专题09 平面直角坐标系中的图形面积问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题09 平面直角坐标系中的图形面积问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 题型二、直接利用面积公式求图形的面积 题型三、利用补形法或分割法求图形的面积 题型四、与图形面积相关的点的存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：已知顶点坐标求三角形、四边形面积，或由面积反求参数，常涉及不规则图形与坐标轴交点。 - 解题方法：用割补法（补成长方形或梯形减去多余部分）；铅锤法（水平宽×铅垂高/2）；坐标轴上点面积直接套底×高/2。 - 易错提醒：割补时多余部分面积计算重复或遗漏；铅锤法中宽与高取正数；带参数面积列绝对值方程，注意多解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 典例1 如果，，点在轴上且三角形ABC的面积是，点坐标是 ；若点在轴上，且为直角三角形，点坐标是 【答案】 或 或 【分析】对于求点坐标，根据三角形面积公式，以为底，到轴距离为高计算；求点坐标，分和两种直角情况，利用直角三角形性质或勾股定理求解．本题主要考查了坐标与图形性质以及直角三角形的性质，熟练掌握三角形面积公式和直角三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解： 设， ， ， 点到轴距离为， ， ， ， 或， 或， 或； 设， 情况一：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ， 或（舍去）， ； 情况二：， ， ， ，，， ，，， ， ， ， ； 情况三：， 根据勾股定理，，即， 解得， 此时点与点重合，无法构成三角形，故舍去， 故答案为：或；或． 题型模版 1.特征：给定三角形面积，点的位置可在两侧或上下，导致多个满足条件的坐标。 2.方法：用面积公式建立含绝对值的方程，分坐标正负两种情形讨论，解出所有可能点并验证。 变式1-1已知，，点在轴上，且三角形的面积是2，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，则，根据三角形的面积是2，得到，解之即可得到答案． 【详解】解：设点P的坐标为，则， ∵三角形的面积是2， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 变式1-2如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，且满足，过点A作轴于点．若轴上存在点，满足三角形和三角形的面积相等，则点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】本题考查算术平方根、平方数的非负性及坐标与图形，直角坐标系内求三角形面积；利用坐标确定线段的长度是解题的关键．先求得出点A、B坐标，进而求出，根据题意求出结论即可． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， 或． 故答案为：或． 变式1-3如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，关键是要分两种情况讨论． 求出的面积，当D在x轴正半轴上时，由三角形面积公式得到，因此，当D在x轴负半轴上时，同理求出，于是得到，，即可得到D的坐标． 【详解】解：根据题意可得：的面积， 设交x轴于M， 当D在x轴正半轴上时， ∵的面积的面积的面积的面积， ， ， 当D在x轴负半轴上时， 同理求出， 根据图象可得， ，， ∴的坐标是或， 故答案为：或． 题型二、直接利用面积公式求图形的面积 典例2 如图，已知点是平面直角坐标系内的三点，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查直角坐标系中三角形的面积求法，以为底并求出点A到的距离从而求面积是解题的关键．过点A作轴，交x轴于点D，求出和，再用面积公式求解即可． 【详解】解：过点A作轴，交x轴于点D． ， ． ， ， ． 题型模版 1.特征：已知三角形底边和高（或矩形长宽），直接套用面积公式计算，无需辅助线。 2.方法：确定对应底和高，代入面积公式（三角形S=½×底×高，矩形S=长×宽）计算。注意单位统一。 变式2-1在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，已知点C的坐标为． (1)求a，b的值； (2)求三角形ABC的面积． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值、算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握绝对值、算术平方根的非负性． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求得，的值； （2）根据，的值可以确定点A、的坐标，进而求得，的距离，即可求得的面积． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：，， 点，点， 又点， ，， ． 变式2-2如图，在平面直角坐标系中已知，，． (1)求点到轴的距离； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 【答案】(1)3 (2)18 (3)或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，几何图形面积的计算，掌握平面直角坐标系的知识是关键． （1）根据点到坐标轴的距离的计算求解即可； （2）根据两点之间距离的计算得到，点到直线的距离为，根据三角形面积的计算公式求解即可； （3）设点的坐标为，根据三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标为， 点到轴的距离； （2）解：点，点， ， 又点到直线的距离， （平方单位）； （3）解：设点的坐标为， ， ， 解得：，或， 点的坐标为或． 变式2-3如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． (1)填空： ， (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积 (3)在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的和为零的性质，三角形的面积等； （1）由非负数的和为零的性质得，，即可求解； （2）由三角形面积得，即可求解； （3）由三角形面积得，即可求解； 理解非负数的和为零的性质，会在平面直角坐标系中求三角形的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：由（1）得 ，， ， ； （3）解：当时， ， ， ， 解得：， 点P的坐标为或． 题型三、利用补形法或分割法求图形的面积 典例3 如图，已知点，，，求三角形的面积． 【答案】18 【分析】方法一：如图，作长方形，由可得答案； 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F，由可得答案； 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E，由可得答案． 【详解】解：方法一：如图，作长方形， 则 ． 方法二：如图，过点B作轴，并分别过点A和点C作的垂线，垂足分别为点E，F． ∴，，，，， ∴ ． 方法三：如图，过点A作轴，并分别过点C和点B作的垂线，垂足分别为点D，E． ∴，，，，， ∴ ． 题型模版 1.特征：不规则图形面积不能直接用公式，需补成规则图形或分割为几个规则图形。 2.方法：补形法（补成大图形减空白），分割法（分成三角形、矩形等），分别求面积后相加或相减。 变式3-1已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 【答案】 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系的特点，图形结合分析，是解题的关键． 如图所示，作轴，作轴，由此可得的值，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 变式3-2如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 【答案】(1)20 (2)P点的坐标或． 【知识点】坐标与图形 【分析】此题主要考查了多边形面积及坐标系的基础知识，解题关键是熟练掌握基础图形面积公式． （1）观察图形，用分割法求解，分别过、两点作轴的垂线，将图形分割为两个直角三角形和一个直角梯形，再根据直角三角形和直角梯形的面积公式求面积和即可； （2）点的纵坐标到原点的距离就是的边上的高，根据（1）点到原点的距离，再根据点分别在轴正负半轴，写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，如下图： ∵，，，， ∴，，，，， 则 ； （2）解：设的边上的高为，由， 得：， 解得， 又∵点在轴上， ∴P点的坐标或． 变式3-3如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的计算，解题的关键是数形结合，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键． （1）根据，，得出，，利用三角形面积公式求出结果即可； （2）作轴于点E，利用割补法求出四边形的面积即可； （3）先求出的面积，分两种情况：当时，，当，，求出的值，进而可得的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：作轴于点E，如图所示： ∵，． ∴，，，， ∴， ， ∴； （3）解：， ∵， ∴， 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 题型四、与图形面积相关的点的存在性问题 典例4 如图，在平面直角坐标系中，已知，，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 【答案】(1)a的值是2，b的值是3 (2) (3)或 【分析】考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，关键是求得a，b的值，其中（3）中注意分类思想和数形结合思想的应用． （1）根据非负数的性质得到，解方程即可得到a，b的值； （2）过点M作轴于点D．根据四边形面积求解即可； （3）当时，四边形的面积，可得，再分两种情况：①当N在x轴负半轴上时，②当N在y轴负半轴上时，进行讨论得到点N的坐标． 【详解】（1）解：∵a，b满足， ∴， 解得． 故a的值是2，b的值是3； （2）解：过点M作轴于点D． 四边形面积 ； （3）解：当时，四边形的面积． ∴， ①当N在x轴的负半轴上时， 设，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当N在y轴负半轴上时， 设，则， ∴， 解得． ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 题型模版 1.特征：已知面积或面积比例，求满足条件的点坐标，常设点后列面积方程。 2.方法：设未知点坐标，用面积公式（水平底×铅锤高/2）表示面积，列方程求解，注意多解验证。 变式4-1如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2，3，4 (2)9 (3)存在．点的坐标为或． 【分析】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系中两点间的距离公式，图形面积的计算，本题的关键是求出点的坐标以及根据点的坐标求解直角坐标系中的图形面积． （1）根据非负数的性质，可求解a与b的值，再由这一条件可求解c的值； （2）根据直角梯形的面积公式代入边长求解即可； （3）先表示出的面积，再由面积关系列式可求解m的值，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，3，4； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 故答案为：9； （3）解：存在， ∵，， ∴以为底，点P的横坐标的绝对值为， ∴， ∵的面积为四边形面积的2倍， ∴， 即，解得， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． 变式4-2如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，其中a，b满足 (1)填空： ， ； (2)若存在一点，点M到x轴的距离是 ， 到y轴的距离是 ，求三角形的面积；  (用含m的式子表示)． (3)在（2）条件下，当时，在x轴上存在一点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点P的坐标． 【答案】(1)1， (2)5，m， (3)点P的坐标是或 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，则，即可作答． （2）因为点，则点M到x轴的距离是5，到y轴的距离是，则，，再把数值代入进行计算，即可作答． （3）先得，依题意，设点P的坐标是，根据三角形的面积与三角形的面积相等，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵a，b满足 ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵点， ∴点M到x轴的距离是5，到y轴的距离是， 如图，分别过点M，B向y轴作垂线，，垂足分别是N，C， ∵，且，， ∴，， ； （3）解：当时，， 即， ∵点P在x轴上 ∴设点P的坐标是， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得． ∴点P的坐标是 或． 变式4-3如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)① ②，或， 【知识点】乘方的应用、利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形，非负性，熟练掌握数形结合的思想，是解题的关键： （1）非负性求出的值，面积公式求出三角形的面积即可； （2）①根据面积公式求出的长，即可求出点C的坐标；②根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出的面积，再根据面积公式求出的长，进而求出点坐标，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半，求出点坐标，然后根据三角形的面积等于，求出的长，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是； （2）①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴或， ∴或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知点，，点C在y轴上，且的面积是8，点C的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先确定的长度，再设C的坐标，根据三角形面积公式列方程求解，即可得到C的坐标. 【详解】解：设点C的坐标为， ∵点，点，两点都在x轴上， ∴， ∵的面积为8，的高为点C到x轴的距离，即， ∴， 将代入得， 化简得，即， ∴或， ∴点C的坐标为或. 2．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）如图，直线轴，且直线经过点，点的坐标为，为直线上的一动点，为的中点，点从点出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程中，三角形的面积（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大再变小 D．不变，面积始终为 【答案】D 【分析】根据题意，由中点坐标求法得到点的坐标为，即点到轴的距离始终为，在平面直角坐标系中求出三角形的面积即可确定答案． 【详解】解：直线轴，且直线经过点，为直线上的一动点， 点的坐标为， 为的中点， 点的坐标为，即点到轴的距离始终为， 、， ，即三角形的面积不变，面积始终为． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标与图形，三角形的面积．根据题意得到直角三角形的面积，利用三角形的面积公式求出的长是解题的关键． 设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出即可． 【详解】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作轴于B，作轴于C， ∵正方形的边长为1， ∴， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积分别是， ∴面积是， ∴， ∴， 则点A的横坐标为． 故选：B． 二、填空题 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知点，点A在x轴上，且三角形的面积是3，则点A的坐标是________ 【答案】或 【分析】根据x轴上点的坐标特征确定点A的纵坐标为0，将看作的底边，得到三角形的高为点B纵坐标的绝对值，结合三角形面积公式求出的长度，分情况得到点A的坐标，即可解题． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，点在轴上， 中，边上的高为点的纵坐标的绝对值，即高为， 三角形的面积是3， ， 解得或， 点的坐标为或． 5．（25-26七年级下·广西贺州·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】作轴于点，作轴于点，把四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，分别计算面积，相加得到四边形的面积，据此求出点的纵坐标． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，则四边形被分成了直角三角形，直角三角形，直角梯形， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，对于任意三点的“三分矩面积”给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”为任意两点纵坐标差的最大值，则关于点的“三分矩面积”．若点的坐标为．点的坐标为，点在轴上，且关于点的“三分矩面积”，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】设，由题意，“水平底”，“竖直高”或或，分三种情况，根据关于点的“三分矩面积”求解即可． 【详解】解：设，又点的坐标为．点的坐标为， 由题意，“水平底”，“竖直高”或或， 当时，点的“三分矩面积”，不合题意，舍去； 当时，，则点的“三分矩面积”， 解得或（舍去）， ∴； 当时，，则点的“三分矩面积”， 解得或（舍去）， ∴, 综上，点的坐标为或． 三、解答题 7．（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，交轴于点． (1)求三角形的面积； (2)求的长； (3)若平行于轴，当三角形的面积为三角形面积的2倍时，求点坐标． 【答案】(1)10 (2) (3)或 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式进行求解即可； （2）设，根据三角形的面积等于的面积和，进行求解即可； （3）根据平行于轴的点的横坐标相同，结合三角形的面积为三角形面积的2倍，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴三角形的面积． （2）解：设， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵平行于轴，， ∴设， ∴， ∵三角形的面积为三角形面积的2倍，， ∴， ∴或， ∴或. 8．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)存在，或 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性可得，，如图，作梯形，其中，，，进一步利用割补法求解面积即可； （2）由题意可得：必在和之间，由，，，轴，可得：， ，再分两种情况：如图，当在四边形内时，且在右侧，如图，当在四边形左侧时，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴，， 如图，作梯形，其中，，， ∴ . （2）解：由题意可得：必在和之间， ∵，，，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ， 如图，当在四边形内时，且在右侧， ∴，， ∴ ， ∵的面积是面积的3倍， ∴，解得； ∴， 如图，当在四边形左侧时， ∴， ， 同理：， 解得； ∴， 综上或． 9．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且． (1)点坐标________、点的坐标________； (2)如图，是轴正半轴上一点，与轴交于点，当时， ①与面积之比为________． ②求的面积； ③求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，为轴上一动点，设的纵坐标为，当取何范围时，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，②，③点的坐标为 (3) 【分析】（1）利用算术平方根与绝对值的非负性，列方程求出、，直接得到、两点坐标； （2）①根据等高三角形面积比等于对应底边长之比，结合线段比例直接得到两个三角形面积之比； ②过点作轴于点，根据即可求出答案； ③设点纵坐标，拆分为两个小三角形，结合面积比例列方程求解，得到点坐标； （3）设轴动点纵坐标为，分割表示出面积，结合面积不等关系列出绝对值不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：，，且， 两个非负数均为，即， 解得，， 点坐标为，点B坐标为； （2）解：①和有公共顶点，底边、在同一条直线上，因此两个三角形的高（点到直线的垂线段长度）完全相等， 面积比就等于底边长的比， ； ②过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ， ； ③设点坐标为，即， 以为底，高是点的纵坐标， ， ， 可得， 又， ， 解得， 点的坐标为； （3）解：设点坐标为， ， 与以为公共底，高分别为点、点到轴的距离和， ， 由题意，且， 代入得：， 整理得， 即， 解得． 10．（25-26七年级下·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若F点坐标为，坐标轴上是否存在一点P（不与点C重合），使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质得到关于a，b的二元一次方程组，然后求解即可； （2）过点M作，交y轴于点N，根据平行线的性质易证，再根据角平分线的定义整理即可得解； （3）存在，分点在y轴上，与x轴上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵点，， ∴点，； （2）解：如图，过点M作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴轴，即， ∵分别平分，，， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， 当点P在y轴上时，设点， ∵F点坐标为， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或5， ∴点P的坐标为或； 当点P在x轴上时，设点，则， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 解得：或4（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 11．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 【答案】(1) (2)点之间的距离是定值6， 理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3)12 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点C作轴于点D，利用直角三角形的两个锐角互余可得，证明，于是可得，，进而即可求出点C的坐标； （2）连接，先证，再证，于是可得； （3）连接，过点C作轴于点F，同（1）可证，推出，，再证，可得，再证，可得，则，由此求出，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， 如图，过点C作轴于点D， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的坐标为． （2）略 （3）解：如图，连接，过点C作轴于点F， 同（1）可证， ，， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 12．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于点，两点，点在直线上． (1)阅读并填空 ①过点作轴于点，可以由、的坐标，直接得出的面积为 ； ②过C作轴于点，的面积，的面积 ；（用含的式子表示） ③的面积的面积的面积，得到关于的一元一次方程，解方程可得点B的坐标为 ． (2)如图，请仿照（1）中的方法，求出点的纵坐标． (3)若点，且的面积等于24，求出的值． 【答案】(1)①6；②a；③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积计算，解题关键是熟练掌握割补法，根据面积关系，列出方程． （1）①根据点，点，结合三角形面积公式求出结果即可； ②根据，点，结合三角形面积公式得出； ③根据的面积的面积的面积，列出方程，解方程即可； （2）过点P作轴于点E，作轴于点F，连接，根据，得出，求出即可； （3）分两种情况讨论：当点M在点C下方时，当点M在点C上方时，分别画出图形，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①∵点，点， ∴，， ∴； ②∵，点， ∴，， ∴； ③∵的面积的面积的面积， ∴， 解得：， ∴； （2）解：过点P作轴于点E，作轴于点F，连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ， ， 又∵， ∴， 解得：， 即点P的纵坐标为； （3）解：当点M在点C下方时，过点M作轴于点E，并延长，过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴，，， ∴， ，， ∵， 又∵， ∴， 解得：； 当点M在点C上方时，过点M作轴于点E，过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴，，， ∴， ， ， ∵， 又∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 平面直角坐标系中的图形面积问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 题型二、直接利用面积公式求图形的面积 题型三、利用补形法或分割法求图形的面积 题型四、与图形面积相关的点的存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：已知顶点坐标求三角形、四边形面积，或由面积反求参数，常涉及不规则图形与坐标轴交点。 - 解题方法：用割补法（补成长方形或梯形减去多余部分）；铅锤法（水平宽×铅垂高/2）；坐标轴上点面积直接套底×高/2。 - 易错提醒：割补时多余部分面积计算重复或遗漏；铅锤法中宽与高取正数；带参数面积列绝对值方程，注意多解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、与面积有关的点的位置不定产生多解 典例1 如果，，点在轴上且三角形ABC的面积是，点坐标是 ；若点在轴上，且为直角三角形，点坐标是 题型模版 1.特征：给定三角形面积，点的位置可在两侧或上下，导致多个满足条件的坐标。 2.方法：用面积公式建立含绝对值的方程，分坐标正负两种情形讨论，解出所有可能点并验证。 变式1-1已知，，点在轴上，且三角形的面积是2，则点的坐标是 ． 变式1-2如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，且满足，过点A作轴于点．若轴上存在点，满足三角形和三角形的面积相等，则点的坐标为 ．    变式1-3如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为 ． 题型二、直接利用面积公式求图形的面积 典例2 如图，已知点是平面直角坐标系内的三点，求三角形的面积． 题型模版 1.特征：已知三角形底边和高（或矩形长宽），直接套用面积公式计算，无需辅助线。 2.方法：确定对应底和高，代入面积公式（三角形S=½×底×高，矩形S=长×宽）计算。注意单位统一。 变式2-1在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，已知点C的坐标为． (1)求a，b的值； (2)求三角形ABC的面积． 变式2-2如图，在平面直角坐标系中已知，，． (1)求点到轴的距离； (2)求的面积； (3)点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 变式2-3如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足． (1)填空： ， (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积 (3)在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，请求出点P的坐标． 题型三、利用补形法或分割法求图形的面积 典例3 如图，已知点，，，求三角形的面积． 题型模版 1.特征：不规则图形面积不能直接用公式，需补成规则图形或分割为几个规则图形。 2.方法：补形法（补成大图形减空白），分割法（分成三角形、矩形等），分别求面积后相加或相减。 变式3-1已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 变式3-2如图，已知，，，． (1)求四边形的面积； (2)在y轴上存在一点P，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求P点的坐标． 变式3-3如图，在平面直角坐标系内有四个点：，，，． (1)求三角形的面积； (2)求四边形的面积； (3)若点P在x轴上，直线将四边形的面积分成两部分，求点P的坐标． 题型四、与图形面积相关的点的存在性问题 典例4 如图，在平面直角坐标系中，已知，，b满足． (1)求a，b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）条件下，当时，在坐标轴的负半轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标，请说明理由． 题型模版 1.特征：已知面积或面积比例，求满足条件的点坐标，常设点后列面积方程。 2.方法：设未知点坐标，用面积公式（水平底×铅锤高/2）表示面积，列方程求解，注意多解验证。 变式4-1如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，且满足关系式，． (1)______，______，______； (2)四边形的面积为______； (3)是否存在点，使得的面积为四边形面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-2如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，其中a，b满足 (1)填空： ， ； (2)若存在一点，点M到x轴的距离是 ， 到y轴的距离是 ，求三角形的面积；  (用含m的式子表示)． (3)在（2）条件下，当时，在x轴上存在一点P，使得三角形的面积与三角形的面积相等，请求出点P的坐标． 变式4-3如图1，在平面直角坐标系中，O为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_______，_______，三角形的面积是_______； (2)点C是x轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①如图2，当点C在x轴负半轴上，三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知点，，点C在y轴上，且的面积是8，点C的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）如图，直线轴，且直线经过点，点的坐标为，为直线上的一动点，为的中点，点从点出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程中，三角形的面积（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大再变小 D．不变，面积始终为 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）已知点，点A在x轴上，且三角形的面积是3，则点A的坐标是________ 5．（25-26七年级下·广西贺州·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，对于任意三点的“三分矩面积”给出如下定义：“水平底”a为任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”为任意两点纵坐标差的最大值，则关于点的“三分矩面积”．若点的坐标为．点的坐标为，点在轴上，且关于点的“三分矩面积”，则点的坐标为______． 三、解答题 7．（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，交轴于点． (1)求三角形的面积； (2)求的长； (3)若平行于轴，当三角形的面积为三角形面积的2倍时，求点坐标． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，，，其中，满足． (1)如图1，已知点，求的面积； (2)如图2，过点向轴作垂线，垂足为，请问在轴的上方是否存在点，使与的面积相等，且的面积是面积的3倍？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 9．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且． (1)点坐标________、点的坐标________； (2)如图，是轴正半轴上一点，与轴交于点，当时， ①与面积之比为________． ②求的面积； ③求出点的坐标； (3)在（2）的条件下，为轴上一动点，设的纵坐标为，当取何范围时，，请直接写出的取值范围． 10．（25-26七年级下·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点． (1)求出点A，B的坐标； (2)如图2，若，，且分别平分，，求的度数；（用含的式子表示） (3)如图3，若F点坐标为，坐标轴上是否存在一点P（不与点C重合），使得三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 11．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 12．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于点，两点，点在直线上． (1)阅读并填空 ①过点作轴于点，可以由、的坐标，直接得出的面积为 ； ②过C作轴于点，的面积，的面积 ；（用含的式子表示） ③的面积的面积的面积，得到关于的一元一次方程，解方程可得点B的坐标为 ． (2)如图，请仿照（1）中的方法，求出点的纵坐标． (3)若点，且的面积等于24，求出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $