专题07 二次根式的运算及规律、新定义型问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建二次根式运算体系，聚焦同类、混合运算、新定义等五类题型，提炼可迁移的解题方法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|化简合并、共轭因式法、新定义转化、规律观察|从概念（同类根式）到运算（混合、分母有理化），再到创新应用（新定义、规律探究）| |题型归纳|5类/每类1典例+3变式|同类根式求值：化简列方程；混合运算：公式法+顺序；新定义：规则转化；分母有理化：平方差消根号；规律题：特例归纳通项|覆盖基础到进阶，形成“概念-运算-应用”逻辑链，培养抽象能力| |压轴挑战|14道综合题|综合运用通法与技巧|整合高频考点，提升复杂问题解决能力，对接中考命题趋势|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07二次根式的运算及规律、新定义型问题的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用同类二次根式求值 题型二、二次根式的混合运算 题型三、二次根式运算中的新定义型问题 题型四、二次根式中的分母有理化 题型五、二次根式运算中的规律探究问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及二次根式的加、减、乘、除混合运算，分母有理化，寻找运算规律，以及现场定义新运 算（如“※”“△”等）或新概念。 -解题方法：运算时先化简再合并同类二次根式；分母有理化乘共轭因式：规律题观察变形前后结构（如 (√n+1+Vn)n+1-Vn=1),新定义题严格按规则转化为常规运算。 -易错提醒：合并时误将根号内相加：分母有理化时漏乘共轭式符号；规律题忽视的取值范围：新定义 中运算顺序和括号处理不当。 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用同类二次根式求值 典例1(25-26八年级下广西百色期末)若最简二次根式a+2与V5是同类二次根式，则a= 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：两个或多个二次根式为同类，需被开方数相同，求参数值或合并化简。 2方法：先化简各二次根式，令被开方数相等（或化简后根号前部分成比例），列方程求参数，再合并同 类项。 变式1-1(25-26八年级下安徽阜阳期末)如果最简二次根式Va+2与V2-a能合并，则a= 变式12(25-26八年级下安徽合肥期未)若最简二次根式+2与32x 是同类二次根式，则x的值 变式1-3(25-26八年级下·安徽宜城期末)√27与最简二次根式2√2a-5是同类二次根式，则a= 题型二、二次根式的混合运算 典例2(25-26八年级下·山西大同期末)计算 9x23-3x6÷2 25+2y-(W7+2)V7-2例) 题型模版 1特征：包含加、减、乘、除、乘方及开方运算，需按运算法则顺序进行。 2方法：先化简各二次根式，再合并同类二次根式；乘法用公式，除法有理化分母，注意运算顺序。 变式2-1(25-26八年级下·贵州遵义期中)计算： 5+°-(5+3x(5-3)】 回7+'-3g-(6-r 变式2-2(25-26八年级下·辽宁葫芦岛期末)计算： 0w27+5+5x-2网 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2(5+25-2)+(2-3 变式2-3(25-26八年级下山东泰安期末)计算 022-v27+8-i8 2(4⑧+v54:5 6(5+2-(2+5)(2-5) 题型三、二次根式运算中的新定义型问题 典例3(25-26八年级下·安徽滁州：期中)对于任意的正数m,,定义运算“※”： √m-√n(m≥m, mXn= Jm+/n(m<n). (1)计算48※75的结果； (2)计算(3※2)×(8※12)的结果. 题型模版 1特征：定义新的根式运算规则（如“※”运算），按新规则求值或化简，重阅读理解。 2方法：透彻理解新定义，将运算按规则转化为常规二次根式运算，再化简求值，注意定义域限制。 变式3-1(25-26八年级上·全国单元复习)对于任意不相等的两个数4，b,定义一种运算※如下： axb=Va+b ※4=5+4=3 a-b.如 5-4 (1)求7※5的值. ②求2-列*(75)的值。 变式3-2(25-26八年级下·辽宁鞍山期中)定义：对于两个正实数x和y,如果存在整数k,使得 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x.y=k ,则称x与y是关于k的“整积数”. ()已知一2，y=m,且x与y是关于整数2的整积数，求m的值： x= 6+2y=6-2 (2)已知√2， √2，判断x与y是否为整积数？若是，求出对应的k值；若不是，说明理由. 变式3-3(25-26八年级下浙江杭州期末)新定义：如果两个含有二次根式的代数式a,b满足ab=C, 且c是有理数，那么我们称a与b是关于C的“友好二次根式”. 例如：a=5+反，b=5-2,因为ah=(5+25-列=3-2=，所以5+5与5-2是关 于1的“友好二次根式”. ①法25与5是关于”的“友好=次根式”，求”的值。 ②若P与7- p 是关于4的“友好二次根式”，求的值. )若2+5与6+v3 是关于3的“友好二次根式”，其中m是有理数，求m的值. 题型四、二次根式中的分母有理化 32 典例4(25-26八年级下·广东珠海·期末)在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如5，√2一的式 子，这样的式子我们可以将其进一步化简，3=3x535.2三 2×(2+1 55x5=5,2-1W2-2+ =2N2+2,这 种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： 2 (①化简：万： (2)化简：√6+5· 题型模版 1特征：分母中含根号，需将分母化为有理数，常见于化简或求值。 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：分子分母同乘以分母的有理化因式（如√a或a士√b),利用平方差公式消去根号，再化简。 变式41(25-26八年级下·陕西商洛期中)【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到 √2 1 √5’√万-√6这种分母中含有无理数的式子 2 【分析问题】对形如√5这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是√万-√这类式子无法直接计 算，我们可以用之前所学乘法公式来解决 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 1 1xN7+v6) =V7+V6 7-6(7-6)7+6 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算： 万 1 (2)计算：-10： 1 1 1 1 (3)求：2+万+5+5+4+5++5+8的值。 变式42(25-26八年级下·广东肇庆期末)在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知a=2+5,求2a2-8a+1的值.他们是这样解答的： 2-V5 a=2+3(2+52-3 、=2-3 a-2=-V3 .(a-2°=3即d2-4a+4=3, .∴a2-4a=-1 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.2a2-8a+1=2(a2-4a+1=2×(-1)+1=-1 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： 1 ()3+2 1 1 1 1 ②化简：2+i+5+2+4+5++20+V19+21+120 1 (③)若a=10-3,求d-6a+11的值. 变式43(25-26八年级下湖北恩施期末)在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律： 对于at6a+a20,b≥0)，若a-b=m则a士6a6,如：3-25+5， m m 1 52万5+5,06=而-6 根据小明发现的规律，完成下列问题： 5 7 ⑩7-2，n+7+万-(n20) 6一=5-x,则x=· (2)若15+x 2 2 22 2 )求5++5+5+V7+5+9+V7++2027+2025的值. 题型五、二次根式运算中的规律探究问题 典例5(25-26九年级下·浙江舟山阶段检测)小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到 般”的方法探究下面二次根式的运算规律 下面是小山的探究过程.请补充完整： (1)具体运算，发现规律 转.写要，-2得 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 特例2： 4 特例3： 特例4： (填写一个符合上述运算特征的例子)： (2)观察、归纳，得出猜想. 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： (3)证明你的猜想； 2025+ ×V4054 (4)应用运算规律化简： 2027 题型模版 1特征：观察一组二次根式运算结果，发现递推或恒等模式，猜想一般结论并证明。 2方法：列举前几项，分析结构变化，用字母表示通项，代入验证恒等式，再用于计算或证明。 变式5-1(25-26八年级下·辽宁大连阶段检测)观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： V1×3+1=V4=2V2×4+1=V9=3V3×5+1=V16=4V4×6+1=V25=5 ①观察算式规律，计算、V5x7+J=，V36x38+= (2)用含正整数n的代数式表示上述算式的规律_： V2×4+1-√4×6+1+V6×8+1-V8×10+1+…-√2020×2022+1+√2022×2024+1 (3)计算： 变式5-2(25-26八年级下·安徽铜陵期末)小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一 般”的方法探究下面二次根式的运算规律 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律 12-11 特例1： 2V2=2 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2×5-2 特例2： 唱 3-3_3×10-3 特例3： 3-10V10 =V10 4 4 4 特例4： 4-7=47. 特例5： 26 (填写运算结果)· (2)观察、归纳，得出猜想。 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： (3)应用运算规律. 万 老口0ba6均为正整数，则a+b的值豹 变式5-3(25-26七年级上安徽六安·阶段检测)【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律. 第1个等式： 1x5+4=V1+2}=1+2, 第2个等式： V2x6+4=V(2+2}=2+2 第3个等式： √3×7+4=V3+2)2=3+2. 第4个等式： √4×8+4=V(4+2)2=4+2； … 【规律发现】 V5×9+4= V2026×2030+4= (1)计算（直接填写最终结果）： (2)写出第n个等式： (用含n的式子表示)： 【规律应用】 8/12 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V3×7+4-V4×8+4+V5×9+4-V6×10+4+.+V101×105+4 (3)利用上述规律计算： ◆◆ 同压轴挑战一支克高障压轴，定破思维上保 一、单选题 1.（25-26八年级下山西昌梁期末)若最简二次根式a+1与 是可以合并的二次根式，则“是 () A.7 B.5 C.2 D.1 2.(25-26八年级下·河南信阳期末)下列计算正确的是() A.Vab=vax/6 B.v5x6-VI C.(-V7)2=7 8-8=5-4=1 D.2 3。(25-26八年级下广东广州期末)已知=V5-2 ,则代数式+2x的值为() A.5-25 B,5+2V5 C.5-vi0 D.5+i0 [m※n=√m-Vn(m>m) 4.（25-26八年级下湖北武汉期中)对于任意正数m'n定义运算※为m※n=m+(m≤），计算： (8※40)÷ 2 2)的结果为（) A.2 B.3+v10 2 C.6+25 D. 二、填空题 5。（25-26八年级下辽宁铁岭期末)若最简二次根式Vm和V20 能够合并，则的值为： 6.(25-26七年级下四川达州期末)若=6-2，则代数式6-+(+5(x-5)的值为 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26八年级下河北雄安·期中)我们规定：对于任意的正数l,的“※”运算为： m※n=m(m-同)， 计算3※12的结果为 8.(25-26八年级下山东东营·阶段检测)通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律： 。1 4 V4；特例3： 2022+ ×V4048= 2024 三、解答题 9.(25-26八年级下山东聊城期末)计算： 0i-35+8 as5-i+v2网 10.(25-26八年级下·辽宁抚顺阶段检测)化简求值. (1)已 x=5+,y=5-1.求+3g+少的值： ，求 8玩化商.月联，任-西-香 y,其中=9y= 4. 11.(25-26八年级下·新疆阿克苏·期末)若两个含有二次根式的代数式M,N满足M·N=1(M·N表示 M和N的积)，其中t是有理数，则称M与N是互为“t相关代数式”. ①活M与5是互为“12相关代数式”，则M=一： M=a-5“是有理数)，N=8+25,且M与V是互为'相关代数式”，求“和'的位。 (2)若 12.(25-26八年级下广西南宁·期中)小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 法，发现二次根式有以下的运算规律. 下面是小明的探究过程，请补充完整. (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 3-5 特例4： (请写一个符合上述运算特征的例子) (2)观察、归纳，得出猜想 n≥1) 如果”为正整数 ,用含”的等式表示上述的运算规律为一。 2024+ 1 ×V√4052 (3)应用运算规律化简： 2026 13.(25-26八年级下·贵州黔东南阶段检测)观察下列运算. 12-1: ①由(2+1×(V2-=1得2+1 ②5+x5-回=1得5+万5-5， ®(4+54-5)=1得4+54-5 (I)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来. (2)利用(1)中你发现的规律计算： 1一+ 1 1 1 V2+i+5+V2+4+5+.+2026+V2025+2027+V2026】 V2027+1) 14,(2526八年级下江西赣州期末)定义：我们将a+v)与a-)陈为对“对例式”. 11/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为(a+D)(a-历)=（回-(6=a-b,可以有效地去掉根号，所以有一些医可以通过构造“对 偶式”来解决. 例如：己知2--v8-=2求2-+v8-的值，可以这样解答： 因为(12-x-v8-xx(M2-x+8-)=(2-x°-(V8-x=12-x-8+x=4, 所以12-x+8-x=2 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： 四对偶式2+5与2-5 之间的关系是_； A.互为相反数 B.互为倒数 C.绝对值相等 (②)已知：8-x+6-x=6 18-x-V6-x= 则 _ 10+x+√2+x=4 (3)已知 求x的值。 12/12 专题07 二次根式的运算及规律、新定义型问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用同类二次根式求值 题型二、二次根式的混合运算 题型三、二次根式运算中的新定义型问题 题型四、二次根式中的分母有理化 题型五、二次根式运算中的规律探究问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及二次根式的加、减、乘、除混合运算，分母有理化，寻找运算规律，以及现场定义新运算（如“※”“△”等）或新概念。 - 解题方法：运算时先化简再合并同类二次根式；分母有理化乘共轭因式；规律题观察变形前后结构（如 ((=1）；新定义题严格按规则转化为常规运算。 - 易错提醒：合并时误将根号内相加；分母有理化时漏乘共轭式符号；规律题忽视n的取值范围；新定义中运算顺序和括号处理不当。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用同类二次根式求值 典例1 （25-26八年级下·广西百色·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式，据此列式解答即可．　 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 题型模版 1.特征：两个或多个二次根式为同类，需被开方数相同，求参数值或合并化简。 2.方法：先化简各二次根式，令被开方数相等（或化简后根号前部分成比例），列方程求参数，再合并同类项。 变式1-1（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如果最简二次根式与能合并，则______ 【答案】0 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 变式1-2（25-26八年级下·安徽合肥·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 变式1-3（25-26八年级下·安徽宣城·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． 题型二、二次根式的混合运算 典例2 （25-26八年级下·山西大同·期末）计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内． （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型模版 1.特征：包含加、减、乘、除、乘方及开方运算，需按运算法则顺序进行。 2.方法：先化简各二次根式，再合并同类二次根式；乘法用公式，除法有理化分母，注意运算顺序。 变式2-1（25-26八年级下·贵州遵义·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2-2（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用、先计算根式乘除，再化简根式，合并同类二次根式； （2）先用平方差公式计算，再用完全平方公式展开，最后合并有理数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2-3（25-26八年级下·山东泰安·期末）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型三、二次根式运算中的新定义型问题 典例3 （25-26八年级下·安徽滁州·期中）对于任意的正数m，n，定义运算“”： (1)计算的结果； (2)计算的结果． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据公式直接代入计算即可； （2）根据公式直接代入计算 【详解】（1）解：． （2），， ． 题型模版 1.特征：定义新的根式运算规则（如“※”运算），按新规则求值或化简，重阅读理解。 2.方法：透彻理解新定义，将运算按规则转化为常规二次根式运算，再化简求值，注意定义域限制。 变式3-1（25-26八年级上·全国·单元复习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算； （2）根据新定义运算法则计算． 【详解】（1）解：由题意，得： ． 故的值为． （2）解：由（1）可知，， ∴． 由题意，得： ． 故的值为． 变式3-2（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）定义：对于两个正实数x和y，如果存在整数k，使得，则称x与y是关于k的“整积数”． (1)已知，，且x与y是关于整数2的整积数，求m的值； (2)已知，，判断x与y是否为整积数？若是，求出对应的k值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)x与y是整积数， 【分析】（1）把，，代入，可得的方程，求出即可； （2）先计算再将结果开平方即可判断与是否为整积数． 【详解】（1）解：与y是关于整数2的整积数， ∴， ∵x＝2，y＝m， ∴， ， ． （2）解：x与y是整积数 理由： ， ∴ ∵1是整数, ∴x与y是整积数,对应的． 变式3-3（25-26八年级下·浙江杭州·期末）新定义：如果两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，那么我们称与是关于的“友好二次根式”． 例如：，，因为，所以与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (2)若与是关于的“友好二次根式”，求的值． (3)若与是关于的“友好二次根式”，其中是有理数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据新定义“友好二次根式”的规则，得到两个二次根式的乘积等于给定有理数，用二次根式的乘法运算，结合平方差公式进行分母有理化，再根据乘积为有理数的条件求解未知量即可． 【详解】（1）解：由“友好二次根式”的定义得； （2）解：由“友好二次根式”的定义得， ∴． （3）解：由“友好二次根式”的定义得， 展开并整理左边：， ∵是有理数，是有理数，是无理数， ∴， 解得． 题型四、二次根式中的分母有理化 典例4 （25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型模版 1.特征：分母中含根号，需将分母化为有理数，常见于化简或求值。 2.方法：分子分母同乘以分母的有理化因式（如√a或a±√b），利用平方差公式消去根号，再化简。 变式4-1（25-26八年级下·陕西商洛·期中）【发现问题】进行二次根式的计算时，有时会遇到这种分母中含有无理数的式子． 【分析问题】对形如这类式子可以用课本所学知识直接进行计算，但是这类式子无法直接计算，我们可以用之前所学乘法公式来解决． 【解决问题】经过探索、同学们发现可以用下面的方法进行计算： 请你认真阅读同学们的解题方法、并解决下列问题： (1)计算：___________． (2)计算：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对原式进行分母有理化，分子分母同乘即可得到结果； （2）分子分母同乘，利用平方差公式化简即可得到结果； （3）先对原式每一项进行分母有理化，再抵消中间项计算最终结果； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：对任意正整数，对分母有理化得， 因此， ． 变式4-2（25-26八年级下·广东肇庆·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ， ， 即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)____________． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）进行分母有理化即可； （2）分母有理化后求和即可； （3）把分母有理化，变形后代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式 （3）解：， ， ， ． 变式4-3（25-26八年级下·湖北恩施·期末）在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于，若，则．如：，，． 根据小明发现的规律，完成下列问题： (1) ， ． (2)若，则 ． (3)求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接套用题目中的规律计算即可； （2）根据规律列等式求解； （3）先拆分每一项，再利用裂项相消法计算求和，中间项相互抵消后得到最终结果． 【详解】（1）解：对于，，可得， 根据题目规律得， 对于，，可得， 根据题目规律得； （2）已知，根据规律可得， 整理得，解得， 由二次根式的非负性可知， ∴； （3）根据题意可知，原式中每一项满足分子， 因此可得， ∴原式 ． 题型五、二次根式运算中的规律探究问题 典例5 （25-26九年级下·浙江舟山·阶段检测）小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小山的探究过程．请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：_____．（填写一个符合上述运算特征的例子）： (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：_____． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 解：等式左边右边， 故猜想成立； (4) 【分析】（1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）对（2）的等式的左边进行整理，即可求证； （4）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例1： 特例2： 特例3： 用含的式子表示为：； （3）略 （4）解： ． 故答案为：． 题型模版 1.特征：观察一组二次根式运算结果，发现递推或恒等模式，猜想一般结论并证明。 2.方法：列举前几项，分析结构变化，用字母表示通项，代入验证恒等式，再用于计算或证明。 变式5-1（25-26八年级下·辽宁大连·阶段检测）观察下列算式的特征及运算结果，探索规律： ，，，． (1)观察算式规律，计算、 ； ； (2)用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律 ； (3)计算：  ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次根式运算中的规律探究： （1）根据题干给定的等式，进行作答即可； （2）根据题干给定的等式，确定相应的规律作答即可； （3）先根据规律化简各式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：； （2）由题意，可得：或； （3） ． 变式5-2（25-26八年级下·安徽铜陵·期末）小石根据学习“数与式“积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)应用运算规律． 若（均为正整数），则的值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）观察各个特例可知：等式左边被开方数的被减数等号右边二次根式的系数特例序号，等式左边被开方数的减数等号右边的被开方数，由此规律求出答案即可； （2）按照（1）中的特例找出规律，进行解答即可； （3）根据（2）中找出规律，求出a，b，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， 故答案为：； （2）解：特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：， ， 特例n：， 故答案为：； （3）解：由可知：， 均为正整数， ，， ， 故答案为：． 变式5-3（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律发现】 (1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________； (2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)7，2028； (2)（或）； (3)54 【分析】（1）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （2）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （3）根据（2）中规律计算各数，再合并同类项可得答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 以此类推，第个等式：； （3）解： ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·山西吕梁·期末）若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先将化为最简二次根式，再根据能合并的最简二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：，是最简二次根式，且与可以合并， 两个最简二次根式的被开方数相等，即，解得． 2．（25-26八年级下·河南信阳·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与运算，根据二次根式的运算法则和成立条件逐一判断选项即可． 【详解】解：A：当，时， 成立，题目缺少条件，错误． B：，错误． C：，正确． D：，错误． 3．（25-26八年级下·广东广州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把原式变形为，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定的运算规则分别计算，，然后得出，再通过二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 二、填空题 5．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）若最简二次根式和能够合并，则m的值为：________． 【答案】 【分析】几个最简二次根式能够合并，说明二者是同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式被开方数相等求解即可． 【详解】解：最简二次根式和能够合并， 二者是同类二次根式，即被开方数相等， 化简得：，的被开方数为， 又是最简二次根式， ． 6．（25-26七年级下·四川达州·期末）若，则代数式的值为 __________ ． 【答案】 【详解】解： ， 当时，原式 7．（25-26八年级下·河北雄安·期中）我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为：，计算的结果为_______． 【答案】 【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ． 8．（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求值__________． 【答案】 【分析】主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，根据题意找到规律，据此规律代值计算即可． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； ……， 以此类推，可知， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级下·山东聊城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先算乘除法，再算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）化简求值． (1)已知，求的值； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) 化简结果为，值为 【分析】 （1）将所求代数式变形，先根据已知条件计算出和的值，再整体代入计算即可； （2）根据二次根式的性质化简原式，再将的值代入化简后的式子计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：由二次根式有意义的条件可得，， ∴原式 ， 将，代入得：原式． 11．（25-26八年级下·新疆阿克苏·期末）若两个含有二次根式的代数式，满足（表示和的积），其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”． (1)若与是互为“12相关代数式”，则_____； (2)若（是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据定义得到等式，化简求解即可得到． （2）根据定义计算，整理后利用为有理数的条件得到二次根式的系数为0，求出，再代入求出即可． 【详解】（1）解：与是互为“12相关代数式”， ， ． （2）解：（是有理数），，且与是互为“相关代数式”， ， 整理得：， 是有理数， ，解得， 将代入得． 12．（25-26八年级下·广西南宁·期中）小明根据学习“数与式”积累的经验，通过由“特殊到一般”的方法，发现二次根式有以下的运算规律． 下面是小明的探究过程，请补充完整． (1)具体运算，发现规律 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：______（请写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想 如果为正整数，用含的等式表示上述的运算规律为______． (3)应用运算规律化简： 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律. （1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例1： 特例2： 特例3： 用含n的式子表示为：， 故答案为：； （3）解：． 13．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算： ． 【答案】(1)（n为正整数） (2) 【分析】（1）观察运算直接得出结论即可； （2）利用（1）中发现的规律先整理括号中的运算，再结合平方差公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得运算为：（n为正整数）； （2）解： ． 14．（25-26八年级下·江西赣州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数      B．互为倒数      C．绝对值相等 (2)已知：，则 ； (3)已知，求x的值． 【答案】(1)B (2)2 (3) 【分析】（1）根据倒数的性质，互为倒数的两数相乘得1，即可判断； （2）将两式相乘，得到积的值，再利用已知式子的值，求解即可； （3）同（2），构造对偶式，再相乘求出积，从而得到的值，再相消求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴和互为倒数； （2）解：∵， 又， ∴； （3）解：， ， ， ∴， 得，，即， 两边平方得，， 解得， 经检验，是原方程的解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $