专题18 平面直角坐标系中的图形面积问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以四类综合题型为框架，通过解题通法+题型模版构建平面直角坐标系图形面积问题的系统性方法体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3大核心解法|割补法、铅锤法、公式法，含易错提醒|从基础公式到复杂图形转化，构建面积计算通用思路| |题型归纳|4类题型（每类1典例+3变式）|多解问题用绝对值方程分类讨论、不规则图形用割补法、存在性问题列面积方程求解|按“直接计算→割补转化→动态多解→综合应用”递进，形成知识链| |压轴挑战|12道综合题|综合运用面积公式与全等判定，结合动点、参数探究|衔接中考压轴题，提升复杂情境下的应用意识与创新思维|

专题18 平面直角坐标系中的图形面积问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 题型二、直接利用面积公式求图形的面积 题型三、利用补形法或分割法求图形的面积 题型四、与图形面积、全等相关的点的存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：已知顶点坐标求三角形、四边形面积，或由面积反求参数，常涉及不规则图形与坐标轴交点。 - 解题方法：用割补法（补成长方形或梯形减去多余部分）；铅锤法（水平宽×铅垂高/2）；坐标轴上点面积直接套底×高/2。 - 易错提醒：割补时多余部分面积计算重复或遗漏；铅锤法中宽与高取正数；带参数面积列绝对值方程，注意多解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 典例1 （25-26七年级下·江西上饶·期末）在平面直角坐标系中，有点，点，若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形的面积是三角形面积的2倍，则点C的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得，得出点C的坐标． 【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积×OB， 当点C在x轴上时， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； 当点C在y轴上时， ∵， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 综上所述，点C的坐标为． 故答案为：． 题型模版 1.特征：给定三角形面积，点的位置可在两侧或上下，导致多个满足条件的坐标。 2.方法：用面积公式建立含绝对值的方程，分坐标正负两种情形讨论，解出所有可能点并验证。 变式1-1（25-26七年级下·北京·期中）已知点，，点在坐标轴的正半轴上，三角形的面积是4，则点的坐标为_________ 【答案】或 【分析】分点A在x轴正半轴和y轴正半轴两种情况讨论． 根据三角形面积公式列方程求解，即可得到点A的坐标． 【详解】解：∵点A在坐标轴的正半轴上， ∴分两种情况讨论： ①当点A在x轴正半轴时，设，其中，则． ∵三角形的面积为4，点B的纵坐标为3， ∴ ． 代入得 ． 解得． 此时点A的坐标为 ． ②当点A在y轴正半轴时，设，其中，则． ∵三角形的面积为4，点B的横坐标为1， ∴ ． 代入得 ． 解得． 此时点A的坐标为． 综上所述，点A的坐标为或． 变式1-2（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，，点P在y轴上，且与的面积相等，则点P的坐标为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形面积的计算，利用点的坐标求三角形面积是解题关键，设点的坐标为，则，根据题意可得，即，解之即可得到答案． 【详解】解：设点的坐标为， ， ， 与的面积相等， ， ， 或， 点的坐标为或． 故答案为：或． 变式1-3（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 题型二、直接利用面积公式求图形的面积 典例2 （25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，再根据面积为面积的两倍时，然后解方程求得m的值，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，点C到的距离为4， ∴． （2）解：设点P坐标为，即，， ∵面积为面积的两倍 ∴，即，解得：， ∴点P坐标为或． 题型模版 1.特征：已知三角形底边和高（或矩形长宽），直接套用面积公式计算，无需辅助线。 2.方法：确定对应底和高，代入面积公式（三角形S=½×底×高，矩形S=长×宽）计算。注意单位统一。 变式2-1在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，已知点C的坐标为． (1)求a，b的值； (2)求三角形ABC的面积． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握绝对值、算术平方根的非负性． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值； （2）根据，的值可以确定点A、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：，， 点，点， 又点， ，， ． 变式2-2如图，在平面直角坐标系中已知，，． (1)求点到轴的距离； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 【答案】(1)3 (2)18 (3)或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，几何图形面积的计算，掌握平面直角坐标系的知识是关键． （1）根据点到坐标轴的距离的计算求解即可； （2）根据两点之间距离的计算得到，点到直线的距离为，根据三角形面积的计算公式求解即可； （3）设点的坐标为，根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为， 点到轴的距离； （2）解：点，点， ， 又点到直线的距离， （平方单位）； （3）解：设点的坐标为， ， ， 解得：，或， 点的坐标为或． 变式2-3如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． (1)填空： ， (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积 (3)在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的和为零的性质，三角形的面积等； （1）由非负数的和为零的性质得，，即可求解； （2）由三角形面积得，即可求解； （3）由三角形面积得，即可求解； 理解非负数的和为零的性质，会在平面直角坐标系中求三角形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：由（1）得 ，， ， ； （3）解：当时， ， ， ， 解得：， 点P的坐标为或． 题型三、利用补形法或分割法求图形的面积 典例3 （25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，已知点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使的面积等于四边形面积的三分之一，求点的坐标． 【答案】(1)21 (2)或． 【分析】（1）过点C和点D分别作y轴的垂线，垂足分别为点E，点F，根据并结合各点的坐标求解即可； （2）根据的面积，再根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点，，， ∴点， ∴，，，，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴ ∴点坐标为或． 题型模版 1.特征：不规则图形面积不能直接用公式，需补成规则图形或分割为几个规则图形。 2.方法：补形法（补成大图形减空白），分割法（分成三角形、矩形等），分别求面积后相加或相减。 变式3-1如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键． （1）根据，，得出，，利用三角形面积公式求出结果即可； （2）作轴于点E，利用割补法求出四边形的面积即可； （3）先求出的面积，分两种情况：当时，，当，，求出的值，进而可得的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：作轴于点E，如图所示： ∵，． ∴，，，， ∴， ， ∴； （3）解：， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 变式3-2（25-26七年级下·广东阳江·期中）如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，其中a，b满足 (1)填空： ， ； (2)若存在一点，点M到x轴的距离是 ， 到y轴的距离是 ，求三角形的面积；  (用含m的式子表示)． (3)在（2）条件下，当时，在x轴上存在一点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)1， (2)5，m， (3)点P的坐标是或 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，则，即可作答． （2）因为点，则点M到x轴的距离是5，到y轴的距离是，则，，再把数值代入进行计算，即可作答． （3）先得，依题意，设点P的坐标是，根据三角形的面积与三角形的面积相等，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵a，b满足 ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵点， ∴点M到x轴的距离是5，到y轴的距离是， 如图，分别过点M，B向y轴作垂线，，垂足分别是N，C， ∵，且，， ∴，， ； （3）解：当时，， 即， ∵点P在x轴上 ∴设点P的坐标是， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得． ∴点P的坐标是 或． 变式3-3（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点，，的坐标分别为，，，且．    (1)顶点，，的坐标； (2)求的面积； (3)为坐标轴上的动点，当与面积相等时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）利用非负数的性质列出方程组，求出的值即可； （2）添加辅助线，进行图形面积组合计算即可； （3）分点在轴，轴两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得：， ∴，，的坐标是，，， （2）如图，过作轴于点，过作轴于点，    由（1）得：，，， ∴，，，， ∴， ∵， ， ∴， （3）当在轴上时，设，如图，过作轴于点    ， ∴，， ∴ ∴， ， 解得：或， ∴点， 当在轴上时，设，如图，     ， ∴， ∴， 解得：或， ∴点， 综上可知：点． 题型四、与图形面积、全等相关的点的存在性问题 典例4 （25-26七年级下·四川达州·期末）如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，t的值为或 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、即可； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴， ，， 解得，； （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点在线段上时，， ∵的面积等于6， ∴， 解得； 当点在线段的延长线上时，则， ∵的面积等于6， ∴， 解得， 综上所述，t的值为2或10； （3）解：如图，当点在线段上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， ，即， 解得； 如图，当点在线段的延长线上时， 同理可得， ，即， 解得； 综上所述，存在，t的值为3或9． 题型模版 1.特征：已知面积或面积比例，求满足条件的点坐标，常设点后列面积方程。 2.方法：设未知点坐标，用面积公式（水平底×铅锤高/2）表示面积，列方程求解，注意多解验证。 变式4-1（25-26七年级下·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过O作轴于B． (1)填空：______，______． (2)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由： (3)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，求的度数． 【答案】(1)， (2)存在，或 (3) 【分析】（1）由，可得，可求； （2）设，则，，由，可得，计算求解，然后作答即可； （3）如图2，过点E作，则，，，，同理可得，再根据角平分线的定义计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：由（1）得， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，或， ∴存在，P点坐标为或； （3）解：如图2，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴的度数为． 变式4-2（25-26七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且． (1)求，的值； (2)在轴的正半轴上存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的一半，求出点的坐标；在坐标轴的其他位置是否存在点，使三角形的面积是三角形的面积的一半仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标； (3)如图，过点作轴交轴于点，点为线段延长线上一动点，连接，平分，．当点运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 【答案】(1)， (2)；存在，点的坐标，或 (3)不变， 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可求解； （2）先求出，从而，再根据面积公式，求得，再根据点在轴的正半轴上，即可求解；分类讨论：在轴的负半轴上时；在轴上时，根据面积公式，可求，再根据在轴的正、负半轴上，即可求解； （3）根据题意，得轴，从而，再根据角平分线的定义和邻补角的定义，可得，进而，最后计算即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：，， ，， ， ， ， 三角形的面积是三角形的面积的一半， ， ，则， 点在轴的正半轴上， ； 当点在轴的负半轴上时，； 当点在轴上时， ，， ，则， 点在轴的正半轴上时，； 点在轴的负半轴上时，； 综上所述：在坐标轴的其他位置存在点，点的坐标，或； （3）解：不变，， 轴，轴轴， ， 轴， ， 平分，， ， ， ， ． 变式4-3（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，、，其中，满足． (1)求、两点的坐标； (2)如图，点为第二象限内一点，若的面积为，求的值； (3)如图2，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为、，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性，求出、的值，进而得到、两点的坐标． （2）利用割补法表示出的面积，结合面积为列方程求解的值． （3）由与的面积相等，列出方程可求的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴，． （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交直线于点， 则， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． （3）解：存在，理由如下： ，， ，，， 与的面积相等， ， 或， 当时，如图， ， ，与的面积相等， ， ， ， ； 当时，如图， 则， ，与的面积相等， ， ， ； 综上所述：点的坐标为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知点，，点C在y轴上，且的面积是8，点C的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先确定的长度，再设C的坐标，根据三角形面积公式列方程求解，即可得到C的坐标. 【详解】解：设点C的坐标为， ∵点，点，两点都在x轴上， ∴， ∵的面积为8，的高为点C到x轴的距离，即， ∴， 将代入得， 化简得，即， ∴或， ∴点C的坐标为或. 2．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）如图，直线轴，且直线经过点，点的坐标为，为直线上的一动点，为的中点，点从点出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程中，三角形的面积（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大再变小 D．不变，面积始终为 【答案】D 【分析】根据题意，由中点坐标求法得到点的坐标为，即点到轴的距离始终为，在平面直角坐标系中求出三角形的面积即可确定答案． 【详解】解：直线轴，且直线经过点，为直线上的一动点， 点的坐标为， 为的中点， 点的坐标为，即点到轴的距离始终为， 、， ，即三角形的面积不变，面积始终为． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标与图形，三角形的面积．根据题意得到直角三角形的面积，利用三角形的面积公式求出的长是解题的关键． 设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出即可． 【详解】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C， ∵正方形的边长为1， ∴， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积分别是， ∴面积是， ∴， ∴， 则点A的横坐标为． 故选：B． 二、填空题 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知点，点A在x轴上，且三角形的面积是3，则点A的坐标是________ 【答案】或 【分析】根据x轴上点的坐标特征确定点A的纵坐标为0，将看作的底边，得到三角形的高为点B纵坐标的绝对值，结合三角形面积公式求出的长度，分情况得到点A的坐标，即可解题． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，点在轴上， 中，边上的高为点的纵坐标的绝对值，即高为， 三角形的面积是3， ， 解得或， 点的坐标为或． 5．（25-26七年级下·广西贺州·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】作轴于点，作轴于点，把四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，分别计算面积，相加得到四边形的面积，据此求出点的纵坐标． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，则四边形被分成了直角三角形，直角三角形，直角梯形， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，对于任意三点的“三分矩面积”给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”为任意两点纵坐标差的最大值，则关于点的“三分矩面积”．若点的坐标为．点的坐标为，点在轴上，且关于点的“三分矩面积”，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】设，由题意，“水平底”，“竖直高”或或，分三种情况，根据关于点的“三分矩面积”求解即可． 【详解】解：设，又点的坐标为．点的坐标为， 由题意，“水平底”，“竖直高”或或， 当时，点的“三分矩面积”，不合题意，舍去； 当时，，则点的“三分矩面积”， 解得或（舍去）， ∴； 当时，，则点的“三分矩面积”， 解得或（舍去）， ∴, 综上，点的坐标为或． 三、解答题 7．（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，交轴于点． (1)求三角形的面积； (2)求的长； (3)若平行于轴，当三角形的面积为三角形面积的2倍时，求点坐标． 【答案】(1)10 (2) (3)或 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式进行求解即可； （2）设，根据三角形的面积等于的面积和，进行求解即可； （3）根据平行于轴的点的横坐标相同，结合三角形的面积为三角形面积的2倍，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴三角形的面积． （2）解：设， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵平行于轴，， ∴设， ∴， ∵三角形的面积为三角形面积的2倍，， ∴， ∴或， ∴或. 8．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)存在，或 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可； （2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， 如图，作梯形，其中，，， ∴ . （2）解：由题意可得：必在和之间， ∵，，，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， 如图，当在四边形内时，且在右侧， ∴，， ∴ ， ∵的面积是面积的3倍， ∴，解得； ∴， 如图，当在四边形左侧时， ∴， ， 同理：， 解得； ∴， 综上或． 9．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且． (1)点坐标________、点的坐标________； (2)如图，是轴正半轴上一点，与轴交于点，当时， ①与面积之比为________． ②求的面积； ③求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，为轴上一动点，设的纵坐标为，当取何范围时，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，②，③点的坐标为 (3) 【分析】（1）利用算术平方根与绝对值的非负性，列方程求出、，直接得到、两点坐标； （2）①根据等高三角形面积比等于对应底边长之比，结合线段比例直接得到两个三角形面积之比； ②过点作轴于点，根据即可求出答案； ③设点纵坐标，拆分为两个小三角形，结合面积比例列方程求解，得到点坐标； （3）设轴动点纵坐标为，分割表示出面积，结合面积不等关系列出绝对值不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：，，且， 两个非负数均为，即， 解得，， 点坐标为，点B坐标为； （2）解：①和有公共顶点，底边、在同一条直线上，因此两个三角形的高（点到直线的垂线段长度）完全相等， 面积比就等于底边长的比， ； ②过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ， ； ③设点坐标为，即， 以为底，高是点的纵坐标， ， ， 可得， 又， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：设点坐标为， ， 与以为公共底，高分别为点、点到轴的距离和， ， 由题意，且， 代入得：， 整理得， 即， 解得． 10．（25-26七年级下·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若F点坐标为，坐标轴上是否存在一点P（不与点C重合），使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质得到关于a，b的二元一次方程组，然后求解即可； （2）过点M作，交y轴于点N，根据平行线的性质易证，再根据角平分线的定义整理即可得解； （3）存在，分点在y轴上，与x轴上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点，， ∴点，； （2）解：如图，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴轴，即， ∵分别平分，，， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， 当点P在y轴上时，设点， ∵F点坐标为， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或5， ∴点P的坐标为或； 当点P在x轴上时，设点，则， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或4（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 11．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 【答案】(1) (2)点之间的距离是定值6， 理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3)12 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点C作轴于点D，利用直角三角形的两个锐角互余可得，证明，于是可得，，进而即可求出点C的坐标； （2）连接，先证，再证，于是可得； （3）连接，过点C作轴于点F，同（1）可证，推出，，再证，可得，再证，可得，则，由此求出，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 如图，过点C作轴于点D， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的坐标为． （2）略 （3）解：如图，连接，过点C作轴于点F， 同（1）可证， ，， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 12．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于点，两点，点在直线上． (1)阅读并填空 ①过点作轴于点，可以由、的坐标，直接得出的面积为 ； ②过C作轴于点，的面积，的面积 ；（用含的式子表示） ③的面积的面积的面积，得到关于的一元一次方程，解方程可得点B的坐标为 ． (2)如图，请仿照（1）中的方法，求出点的纵坐标． (3)若点，且的面积等于24，求出的值． 【答案】(1)①6；②a；③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积计算，解题关键是熟练掌握割补法，根据面积关系，列出方程． （1）①根据点，点，结合三角形面积公式求出结果即可； ②根据，点，结合三角形面积公式得出； ③根据的面积的面积的面积，列出方程，解方程即可； （2）过点P作轴于点E，作轴于点F，连接，根据，得出，求出即可； （3）分两种情况讨论：当点M在点C下方时，当点M在点C上方时，分别画出图形，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①∵点，点， ∴，， ∴； ②∵，点， ∴，， ∴； ③∵的面积的面积的面积， ∴， 解得：， ∴； （2）解：过点P作轴于点E，作轴于点F，连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ， ， 又∵， ∴， 解得：， 即点P的纵坐标为； （3）解：当点M在点C下方时，过点M作轴于点E，并延长，过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴，，， ∴， ，， ∵， 又∵， ∴， 解得：； 当点M在点C上方时，过点M作轴于点E，过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴，，， ∴， ， ， ∵， 又∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题18平面直角坐标系中的图形面积问题的四类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 题型二、直接利用面积公式求图形的面积 题型三、利用补形法或分割法求图形的面积 题型四、与图形面积、全等相关的点的存在性问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：已知顶点坐标求三角形、四边形面积，或由面积反求参数，常涉及不规则图形与坐标轴交点。 解题方法：用割补法（补成长方形或梯形减去多余部分）：铅锤法（水平宽×铅垂高2）：坐标轴上点面 积直接套底×高/2。 -易错提醒：割补时多余部分面积计算重复或遗漏：铅锤法中宽与高取正数：带参数面积列绝对值方程， 注意多解。 刁题型归纳一—精诗夹型惠法，寿尖解题根基 题型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 典例1(25-26七年级下·江西上饶期末)在平面直角坐标系中，有点 (2,4)-B(0,2) 点 若在坐标轴上 有一点C(不与点B重合)，使三角形AOC的面积是三角形AOB面积的2倍，则点C的坐标为. 题型模版 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：给定三角形面积，点的位置可在两侧或上下，导致多个满足条件的坐标。 2方法：用面积公式建立含绝对值的方程，分坐标正负两种情形讨论，解出所有可能点并验证。 变式1-1(25-26七年级下北京·期中)已知点 0,0),BL3),点4在坐标轴的正半轴上，三角形1O8的 面积是4，则点A的坐标为， 变式1-2(25-26八年级上江苏宿迁阶段检测)在平面直角坐标系中， A(0,1)B(2,0)C(4,3) ,点P在 y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标为 变式1-3(25-26七年级下·山东临沂·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知三角形AOB中OA=6, OB=8,动点C从点O出发，沿O→A→B,当三角形OBC的面积等于三角形AOB一半时，点C的坐标 为 题型二、直接利用面积公式求图形的面积 典例2 (25-26八年级上福建漳州期中)如图，在平面直角坐标系中，点14(-3,0)，B(2,0),C4) 3 B -3-2-1012x (I)求△ABC的面积； (2)点P是y轴上一动点，当△ABP面积为△ABC面积的两倍时，求点P的坐标. 题型模版 1特征：已知三角形底边和高（或矩形长宽），直接套用面积公式计算，无需辅助线。 2方法：确定对应底和高，代入面积公式（三角形$=×底×高，矩形S=长×宽）计算。注意单位统一。 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-1在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为 a,0,B(0,b),且a,b满足a+2+b+1=0 0,4) 已知点C的坐标为 A B (1)求a,b的值； (2)求三角形ABC的面积. 变式2-2如图，在平面直角坐标系中已知 A(-2,3)B(4,3)C(-1,-3) 5-4-3-2 9X2345x (1)求点C到x轴的距离； (2)求△ABC的面积； (3)点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请求出点P的坐标 变式23如图，在平面直角坐标系中，己知1a,0),B(6,0)其中a,b满足a++(6-3=0 3/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (①)填空：a=,b= (2)如果在第三象限内有一点 点M(-2m）,请用合m的式子表示△1BM的面积 (3)在(2)条件下，当m=-2时，在y轴上有一点P,使得△ABP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P 的坐标 题型三、利用补形法或分割法求图形的面积 典剑3(25-26七年级下辽宁鞍山期中)如图，已知点4(0,1，BQ,),C5,).D(2,-) (1)求四边形ABCD的面积： (2)在x轴上找一点P,使△APB的面积等于四边形ABCD面积的三分之一，求点P的坐标. 题型模版 1特征：不规则图形面积不能直接用公式，需补成规则图形或分割为几个规则图形。 2方法：补形法（补成大图形减空白），分割法（分成三角形、矩形等），分别求面积后相加或相减。 变式3-1如图，在平面直角坐标系内有四个点： A(-2,0)B(0,3)C(2,4)D(3,0) 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D (1)求三角形AOB的面积； (2)求四边形OBCD的面积； (3)若点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD的面积分成1：2两部分，求点P的坐标， 变式3-2(25-26七年级下广东阳江期中)如图，在平面直角坐标系中，已知 A0,a）B3a,),其 中a,b满足a-+v2a+b=0 ()填空：a=-,b=: M(m,5)(m>0) (2)若存在一点 点M到x轴的距离是，到y轴的距离是，求三角形ABM的面积：（佣 含m的式子表示). (3)在(2)条件下，当m=2时，在x轴上存在一点P,使得三角形MOP的面积与三角形ABM的面积相等， 请求出点P的坐标， 变式3-3(25-26七年级下·辽宁抚顺期末)如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点A,B,C的坐标分 别为@a）,a-),c,且a+b-2+b-b-6d+c-l=0 5/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)△ABC顶点A,B,C的坐标； (2)求△ABC的面积： (3)P为坐标轴上的动点，当△ACP与△ABC面积相等时，直接写出点P的坐标. 题型四、与图形面积、全等相关的点的存在性问题 m,0) 典例4(25-26七年级下四川达州期末)如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为 (0,川，且m-6+(1-)=0,点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线40匀速运动，设点P运动时 间为t秒， B 0 备用图 (1)m= ,n=; (2)当△POB的面积等于6时，求t的值： (3)过P作PD垂直于直线AB交AB于点D,交y轴于Q.在点P运动的过程中，是否存在这样的点P,使 △POQ△AOB 全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 题型模版 1特征：己知面积或面积比例，求满足条件的点坐标，常设点后列面积方程。 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：设未知点坐标，用面积公式（水平底×铅锤高/2）表示面积，列方程求解，注意多解验证。 变式41(25-26七年级下广东中山期中)如图1，在平面直角坐标系中， A(a,0)C(b,4) 且满足 (2a+8)+D-4=0,过O作CBLx轴于B, 图1 图2 ()填空：a=,b= (2)若线段4C与y轴交于点 0(0,2) ,在y轴上是否存在点P,使得三角形DCP和三角形ABC的面积相等， 若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由： (3)若过B作BD∥AC交y轴于D,且AE,DE分别平分∠CAB,∠ODB,如图2，求∠AED的度数. 变式42(25-26七年级下云南大理期中)如图，在平面直角坐标系中，1(a.0),B(6,0),C(-1,2), a+2+(b-3)2=0 且 D D B x 图1 图2 (1)求a,b的值： ① M (②)°在轴的正半轴上存在一点，使三角形 OM ABC M 的面积是三角形 的面积的一半，求出点“的坐 标；②在坐标轴的其他位置是否存在点M,使三角形COM的面积是三角形ABC的面积的一半仍然成立， 若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标： 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，过点C作CD1y轴交y轴于点D,点P为线段CD延长线上一动点，连接OP,OE平分 ∠OPD ∠AOP,OF⊥OE:当点p运动时，∠DOE的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由. 变式43(25-26七年级下湖北武汉期中)如图，在平面直角坐标系中，1(a,-)、B(1,6）, 其中a,b满 足la-+v6+3=0 图1 图2 (1)求A、B两点的坐标： (2)如图1，点 E(t,2t+3) 为第二象限内一点，若△MBE的面积为1，求的值： (3)如图2，过点A、B分别向轴作垂线，垂足分别为D、C,在坐标平面内是否存在 P(m,n ,使得 △PAD与△PBC的面积相等，且△PCD与△PAB的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理 由. ◆ 同压轴挑战一支克高障压轴，定破思维上保 一、单选题 1.(25-26七年级下福建福州期中)已知点 A(-1,0)B(3,0 ,点C在y轴上，且△MBC的面积是8，点 C的坐标为() A.(40)（-4,0) 或 B.(0,4)成(0-4) 或 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (0,3)或0，-5) D.(3,0)或5.0 2.(25-26七年级下山西昌梁期中)如图，直线∥x轴，且直线经过点 ,6)，点4的坐标为 4,0)P 为直线上的一动点，B为OP的中点，点P从点0,6) 出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程 中，三角形AOB的面积() A A,一直变大 B.一直变小 C.先变大再变小 D.不变，面积始终为6 3.(25-26八年级上浙江宁波·期中)如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段OA将这 8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为() 19 10 7 C.2 1 A.6 B.3 D.3 二、填空题 4.(25-26七年级下湖北武汉期中)己知点O0,0),BL,2),点A在x轴上，且三角形0AB的面积是3， 则点A的坐标是 A(-4,0)B(6,0)C(2,4) 5.(25-26七年级下广西贺州期末)在如图所示的平面直角坐标系中，点 D(-3,2),在精上找一点P,使三角形4P8的面积等于四边形16CD面积的一半，则点的坐标为 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 6.(25-26七年级下重庆期末)如图，在平面直角坐标系中，对于任意三点A,B,C的“三分矩面积”给 出如下定义：“水平底”α为任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”h为任意两点纵坐标差的最大值， 则关于点不B、C的“三分矩面积”S=3h.若点p的坐标为(0，-3).点0的坐标为(3,2)，点M在y轴 上，且关于点P,O,M的“三分矩面积”S=8,则点M的坐标为 9 0 P 三、解答题 7.(2526七年级下广东汕头期中)如图，在平面直角坐标系0中，10-4)，B(5,2),AB交‘箱于 点M. 以 3 2 1 M 123 45主 -2 -3 -4KA -5 (1)求三角形ABO的面积： 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求OM的长； (3)若BC平行于y轴，当三角形ABC的面积为三角形ABO面积的2倍时，求C点坐标. 8.(25-26七年级下·重庆·期中)在平面直角坐标系中， A(m,6),Bm,0),其中m，”满足 m-4+Vn-8=0 y A D 0 B 图1 图2 (1)如图1，已知点 C(-2,-5 ,求△ABC的面积： (2)如图2，过点A向Y轴作垂线，垂足为D,请问在x轴的上方是否存在点E,使△EAD与△EOB的面积相 等，且△EAB的面积是△EOD面积的3倍？若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由. 9.(2526七年级下湖北襄阳期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点1(a2）,B(0,b),且 √a+5+lb-4=0 D (1)点A坐标 、点B的坐标 AD 1 (2)如图，C(m,0)是x轴正半轴上一点，AC与y轴交于点D,当CD2时， ①△ABD与△BCD面积之比为 ②求△ABC的面积； ③求出点D的坐标： 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (③)在(2)的条件下，P为'轴上一动点，设P的纵坐标为，当'取何范围时， S△ACr≤2S△MBc 请直接写 出t的取值范围. A(a,0)B(b,3)C(4,0) 10.(25-26七年级下·河南漯河·期末)在平面直角坐标系中，已知点 且满足 Va+b+(a-b+6)2=0 ,线段AB交y轴于点F,点D是y轴正半轴上的一点. D >M 图1 图2 图3 (1)求出点A,B的坐标； (2)如图2，若DB∥AC,∠BAC=a,且AM,DM分别平分∠CAB,∠ODB,求∠AMD的度数；（用含 的式子表示) 0. 3 (3)如图3，若F点坐标为 坐标轴上是否存在一点P(不与点C重合)，使得三角形ABP的面积与 三角形ABC的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由. 11.(25-26八年级上浙江嘉兴阶段检测)如图，在直角坐标系xOy中，点A0,6),点B为x轴正半轴上 一个动点，以AB为边作△ABC,使BC=AB,∠ABC=90°，且点C在第一象限内. 图1 图2 图3 (①)如图1，若B2,0),求点C的坐标 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图2，过点B向x轴上方作BD⊥OB,且BD=BO,在点B的运动过程中，探究点C,D之间的距离是 否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由 (3)如图3，过点B向x轴下方作BD⊥OB,且BD=BO,连结CD交x轴于点E,当△ABD的面积是△BEC 的面积的3倍时，求OE的长 12.(25-26六年级下·黑龙江哈尔滨阶段检测)已知，如图，在平面直角坐标系中，直线AB与坐标轴交 点A-40,B0,a两点，点C2,3,Pb在直线 上 Q P A 图1 图2 图3 (1)阅读并填空 ①过点C作CV⊥x轴于点N,可以由A、C的坐标，直接得出△AOC的面积为： ②过C作C01y轴于点Q,AAOB的面积-2OB:01=2a,AB0OC的面积=-；（用含a的式子表示） ③△AOC的面积=△AOB的面积+△BOC的面积，得到关于a的一元一次方程，解方程可得点B的坐标为_. (2)如图，请仿照(1)中的方法，求出点P的纵坐标， 点M(3,m）,且MCM的面积等于24，求出m的值. (3)若 13/13