专题10 平面直角坐标系中规律变换问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题10 平面直角坐标系中规律变换问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中动点移动问题 题型二、平面直角坐标系中图形规律摆放问题 题型三、平面直角坐标系中图形翻转问题 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：点按特定路径（如跳跃、旋转、翻折）周期性运动，求第n次变换后的坐标，常结合图形变换或数列规律。 - 解题方法：先列出前几次变换的坐标，寻找周期或递推关系；若为循环周期，用n除以周期取余数确定位置；若为等差/等比规律，用通项公式表示坐标。 - 易错提醒：未发现完整周期即下结论；余数对应坐标时从起始点算错；变换方向（顺时针/逆时针）或象限符号判断错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中动点移动问题 典例1 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，…，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象找准循周期是解决本题的关键．根据图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而，故是第507个周期的第三个点，然后根据每一个周期第三个点的坐标可推导一般性规律为，最后计算求解即可． 【详解】解：∵，，，，，……， 纵坐标每四个点一个循环， ， 是第507个周期的第三个点， 每一个周期第三个点的坐标为：，，，……， ， ， 故答案为：． 题型模版 1.特征：点按速度运动，求特定时刻坐标、距离或面积，涉及时间t及点坐标表示。 2.方法：用t表示运动后坐标，根据路径方向分情况列位移方程，结合几何关系（如距离、面积）求解t。 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，点以每秒2个单位长度，从点出发，沿凸形的边顺时针运动；点以每秒3个单位长度，从点出发，沿凸形的边逆时针运动．记动点、在凸形边上第1次相遇时的点为，第2次相遇时的点为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探究，先根据点P和点Q的运动情况找出前几次相遇时的坐标，找出相遇规律求解． 【详解】解；∵点以每秒2个单位长度，从点出发，沿凸形的边顺时针运动；点以每秒3个单位长度，从点出发，沿凸形的边逆时针运动， ∴第1次相遇时的点为， 第2次相遇时的点为， 第3次相遇时的点为， 第4次相遇时的点为， 第5次相遇时的点为， 第6次相遇时的点为， ， ∴相遇点每5次一循环． ∵， ∴的坐标为． 故答案为：． 变式1-2如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次从运动到，第5次从运动到……按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点 P 的坐标是 ． 【答案】 【分析】先确定横坐标的规律，等于序号数；再确定纵坐标的规律，第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照循环出现，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】解：先确定横坐标的规律，第一次是1，第二次是2，第三次是3，第四次是4，第五次是5，第六次是6，第七次是7，第八次是8， 故第n次是n； 根据题意，得纵坐标变化为：第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照循环出现，偶数为0， 由， 故第2025次运动后，动点的坐标是， 故答案为：． 变式1-3如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． 题型二、平面直角坐标系中图形规律摆放问题 典例2 如图，已知，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律的变化问题，由函数图象可知点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度，据此解答即可求解，由题意找出点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度， ∵， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 题型模版 1.特征：图形按周期或递推规律在坐标系中摆放，求第n个图形的顶点坐标或数量。 2.方法：先找摆放周期（如几个图形重复），用余数法确定位置；或找坐标递推公式，代入n求解。 变式2-1如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的变化规律，根据坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答，仔细观察图形、数形结合，总结出点的坐标的变化规律是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为， 故答案为：． 变式2-2如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）； (2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【答案】(1)， (2)小正方形675个，大正方形675个 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2023米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形675个，大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 变式2-3在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由见解析 【分析】本题考查点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键． （1）观察坐标系中第四象限中的点的坐标特征，即可求解； （2）根据已知点的坐标特征得出，，进而即可求解； （3）根据（1）得出，进而代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，的坐标，， 故答案为：． （2）根据点，，，，…， 由此可得 ∵， ∴点的坐标为 （3）解：由，，，，…， ∴ 当 解得： 题型三、平面直角坐标系中图形翻转问题 典例3 如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律． 根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解． 【详解】解：由图可知：，，，，，，，…，纵坐标每个一循环， 余， 在次循环后纵坐标与对应， 由，，…可知，其横坐标即为翻转次数， 的横坐标为：， 则的坐标为：， 故答案为：，． 题型模版 1.特征：图形沿坐标轴翻折，求对称点坐标或变化规律，利用对称性快速求解。 2.方法：关于x轴对称，纵坐标变号；关于y轴对称，横坐标变号；关于原点对称，横纵均变号。 变式3-1如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变换，勾股定理． 根据图形和旋转规律得出点的坐标变换规律，结合三角形的周长得出结论即可． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴的周长为：， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为：当n为奇数时，横坐标为：； 当n为偶数时，横坐标为：； ∵9是奇数， ∴点的横坐标为：． 故答案为：． 变式3-2如图，在平面直角坐标系中放一矩形，，，现将矩形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，，，则的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-对称，规律型：点的坐标，观察图象可知每翻折转4次应该循环，图形向右平移6个单位，，因为余数为1，推出的纵坐标与相同是0，横坐标，由此可得结论． 【详解】解：观察图象可知每翻折转4次为一个周期循环，图形向右平移6个单位，， ∵， ∴的纵坐标与相同是0，横坐标， ∴， 故答案为：． 变式3-3长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 【答案】 【分析】（1）点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，，解答即可． （2）当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，， 故答案为：． （2）解：按题意描点可知，当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，当时，， ． 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题 典例4 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为． （1）点的“友好点”的坐标为 ． （2）设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的规律探究，解题的关键是根据“友好点”的定义找出点的坐标变化规律． （1）根据“友好点”定义直接计算； （2）先找出点的坐标循环规律，再结合的坐标推出的坐标，进而求． 【详解】解：（1）已知对于点“友好点”． 点的坐标为，那么的“友好点”的坐标，将代入“友好点”定义式： 横坐标为，纵坐标为． 所以的坐标为； （2）设，则； ； ； ． 可以发现每4个点为一个循环周期． 因为，其中余数为2，说明的坐标与的坐标相同． 已知，所以，则可得方程组 解得，． 所以． 故答案为：；． 题型模版 1.特征：定义新坐标规则（如“变换点”“距离”），按规则求点、参数或规律，重理解。 2.方法：将新定义转化为坐标运算（对称、平移、距离），列方程或不等式，结合坐标系性质求解。 变式4-1在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“3级关联点”为，即．若点的5级关联点为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，理解题中所给定义是解题的关键．解题时，根据题中所给定义直接求解即可． 【详解】解：∵的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”且的5级关联点为 ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 变式4-2在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，若点的坐标为，则的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的变化规律，根据伴随点的变化规律，写出点、、、的坐标，根据坐标的变化规律写出点的坐标即可． 【详解】解：点的坐标为，点的伴随点为， ，即， 点的伴随点为， ，即， 同理可得，， 可得从开始，每四个点的坐标循环一次， ， 点的坐标与点的坐标相同，， 故答案为：，． 变式4-3在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…． (1)如果点的坐标为，则点的坐标为____________，点的坐标为___________ (2)如果点的坐标为，点的坐标为，则的算术平方根与的立方根的差的绝对值是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了点的坐标规律，实数的运算等，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义找出规律是解题关键． （1）根据点的坐标结合伴随点的定义，即可找到点，，，的坐标，进而得出坐标的变化规律：每4个点为一个循环组依次循环，按照此规律即可得出答案； （2）由（1）可得：，得到，代入与中，再根据算术平方根与立方根的定义及绝对值计算即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即． …， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为； （2）解：∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为， ， ， 的算术平方根与的立方根的差的绝对值为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各点坐标得出每4次变换为一个循环，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴经过第一次变换后为：，即， 经过第二次变换后为：，即， 经过第三次变换后为：，即， 经过第四次变换后为：，即， ∴变换周期为， ∵， ∴次变换后得到的坐标与第次变换后的坐标相同，即． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2026除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限，所得A点的坐标是； 点A第二次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是； 点A第三次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是； 点A第四次关于x轴对称后在第二象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是； 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵， ∴经过第2026次变换后所得的A点与第二次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 3．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“每个点为一个循环”的规律，通过求余确定点的位置和象限，再结合第个正方形第二象限顶点为，得出​的坐标． 【详解】解：正方形有个顶点， 每个点为一个正方形循环， ， 为第个正方形位于第二象限的点， 根据题意可知，第个正方形位于第二象限的点为， 故为． 4．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，点，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个单位长度，记点与点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点坐标计算长方形的周长为，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出四次相遇一循环，再用的余数即可求出第2001次相遇点的坐标． 【详解】解：长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P、Q第一次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第二次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第三次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第四次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，P、Q第五次相遇，此时相遇点坐标为， ∴四次相遇一循环， ∵， ∴的坐标为． 5．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中有点，点P第一次向上平移1个单位至点，接着第二次向左平移2个单位至点，第三次向上平移1个单位至点，第四次向右平移3个单位至点，…，以此规律平移下去，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】我们先把平移规律按每4次为一组整理，观察下标为4的倍数的点的坐标特征：已知，第八次平移得……，总结规律：当下标（为正整数）时，对应点的坐标为．对于，令，解得，代入规律得横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：我们先把平移规律按每4次为一组整理，观察下标为4的倍数的点的坐标特征： 已知，继续按规则推导后续点： 第五次向上平移1个单位得， 第六次向左平移5个单位得， 第七次向上平移1个单位得， 第八次向右平移6个单位得…… 总结规律：当下标（为正整数）时， 对应点的坐标为． 对于，令，解得， 代入规律得横坐标为，纵坐标为， 因此的坐标是． 6．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系上有一个质点，质点第一次移动至点，第二次移动至点，第三次移动至点，第四次移动至点，…依此规律移动下去．下列说法： ①第十次移动至点； ②点到y轴的距离是1014个单位长度； ③第次移动至点，第2n次移动至点，则点与点之间的距离是． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】当下标为偶数时，横坐标为，纵坐标为，当下标为奇数时，横坐标为，纵坐标为，解答即可； 【详解】解：根据题意，得点，点，点，第三次移动至点，第四次移动至点，…依此规律移动下去． 当下标为偶数时，横坐标为，纵坐标为， 故第十次移动至点即；故①错误； 下标为奇数时，横坐标为，纵坐标为，此时到y轴的距离为， 故点到y轴的距离是个单位长度； 故②正确； 根据题意，得第次移动至点，下标为奇数，故坐标为， 第次移动至点，下标为偶数，坐标为， ∴轴 故点与点之间的距离是．故③正确． 二、填空题 7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 【答案】 【分析】根据图形可知为第个等腰直角三角形的直角顶点，其横坐标的绝对值等于，符号由的奇偶性决定；纵坐标在和之间循环，由的奇偶性决定，确定对应的值即可求解． 【详解】解：观察图形可知，，，，……，分别为第，，，……，个等腰直角三角形的直角顶点， 第个等腰直角三角形的斜边长为， 该三角形斜边上的高为，即点的横坐标的绝对值为； 观察图形可知，当为奇数时，点在轴左边，横坐标为负；当为偶数时，点在轴右边，横坐标为正， ， 点是第个等腰直角三角形的直角顶点； 是奇数， 点的横坐标为； 点的纵坐标规律：第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； …… 由此可知，当为奇数时，点的纵坐标为；当为偶数时，点的纵坐标为； 是奇数， 点的纵坐标为； 综上所述，点的坐标为． 8．（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，、分别在轴正半轴与轴正半轴上，点坐标为，将点关于对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【详解】解：如图，经过4次操作后与重合，即4次一个循环， ∵， 故与重合，坐标为． 9．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，若按此变化规律将进行n次变换，得到，则________． 【答案】 【分析】根据经过多次变换得到长的变换规律，进而得到的面积规律，据此求解即可． 【详解】解：由图可知，、点到轴的距离为2， ， 第一次变换：中、点到轴的距离为2， ， 第二次变换：中， ， 以此类推，将进行n次变换，得到，此时、点到轴的距离为2， ． 10．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【分析】由题意知，每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加，求得的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） ，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） 规律总结： 每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加， 余数的余数： ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ∵， ：横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点坐标为，若点坐标为，则称点为点的“协同点”．设点，点是点的“协同点”（为正整数），为线段的长度，若，，则__________；若，，则__________． 【答案】 【分析】根据协同点定义推导线段长度的规律，可得是公比为的等比数列，再代入条件计算结果． 【详解】解：根据定义，若点坐标为，则其协同点的坐标为，点的协同点的坐标为， 由两点间距离公式，得， ， ∴，即， ∴， 当，时，，可得， ， ∴； 当时，，可得， ， 已知，代入规律得： ， 解得， ，两边平方得，即， 解得． 12．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”的坐标为点； (1)如果点，那么“关联点”的坐标Q为____________________； (2)如果点的关联点的坐标为，则此时________． 【答案】 或 【分析】根据关联点的定义，分情况计算，第一问比较点的横纵坐标大小，代入对应关系式求解的坐标，第二问分两种情况求出点的坐标，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：（1）∵点， ∴，，可得， 根据关联点定义，得， ∴点的坐标为． （2）∵点的关联点的坐标为， ∴，， 分两种情况讨论： 当时， ，即 ，解得， ∴点， ∵，横坐标相同，线段在直线上， ，原点到直线的距离为， ∴ ． 当时， ，即 ，解得， ∴点， ，原点到直线的距离为， ∴ ． 综上所述， 或． 三、解答题 13．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即． (1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题中“系联动点”定义直接求解即可； （2）先由题中“系联动点”定义求出点的坐标，再由点在轴上，列方程求出参数即可得到答案． 【详解】（1）解：点的“系联动点”是点， 由“系联动点”定义可知，点的坐标为， 即； （2）解：点的“系联动点”是点， 由“系联动点”定义可知，点的坐标为， 即， ∵点在轴上， ， ∴， 则， ∴点的坐标为． 14．（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数． (1)画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？ (2)请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？ (3)探究点在第几个正方形的边上？在第几个正方形的边上（n为正整数）？ 【答案】(1) 画出由里向外的第4个正方形如图所示， 第4个正方形上有16个整点 (2)第20个正方形的四条边上的整点个数为80个 (3)点在第7个正方形边上；在第个正方形边上 【分析】（1）观察图形，分别计算出各边上的整点数的和， （2）根据分析可以发现第n个正方形的整点有个，据此规律进行解答即可． （3）通过观察前3个正方形上的整点，得出核心结论，计算该点横、纵坐标的绝对值之和即可解答． 【详解】（1）解：第1个正方形有个整点； 第2个正方形有个整点； 第3个正方形有个整点； 第4个正方形上有个整点； （2）解：第1个正方形有个整点； 第2个正方形有个整点； 第3个正方形有个整点； … 第n个正方形有个整点； 所以第20个正方形有个整点． （3）观察第1个正方形上的点，、，横纵坐标绝对值之和 ，． 观察第2个正方形上的点，如、，横纵坐标绝对值之和，． 观察第3个正方形上的点，如、，横纵坐标绝对值之和，． 结论：若点在第个正方形的边上，则． 计算点： 横坐标，纵坐标． 计算绝对值之和：． 所以点在第7个正方形的边上． 计算点： 横坐标，纵坐标（为正整数）． 计算绝对值之和：． ∴点在第7个正方形边上；在第个正方形边上． 15．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…按照此规律，完成下列问题： (1)请写出点，，的坐标； (2)请你写出点，，的坐标； (3)设第1个点为，第2个点为，第3个点为，…，第n（，且n为整数）个点为，…，请你写出N关于n的函数关系式． 【答案】(1)，， (2)，， (3) 【分析】本题考查了坐标系中点的规律，函数关系式，解题的关键是正确从坐标系中找出点的规律． （1）根据坐标系即可求解； （2）可得三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2，据此规律求解即可； （3）由题可知时，，时，，时，，…，即可得． 【详解】（1）解：点，，，，，，…按照此规律，可得，，； （2）解：由图可知，三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2， ， ，，； （3）解：由题可知时，，时，，时，，…， 可得． 16．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）综合与实践：在平面直角坐标系中探究长方形的重心位置． (1)如图1所示，长方形中，，，，，长方形的重心分别为点．试写出点对应的横坐标之间的关系式；（中点坐标公式为） (2)若图1中，长方形、分别设矩形的面积为、，重心、横坐标分别为．长方形的重心的横坐标为，探究整体图形重心位置的横坐标与两部分的重心位置的横坐标之间有什么数量关系： ①设，请用含、、的式子分别表示出、、； ②求与、之间的关系（写成（    ）（    ）的形式）； (3)如图2，长方形、的面积分别为、，重心分别是点、，纵坐标分别为．长方形的重心点的纵坐标为，请直接写出与之间有什么数量关系． 【答案】(1) (2)①，，；② (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系，中点坐标公式等，掌握长方形重心位于对角线交点位置是解题的关键． （1）长方形重心位于对角线交点位置，利用中点坐标公式即可求解； （2）①先根据长方形面积公式求出，，表示出点B，点E的坐标，再根据中点坐标公式求解；②利用完全平方公式变形可得，等号两边同时除以，即可得出答案； （3）参照（2）中作法即可求解． 【详解】（1）解：长方形重心位于对角线交点位置， ，，，重心对应的横坐标为， ，，， ， ； （2）解：①， ，， ，， ，，； ②设， ， ， ； （3）解：设， ，， ，， ，，； ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 平面直角坐标系中规律变换问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中动点移动问题 题型二、平面直角坐标系中图形规律摆放问题 题型三、平面直角坐标系中图形翻转问题 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：点按特定路径（如跳跃、旋转、翻折）周期性运动，求第n次变换后的坐标，常结合图形变换或数列规律。 - 解题方法：先列出前几次变换的坐标，寻找周期或递推关系；若为循环周期，用n除以周期取余数确定位置；若为等差/等比规律，用通项公式表示坐标。 - 易错提醒：未发现完整周期即下结论；余数对应坐标时从起始点算错；变换方向（顺时针/逆时针）或象限符号判断错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、平面直角坐标系中动点移动问题 典例1 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，…，那么点的坐标为 ． 题型模版 1.特征：点按速度运动，求特定时刻坐标、距离或面积，涉及时间t及点坐标表示。 2.方法：用t表示运动后坐标，根据路径方向分情况列位移方程，结合几何关系（如距离、面积）求解t。 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，点以每秒2个单位长度，从点出发，沿凸形的边顺时针运动；点以每秒3个单位长度，从点出发，沿凸形的边逆时针运动．记动点、在凸形边上第1次相遇时的点为，第2次相遇时的点为，，则点的坐标为 ． 变式1-2如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次从运动到，第5次从运动到……按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点 P 的坐标是 ． 变式1-3如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 题型二、平面直角坐标系中图形规律摆放问题 典例2 如图，已知，依此规律，则点的坐标为 ． 题型模版 1.特征：图形按周期或递推规律在坐标系中摆放，求第n个图形的顶点坐标或数量。 2.方法：先找摆放周期（如几个图形重复），用余数法确定位置；或找坐标递推公式，代入n求解。 变式2-1如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 变式2-2如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）； (2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 变式2-3在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 题型三、平面直角坐标系中图形翻转问题 典例3 如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为 ，的坐标为 ． 题型模版 1.特征：图形沿坐标轴翻折，求对称点坐标或变化规律，利用对称性快速求解。 2.方法：关于x轴对称，纵坐标变号；关于y轴对称，横坐标变号；关于原点对称，横纵均变号。 变式3-1如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为 ． 变式3-2如图，在平面直角坐标系中放一矩形，，，现将矩形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，，，则的坐标为 . 变式3-3长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 题型四、平面直角坐标系中新定义型问题 典例4 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为． （1）点的“友好点”的坐标为 ． （2）设，则的值为 ． 题型模版 1.特征：定义新坐标规则（如“变换点”“距离”），按规则求点、参数或规律，重理解。 2.方法：将新定义转化为坐标运算（对称、平移、距离），列方程或不等式，结合坐标系性质求解。 变式4-1在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“3级关联点”为，即．若点的5级关联点为，则点坐标为 ． 变式4-2在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，若点的坐标为，则的坐标为 ，点的坐标为 ． 变式4-3在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…． (1)如果点的坐标为，则点的坐标为____________，点的坐标为___________ (2)如果点的坐标为，点的坐标为，则的算术平方根与的立方根的差的绝对值是多少？ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”，在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：，已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，，表示，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，点，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个单位长度，记点与点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中有点，点P第一次向上平移1个单位至点，接着第二次向左平移2个单位至点，第三次向上平移1个单位至点，第四次向右平移3个单位至点，…，以此规律平移下去，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系上有一个质点，质点第一次移动至点，第二次移动至点，第三次移动至点，第四次移动至点，…依此规律移动下去．下列说法： ①第十次移动至点； ②点到y轴的距离是1014个单位长度； ③第次移动至点，第2n次移动至点，则点与点之间的距离是． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 8．（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，、分别在轴正半轴与轴正半轴上，点坐标为，将点关于对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，将关于点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 9．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，若按此变化规律将进行n次变换，得到，则________． 10．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 11．（25-26八年级下·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点坐标为，若点坐标为，则称点为点的“协同点”．设点，点是点的“协同点”（为正整数），为线段的长度，若，，则__________；若，，则__________． 12．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满足，那么称点为点的“关联点”．例如点的“关联点”的坐标为点； (1)如果点，那么“关联点”的坐标Q为____________________； (2)如果点的关联点的坐标为，则此时________． 三、解答题 13．（25-26七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，对于，我们把点叫做“系联动点”，其中为常数，且．例如：点的“系联动点”的坐标为，即． (1)已知点的“系联动点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“系联动点”在轴上，求点的坐标． 14．（25-26七年级下·福建南平·期中）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察下图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数． (1)画出由里向外的第4个正方形，在第4个正方形上有多少个整点？ (2)请你猜测由里向外第20个正方形（实线）四条边上的整点个数共有多少？ (3)探究点在第几个正方形的边上？在第几个正方形的边上（n为正整数）？ 15．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…按照此规律，完成下列问题： (1)请写出点，，的坐标； (2)请你写出点，，的坐标； (3)设第1个点为，第2个点为，第3个点为，…，第n（，且n为整数）个点为，…，请你写出N关于n的函数关系式． 16．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）综合与实践：在平面直角坐标系中探究长方形的重心位置． (1)如图1所示，长方形中，，，，，长方形的重心分别为点．试写出点对应的横坐标之间的关系式；（中点坐标公式为） (2)若图1中，长方形、分别设矩形的面积为、，重心、横坐标分别为．长方形的重心的横坐标为，探究整体图形重心位置的横坐标与两部分的重心位置的横坐标之间有什么数量关系： ①设，请用含、、的式子分别表示出、、； ②求与、之间的关系（写成（    ）（    ）的形式）； (3)如图2，长方形、的面积分别为、，重心分别是点、，纵坐标分别为．长方形的重心点的纵坐标为，请直接写出与之间有什么数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $