性质可得，，由题意可得，，则，设，则，连接，最后根据，计算即可得出结果． 【详解】解：连接， 由平移的性质可得，， ∵点恰好落在轴上，若点的纵坐标为， ∴，， ∴， 设，则， ∵图中阴影部分面积是18， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 27．（25-26七年级下·重庆·期中）结合图形，解答下列各题： (1)如图1，把直角梯形按图示平移得到梯形，其中，求阴影部分的面积． (2)如图2，在平面直角坐标系中点，将线段平移至点，过点A 作直线轴，点在直线上，且，求 的值． 【答案】(1)168 (2)1或9 【分析】（1）由平移的性质可知，梯形的面积等于梯形的面积，得阴影部分的面积=梯形的面积，根据梯形面积公式可得结论； （2）由平行的性质求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：如图， 由平移的性质可知，梯形的面积等于梯形的面积， 则阴影部分的面积=梯形的面积： 由图可知，， ∴阴影部分的面积 答：阴影部分的面积为168； （2）解：∵点平移至 ∴纵坐标增加了， ∵点平移至 ∴横坐标增加了， ， ∵直线轴且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为 1，即。 即 ， 解得或， 当时，； 当时，． 所以，的值为1或9． 28．（25-26七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，其中，将三角形平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，其中点D的坐标为． (1)当，，时，判断三角形如何平移得到三角形，并在图中画出三角形； (2)若点E的坐标为， ①求m，a的数量关系； ②记三角形的面积为，三角形的面积为，探究和的关系． 【答案】(1)三角形先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形，所作图形如图所示： (2)①；② 【分析】（1）由题意易得，，，，然后可得平移方式，进而作图即可； （2）①由题意易得平移方式为先向右平移a个单位长度，再向上平移3个单位长度，则有，然后问题可求解； ②由①可知，，，，，，如图，与的交点，然后可得轴，轴，轴，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：当，，时，则有，，，， 因为平移过程中，三角形上所有的点都做相同的平移， 所以对应点的坐标变化规律与图形的平移规律相同， 因为点的对应点为点， 所以三角形先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形， 又因为，， 所以， 如图所示略，三角形即为所求． （2）解：①因为平移过程中，三角形上所有的点都做相同的平移， 所以对应点的坐标变化规律相同， 所以点平移得到点， 所以先向右平移a个单位长度，再向上平移3个单位长度， 又因为的对应点， 因为点E的坐标为， 所以， 解得， ②由①可知： 因为，，，，，， 如图，与的交点， 因为D，F纵坐标相同，C，G纵坐标相同，E，D横坐标相同， 所以轴，轴，轴， 所以， 所以， 又因为，，，， 所以， 所以， 所以． 29．（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均是整数的点称为格点．对于任意两格点，，定义它们的格点关联和为，已知点，． (1)①根据定义，求的值； ②将点向右平移个单位得到点，点沿轴方向平移得到点．若，求出符合条件的点的纵坐标； (2)格点在区域（四边形）边上，且满足，直接写出点的坐标． 【答案】(1)①；②或 (2)点的坐标为或 【分析】（1）①根据题意即可解答； ②根据题意列方程即可解答； （2）分四种情况，即点分别在上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：①； ②将点向右平移个单位得到点， 设点， ， ， 解得或， 点的纵坐标为或； （2）解：当点在上时，设，此时， ， 解得（舍去）或（舍去）； 当点在上时，设，此时， ， 解得（舍去）或； ； 当点在上时，设，此时， ， 解得或（舍去）； ； 当点在上时，设，此时， ， 解得（舍去）或（舍去）； 综上，或． 30．（26-27八年级上·陕西西安·期末）【问题提出】 （）如图，在中，，平分，过点作．若，则的长为 ； （）如图，点，两点分别在线段和轴上，求的最小值； 【问题解决】 （）如图，某大型工厂生产区域内，有一个直角三角形场地，在处分别设有两条生产流水线．某员工需要从点出发到达流水线上的任意一点，取一零件当场加工后，放回到流水线上任意一点，其中，米，米，．为了便于确定点的位置，以为原点，所在的直线为y轴，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点B的坐标为．为节约时间，要求员工行走路程最短，请你根据以上信息，求出符合要求的点的具体位置（坐标）． 【答案】 （）； （）； （）点． 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，将军饮马模型，坐标与图形，确定最小值是解题关键． （）由角平分线的性质可得，再由勾股定理即可求解； （）当三点共线，且时，有最小值为，证明得出； （）过点作，此时最小，过点作，利用等面积求出，进而求出即可解答． 【详解】解：（）∵，平分，． ∵， ∴， 在中，， 故答案为：； （）当三点共线，且时，有最小值，如图， ∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为：； （）过点作，此时有最小值，过点作，如图， ∵． ∴， ∵点的坐标为，点B的坐标为， ∴米，米， ∴米， ∴， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴点． 31．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图（1），已知点，点，且、满足，平移至，使点在轴上，点在轴上，点与点对应，点与点对应．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴负方向运动，射线和射线交于点．设运动时间为秒，且． (1)直接写出点的坐标 ，点的坐标 ，当时，求点的坐标 ； (2)若三角形的面积记为，三角形的面积记为，当时，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； (3)当三角形的面积为8时，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)是定值，理由如下： 如图，由题意得， ∴ ， ∴为定值，为； (3) 【分析】（1）先根据算术平方根和绝对值的非负性求解，即可求解坐标，然后利用平移的性质求解坐标，再由动点的运动求解时的位置，即可求解点的坐标； （2）由题意得，则，继而转化为求解即可； （3）先确定只有时符合题意，同理可证明设，则，求出，则，再由建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 解得 ∴， ∵平移至，使点在轴上，点在轴上， ∴设 ∴有 解得 ∴，， ∴， 当时，，， ∴点重合， ∴ （2）略 （3）解：当时，，此时三角形的面积不为8； 当时，如图： 此时 ， ∴ 设， 则 ∴ ∴ ∵， ∴， 解得 ∴． 32．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【阅读材料】 在物理学中，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．三角形匀质薄板的重心就是三角形的重心．对于三角形匀质薄板，其重心有以下结论： 结论一：三角形的重心是三条中线的交点； 结论二：在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标为，，，则该三角形重心G的坐标为：． 【解决问题】 如图，已知的中线，，交于点G． (1)如果建立平面直角坐标系后，四个点的坐标分别为，，，．求a，b的值； (2)求证：； (3)若的面积为20，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2)证明：由（1）知，，，，，如图， ∴轴，，，， ∴， ∴，， ∴， 设点A到的距离为h， ∵，， ∴； (3)5 【分析】（1）利用题干中的三角形重心G的坐标公式列方程求解即可； （2）设点A到的距离为h，利用中点坐标公式和坐标与图形性质推导出，，进而可求解； （3）由（2）可得，故当时，最短，此时最短，利用三角形的中线平分该三角形的面积得到，进而求得 即可求解． 【详解】（1）解：∵的中线，，交于点G， ∴点G为的重心， ∵，，，， ∴，即 解得； （2）略 （3）解：由（2）知，则， 当时，最短，此时最短， ∵是的中线，的面积为20， ∴，又， ∴， ∴的最小值为． 33．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则把点称作的“五好点”；且把数值称作两点的“唯一值”．例如：点的“五好点”为，“唯一值”为．根据该约定，试解决下列问题． (1)若点是两点的“五好点”，则_________，_________，、两点的“唯一值”_________（将正确的答案填写在相应的横线上）； (2)已知点，点是、两点的“五好点”，此时、两点的“唯一值”．若“五好点”点在第二象限，试求的取值范围； (3)已知点，且点是两点的“五好点”，先将点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点，若直线与坐标系中其中一条坐标轴平行，两点的“唯一值”，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）分别根据“五好点”、“唯一值”的定义求解即可； （2）先根据“五好点”的定义得出，再根据“唯一值”的定义得出、的关系式，用m表示出n，再代入P点坐标，然后根据点在第二象限，列出不等式组求解； （3）根据“五好点”的定义得出，再根据点的平移方式得到，然后根据“唯一值”的定义得到，再分两种情况讨论：当与轴平行时；当与轴平行时；结合，则可得到关于x、y的方程组，解方程组即可求点的坐标． 【详解】（1）解：∵点是两点的“五好点”， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， ∴、两点的“唯一值”； （2）解：∵点，点是、两点的“五好点”， ∴， ∵、两点的“唯一值”， ∴， ∴， ∴， ∵“五好点”在第二象限， ∴， 解得； （3）解：∵点是两点的“五好点”， ∴， ∵先将点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点， ∴，即， ∵两点的“唯一值”， ∴， ∴， ∵直线与坐标系中的一条坐标轴平行，， ∴分以下两种情况讨论： 当与轴平行时，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当与轴平行时，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 34．（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，到原点的距离为，点属于第三象限的一点，且，满足时，回答以下问题． (1)计算：________，________． (2)连接，，求三角形的面积； (3)已知线段长度为10，若点从点出发，在射线上运动（点不与点和点重合） ①如图2，若点在线段上运动时，过点作射线轴，且点在点的右侧，请直接写出：，，的数量关系； ②如图3，若点的速度为每秒3个单位，在点运动的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿轴负半轴运动，连接，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形的面积的2倍．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6， (2)18 (3)①；②存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍，t值为或 【分析】（1）利用算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）①根据平行线的性质和三角形内角和直接得到结论； ②过点O作于点F，利用的面积可求出的长，分点P在线段上和的延长线上两种情况，根据点P、点Q的速度用t表示出、的长，根据列方程求出t值即可得答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴三角形的面积为； （3）解：①，理由如下：如图， ∵轴， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点O作于点F， ∵， ∴， 解得：， 当点P在线段上时， ∵点P的速度为每秒3个单位，点Q的速度为每秒2个单位， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，当点P在延长线上时， ∵点P的速度为每秒3个单位，点Q的速度为每秒2个单位， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍，t值为或． 35．（25-26七年级下·广东珠海·期末）【材料阅读】 在二元一次方程组“数学活动”的学习中，小华同学对二元一次方程的解与平面直角坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小华同学的探究过程补充完整． (1)补全下列表格，使上下每对，的值都是方程的解． x … 0 1 2.5 … y … 0 n … 则表格中的 ； 如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如1图所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 (2)已知、、，则点 （填“或或”）在方程的图象上． (3)请在题1图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出二元一次方程组的解是 ； 【动手实践】 (4)如题2图所示方程的图象与，轴的交点分别是、，若方程的图象与轴相交于点，与轴相交于点． ①求点的坐标； ②已知关于，的二元一次方程组无解，且．在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，且满足．请在题23－2图中作出符合题意的图形，写出和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)C (3)方程的图象的图像如图所示． 两个图像的交点坐标：． ∴方程组的解为：． (4)①；②当点在点上方时，当点在点下方时 【分析】（1）把，代入得，计算即可； 解得； （2）分别把三个点的横纵坐标代入计算即可； （3）根据题意先画出图形，再根据图像交点确定方程组的解； （4）①在中，当时，，则； ②由方程组无解，得到直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行；据此画出图形，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据表格发现规律：， ∴把，代入得 ， 解得； （2）解：对于，，即不在方程的图象上． 对于，，即不在方程的图象上． 对于，，即在方程的图象上． （3）略 （4）解：①在中，当时，，； ②∵关于，的二元一次方程组无解， ∴直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行； 如图所示，当点在点上方时，过点作， ∵，， ，， ，， 同理可得， ∵点为的角平分线上一点， ， 又， ， ， ， ， ； 如图所示，当点在点下方时，过点作 ∵，， ， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，当点在点上方时， 当点在点下方时． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 平面直角坐标系中的平移和对称变换 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1 平面直角坐标系中的自定义问题 题型2 平面直角坐标系中的对称问题 题型3 平面直角坐标系的平移问题 题型4 中点坐标公式的应用 题型5 平面直角坐标系中的动点（图）问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 平面直角坐标系中的平移与对称变换，关键是抓住坐标变化规律：点左右平移改变横坐标（左减右加），上下平移改变纵坐标（下减上加）；关于x轴对称则横坐标不变、纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变、横坐标互为相反数，关于原点对称则横、纵坐标均互为相反数。对于新定义或复合变换，要先把文字规则翻译成坐标运算式；涉及动点问题时，用参数表示动点坐标，再根据条件列方程或不等式；注意分类讨论不同象限、不同对称轴的情况。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 ◆题型1 平面直角坐标系中的自定义问题 题型模版 1.特征：题目先定义一种新的变换（如“型对称变换”“衍生图”“倍镜像接收距离”等），再按要求求解。 2.方法：仔细阅读定义，把新变换翻译为坐标运算；按步骤逐步计算；注意定义中的限制条件与分类讨论。 1．（25-26七年级下·重庆·期中）阅读材料：在平面直角坐标系中，点关于轴对称后得到点． 现在我们规定一种型复合对称：先把点关于轴对称，再将对称后的点横坐标加，得到对应点，我们把这种变换叫做点的“型对称变换”．对于平面直角坐标系中的图形，将图形上的所有点进行“型对称变换”称为图形的“型对称图形” 例如：将点作“3型对称变换”：，，对应点为． 在平面直角坐标系中，已知点和点． (1)将点进行“2型对称变换”后的对应点的坐标为_________； (2)将线段进行“型对称变换”后与轴有公共点，则的取值范围为__________； (3)已知同一平面内两点，，将线段进行“1型对称变换”后得到的对应线段为，在坐标轴上是否存在一点，使得，若存在请求出所有符合条件的点的坐标，若不存在请说明理由． 2．（25-26八年级上·北京大兴·期末）对于平面直角坐标系中的点P，点Q和图形W，给出如下定义：点Q在x轴上，过点Q做垂直于x轴的直线l，图形W关于直线l的对称图形为，称图形为图形W关于点Q的衍生图形，若点P恰好在图形上，则称点P是图形W关于点Q的衍生点．已知点，点，点． (1)如图1，已知线段， ①当时，下列各点中，是线段关于点Q的衍生点的是 ； ②若点是线段关于点Q的衍生点，则 ； (2)已知点， ①如图2，若线段上恰好有关于点Q的两个衍生点，则m的取值范围是 ； ②如图3，点，正方形关于点Q的衍生图形为正方形，若正方形上存在正方形关于原点的衍生点，则m的取值范围是 ． 3．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）在平面直角坐标系中，过点作直线轴，图形关于直线的对称图形为，图形上任一点到轴，轴的距离的最大值是，称是图形关于直线的倍镜像“接收距离”． 已知点，． (1)①线段关于直线的1倍镜像“接收距离”是________； ②线段关于直线的倍镜像“接收距离”是3，的取值范围是________； (2)点，关于直线的倍镜像“接收距离”的最小值是________； (3)点，，线段关于直线的倍镜像“接收距离”小于线段关于直线的倍镜像“接收距离”，求的取值范围（直接写出结果即可）． 4．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点． 对于点给出如下定义：先将点关于直线对称，再向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，则称点为点的“睿智点”． (1)如图1，点坐标为， ①当点坐标为时，则点的“睿智点”的坐标为______； ②若点为点的“睿智点”，则的坐标为______； (2)如图2，点、，点与点关于轴对称．点在边上，点坐标为． ①画出点所有的“睿智点”； ②这些关联点组成的图形围成的面积是______． (3)如图3，点、、、，，点在正方形边上，点、，若线段上存在点的“睿智点”，直接写出的取值范围． ◆题型2 平面直角坐标系中的对称问题 题型模版 1.特征：涉及点、线段或图形关于x轴、y轴、某直线或某点的对称，求坐标、长度或最值。 2.方法：熟记对称坐标规律；关于直线x=a对称则横坐标满足“到轴距离相等”，关于直线y=b类似；结合图形性质列方程。 5．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点、在轴上，且关于轴对称，，，，，分别为垂足，则与的长度之比为______． 6．（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知，点． (1)若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． (2)点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，C，D是直线上的两动点，且，已知，，则四边形的周长最小值时，该四边形的面积为________． 8．（25-26八年级上·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，已知，过点作轴的垂线．若先将图形关于直线对称，再向下平移个单位长度，得到图形，则称图形是图形“关于的对称平移图形” (1)当时，若三个顶点的坐标分别是，，，记关于的对称平移图形为，在图中画出，并直接写出它的三个顶点的坐标； (2)记点关于的对称平移点为，若点始终在的垂直平分线上，试探究满足的数量关系． ◆题型3 平面直角坐标系的平移问题 题型模版 1.特征：点或图形按向量平移，求平移后坐标、平移距离或平移过程中的不变量。 2.方法：左减右加改变横坐标，下减上加改变纵坐标；图形平移时各点平移向量相同；用坐标差表示平移距离。 9．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，点均在轴上，点在轴正半轴上，且满足．已知满足：． (1)请写出点，，的坐标：________，________，________． (2)如图2，连接，，点为直线上一动点（不与、重合），且，求点的坐标； (3)如图3，将点向下平移4个单位得到点，点是直线上的动点，若点横坐标为，且满足，求的取值范围． 10．（25-26七年级下·山东德州·期末）如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当________时，点的横坐标与纵坐标相等； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． ④当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 11．（25-26七年级下·湖北黄石·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且a，b满足． (1)如图1，求出点A，B的坐标； (2)如图2，把线段沿x轴的方向平移得到线段，B的对应点F在y轴上，作的平分线，连接，，设，求（用含的式子来表示） (3)如图3，在（2）的前提下，继续平移线段至，点A的对应点M在第三象限，点B的对应点在第四象限，且，，求点M的坐标． 12．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，连接，． (1)点的坐标为________； (2)如图2，若点从点出发沿射线运动，速度为每秒1个单位长度，点同时从点出发沿射线运动，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒． ①当轴时，求的值； ②连接，，，若的面积等于的面积的一半，求点的坐标； ③连接，，用等式表示，与的数量关系，并证明． ◆题型4 中点坐标公式的应用 题型模版 1.特征：已知两点坐标求中点，或利用中点反求端点、比例分点等。 2.方法：中点坐标为两端点对应坐标的平均数；遇比例分点可用参数法或向量法；常与平移、对称结合考查。 13．（25-26七年级下·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义： 若线段上存在点，使得点在坐标轴上，则称点P是线段的伴随点． (1)如图，点． ①在点，，中，线段的伴随点是 ； ②点是线段的伴随点，则n的最小值为 ，n的最大值为 ． (2)已知点，，点，点E是线段的伴随点，直接写出t的取值范围． 14．（2026·山西大同·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为．下列说法正确的是（     ） A．当时，点B是线段的中点 B．存在唯一一个m的值，使得 C．不存在m，使得 D．无论m取何值，线段的长度恒为定值 15．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且，连接，以，为边作长方形，点D为直线上一动点． (1)直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (2)若点D为的中点，点F在y轴负半轴上，连接．当的面积与的面积相等时，求点F的坐标； (3)若，的平分线与的平分线所在直线交于点E，探究与之间的数量关系，并说明理由． 16．（25-26七年级下·云南昆明·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于点，轴于点，已知点，，其中，满足． (1)直接写出点的坐标； (2)如图，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线向上运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．过点作轴于点．设运动时间为秒，当时，求的取值范围； (3)连接，如图，并平移线段，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连接交轴于点，当时，求点的坐标． ◆题型5 平面直角坐标系中的动点（图）问题 题型模版 1.特征：点在坐标系中按规律运动，或图形随参数变化，求坐标、路程、面积或最值。 2.方法：用时间或参数表示动点坐标；分析运动路径与边界；结合函数、方程、不等式或几何性质求解；注意分类讨论。 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知点满足．将线段先向上平移个单位，再向右平移个单位后得到线段，并连接． (1)请求出点和点的坐标； (2)点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由； (3)在（）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 18．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，且满足：，连接． (1)如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)如图2，若点在轴上，当时，求点的坐标； (3)如图3，对于正方形，连接，将正方形分割成两个直角三角形，称这两个直角三角形为“半正方形”，故和分别是以，为直角的“半正方形”．若点在坐标平面内，且，将轴向下平移2个单位得到直线，在直线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为直角的“半正方形”，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 19．（25-26七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则称点是关于方程的“阳光点”． 已知关于x，y的二元一次方程． (1)当，时，试判断点是否为关于已知方程的“阳光点”？ (2)若将线段平移，平移后的点A、B的对应点分别是点D、E，点，，，且，点A，D都是关于已知方程的“阳光点”，求的值（用含的式子表示）； (3)若点和轴上的点都是关于已知方程的“阳光点”，点的坐标为，且三角形的面积等于3，求的值． 20．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，过点D作轴，垂足为E，点E的坐标为．动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着向终点D运动，设运动时间为t秒． (1)点C的坐标是，点D的坐标是，的长为，的长为； (2)当点P运动时，求点P的坐标（用含t的式子表示）； (3)如图2，当点P运动到线段上时，连接交于点Q，是否存在点P使得三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 21．（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图，将点向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点；将点向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点；将点向上平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度，得到点；……．按照这个规律平移得到点，则点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，规定：将向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，称为一次“L变换”．则连续经过101次“L变换”后，顶点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 23．（21-22七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，平面直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：； 观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ___________，点的坐标为 ___________． 若按第题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ___________，点坐标为 ___________． 25．（25-26七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，点且．将线段平移，平移后A，B的对应点分别为点，，其中．连接，若点在直线上运动，连接，记三角形的面积为S，其中，则n的取值范围是______． 26．（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段分别与轴、轴交于、两点，将线段向左平移5个单位得到线段（，分别为，平移后的对应点），点恰好落在轴上，若点的纵坐标为，图中阴影部分面积是18，则点的坐标为__________．（用含的式子表示） 27．（25-26七年级下·重庆·期中）结合图形，解答下列各题： (1)如图1，把直角梯形按图示平移得到梯形，其中，求阴影部分的面积． (2)如图2，在平面直角坐标系中点，将线段平移至点，过点A 作直线轴，点在直线上，且，求 的值． 28．（25-26七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，其中，将三角形平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，其中点D的坐标为． (1)当，，时，判断三角形如何平移得到三角形，并在图中画出三角形； (2)若点E的坐标为， ①求m，a的数量关系； ②记三角形的面积为，三角形的面积为，探究和的关系． 29．（25-26七年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标均是整数的点称为格点．对于任意两格点，，定义它们的格点关联和为，已知点，． (1)①根据定义，求的值； ②将点向右平移个单位得到点，点沿轴方向平移得到点．若，求出符合条件的点的纵坐标； (2)格点在区域（四边形）边上，且满足，直接写出点的坐标． 30．（26-27八年级上·陕西西安·期末）【问题提出】 （）如图，在中，，平分，过点作．若，则的长为 ； （）如图，点，两点分别在线段和轴上，求的最小值； 【问题解决】 （）如图，某大型工厂生产区域内，有一个直角三角形场地，在处分别设有两条生产流水线．某员工需要从点出发到达流水线上的任意一点，取一零件当场加工后，放回到流水线上任意一点，其中，米，米，．为了便于确定点的位置，以为原点，所在的直线为y轴，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，点B的坐标为．为节约时间，要求员工行走路程最短，请你根据以上信息，求出符合要求的点的具体位置（坐标）． 31．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）如图（1），已知点，点，且、满足，平移至，使点在轴上，点在轴上，点与点对应，点与点对应．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴负方向运动，射线和射线交于点．设运动时间为秒，且． (1)直接写出点的坐标 ，点的坐标 ，当时，求点的坐标 ； (2)若三角形的面积记为，三角形的面积记为，当时，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； (3)当三角形的面积为8时，求点的坐标． 32．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【阅读材料】 在物理学中，物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．三角形匀质薄板的重心就是三角形的重心．对于三角形匀质薄板，其重心有以下结论： 结论一：三角形的重心是三条中线的交点； 结论二：在平面直角坐标系中，若三角形的三个顶点坐标为，，，则该三角形重心G的坐标为：． 【解决问题】 如图，已知的中线，，交于点G． (1)如果建立平面直角坐标系后，四个点的坐标分别为，，，．求a，b的值； (2)求证：； (3)若的面积为20，，则的最小值为 ． 33．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则把点称作的“五好点”；且把数值称作两点的“唯一值”．例如：点的“五好点”为，“唯一值”为．根据该约定，试解决下列问题． (1)若点是两点的“五好点”，则_________，_________，、两点的“唯一值”_________（将正确的答案填写在相应的横线上）； (2)已知点，点是、两点的“五好点”，此时、两点的“唯一值”．若“五好点”点在第二象限，试求的取值范围； (3)已知点，且点是两点的“五好点”，先将点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点，若直线与坐标系中其中一条坐标轴平行，两点的“唯一值”，求点的坐标． 34．（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，到原点的距离为，点属于第三象限的一点，且，满足时，回答以下问题． (1)计算：________，________． (2)连接，，求三角形的面积； (3)已知线段长度为10，若点从点出发，在射线上运动（点不与点和点重合） ①如图2，若点在线段上运动时，过点作射线轴，且点在点的右侧，请直接写出：，，的数量关系； ②如图3，若点的速度为每秒3个单位，在点运动的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿轴负半轴运动，连接，是否存在某一时刻，使三角形的面积是三角形的面积的2倍．若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 35．（25-26七年级下·广东珠海·期末）【材料阅读】 在二元一次方程组“数学活动”的学习中，小华同学对二元一次方程的解与平面直角坐标系内点的对应关系做了如下探究，请将小华同学的探究过程补充完整． (1)补全下列表格，使上下每对，的值都是方程的解． x … 0 1 2.5 … y … 0 n … 则表格中的 ； 如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如1图所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 (2)已知、、，则点 （填“或或”）在方程的图象上． (3)请在题1图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为 ，由此你得出二元一次方程组的解是 ； 【动手实践】 (4)如题2图所示方程的图象与，轴的交点分别是、，若方程的图象与轴相交于点，与轴相交于点． ①求点的坐标； ②已知关于，的二元一次方程组无解，且．在线段上任取一点，连接．点为的角平分线上一点，且满足．请在题23－2图中作出符合题意的图形，写出和之间的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $