2.3 二次根式（三） 二次根式的加减 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 2.3二次根式（三）——二次根式的加减 知识归纳与题型总结 考点01 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 考向01 二次根式的加减运算 【例1】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【对点1】计算： (1)； (2) 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 考点02 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 考向01 二次根式的混合运算 【例1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考向02 分母有理化 【例2】【阅读材料】 对于正整数，定义代数式：． 小明发现：通过分母有理化，． 例如：，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)猜想：_________（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)设，则_________． 【答案】(1) (2)      证明：        ， ∴猜想成立； (3)2027 【分析】（1）根据阅读材料发现的规律，依次代入数据化简合并即可； （2）根据阅读材料发现的规律，依次代入数据化简合并即可得到猜想，然后，再进行证明即可； （3）根据阅读材料发现的规律，通过分母有理化先化简，得到的值，再将的值代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：，             ；     （2）略 （3）解：根据阅读材料规律，得 ， ∴． 考向03 已知字母的值，化简求值 【例3】已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可对已知条件变形，结合完全平方公式先求出的值，再代入所求代数式计算，简化运算过程． 【详解】解：， ， 两边同时平方得： 展开得： 整理得： 将代入得 原式． 考向04 已知条件式，化简求值 【例4】已知，求的值． 【答案】 【分析】现将分母有理化，得到，再移项，并将方程两边平方，得到，所以，即可得到答案． 【详解】解：， ， 两边平方，得， ， ． 考向05 比较二次根式的大小 【例5】比较大小： _______(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】对于比较两个正无理数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】解：， ． ，且，， ． 考向06 二次根式的应用 【例6】如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方根算出正方形和正方形的边长，再根据图像求阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为和， ∴正方形的边长为，正方形的边长为, 阴影部分的面积是两个完全一样的长方形的面积之和， 阴影部分长方形的长为，宽为, 阴影部分的面积为． 考向07 实数的混合运算 【例7】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用绝对值的性质计算后再算加减即可． （2）利用运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 考向08 新定义下的实数运算 【例8】定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】由与是关于的和谐二次根式，得，然后通过二次根式除法即可求出的值； 根据题意得， 然后通过解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：∵与是关于的和谐二次根式， ∴， ∴； （2）解：根据题意得， ， ， ， ∴． 考向09 实数运算的实际应用 【例9】如图，在中，是边上一点，，，，． (1)________；________． (2)求的周长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求、再求即可； （2）根据勾股逆定理可得，再利用勾股定理求出，进而得到的周长． 【详解】（1）解：，； （2）解：，又 ，即， ， ， ， 的周长． 考向10 与实数运算相关的规律题 【例10】阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 【对点1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【对点2】计算：_______． 【答案】 【分析】利用分母有理化，解答即可； 【详解】解：； 【对点3】计算： (1) (2)当时，求代数式的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式完成计算． （2）将整体代入代数式，分步化简求值． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ． 【对点4】阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“对偶式”的定义，两个含二次根式的式子相乘后不含根号，因为的对偶式为，所以直接对应构造即可． （2）因为分母是，属于带根号的差的形式，所以可以给分子分母同乘它的对偶式，利用平方差公式去掉分母的根号，完成分母有理化． （3）设所求式子为，已知式子为，因为两个式子相乘可以用平方差公式消去根号，得到只含常数的结果，且已知的值，所以通过计算的结果即可求出的值． 【详解】（1）解：根据材料定义：与互为对偶式，只需改变原式中间的符号， 因此的对偶式为． （2）解：利用对偶式分母有理化化简： ． （3）解：设， ， 根据平方差公式计算：， 因此． 【对点5】比小的正整数可以是___________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 3（答案不唯一，也可以为1或2） 【分析】先估算出的取值范围，再找出符合条件的正整数即可． 【详解】解：， 又，即， ∴比小的正整数有1，2，3（任写一个即可，答案不唯一）． 【对点6】观察以下等式：，，，…根据上述三个等式呈现的规律，下列字母n（n为大于1的正整数）表示的通用规律中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知等式分析各部分与的关系，再通过化简验证得到通用规律． 【详解】解：当时，，分母； 当时，，分母； 当时，，分母； 由此可得，对大于1的正整数，根号内被开方数为，等式右侧为， ． 【对点7】计算：． 【答案】 【分析】本题利用乘方、绝对值、算术平方根、零指数幂的初中运算法则，分别计算原式中每一项，再合并同类项得到最终结果． 【详解】 解： 原式 ． 【对点8】若一个质数满足是质数，则称为友善质数，最小的两位数的友善质数是___________；记，如果也是友善质数，则称为宏志质数，已知为四位数友善质数，为四位数宏志质数，的千位与个位数字之和为6，将的百位与个位数字对调，得到数，若为整数且的百位数字与十位数字之和小于10，则___________． 【答案】 【分析】本题根据新定义，结合质数的性质，数位结构，通过分类讨论逐步排除得到结果，首先根据定义明确友善质数和宏志质数的条件，再设四位数的各数位数字，结合已知条件得到可能的取值，逐一验证排除得到答案； 【详解】解：两位数中最小的质数是，，是质数， 因此最小的两位数友善质数是. 设四位数，根据题意： 1. ，所以，是宏志质数，因此是质数，且也是质数，是四位数质数，是质数. 2. 已知，是奇数，故是奇数，因此也是奇数，得可能情况：， 3. 对调的百位和个位得， 由是整数，故能被整除， 能被整除， 当时，能被整除， 此时四位数为，且， 只能是三位数，这与为四位数友善质数，矛盾，不成立； 当时，能被整除， 此时四位数为，且， 为四位数友善质数，且一定是奇数， 是奇数，是偶数， 一定是偶数， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 此时；，是质数，且，小于10，符合题意； 当，时，能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 此时，，且，大于10，不符合要求，舍去 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 不符合要求， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 当，时，不能被整除， 此时，，且，大于10，不符合要求，舍去 ，能被整除， 此时四位数为，且， 为四位数友善质数，且一定是奇数， 是偶数，是偶数， 一定是奇数，故其个位数字一定是0或5， 由p是一个大于5的四位质数，不能是5，矛盾， 故答案为 ；. 【对点9】陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 【对点10】观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)（为正整数）， 证明：， ∴． 【分析】（1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由得出的等式变化规则，总结规律，即可列出第个等式，并证明结论． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律可得第个等式是，第个等式是， 验证结论：，， 故答案为：；； （2）解：（为正整数）， 证明略． 一、选择题 1．如图正方体的棱长为，则在正方体表面上一只蜗牛从点爬到点的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正方体右面向前面展开，再由两点之间线段最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：将正方体右面向前面展开，如图所示： 正方体的棱长为， ， ． 2．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故选项A计算错误，不符合题意； B.，计算正确，符合题意； C.，故选项C计算错误，不符合题意； D.∵当时，， ∴，故选项D计算错误，不符合题意． 3．下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数是否相同，即可求解． 【详解】解：A、，，和不是同类二次根式，故选项A不符合题意； B、，，和是同类二次根式，故选项B符合题意； C、的被开方数为，的被开方数为，不相同，和不是同类二次根式，故选项C不符合题意； D、的被开方数为，，被开方数为，和不是同类二次根式，故选项D不符合题意． 4．若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先利用完全平方公式对根号内多项式配方，再根据二次根式性质转化为绝对值式，最后结合的取值范围去掉绝对值符号合并计算即可． 【详解】解：，， 原式， ， ，， 去掉绝对值化简得，． 5．若，则对下列各式：，，，，，其中运算结果等于的个数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知，根据二次根式、立方根、绝对值的性质，逐个化简每个式子，统计结果等于的个数即可得到答案． 【详解】解：∵， ①化简，根据二次根式性质，得， ②化简，得，∵，∴，即， ③化简，根据立方根性质，得， ④化简，∵，∴，∴， ⑤化简，根据立方根性质，得， 综上，个式子的运算结果都等于，因此结果等于的个数为． 6．下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】最简二次根式满足的条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个分析即可． 【详解】解：，含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，满足两个条件，是最简二次根式； ，被开方数含分母，不是最简二次根式； 综上可知，最简二次根式共有个． 7．下列变形正确的是（     ） A．× B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】A．二次根式的被开方数必须为非负数，和无意义，故本选项变形错误； B．与不是同类二次根式，不能直接相加合并，，故本选项变形错误； C．，算术平方根本身结果为非负数，故本选项变形错误； D．，故本选项变形正确． 8．下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，与不是同类二次根式，不能合并，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，C错误． 选项D：，，计算正确，D正确． 9．在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．如：由，可得与互为倒数，即，．根据小明同学发现的规律，可得：，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原式每一项做分母有理化，再利用裂项相消规律化简左边，最后解方程得到整数的值． 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， 移项得， 两边平方得， 即整数的值为． 10．已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据无理数的性质，等式中整数与无理数的系数对应相等，逐项推导即可判断． 【详解】①，，若， ，整理得， 均为正整数，开方开不尽，是无理数， ，即 ，， ，可得， 故不存在正整数同时满足和，故①错误． ②若，，代入得，整理得， 左边是正整数乘无理数，结果为无理数，右边是正整数的和，结果为有理数， 无理数不等于有理数， 不存在满足条件的，故②错误． ③当时，，展开得， ， ， 是正整数， ，得，同理， ，不存在正整数满足等式，故③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为． 二、填空题 11．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简___________． 【答案】 【分析】由数轴可得，，根据进行化简即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ． 12．若与最简二次根式能合并，则的值为______． 【答案】1 【分析】先将化为最简二次根式，根据能合并的二次根式是同类二次根式，得到被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：，与最简二次根式能合并， 两个二次根式为同类二次根式，被开方数相等， 即，解得． 13．计算：=________． 【答案】1 【详解】解： ． 14．已知，为实数，且，则的平方根是_____． 【答案】 【分析】设，，则原方程可整理为，通过完全平方公式变形可得，结合非负数的性质可得，，从而计算出，，则，最后求平方根即可． 【详解】解：设，，则，，，， ∴，， 代入原方程可得， 整理，得， 变形，得， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，，符合题意， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 15．对于一个各位数字均不相同的四位正整数，若满足，则称这个四位数为“双合数”．最小的“双合数”是_________；一个“双合数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，，记，若是一个整数，则满足条件的M的最大值是_________． 【答案】 1098 6903 【分析】（1）由题意得，千位最小取1，由得；百位最小取0，由得，即可得最小的“双合数”； （2）先将与求和，代入、化简，得；再表示，代入化简得．因是13的倍数，故只需能被13整除．求最大值时，从大到小列举得，再取最大，得． 【详解】解：∵要使四位正整数最小， ∴千位取1， ∵， ∴， 则百位最小取， ∵， ∴， ∴最小的“双合数”是； 由题意得，，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴能被13整除， ∵， ∴必须能被13整除， ∵要使最大， ∴千位尽可能大， 当时，，，不能整除； 当时，，，不能整除； 当时，，，不能整除； 当时，，，能被13整除，符合条件． ∴满足条件的最大为． ∴， 则， ∴， ∴满足条件的的最大值为． 三、计算题 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：_______________； (2)比较大小：_______________（填“”，“”或“”） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过分母有理化直接化简； （2）先将两个二次根式的差变形为同分子的分数，通过比较分母的大小判断原式大小； （3）先对分母有理化，再直接代入计算． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵ ∴ ∴ （3）解： ∴ ∴ ． 18．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法，现请你根据小明的说法解答： (1)为的小数部分，为的整数部分，求的值． (2)已知，其中x是一个正整数，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断和在哪两个整数之间，结合和的条件，判断和的值，即可求出的值． （2）利用正整数和，结合，判断和的具体值，代入即可求出答案． 【详解】（1）解： 为的小数部分，为的整数部分，，， ，， ∴． （2）解：，其中是一个正整数，，， ，， 19．在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子中的每一项分母有理化，再计算即可得到答案； （3）分母有理化得到，则可证明，把所求式子变形为，进一步可变形为，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）设n为正整数， 则 ， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 20．阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 【答案】(1)①；② (2) (3)剩余部分的面积为 【分析】（1）利用完全平方公式的逆用，将根号内的表达式拆分为两个完全平方数之和与二倍积的形式． （2）将第(1)题的方法一般化：若，，则． （3）先利用第（2）题的结论化简正方形的边长，再由两个小正方形共用顶点且恰好拼满大正方形对角线方向，确定大正方形边长为两小正方形边长之和，最后用面积差求剩余面积． 【详解】（1）解：① ， ， ． 解：② ， ， ， ， 的算术平方根为． （2）解： ，， ， ， ， ． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为． ， ． 化简： ， ， ， ， ，即， ． ， ． 由图形可知，两个小正方形共用顶点，分别位于大正方形的两个对角处， 大正方形的边长， ． 矩形和矩形的面积之和： ， ， ， ． 剩余部分（矩形和矩形）的面积之和为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 2.3二次根式（三）——二次根式的加减 知识归纳与题型总结 考点01 二次根式的加减运算 二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行： 考向01 二次根式的加减运算 【例1】计算 (1)； (2)． 【对点1】计算： (1)； (2) 考点02 二次根式的混合运算 1. 运算法则 与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． 2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算． 3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式． 考向01 二次根式的混合运算 【例1】计算： (1) (2) 考向02 分母有理化 【例2】【阅读材料】 对于正整数，定义代数式：． 小明发现：通过分母有理化，． 例如：，． 【问题解决】 (1)计算：； (2)猜想：_________（用含的代数式表示），并证明你的猜想； (3)设，则_________． 考向03 已知字母的值，化简求值 【例3】已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 考向04 已知条件式，化简求值 【例4】已知，求的值． 考向05 比较二次根式的大小 【例5】比较大小： _______(填“”“”或“”) 考向06 二次根式的应用 【例6】如图，正方形和的面积分别为和，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 考向07 实数的混合运算 【例7】计算 (1)； (2)． 考向08 新定义下的实数运算 【例8】定义：若含有二次根式的式子，满足，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求． 考向09 实数运算的实际应用 【例9】如图，在中，是边上一点，，，，． (1)________；________． (2)求的周长． 考向10 与实数运算相关的规律题 【例10】阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【对点1】计算 (1) (2) 【对点2】计算：_______． 【对点3】计算： (1) (2)当时，求代数式的值 【对点4】阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简． (1)的“对偶式”为__________； (2)化简：； (3)已知，求的值． 【对点5】比小的正整数可以是___________．（写出一个符合题意的数即可） 【对点6】观察以下等式：，，，…根据上述三个等式呈现的规律，下列字母n（n为大于1的正整数）表示的通用规律中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【对点7】计算：． 【对点8】若一个质数满足是质数，则称为友善质数，最小的两位数的友善质数是___________；记，如果也是友善质数，则称为宏志质数，已知为四位数友善质数，为四位数宏志质数，的千位与个位数字之和为6，将的百位与个位数字对调，得到数，若为整数且的百位数字与十位数字之和小于10，则___________． 【对点9】陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【对点10】观察下列等式： 第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：________；… 按照上述规律，完成下列问题： (1)补全第个等式：________，写出第个等式：___________________； (2)写出第个等式，并证明． 一、选择题 1．如图正方体的棱长为，则在正方体表面上一只蜗牛从点爬到点的最短路程是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列是同类二次根式的一组是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 5．若，则对下列各式：，，，，，其中运算结果等于的个数为（     ）． A． B． C． D． 6．下列二次根式：，，，，，，，其中最简二次根式的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．下列变形正确的是（     ） A．× B． C． D． 8．下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．在学习二次根式的过程中，小明同学发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．如：由，可得与互为倒数，即，．根据小明同学发现的规律，可得：，则整数的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简___________． 12．若与最简二次根式能合并，则的值为______． 13．计算：=________． 14．已知，为实数，且，则的平方根是_____． 15．对于一个各位数字均不相同的四位正整数，若满足，则称这个四位数为“双合数”．最小的“双合数”是_________；一个“双合数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，，记，若是一个整数，则满足条件的M的最大值是_________． 三、计算题 16．计算： (1) (2) 17．已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：_______________； (2)比较大小：_______________（填“”，“”或“”） (3)若，求的值． 18．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法，现请你根据小明的说法解答： (1)为的小数部分，为的整数部分，求的值． (2)已知，其中x是一个正整数，，求的值． 19．在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 20．阅读材料：小颖同学在学习二次根式时，发现：一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方．如：，． (1)类比归纳：①将含根号的式子直接写成另一个式子的平方的形式： ； ②的算术平方根是： ； (2)类比归纳：小颖同学进一步研究发现：形如式子的化简，如果我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有： ；（用含，的式子直接写出结果） (3)迁移应用：如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，，若这两个小正方形的面积分别为，，求剩余部分的面积（矩形与矩形的面积和）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $