专题17 平面直角坐标系的性质问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建系统性训练，聚焦平面直角坐标系性质的参数、距离、坐标轴定位等核心问题，提炼可迁移的解题模型，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1套核心解法|象限符号规律/对称坐标规则/距离公式/易错提醒|从坐标基本特征到变换规律，构建概念-方法-应用逻辑链| |五类题型|5典例+15变式|参数范围讨论/绝对值方程/坐标轴定位/平行轴性质/新定义转化|按“基础应用→综合计算→创新拓展”递进，题型与解法一一对应| |压轴挑战|18题（选择/填空/解答）|综合参数运算/动态几何分析/跨知识整合|覆盖中考高频考点，强化空间观念与模型意识|

专题17 平面直角坐标系的性质问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、含参数问题判断点所在的象限 题型二、由点到坐标轴的距离求参数 题型三、由点在坐标轴上求参数 题型四、由点所在的直线平行于坐标轴求参数 题型五、与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及点坐标特征（象限、坐标轴）、对称点（关于轴、原点）、点到坐标轴距离、两点间中点与距离，以及平移与旋转后的坐标变换。 - 解题方法：牢记各象限符号规律；对称坐标规律（关于x轴对称y变号，关于y轴对称x变号，关于原点对称都变号）；距离用绝对值；中点公式求坐标。 - 易错提醒：点到x轴距离为|y|而非|x|；混淆“关于原点对称”与“关于y=x对称”；平移时上下与左右坐标变换混淆；旋转时未确定中心与方向。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、含参数问题判断点所在的象限 典例1 （2026·甘肃嘉峪关·二模）若在第二象限，那么点必在第______象限． 【答案】四 【分析】根据第二象限点的坐标特征得到的取值范围，再判断点横纵坐标的正负，结合象限坐标特征确定点所在象限． 【详解】解：点在第二象限， ． ． ． 点的纵坐标为， ． 点的横坐标为正，纵坐标为负，第四象限内点的坐标特征为横坐标正、纵坐标负， 点必在第四象限． 题型模版 1.特征：点坐标含字母，根据横纵坐标符号判断点在第几象限或坐标轴上。 2.方法：讨论参数范围，确定横纵坐标的正负，结合象限符号规则（一正正，二负正，三负负，四正负）判断。 变式1-1（2026·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是________． 【答案】第一象限 【分析】判断点横纵坐标的正负，结合平面直角坐标系各象限点的符号特征即可求解． 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∵点的横坐标，纵坐标， ∵第一象限内点的横纵坐标都为正数， ∴点所在的象限是第一象限． 变式1-2（25-26七年级下·北京朝阳·期中）已知为实数，则点一定在第______象限． 【答案】一 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 【详解】解：∵为实数， ∴， ∴， 又∵点的纵坐标， ∴点的横纵坐标均为正数， ∴点一定在第一象限． 变式1-3（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）在平面直角坐标系中，点一定在第_______象限． 【答案】三 【分析】先判断点的横纵坐标的符号，再根据各象限内点的坐标符号特征即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， 点的横坐标为负，纵坐标为负， 可知点一定在第三象限． 题型二、由点到坐标轴的距离求参数 典例2 （25-26七年级下·新疆阿克苏·期末）若在第四象限，且点到轴的距离为7，则n的值为___________． 【答案】 【分析】先根据点所在象限得出，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值列等式求解即可． 【详解】解：∵在第四象限， ∴， ∵点到轴的距离为7， ∴， ∴， 解得． 题型模版 1.特征：已知点到x轴或y轴的距离，或到原点距离，求点坐标中的参数。 2.方法：利用距离公式（到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x|），列绝对值方程解参数，注意符号。 变式2-1（25-26七年级下·福建厦门·期中）点到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标是______． 【答案】或 【分析】点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，根据距离相等列方程求解，再计算点的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 又点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时，，，此时点坐标为； 当时，，，此时点坐标为． ∴点的坐标是或． 变式2-2（25-26七年级下·广东广州·期末）已知点，点为平面直角坐标系内一动点，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】先判断动点的运动轨迹，可得点在直线上，根据垂线段最短，可知线段的最小值为点到直线的距离，计算距离即可得到结果． 【详解】解：点坐标为，纵坐标为定值， 点在直线上， 根据垂线段最短，可得的最小值为点到直线的距离， 又直线平行于轴， 点到直线的距离为， ∴线段的最小值为5． 变式2-3（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）已知点，，点在轴上，且的面积为3，则点的坐标是________． 【答案】或 【分析】设点的坐标为，点在轴上，因此边在轴上，中边上的高为点到轴的距离，利用三角形面积公式构建绝对值方程求解，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图所示，设， 由，可得的长度为， 由，可得点到轴的距离，即边上的高为， 已知的面积为，根据三角形面积公式得： ， 化简得， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 题型三、由点在坐标轴上求参数 典例3 （25-26七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为_________． 【答案】 【分析】根据点在x轴上，得到，解方程即可； 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得； 题型模版 1.特征：点在x轴或y轴上，则横坐标或纵坐标为0，求字母参数的值。 2.方法：若在x轴上，令纵坐标=0；若在y轴上，令横坐标=0，解方程得参数，注意坐标轴原点情况。 变式3-1（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若在轴上，则点坐标为_________． 【答案】 【分析】y轴上的点横坐标为0，根据该特征先求出的值，再代入计算得到点的纵坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ， ∴点的坐标为． 变式3-2（25-26七年级下·江西赣州·期末）如果点在坐标轴上，那么点P的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，分两种情况：点在轴上和点在轴上，分别列方程求出的值，再代入计算得到点的坐标． 【详解】解：点在坐标轴上， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，轴上点的纵坐标为，可得 ， 解得或， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； ②当点在轴上时，轴上点的横坐标为，可得 ， 解得， 当时，，此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 变式3-3（25-26七年级下·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，点G的坐标为． (1)若点G在x轴上，求点G的坐标； (2)若点G到x轴、y轴的距离相等，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0，列出方程求解； （2）根据G到x轴、y轴的距离相等，列出含绝对值的方程求解． 【详解】（1）解：∵点G在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点G的坐标为； （2）解：∵点G到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或． 题型四、由点所在的直线平行于坐标轴求参数 典例4 （26-27八年级下·全国·课后作业）如果，是平行于x轴的一条直线上的两点，那么b与d的关系是______． 【答案】相等 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征，纵坐标相等，即可推导得出结论． 【详解】解：∵，是平行于轴的一条直线上的两点， ∴两点的纵坐标相等，即． 因此与的关系为相等． 题型模版 1.特征：两点连线平行于x轴或y轴，则纵坐标相等或横坐标相等，求参数值。 2.方法：平行于x轴时纵坐标相等，平行于y轴时横坐标相等，列方程解出参数，并验证两点不重合。 变式4-1（25-26七年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若轴，且，则点坐标为___________． 【答案】或 【分析】由轴可得点横坐标与点相同，再分点在点上方、下方两种情况，结合计算纵坐标即可． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， ∴B的横坐标为． ， 当点在点上方时，点的纵坐标为， 此时点坐标为； 当点在点下方时，点的纵坐标为，此时点坐标为， ∴点B的坐标为或． 变式4-2（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标； (2)若点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，轴， ∴点和点横坐标相等， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：∵点在第二象限， ∴，， ∵点到轴、轴的距离相等， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ∴， ∴． 变式4-3（25-26七年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系中，有，，三点． (1)当点在轴上时，则的值为________； (2)当轴时，求，两点间的距离； (3)在（1）、（2）的条件下，若点是轴上一点，当，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据轴上的点的横坐标等于0求解即可； （2）先得出点的纵坐标相等，求出的值，进而求出点的坐标，由此即可得； （3）先求出的面积，再设点的坐标为，求出的面积，根据题意建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得． （2）解：∵轴，且，， ∴点的纵坐标相等，即， 解得， ∴， ∴，， ∴两点间的距离为． （3）解：由题意，画出图形如下： ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∵，， ∴，的边上的高为， ∴， 设点的坐标为，则， 又∵轴，， ∴的边上的高为， ∴， ∵， ∴， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 题型五、与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 典例5 （25-26七年级下·甘肃陇南·期末）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点到轴，轴的距离的较小值称为点的“短距”．点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点” (1)点的“短距”为__________； (2)若点是“等距点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点到x轴和y轴的距离，取较小值得到短距； （2）根据等距点的定义，得到点横纵坐标的绝对值相等，列方程求解即可得到的值． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为． ∵， ∴点的“短距”为； （2）解：∵点是“等距点”， ∴点到轴、轴的距离相等， 可得， 即， 因此或， 解得或． 题型模版 1.特征：定义新坐标系规则（如“对称点”“距离”），按规则求点或范围，重理解。 2.方法：将新定义转化为坐标运算（如中点、距离、对称），结合坐标系性质列方程或不等式求解。 变式5-1（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知均为实数，当平面直角坐标系内的点满足等式时，称点为“星光点”． (1)判断点是否为“星光点”； (2)若点的坐标为，点是“星光点”，问在轴上是否存在一点，使得的面积为10？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点是“星光点” (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据“星光点”的定义进行判断即可； （2）设点，    根据“星光点”的定义列方程解得，得到．则，根据面积得到，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：， ， 点是“星光点”． （2）解：存在． 设点，     是“星光点”， ， 解得， ． ， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 变式5-2（25-26七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“对角点”．例如：点，点，因为，所以点与点互为“对角点”． (1)若点的坐标是，则在点，，中，点的“对角点”为点______； (2)若点的“对角点”在坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】根据“对角点”的定义逐个判断即可； 分点在轴上和点在轴上两种情况，根据“对角点”的定义解答即可． 【详解】（1）解：对于，，，，故不是点的“对角点”；对于，，，，故是点的“对角点”；对于，，，，故不是点的“对角点”， 综上，点的“对角点”为； （2）解：∵点在坐标轴上， ∴分两种情况讨论： ① 若点在轴上，设， 根据定义得：， 解得，此时，符合条件， ∴； ② 若点在轴上，设， 根据定义得：， 解得，此时，符合条件， ∴； 综上，点的坐标为或． 变式5-3（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为____________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的“长距”为3，且点C在第一象限内，将点C沿水平方向进行平移得到点D，使点D为“完美点”，且点D也在第一象限，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据“长距”的定义求解即可； （2）根据“完美点”的定义列方程求解即可； （3）由点在第一象限及“长距”为3，分别讨论横坐标或纵坐标绝对值为3，结合水平平移后纵坐标不变且点为第一象限“完美点”，解得点坐标为或． 【详解】（1）解：点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4， 点的“长距”为4． （2）解：点是“完美点”， 点到轴、轴的距离相等， ∴，即， 或， 解得或． （3）点在第一象限内， ，可得 解得． 点的“长距”为3， 分两种情况讨论： ①当时，或， 解得或（舍）． 当时，，满足“长距”为3， 沿水平方向平移得到点，纵坐标不变为1，点为“完美点”且在第一象限，故． ②当时，或， 解得或（舍）． 当时，，满足“长距”为3， 沿水平方向平移得到点，纵坐标不变为3，点为“完美点”且在第一象限，故． 综上，点的坐标为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由推导点横坐标的符号，结合纵坐标符号判断所在象限． 【详解】解：∵点的坐标为，， ∴， ∵纵坐标， ∴点的坐标符号为，在第二象限． 2．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）点在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上的点横坐标为0，先求出的值，再计算纵坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的横坐标为，即， 解得， 将代入纵坐标得， ∴点的坐标为． 3．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，且到原点的距离为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在轴负半轴，且到原点的距离为， ∴点的横坐标为， 纵坐标为，即点的坐标为． 4．（25-26七年级下·贵州黔南·期末）在平面直角坐标系中，轴，，若点，则点B的坐标是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵轴，点的坐标为， ∴点B的纵坐标为， 设点B的横坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点B的坐标为或． 5．（25-26七年级下·四川凉山·期末）下列说法不正确的是（     ） A．点一定在第四象限 B．点到轴的距离为 C．若中，则点在轴上 D．若轴，，在第一象限且，则点的坐标为 【答案】C 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可判断点A的横纵坐标的符号，据此可判断A；点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可判断B；根据题意可得或，据此可判断C；平行于轴的直线上的点的横坐标相同，再结合点B在第一象限和求出点B的坐标，即可判断D． 【详解】解：A选项： ∵，， ∴，， ∴ 点横坐标为正，纵坐标为负，即点A在第四象限，原说法正确； B选项： 点到轴的距离为，原说法正确； C选项： ∵， ∴或， ∴点在轴或轴上，并非一定在轴上，原说法错误； D选项： ∵轴，， ∴点的横坐标为， ∵点在第一象限，， ∴点的纵坐标为，即，说法正确． 6．（25-26七年级下·山东德州·期中）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“x轴距”，记作．如图，点，点，则线段的“x轴距”为4，记作，已知点，点，若，则m的值为（   ） A．1 B．或1 C．或1 D．或 【答案】C 【分析】分情况讨论：时，；时，或，再分别验证即可． 【详解】解：∵，且点，点， ∴当时，， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，符合题意； 当时，或， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，不符合题意， 综上所述，的值为或． 二、填空题 7．（25-26七年级下·四川广元·期末）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则的值为_____________． 【答案】 【分析】根据点在x轴上，纵坐标等于0，列式求解即可． 【详解】解：点在轴上， ， ． 8．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，点在第二、四象限角平分线上，则点坐标为___________． 【答案】 【分析】根据第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数，列出方程求出的值，再代入计算得到点的坐标． 【详解】解：∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴横纵坐标互为相反数， ∴， 解得， ∴，， ∴点坐标为． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知，，若点B位于第二象限，且直线轴，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据直线轴可得两点横坐标相等，求出的值，再根据得到的可能值，结合点在第二象限确定的值，代入计算即可． 【详解】解：直线轴， ，两点的横坐标相等， ， ， ， 解得或， 点位于第二象限，第二象限内点的纵坐标为正， ， ， ． 10．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知平面直角坐标系内的点的坐标为，且点到轴的距离为5，则的值为____________． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，列方程求解即可． 【详解】解：∵点，且点到轴的距离为， ∴， ∴，或 解得或； 11．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）在平面直角坐标系中，已知两点，，且，满足，若点在坐标轴上，且满足，则点的坐标为_________． 【答案】或 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，则，，再分点在轴、轴上两种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 当点在轴上时，设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 当点在轴上时，设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 12．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，那么我们把点与点称为点P的一对“完美点”．例如，点的一对“完美点”是点与点． （1）若点的一对“完美点”重合，则y的值为__________； （2）若点B的一个“完美点”的坐标为，则点B的坐标为__________． 【答案】 12 或 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“完美点”定义，求出点A的一对“完美点”的坐标，利用重合条件列方程求解； （2）根据“完美点”的定义可得或，分别解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，，则点的一对“完美点”的坐标分别为，， ∵点的一对“完美点”重合， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）∵点B的一个“完美点”的坐标为， ∴或， ∴或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 三、解答题 13．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点P在第三象限的角平分线上时，求出点P的坐标； (2)当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据横纵坐标相等列方程求出m的值，再求解即可； （2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． 【详解】（1）解：∵点在第三象限的角平分线上， ∴横纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴，， ∴点P的坐标为． （2）解：∵直线平行于x轴，且， ∴点P的纵坐标等于点A的纵坐标，即， 解得：， ∴， ∴点P的坐标为． 14．（25-26七年级下·广西柳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值． (2)若点的横坐标比纵坐标大3，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）根据轴上点的坐标特征列出方程求解； （2）根据点的横纵坐标关系列出方程求解． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点的横坐标比纵坐标大3， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 15．（25-26七年级下·河北沧州·期末）已知点，试分别根据下列条件，求出的值并写出点的坐标． (1)点在轴上； (2)经过点，的直线，与轴平行； (3)点到两坐标轴的距离相等． 【答案】(1)，点的坐标为． (2)，点的坐标为． (3)时，点坐标为；时，点坐标为． 【分析】（1）根据轴上的点纵坐标为0列方程求出的值即可； （2）根据平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等列方程求出的值即可； （3）根据点到两坐标轴的距离相等则点的横纵坐标的绝对值相等列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为． ∴． 解得． ∴， ∴点坐标为． （2）解：∵直线与轴平行，平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等， ∴， 解得． ∴， ∴点坐标为． （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等，点到轴距离为纵坐标的绝对值，到轴距离为横坐标的绝对值， ∴． 分两种情况讨论： 当时， 解得， ∴，， 此时点坐标为． 当时， 整理得， 解得． ∴，， 此时点坐标为． 16．（25-26七年级下·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式建立方程求解即可； （3）分三种情况：与中点重合，与中点重合和与中点重合，根据中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，为线段的中点， ∴点E的横坐标为，纵坐标为， ∴点E的坐标为； （2）解：设点为的坐标， 由题意得，，， 解得，， ∴点的坐标为； （3）解：设，， ①与中点重合时，则，， ，， ∴； ②与中点重合时，则，， ，， ∴； ③与中点重合时，则，， ，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 17．（25-26七年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”． (1)点的“长距”为___________； (2)若点是“角平分线点”，求的值； (3)若点的长距为，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)点是“角平分线点”，理由见解析． 【分析】（1）直接计算点到坐标轴距离的较大值； （2）根据“角平分线点”定义列方程求解； （3）先由点的长距和所在象限求出的值，再判断点的坐标是否满足“角平分线点”条件即可． 【详解】（1）解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴较大值为， ∴点的“长距”为； （2）解：∵点是“角平分线点”， ∴， 即， ∴或 ， 解得或； （3）解：点是“角平分线点”，理由如下， ∵点的长距为，且点在第二象限内， ∴点的横坐标，纵坐标， 到轴的距离为，到轴的距离为， ∵点的长距为， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， 即点到轴和轴的距离相等， ∴点是“角平分线点”． 18．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a，点B表示的数为b，那么的长度等于，借助平面直角坐标系与勾股定理可以研究平面内两点，之间的距离，小明已经构建了如图所示平面直角坐标系及直角三角形，则两点间距离； (1)根据上面结论，已知点，，求的长； (2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1，求A，B两点间的距离；当两点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离； (3)已知，，在y轴上找点Q，使是以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)10 (2)；或 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据给出公式求解； （2）根据坐标的特征，利用公式求解； （3）根据等腰三角形的定义，利用公式分两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：设点A横坐标为t， ∵点A，B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为，点B的纵坐标为1， ∴点A的坐标为， ∴； ①当点，在x轴上时，则， ∴； ②当点，在y轴上时，则， ∴； ③当平行y轴（或垂直x轴）时，则， ∴； ④当平行x轴（或垂直y轴）时，则， ∴； 综上所述：当点，所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，或； （3）解：设点Q的坐标为， ∵点，， ∴，，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①如图所示，当点M为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或； ②如图所示，当点N为顶点，为底边时，则， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴点Q的坐标为或， 综上所述：点Q的坐标为或或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题17平面直角坐标系的性质问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、含参数问题判断点所在的象限 题型二、由点到坐标轴的距离求参数 题型三、由点在坐标轴上求参数 题型四、由点所在的直线平行于坐标轴求参数 题型五、与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 习解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及点坐标特征（象限、坐标轴）、对称点（关于轴、原点）、点到坐标轴距离、两点间中 点与距离，以及平移与旋转后的坐标变换。 解题方法：牢记各象限符号规律；对称坐标规律（关于x轴对称y变号，关于y轴对称x变号，关于原点 对称都变号)；距离用绝对值：中点公式求坐标。 -易错提醒：点到x轴距离为y而非：混淆“关于原点对称”与“关于y=x对称”；平移时上下与左右 坐标变换混淆；旋转时未确定中心与方向。 夙题型到归纳精讲典型题法，夯失解题根基 题型一、含参数问题判断点所在的象限 典例1(2026甘肃嘉蛤关二模)若P(m,1 在第二象限，那么点B（m+3-3》必在第 象限， 题型模版 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：点坐标含字母，根据横纵坐标符号判断点在第几象限或坐标轴上。 2方法：讨论参数范围，确定横纵坐标的正负，结合象限符号规则（一正正，二负正，三负负，四正负） 判断。 变式1-1(2026江苏徐州模拟预测)在平面直角坐标系x0中，点 (6,a2+2） 所在的象限是 变式12(25-26七年级下北京朝阳期中)已知x为实数，则点1(：+1,2)-定在第。 象限. 变式1-3(25-26八年级下·黑龙江大庆期中)在平面直角坐标系中，点(-3，-m-)一定在第」 象限. 题型二、 由点到坐标轴的距离求参数 A(4,n-1) 典例2(25-26七年级下·新疆阿克苏期末)若 在第四象限，且点A到x轴的距离为7，则n的值 为 题型模版 1.特征：己知点到x轴或y轴的距离，或到原点距离，求点坐标中的参数。 2.方法：利用距离公式（到x轴距离为y,到y轴距离为x),列绝对值方程解参数，注意符号。 (2m-1,5-m） 变式2-1(25-26七年级下·福建厦门期中)点 到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标是 变式2-2(25-26七年级下·广东广州期末)已知点 -3-2）,点P(3)为平面直角坐标系肉一动点，则 线段PA的最小值为■ 变式2-3(25-26七年级下湖北襄阳期末)已知 4.0).B0,2列，点P在轴上，且△P1B的面积为3， 则点P的坐标是 题型三、由点在坐标轴上求参数 A(-7,a+1) 典例3 (25-26七年级下陕西西安·期中)在平面直角坐标系中，若点 在x轴上，则a的值为 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：点在x轴或y轴上，则横坐标或纵坐标为0，求字母参数的值。 2方法：若在x轴上，令纵坐标-0：若在y轴上，令横坐标=0，解方程得参数，注意坐标轴原点情况。 变式3-1(25-26七年级下黑龙江哈尔滨期末)若 (m+2,2m）在'轴上，则P点坐标为 变式3-2(25-26七年级下江西赣州期末)如果 P(a-4,d-9)在坐标轴上，那么点P的坐标为 n-2,2n+2) 变式3-3(25-26七年级下·陕西西安期末)在平面直角坐标系中，点G的坐标为 (I)若点G在x轴上，求点G的坐标： (2)若点G到x轴、y轴的距离相等，求点G的坐标. 题型四、由点所在的直线平行于坐标轴求参数 典例4 (26-27八年级下·全国课后作业)如果 M(a,b)N(c,d 是平行于x轴的一条直线上的两点，那么 b与d的关系是 题型模版 1.特征：两点连线平行于×轴或y轴，则纵坐标相等或横坐标相等，求参数值。 2方法：平行于×轴时纵坐标相等，平行于y轴时横坐标相等，列方程解出参数，并验证两点不重合。 变式41(2526七年级下北京密云期末)在平面直角坐标系0中，A点的坐标为32)，若48y辅。 且AB=3,则B点坐标为， 变式42(25-26八年级下·黑龙江大庆期末)已知点 (2a-2,a+5) 解答下列各题. ()若点的坐标为(4,5)，直线P‖y轴，求点P的坐标： (②)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a225的立方根. 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式43(25-26七年级下·山东滨州期末)在平面直角坐标系中，有 A(-2,a+1)B(a-1,4)C(b-4,3b) 三点 (1)当点C在'轴上时，则b的值为 (2)当AB‖x轴时，求A,B两点间的距离； 3)在1)、(2)的条件下，若点P是》轴上一点，当 acm=Sac,求点P坐标. 题型五、与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 典例5(25-26七年级下·甘肃陇南期末)在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点P到x轴，y轴的距 离的较小值称为点P的“短距”.点Q到x轴，'轴的距离相等时，称点Q为“等距点” 四点15，-2 的“短距”为 (2)若 B(2m-1,-3) 是“等距点”，求m的值， 题型模版 1特征：定义新坐标系规则（如“对称点”“距离”），按规则求点或范围，重理解。 2方法：将新定义转化为坐标运算（如中点、距离、对称），结合坐标系性质列方程或不等式求解。 变式5-1(25-26七年级下云南昭通期末)已知少均为实数，当平面直角坐标系内的点 (x,y) 满足等式 5x=2y+4时， 称点M为“星光点”. D(4,8) (1)判断点 是否为“星光点”： (2)若点A的坐标为 （-2,3)E(3n-1,n+2 ,点 是“星光点”，问在'轴上是否存在一点P,使得△AEP的面 积为10？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 变式52(2526七年级下江西赣州期末)在平面直角坐标系0中，点 (）B(）,若 4/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 龙2-龙=为-≠0 则称点A与点B互为“对角点”.例如：点 -12)点Ba6 ,因为 3-(-1)=6-2≠0 所以点A与点B互为“对角点”. 四若点4的坐标是4-2)，则在点8（仁0），B4-5),80,⊙中，点4的“对角点”为点 (2)若点 6,-2）的“对角点8在坐标轴上，求点巴的坐标 变式5-3(25-26七年级下河南省直辖县级单位期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、 y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点O到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”， ①点1(-43》的“长距”为 (2)若点 (3-2a,-1是“完美点”，求a的值： C(3-3b,3b+1) (3)若点 的“长距”为3，且点C在第一象限内，将点C沿水平方向进行平移得到点D,使 点D为“完美点”，且点D也在第一象限，求点D的坐标. ◆国 夙压轴挑战一支克离难压轴，突威思维上保 一、单选题 1.(25-26七年级下陕西榆林期末)在平面直角坐标系中，点P的坐标为 -l).若m<0,则点P在 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(25-26七年级下内蒙古乌兰察布期末)点 m+3,m+在'轴上，则点4的坐标为《） A.(2,0) B.(0,-2) c.(40) D.(0,-4) 3.(25-26七年级下辽宁大连期末)在平面直角坐标系中，点P在x轴负半轴上，且到原点的距离为V2, 则点P的坐标是() 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(2 B.（2,0) c.(0,2) D.(0,-2) A(1,-3) 4.(2526七年级下贵州黔南期未)在平面直角坐标系中，AB川x轴，AB=2,若点 则点B的 坐标是() A.（1-3) B.-5)或4-) c.3,-3) D.（1-3)或6，-3) 5.(25-26七年级下四川凉山期末)下列说法不正确的是() (a2+1,-b-1) A.点 一定在第四象限 8.点P26 到轴的距离为6 c.若P刃中=0，则点P在‘轴上 D.者4BV轴，4-3)，8在第一象限且4B=7,则点B的坐标为么4 6.(25-26七年级下山东德州：期中)对于平面直角坐标系中的任意线段AB,给出如下定义：线段AB上 各点到x轴距窝的最大值，叫做线段4B的“辅距”，记作血如.如图，点1(--2），点B(B,4) ,则线 段4B的“x轴距”为4，记作血知=4，已知点B(-1,2m）,点F(2m+1),若=2 ,则的值为 () 4--------2B A.1 B.-3或1 c.-1或1 D.-3或-1 二、填空题 7.(25-26七年级下四川广元期末)在平面直角坐标系中，已知点 (-3a-42+a)在轴上，则的值 6/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为 P(2m-3,3m-2)） 8.(25-26七年级下北京期末)在平面直角坐标系中，点 在第二、四象限角平分线上， 则P点坐标为一 9.(25-26七年级下陕西西安期末)已 4(a,1,B(-3D),若点B位于第二象限，B=5且直线 ABIy a-b 轴，则的值为 10.(25-26七年级下·安徽芜湖期末)己知平面直角坐标系内的点M的坐标为 3m-2,2m+),且点M到 x轴的距离为5，则m的值为 11.(25-26八年级下·上海黄浦期末)在平面直角坐标系中，已知两点 a,3)Q(-2,b),且，b满足 口-2+b+5=0,若点M在坠标轴上，且满足PM=OW,则点M的坐标为 P(x,y) 12.(25-26八年级上·安徽宿州期中)对于平面直角坐标系中的任意一点 ,给出如下定义：记 a=,=ry,那么我能点M0)与点称为点P的一对“完类点”，例，点P(-2》的 对“完美点”是点 -)与点30 (1)若点 (6,八的一对“完美点”重合，则v的值为 -2,9) (2)若点B的一个“完美点”的坐标为 则点B的坐标为 三、解答题 P(2m-4,3m+1) 13.(25-26八年级下·河北石家庄期末)在平面直角坐标系中，已知点 (1)当点P在第三象限的角平分线上时，求出点P的坐标： ②当直线P1平行于x轴，且1(4，- ,求出点P的坐标. 7/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(2m,m+2) 14.(25-26七年级下·广西柳州期末)在平面直角坐标系中，已知点 (I)若点P在y轴上，求m的值. (2)若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标. A(3a+2,2a-4) 15.(25-26七年级下河北沧州期末)已知点 ,试分别根据下列条件，求出“的值并写出 点A的坐标. (I)点A在x轴上： (2)经过点 3a+2,2a-4).B3,4的直线，与轴平行： (3)点A到两坐标轴的距离相等， 16.(25-26七年级下·江西南昌·期末)在平面直角坐标系中，已知 点1，），点B(,）,C为线段 AB的中点，则点C的坐标为 +龙.y+业 2 2 例如：A(-1,4),B(3,6)则线段AB的中点c的坐标为 -1+34+6 2,2即点c的坐标为，5) ①已知P6-),(-3-3),E为线段P0的中点，则点E的坐标为 ②已知M(-28),F(-6),F为线段MN的中点，求点N的坐标 (3)已知两点 (-24,B(4,2）,点C在轴上，点D在'轴上，若点4，B,C,D中的任意两点构成的 线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点C的坐标. 17.(25-26七年级下·吉林期中)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大 值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”. 0)点1(-3,5)的“长距”为 ②若点84-2a,2)是“角平分线点”，求“的值 6)活点C(-2,36-2》的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为 (9-2b,5) 请判断点D是否为“角 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平分线点”，并说明理由. 18.(25-26八年级下·福建龙岩·期中)先阅读下列一段文字，再回答问题。 我们已经知道在数轴上，如果点A表示的数为a,点B表示的数为b,那么AB的长度等于 a-b , 借助平 面直角坐标系与勾股定理可以研充平面内两点(：），B(:)之间的距离，小明己经构建了如图所示 平面直角坐标系及直角三角形，则PB两点间距离PB=V:-x广+（少-广： (1)根据上面结论，已知 A(2,4)B(4,4),求AB的长： (2)已知点A,B所在的直线平行于y轴，点A的纵坐标为-5，点B的纵坐标为1，求A,B两点间的距离： (G）,B(:）所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，求两点间的距离： 当两点 ③)已知M(3,2),N(2,2）,在y轴上找点Q,使△0是以MN为腰的等腰三角形。 9/9