专题08 平面直角坐标系的性质问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建平面直角坐标系性质问题的系统性训练，通过方法提炼与变式迁移，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|总结象限符号、对称规律、距离公式等核心解法，强调易错点辨析|从坐标基本性质（象限、距离）到变换（对称、平移），构建概念-原理-应用链条| |题型归纳|5类（每类1典例+3变式）|每类题型提供“特征+方法”模版，如参数讨论、绝对值方程、新定义转化|按“基础应用（象限判断）→综合计算（距离/坐标轴）→创新拓展（新定义）”递进| |压轴挑战|15题（选择5+填空5+解答5）|综合应用通法与题型技巧，强化复杂情境下的模型构建与推理|整合前五类题型，覆盖中考高频考点，提升问题解决与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08平面直角坐标系的性质问题的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、含参数问题判断点所在的象限 题型二、由点到坐标轴的距离求参数 题型三、由点在坐标轴上求参数 题型四、由点所在的直线平行于坐标轴求参数 题型五、与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及点坐标特征（象限、坐标轴)、对称点（关于轴、原点）、点到坐标轴距离、两点间中 点与距离，以及平移与旋转后的坐标变换。 解题方法：牢记各象限符号规律；对称坐标规律（关于x轴对称y变号，关于y轴对称x变号，关于原点 对称都变号)；距离用绝对值：中点公式求坐标。 -易错提醒：点到x轴距离为y而非：混淆“关于原点对称”与“关于y=x对称”；平移时上下与左右 坐标变换混淆；旋转时未确定中心与方向。 夙题型归纳精讲夹型题法，寿尖解题根基 题型一、含参数问题判断点所在的象限 典例1(25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测)在平面直角坐标系中， M(m2+2,-2026)位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：点坐标含字母，根据横纵坐标符号判断点在第几象限或坐标轴上。 2方法：讨论参数范围，确定横纵坐标的正负，结合象限符号规则（一正正，二负正，三负负，四正负） 判断。 变式11(2526七年级下陕西商洛期未)已知实数4，b满是+3+b-2=0,则点a+2,6+)位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 变式1-2(25-26七年级下云南昭通期末)在平面直角坐标系中，点P(-25a-3+1)-定在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 变式1-3(25-26七年级下·四川泸州期中)如果 x-y+11+Vy-3= ,则点川在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型二、由点到坐标轴的距离求参数 典例2 A(4,n-1) (25-26七年级下新疆阿克苏期末)若 在第四象限，且点A到x轴的距离为7，则的值 为 题型模版 1.特征：已知点到x轴或y轴的距离，或到原点距离，求点坐标中的参数。 2方法：利用距离公式（到x轴距离为外y,到y轴距离为x)，列绝对值方程解参数，注意符号。 变式2-1(25-26七年级下福建厦门期中)点 P(2m-1,5-m) 到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标是 变式2-2(25-26七年级下广东广州期末)已知点 (-3,-2)hP(m,3) ,点 为平面直角坐标系内一动点，则 线段PA的最小值为. 变式2-3(25-26七年级下湖北襄阳·期末)已知点 ,0），B0,2),点P在轴上，且△P1B的面积为3， 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则点P的坐标是 题型三、由点在坐标轴上求参数 典例3(25-26七年级下陕西西安期中)在平面直角坐标系中，若点 A(-7,a+1) 在x轴上，则a的值为 题型模版 1特征：点在x轴或y轴上，则横坐标或纵坐标为0，求字母参数的值。 2方法：若在x轴上，令纵坐标0：若在y轴上，令横坐标=0，解方程得参数，注意坐标轴原点情况。 变式31(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期末)若 (m+2,2m)在'轴上，则P点坐标为 变式3-2(25-26七年级下江西赣州期末)如果点P(a-40-9 在坐标轴上，那么点P的坐标为 变式3-3(25-26七年级下北京期末)在平面直角坐标系中，己 知M1,O),点N在轴上且MW=3,则 点N的坐标是 题型四、由点所在的直线平行于坐标轴求参数 典例4(26-27八年级下·全国课后作业)如果 M(a,b)N(c,d) 是平行于x轴的一条直线上的两点，那么 b与d的关系是 题型模版 1特征：两点连线平行于x轴或y轴，则纵坐标相等或横坐标相等，求参数值。 2方法：平行于x轴时纵坐标相等，平行于y轴时横坐标相等，列方程解出参数，并验证两点不重合。 座式41(2526七年级下北京密云期末)在平面直角坐标系0中，4点的坐标为32)，若48》轴。 且AB=3,则B点坐标为 变式42(25-26七年级下河北石家庄阶段检测)已知点 P(2a-2,a+5) 解答下列各题： 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)若点P在x轴上，求a的值： 4,5) (2)若点Q的坐标为 直线P轴，求出点P的坐标 (3)若点P位于第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值， P(2a+4,a+5) 变式43(25-26七年级下·吉林辽源期末)己知 解答下列各题 ()若点P在x轴上，则点P的坐标为一； (②若点2的坐标为 ,直线P2少轴，求点P的坐标： 1,5) (3)若点P在第一象限，且它到x轴的距离与y轴的距离相等，求a2026+2026a的值. 题型五、与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 典例5(25-26七年级下·甘肃陇南期末)在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点P到x轴，'轴的距 离的较小值称为点P的“短距”.点Q到x轴，y轴的距离相等时，称点Q为“等距点” A(5,-2) 1)点 的“短距”为 B(2m-1-3) (2)若点 是“等距点”，求m的值。 题型模版 1特征：定义新坐标系规则（如“对称点”“距离”），按规则求点或范围，重理解。 2方法：将新定义转化为坐标运算（如中点、距离、对称），结合坐标系性质列方程或不等式求解。 变式5-1(25-26七年级下·云南昭通期末)已知y均为实数，当平面直角坐标系内的点 (x,y) 满足等式 5x=2y+4时，称点M为“星光点”. D(4,8) (1)判断点 是否为“星光点”： (2)若点A的坐标为 23刃，点E(6m-n+2 是“星光点”，问在》轴上是否存在一点P,使得△4EP的面 积为10？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式52(2526七年级下江西赣州期末)在平面直角坐标系0中，点1(，），B(,）,若 x2-x=y2-≠0 则称点1与点8互为“对角点”.例物：点1(，2），点8(3,6 点 因为 3-(（-1)=6-2≠0 所以点A与点B互为“对角点”. ①芳点4的坐标是4-2），则在点8 B(20)B,L-5).B(0,60)中，点4的“对角点”为点一 (2)若点 13,-2)的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标 变式5-3(25-26七年级下·河南省直辖县级单位期末)在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、 y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点O到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”， 四点(43) 的“长距”为」 B(3-2a,-1) (2)若点 是“完美点”，求a的值： C(3-3b,3b+1) (3)若点 的“长距”为3，且点C在第一象限内，将点C沿水平方向进行平移得到点D,使 点D为“完美点”，且点D也在第一象限，求点D的坐标. ◆◆ 同压轴挑战一攻克高难压轴，突威思维上保 一、单选题 P(a,-3) 1.(25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末)在平面直角坐标系中，若点 位于第三象限，则a的值 可以是() A.1 B.0 C.-2 D.3 P(m-2,m)」 2.(25-26七年级下四川绵阳阶段检测)在平面直角坐标系中，点 到y轴的距离为1，则m 的值为() A.1 B.±1 C.1或3 D.2或3 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26七年级下·湖北咸宁·期末)下列说法正确的是() A.点，-)在第四象限 B.若6=0，则Pa 在坐标原点 Q.点P在第二象限，且点P到x结的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为32) D.在平面直角坐标系中，若点A的坐标为 L-2》,且4B平行于x轴，B=5,则点B的坐标为 (4,-2) 4.(25:26七年级下天津武清期末)在平面直角坐标系中，已知1(3,2)，B(6,4),C(x,),者4C∥x 轴，则当线段BC的长最小时，点C的坐标为() A.（-3,0) B.(30) c.32) D.(0,2) 5.(25-26七年级下陕西安康期末)已知点 (6）F飞），且M(,）是F的中点，则 与=，为=少，也可以理解为点B关于点M的对称点为p·在平面直角坐标系中，有点 29 1.-,B(,-,点PQ,2)关手4的对称点为，尸关于B的对称点为月，则点P的坐标是（) P A.(4,2) B.(2,-4) c(4,0) D.(4,2) 二、填空题 6（25-26七年级下辽宁大连期末)已知点P(a-2,20+8 在轴上，则“的值为 7.(26-27八年级下·全国课后作业)若点A(a,b)在第二象限，则点B(-a,b)在第 象限 8.(25-26七年级下湖北宜昌期末)已知第二象限内的点P坐标 4-a,3a-14),且P点到两坐标轴的 距离相等，则a的值为一 9.(25-26七年级下山东临沂期末)在平面直角坐标系中，己知线段EF‖x轴，且EF=4,点E的坐标 6/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 是43) 则点F 的坐标为 10.(25-26七年级下·安徽芜湖期中)在平面直角坐标系中，对于点 M(月，若点N的坐标为 (x+,+）,其中m为常数，则称点V是点M的“m倍关系点”·例如，点 M(3,1) 的“2倍关系点” 的横坐标 3+2×1=5，纵坐标为2×3+1=7，所以点M的“2倍关系点”V的坐标为 5,7) (1)已知点A(-6,4)的“2倍关系点”是点B(a,),则a+2b= (2)已知点 (1,2c) 的“-2倍关系点”是点D,且点D在第二、四象限的角平分线上，则点D的坐标为 三、解答题 11.(25-26八年级下河北石家庄期末)在平面直角坐标系中，点 P(2m-5,m-1) (1)若点P在x轴上，求点P的坐标： ②若点9的坐标为4-)，且0P∥r轴，求0P 的长。 (3)若点P在x轴下方且到x轴的距离为11，求m的值. (4)若点P在二、四象限的角平分线上，求点P的坐标 12。（25-26七年级下河南商正期中)如图，在平面直角坐标系0中，对于任意两点1(，）与 B(x2,y2 的“非常距离”，给出如下完义：若内≥以-为，则点A与点B的“非斧距离”为- 若-<山-为，则点A与点B的“非常距离”为 -2 7/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 -.A 2 B 0 35 (1)填空：已知点 8.6)与点8(5.2 ,则点A与点B的“非常距离”为_ C(-1,2) (2)已知点 ,点D为y轴上的一个动点.若点C与点D的“非常距离”为2，求点D的坐标. P(2a-2,a+5) 13.(25-26七年级下·湖北襄阳期末)已知点 ,解答下列各题： (1)若a<-5,点P在哪个象限？ (2)若点2的坐标为 ,5),直线P01y轴，求点P的坐标 2026+3a (3)若点P在第二象限，且它到两坐标轴的距离相等，求 的值 14.(25-26七年级下·云南曲靖阶段检测)新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线， (4,4) 若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点 分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积数值均为16，则点P是“优美点”. 图1 图2 (1)判断点 2,2)是否是“优美点”？说明理由： (2)若 M(4,m是“优美点”，求m的值： 3)已知 Pa3)是“优美点”，过点P作PBLy轴于点，点E在线段PB上，且5@-S0e=2.求 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点E的坐标. 15.(25-26八年级下·广东广州期中)阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点 A(x,0) B(无，0的距离记作4B=书-，如果1(，），B(,)是平面上任忘两点，我们可以通过构造直角三 角形来求AB间的距离.如图，过A、B分别向轴、'轴作垂线 线M、和BM、BN. ,垂足分别是 M、N、M、N,直线N交BM于点O,在RtAAB0中，A0=k-,B0=- .AB2=AQ2+BQ2x-x22+|y-y2P=(x-x2)2+(0y-y2)2 由此得到平面直角坐标系内任意两点A(:,)、B(:,乃)间的距离公式为：AB=V(:-x广+(-乃)》 B、 3 M -5-4-3-2-012345 -2 备用图 (①)直接应用平面内两点间距离公式计算点 40,-2).B(-2,2)之间的距离为 ②在平面直角坐标系中的两点1〔-13)，B(4,),P为'轴上任一点，求P1+PB的最小值。 ③)应用平面内两点间的距离公式，求代数式V+0-2乎+x-+0-)的最小值。 9/9 专题08 平面直角坐标系的性质问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、含参数问题判断点所在的象限 题型二、由点到坐标轴的距离求参数 题型三、由点在坐标轴上求参数 题型四、由点所在的直线平行于坐标轴求参数 题型五、与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及点坐标特征（象限、坐标轴）、对称点（关于轴、原点）、点到坐标轴距离、两点间中点与距离，以及平移与旋转后的坐标变换。 - 解题方法：牢记各象限符号规律；对称坐标规律（关于x轴对称y变号，关于y轴对称x变号，关于原点对称都变号）；距离用绝对值；中点公式求坐标。 - 易错提醒：点到x轴距离为|y|而非|x|；混淆“关于原点对称”与“关于y=x对称”；平移时上下与左右坐标变换混淆；旋转时未确定中心与方向。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、含参数问题判断点所在的象限 典例1 （25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用平方的非负性确定点的横坐标为正，结合纵坐标的符号判断点所在象限. 【详解】解：∵， ∴. ∵点的纵坐标， ∴点位于第四象限. 题型模版 1.特征：点坐标含字母，根据横纵坐标符号判断点在第几象限或坐标轴上。 2.方法：讨论参数范围，确定横纵坐标的正负，结合象限符号规则（一正正，二负正，三负负，四正负）判断。 变式1-1（25-26七年级下·陕西商洛·期末）已知实数，满足，则点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】因为，，且两者和为0，所以可分别得到关于、的等式．求解上述等式，得到、的取值．将、代入计算横纵坐标，根据各象限内点的坐标符号特征判断点所在象限． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，． 解得，． ∴，． ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限． 变式1-2（25-26七年级下·云南昭通·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先判断点横纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标特征即可判断点所在的象限． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴． ∵任意实数的绝对值是非负数， ∴， ∴． ∵点横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴点一定在第二象限． 变式1-3（25-26七年级下·四川泸州·期中）如果，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用非负数的性质求出，的值，再根据平面直角坐标系各象限点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：， ， 由得， 把代入得：， 解得， 点坐标为， 第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 点在第二象限． 题型二、由点到坐标轴的距离求参数 典例2 （25-26七年级下·新疆阿克苏·期末）若在第四象限，且点到轴的距离为7，则n的值为___________． 【答案】 【分析】先根据点所在象限得出，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值列等式求解即可． 【详解】解：∵在第四象限， ∴， ∵点到轴的距离为7， ∴， ∴， 解得． 题型模版 1.特征：已知点到x轴或y轴的距离，或到原点距离，求点坐标中的参数。 2.方法：利用距离公式（到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x|），列绝对值方程解参数，注意符号。 变式2-1（25-26七年级下·福建厦门·期中）点到x轴和y轴的距离相等，则点P的坐标是______． 【答案】或 【分析】点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，根据距离相等列方程求解，再计算点的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， 又点到轴和轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时，，，此时点坐标为； 当时，，，此时点坐标为． ∴点的坐标是或． 变式2-2（25-26七年级下·广东广州·期末）已知点，点为平面直角坐标系内一动点，则线段的最小值为________． 【答案】 【分析】先判断动点的运动轨迹，可得点在直线上，根据垂线段最短，可知线段的最小值为点到直线的距离，计算距离即可得到结果． 【详解】解：点坐标为，纵坐标为定值， 点在直线上， 根据垂线段最短，可得的最小值为点到直线的距离， 又直线平行于轴， 点到直线的距离为， ∴线段的最小值为5． 变式2-3（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）已知点，，点在轴上，且的面积为3，则点的坐标是________． 【答案】或 【分析】设点的坐标为，点在轴上，因此边在轴上，中边上的高为点到轴的距离，利用三角形面积公式构建绝对值方程求解，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图所示，设， 由，可得的长度为， 由，可得点到轴的距离，即边上的高为， 已知的面积为，根据三角形面积公式得： ， 化简得， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或． 题型三、由点在坐标轴上求参数 典例3 （25-26七年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为_________． 【答案】 【分析】根据点在x轴上，得到，解方程即可； 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得； 题型模版 1.特征：点在x轴或y轴上，则横坐标或纵坐标为0，求字母参数的值。 2.方法：若在x轴上，令纵坐标=0；若在y轴上，令横坐标=0，解方程得参数，注意坐标轴原点情况。 变式3-1（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若在轴上，则点坐标为_________． 【答案】 【分析】y轴上的点横坐标为0，根据该特征先求出的值，再代入计算得到点的纵坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ， ∴点的坐标为． 变式3-2（25-26七年级下·江西赣州·期末）如果点在坐标轴上，那么点P的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】根据坐标轴上点的坐标特征，分两种情况：点在轴上和点在轴上，分别列方程求出的值，再代入计算得到点的坐标． 【详解】解：点在坐标轴上， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，轴上点的纵坐标为，可得 ， 解得或， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； ②当点在轴上时，轴上点的横坐标为，可得 ， 解得， 当时，，此时点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或． 变式3-3（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知，点在轴上且，则点的坐标是__________． 【答案】或 【分析】根据题意，点在轴上，可知点纵坐标为，点也在轴上，因此的长度等于两点横坐标差的绝对值，据此列方程求解． 【详解】解：∵点在轴上， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴，即， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或． 题型四、由点所在的直线平行于坐标轴求参数 典例4 （26-27八年级下·全国·课后作业）如果，是平行于x轴的一条直线上的两点，那么b与d的关系是______． 【答案】相等 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征，纵坐标相等，即可推导得出结论． 【详解】解：∵，是平行于轴的一条直线上的两点， ∴两点的纵坐标相等，即． 因此与的关系为相等． 题型模版 1.特征：两点连线平行于x轴或y轴，则纵坐标相等或横坐标相等，求参数值。 2.方法：平行于x轴时纵坐标相等，平行于y轴时横坐标相等，列方程解出参数，并验证两点不重合。 变式4-1（25-26七年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，若轴，且，则点坐标为___________． 【答案】或 【分析】由轴可得点横坐标与点相同，再分点在点上方、下方两种情况，结合计算纵坐标即可． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， ∴B的横坐标为． ， 当点在点上方时，点的纵坐标为， 此时点坐标为； 当点在点下方时，点的纵坐标为，此时点坐标为， ∴点B的坐标为或． 变式4-2（25-26七年级下·河北石家庄·阶段检测）已知点，解答下列各题： (1)若点P在x轴上，求a的值； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P位于第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的值. 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得：． 变式4-3（25-26七年级下·吉林辽源·期末）已知点，解答下列各题 (1)若点在轴上，则点的坐标为_____； (2)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标； (3)若点在第一象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，进行求解即可； （3）根据点到坐标轴的距离公式，结合第一象限的点的符号特点，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴，解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点坐标为，直线轴， ∴点和点的横坐标相等，即， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：∵点在第一象限， ∴，， ∵点到轴的距离与到轴的距离相等， ∴，解得， 将代入得：. 题型五、与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题 典例5 （25-26七年级下·甘肃陇南·期末）在平面直角坐标系中，给出如下新定义：点到轴，轴的距离的较小值称为点的“短距”．点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点” (1)点的“短距”为__________； (2)若点是“等距点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点到x轴和y轴的距离，取较小值得到短距； （2）根据等距点的定义，得到点横纵坐标的绝对值相等，列方程求解即可得到的值． 【详解】（1）解：点到轴的距离为，到轴的距离为． ∵， ∴点的“短距”为； （2）解：∵点是“等距点”， ∴点到轴、轴的距离相等， 可得， 即， 因此或， 解得或． 题型模版 1.特征：定义新坐标系规则（如“对称点”“距离”），按规则求点或范围，重理解。 2.方法：将新定义转化为坐标运算（如中点、距离、对称），结合坐标系性质列方程或不等式求解。 变式5-1（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知均为实数，当平面直角坐标系内的点满足等式时，称点为“星光点”． (1)判断点是否为“星光点”； (2)若点的坐标为，点是“星光点”，问在轴上是否存在一点，使得的面积为10？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点是“星光点” (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据“星光点”的定义进行判断即可； （2）设点，    根据“星光点”的定义列方程解得，得到．则，根据面积得到，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：， ， 点是“星光点”． （2）解：存在． 设点，     是“星光点”， ， 解得， ． ， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 变式5-2（25-26七年级下·江西赣州·期末）在平面直角坐标系中，点，，若，则称点与点互为“对角点”．例如：点，点，因为，所以点与点互为“对角点”． (1)若点的坐标是，则在点，，中，点的“对角点”为点______； (2)若点的“对角点”在坐标轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】根据“对角点”的定义逐个判断即可； 分点在轴上和点在轴上两种情况，根据“对角点”的定义解答即可． 【详解】（1）解：对于，，，，故不是点的“对角点”；对于，，，，故是点的“对角点”；对于，，，，故不是点的“对角点”， 综上，点的“对角点”为； （2）解：∵点在坐标轴上， ∴分两种情况讨论： ① 若点在轴上，设， 根据定义得：， 解得，此时，符合条件， ∴； ② 若点在轴上，设， 根据定义得：， 解得，此时，符合条件， ∴； 综上，点的坐标为或． 变式5-3（25-26七年级下·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为____________； (2)若点是“完美点”，求a的值； (3)若点的“长距”为3，且点C在第一象限内，将点C沿水平方向进行平移得到点D，使点D为“完美点”，且点D也在第一象限，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据“长距”的定义求解即可； （2）根据“完美点”的定义列方程求解即可； （3）由点在第一象限及“长距”为3，分别讨论横坐标或纵坐标绝对值为3，结合水平平移后纵坐标不变且点为第一象限“完美点”，解得点坐标为或． 【详解】（1）解：点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4， 点的“长距”为4． （2）解：点是“完美点”， 点到轴、轴的距离相等， ∴，即， 或， 解得或． （3）点在第一象限内， ，可得 解得． 点的“长距”为3， 分两种情况讨论： ①当时，或， 解得或（舍）． 当时，，满足“长距”为3， 沿水平方向平移得到点，纵坐标不变为1，点为“完美点”且在第一象限，故． ②当时，或， 解得或（舍）． 当时，，满足“长距”为3， 沿水平方向平移得到点，纵坐标不变为3，点为“完美点”且在第一象限，故． 综上，点的坐标为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则a的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵第三象限内点的横坐标与纵坐标均为负数，点位于第三象限， ∴， 观察选项，只有满足． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到y轴的距离为1，则m的值为（     ） A．1 B． C．1或3 D．2或3 【答案】C 【详解】解：∵点到轴的距离为1， ∴， ∴或， 解得或. 3．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）下列说法正确的是（     ） A．点在第四象限 B．若，则在坐标原点 C．点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为 D．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，且平行于x轴，，则点B的坐标为 【答案】C 【分析】可通过举反例判断A、B的正误，结合平面直角坐标系中点的坐标性质推导C、D的正确性． 【详解】解：A.当时，点在轴上，不一定在第四象限，故A错误； B.若，则或，点在轴或轴上，不一定在坐标原点，故B错误； C.点在第二象限，则横坐标为负，纵坐标为正；点到轴的距离为，则纵坐标为；到轴的距离为，则横坐标为，即点坐标为，故C正确，符合题意； D.平行于轴，则点的纵坐标与点相同，为；由，得点的横坐标为或，即点坐标为或，故D错误． 4．（25-26七年级下·天津武清·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，若轴，则当线段的长最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行于轴的点的坐标特征和垂线段最短的性质，先根据轴确定点的纵坐标，再根据垂线段最短确定长度最小时点的横坐标，即可得到结果． 【详解】解：轴，， 点的纵坐标 根据垂线段最短可知，当时，线段的长度最小 轴， 轴，即点与点的横坐标相同 ， 点的横坐标 点的坐标为． 5．（25-26七年级下·陕西安康·期末）已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 【详解】解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 二、填空题 6．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）已知点在轴上，则的值为________． 【答案】 【分析】根据轴上点的坐标特征，纵坐标为，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为， 即， 解得． 7．（26-27八年级下·全国·课后作业）若点在第二象限，则点在第______________象限． 【答案】一 【分析】根据点在第二象限得到和的符号，再推导点横纵坐标的符号，根据象限坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， ， 点的横坐标为正，纵坐标为正， 点在第一象限． 8．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）已知第二象限内的点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则的值为________． 【答案】 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，结合点到两坐标轴距离相等可得横纵坐标的绝对值相等，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴， 解得． 9．（25-26七年级下·山东临沂·期末）在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】先得出点的纵坐标与点的纵坐标相同，再根据求出点的横坐标即可． 【详解】解：∵线段轴，且点的坐标是， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， ∵， ∴点的横坐标为或， ∴点的坐标为或． 10．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“倍关系点”．例如，点的“2倍关系点”的横坐标为，纵坐标为，所以点的“2倍关系点”的坐标为． （1）已知点的“倍关系点”是点，则_________； （2）已知点的“倍关系点”是点，且点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为_________ 【答案】 【分析】（1）根据题意，分别求出a和b，再计算的值即可； （2）根据题意，分别求出点D的横坐标和纵坐标，根据“点D在第二、四象限的角平分线上”，求出c的值，由此得到点的坐标． 【详解】（1）点的“倍关系点”是点， ， ； （2）∵点的“倍关系点”是点D， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在第二、四象限的角平分线上， ， 解得， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， 即点的坐标为． 三、解答题 11．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求的长． (3)若点在轴下方且到轴的距离为，求的值． (4)若点在二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用在轴上的点纵坐标为求解； （2）利用当轴时，点和点的纵坐标相等求解； （3）利用当点在轴下方时，点的纵坐标小于，点到轴的距离为点纵坐标的绝对值求解； （4）利用二、四象限的角平分线是直线求解． 【详解】（1）解：在轴上的点纵坐标为，点在轴上， ，解得， ， ； （2）解：点的坐标为，且轴，， 点和点的纵坐标相等， ，解得， ， ， ； （3）解：点在轴下方且到轴的距离为，， ，解得； （4）解：点在二、四象限的角平分线上，， 点在直线上， ，解得， ，， ． 12．（25-26七年级下·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若，则点A与点B的“非常距离”为；若，则点A与点B的“非常距离”为． (1)填空：已知点与点，则点A与点B的“非常距离”为 ． (2)已知点，点D为y轴上的一个动点．若点C与点D的“非常距离”为2，求点D的坐标． 【答案】(1)4 (2)或． 【分析】（1）根据、两点的坐标，结合“非常距离”的定义求解即可； （2）根据y轴上的点的特征可知点D的横坐标为0，再结合“非常距离”的定义，得出点C和点D的纵坐标差的绝对值应为2，即可求解 ． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴点A与点B的“非常距离”为4； （2）解：∵点D在y轴上， ∴横坐标为0， ∴， ∵， ∴点C和点D的纵坐标差的绝对值应为2， 设点D的纵坐标为， 则，解得或， ∴点D的坐标为或． 13．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）已知点，解答下列各题： (1)若，点P在哪个象限？ (2)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到两坐标轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)点P在第三象限 (2)点P的坐标是 (3)0 【分析】（1）由得且，横纵坐标均为负，故点在第三象限； （2）由轴得两点纵坐标相等，即，解得，即可得； （3）点在第二象限且到两坐标轴距离相等，即，解得，代入计算得． 【详解】（1）解：， ，． 点在第三象限． （2）解：，，轴， ，解得， ． 点的坐标是． （3）解：点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等， ．解得． ． 14．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“优美点”，例如，如图1，过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长与面积数值均为16，则点是“优美点”． (1)判断点是否是“优美点”?说明理由； (2)若点是“优美点”，求的值； (3)已知点是“优美点”，过点作轴于点，点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】(1)点不是“优美点”，理由： 过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长为，面积为， ∵， ∴点不是“优美点”； (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出过点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成长方形的周长和面积，比较即可得出结果； （2）根据“优美点”的定义可得，求解即可； （3）根据“优美点”的定义求出或，再分两种情况，结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵点是“优美点”， ∴， 整理可得， 解得或； （3）解：∵点是“优美点”， ∴， 解得或， ∴或， 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时； 当时，此时，设， ∴，，， ∵， ∴， 解得，此时， 综上所述，点的坐标为或． 15．（25-26八年级下·广东广州·期中）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，． 由此得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式为：       (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为__________； (2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，求的最小值． (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用两点之间距离公式，将，代入公式，直接求出即可； （2）作点B关于x轴的对称点连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值即为线段的长度，根据两点间的距离公式，进而求出的最小值； （3）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：作点B关于x轴对称的点，连接，直线与x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段的长度， ∵点与点关于x轴对称， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：代数式，表示点到点和的距离之和， 由两点之间线段最短，可知点在以和为端点的线段上时，其距离之和最小， ∴， ∴代数式的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $