5.3.1二次函数应用 之营销问题 专项练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

### 基本信息 以二次函数建模为核心，系统覆盖营销问题中利润最值求解的全流程，通过阶梯式题型设计实现从概念理解到综合应用的逻辑递进。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|6题|变量设定→利润公式→二次函数配方→定义域限制下求最值|从实际销量-价格关系抽象为一次函数，结合单件利润构建二次函数模型| |综合应用|5题|多结论验证、含参数利润计算、销量变化比例转化|深化二次函数性质（对称轴、开口方向）在实际问题中的灵活应用| |拓展提升|4题|分段函数建模、利润与成本动态调整、方案优化|整合一次函数与二次函数，培养数学建模与数据分析能力，体现用数学语言表达现实世界|

5.3.1二次函数应用之营销问题 一．选择题（共6小题） 1．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝﹣2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 2．某旅行社组团参加某地二天游．如果一次预订人数为10人．那么每人收费400元．若要增加人数，则每增加1人．可使每人少收20元．则使该旅行社一次收入最多时增加的人数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤18，那么一周可获得的最大利润是（　　） A．1508元 B．1550元 C．1554元 D．1558元 4．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的40%，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 5．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期的最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 6．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为x（元/千克）（x≥30，且x是按0.5的倍数上涨），当日销售量为y（千克）．有下列说法： ①当x＝36时，y＝420； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+1500； ③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克； ④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克， 其中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④ 二．填空题（共4小题） 7．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元时，日盈利为w元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价x＝　 　 元时，超市的日盈利最大． 8．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为　 　 元． 9．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 　 　 元时，网店该商品每天盈利最多． 10．某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．在这10天中，第　 　 天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为　 　 元． 时间第x天 … 2 5 9 … 销售量y/kg … 33 30 26 … 三．解答题（共4小题） 11．某超市以每件15元的价格购进一种商品，经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（不用分析取值范围）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润W最大？最大利润是多少？ 12．随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价x超过14元/kg时，此农产品下市不再销售． （1）当x≥10时，求日销售数量y关于销售单价x的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克5元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 13．党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件6元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件．根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： （1）设商品售价x元，则一天可以卖出　 　 件； （2）当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ （3）若商店每卖一件就捐m元（m＞0）给希望小学，该店发现售价为11元时可获得最大日利润，直接写出m的取值范围． 14．“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元/间（x为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去 　 　 个房间．此时，利润为 　 　 元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当x为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价x的范围． 5.3.1二次函数应用之营销问题 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝﹣2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 【解答】解：设销售该文具每天获得的利润为w元， 根据题意可得10≤x≤21， w＝（x﹣10）（﹣2x+60） ＝﹣2x2+80x﹣600 ＝﹣2（x﹣20）2+200， ∵﹣2＜0，二次函数图象开口向下， ∴当x＝20时，w取得最大值， 又∵10≤x≤21，20在x的取值范围内， ∴当x＝20时，w的最大值为200元， 故选：A． 2．某旅行社组团参加某地二天游．如果一次预订人数为10人．那么每人收费400元．若要增加人数，则每增加1人．可使每人少收20元．则使该旅行社一次收入最多时增加的人数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：设增加的人数为x人，旅行社一次收入为y元． ∵增加x人后，总人数为（10+x）人，每人收费为（400﹣20x）元，且400﹣20x＞0即x＜20． ∴总收入y＝（10+x）（400﹣20x）， 展开得：y＝﹣20x2+200x+4000， 配方得：y＝﹣20（x﹣5）2+4500， ∵二次项系数﹣20＜0，抛物线开口向下， ∴当x＝5时，y取得最大值， 即增加5人时旅行社一次收入最多， 故选：A． 3．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤18，那么一周可获得的最大利润是（　　） A．1508元 B．1550元 C．1554元 D．1558元 【解答】解：发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558， ∵y＝﹣2（x﹣20）2+1558，且﹣2＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝20， ∴当x＜20时，y随x的增大而增大， ∵15≤x≤18＜20， ∴当x＝18时，y取得最大值， 将x＝18代入解析式得y＝﹣2×（18﹣20）2+1558＝1550， 即一周可获得的最大利润是1550元． 故选：B． 4．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的40%，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【解答】解：设衣服的进价为a元/件． 280﹣a＝40%a． 解得：a＝200． ∵衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件， ∴衣服售价每降低1元时，每天销量增加5件． 设售价定为x元． ∵要降低售价， ∴衣服售价降低了（280﹣x）元． ∴每天销量增加了5（280﹣x）件． ∴现在的销量为[200+5（280﹣x）]件． 设每天的利润为w元． w＝（x﹣200）[200+5（280﹣x）] ＝（x﹣200）（1600﹣5x）． ＝﹣5x2+2600x﹣320000． ∵a＝﹣5＜0， ∴x260时，w有最大值． 故选：D． 5．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期的最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：设商品降价x元，则售价为（60﹣x）元．，每件利润为（60﹣x﹣40）＝（20﹣x）元，每星期销售量为（300+20x）件． ①：∵售价为57元， ∴60﹣x＝57，得x＝3， ∴销售量＝300+20×3＝360（件），故①正确； ②：当利润为5850元时，根据题意，得（20﹣x）（300+20x）＝5850， 整理得x2﹣5x﹣7.5＝0， 若零售价为55元，即60﹣x＝55，则x＝5，代入方程左边得52﹣5×5﹣7.5＝﹣7.5≠0， 若零售价为59元，即60﹣x＝59，则x＝1，代入方程左边得12﹣5×1﹣7.5＝﹣11.5≠0，故②错误； ③：设每星期利润为y元，则y＝（20﹣x）（300+20x）， 整理得y＝﹣20x2+100x+6000， 配方得y＝﹣20（x﹣2.5）2+6125， ∵﹣20＜0， ∴当x＝2.5，y取得最大值6125，故③正确； 综上所述，正确结论共2个， 故选：B． 6．某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克．设当日销售单价为x（元/千克）（x≥30，且x是按0.5的倍数上涨），当日销售量为y（千克）．有下列说法： ①当x＝36时，y＝420； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+1500； ③若使日销售利润为2880元，且销售量较大，则日销售单价应定为42元/千克； ④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克， 其中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④ 【解答】解：当x＝36时，y＝450﹣15420，故①正确； y＝450﹣1530x+1500，故②正确； 设销售利润为w元，则w＝（x﹣30）（﹣30x+1500）＝﹣30x2+2400x﹣45000， 当w＝2880时，2880＝﹣30x2+2400x﹣45000， 解得x＝42或38， 若使销售量较大，则x＝38，故③错误； w＝﹣30x2+2400x﹣45000＝﹣30（x﹣40）2+3000， 所以日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克，故④正确． 故选：B． 二．填空题（共4小题） 7．某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价x元时，日盈利为w元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价x＝　10　 元时，超市的日盈利最大． 【解答】解：设每件商品降价x元时，利润为w元． 根据题意得：w＝（30﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+200x+3000＝﹣10（x﹣10）2+4000， ∵﹣10＜0， ∴w有最大值， 当x＝10时，商场日盈利最大，最大值是4000元； 答：每件商品降价10元时，超市日盈利最大，最大值是4000元， 故答案为：10． 8．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为　2210　 元． 【解答】解：设每件玩具涨价x元，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， 则利润w＝（50+x﹣40）（200﹣10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10（x﹣5）2+2250， ∵每件销售价不低于57元销售， ∴50+x≥57，解得x≥7， ∵﹣10＜0，抛物线开口向下，当x＞5时，w随x的增大而减小， ∴当x＝7时，w有最大值，为w＝﹣10×（7﹣5）2+2250＝2210， ∴最大利润w为2210元． 故答案为：2210元． 9．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 　80　 元时，网店该商品每天盈利最多． 【解答】解：设销售单价为x元，则每天可销售100﹣2（x﹣60）＝（220﹣2x）件，每天盈利w元， 依题意得：w＝（x﹣50）（220﹣2x）＝﹣2x2+320x﹣11000＝﹣2（x﹣80）2+1800， ∵﹣2＜0， ∴当x＝80时，w有最大值，最大值为1800元， 故答案为：80． 10．某超市购进一批水果，成本为8元/kg，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．在这10天中，第　7和8　 天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为　378　 元． 时间第x天 … 2 5 9 … 销售量y/kg … 33 30 26 … 【解答】解：设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为y＝kx+b， 根据题意，得， 解得， ∴y＝﹣x+35（1≤x≤10，x为整数）； 设销售这种水果的日利润为w元， 则w＝（﹣x+35）（x+18﹣8） x2x+350 （x）2， ∵1≤x≤10，x为整数， ∴当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378， 答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元， 故答案为：7和8，378． 三．解答题（共4小题） 11．某超市以每件15元的价格购进一种商品，经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（不用分析取值范围）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润W最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，把x＝14时，y＝220；x＝16时，y＝180，分别代入得： ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣20x+500； （2）设每天所获利润为w元， 依题意得：w＝（x﹣15）（﹣20x+500）＝﹣20（x﹣20）2+500， ∵a＝﹣20＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x＝20时，w有最大值， w最大值＝500（元）， 答：销售单价定为20元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是500元． 12．随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价x超过14元/kg时，此农产品下市不再销售． （1）当x≥10时，求日销售数量y关于销售单价x的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克5元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 【解答】解：（1）由题意，当x≥10时，设日销售数量y关于销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 又∵图象过（10，50），（14，42）， ∴． ∴． ∴所求函数关系式为y＝﹣2x+70； （2）由题意，设日销售利润为W元，单件利润为（x﹣5）元/千克，可分两段讨论： ①当8≤x≤10时，此时y＝50， ∴利润W＝50（x﹣5）＝50x﹣250， ∵k＝50＞0， ∴W随x增大而增大， ∴当x＝10时，Wmax＝50×10﹣250＝250（元）； ②当10≤x≤14时，此时y＝﹣2x+70， ∴利润W＝（x﹣5）（﹣2x+70） ＝﹣2x2+80x﹣350 ＝﹣2（x2﹣40x+400﹣400）﹣350 ＝﹣2（x﹣20）2+450． ∵﹣2＜0且10≤x≤14， ∴当x＝14时，W取最大值，最大值为378． 答：此农产品销售单价定为每千克为14元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润是378元． 13．党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件6元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件．根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： （1）设商品售价x元，则一天可以卖出　（﹣40x+560）　 件； （2）当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ （3）若商店每卖一件就捐m元（m＞0）给希望小学，该店发现售价为11元时可获得最大日利润，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，∵调查单价每降低1元，每天可多售出40件， ∴当售价为x元时，一天的销量为：80+40（12﹣x）＝（﹣40x+560）件， 故答案为：（﹣40x+560）； （2）根据题意得：w＝（x﹣6）（﹣40x+560）， ∴w＝﹣40（x﹣10）2+640， ∵﹣40＜0， ∴当x＝10时，w有最大值，最大值为640， ∴当商品的售价x为10元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为640元； （3）根据题意得：w＝（x﹣6﹣m）（﹣40x+560）＝﹣40x2+（800+40m）x﹣3360﹣560m， ∴对称轴为， ∵当售价为11元时可获得最大日利润， ∴． ∴1≤m≤3． 14．“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元/间（x为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去 　38　 个房间．此时，利润为 　10640　 元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当x为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价x的范围． 【解答】解：（1）由题意，∵民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴（300﹣180）÷10＝12． ∴50﹣12＝38． ∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间． ∴此时利润＝300×38﹣20×38＝10640（元）． 故答案为：38，10640． （2）由题意，设利润为w元， ∴ （x﹣355）2+10562.5 ∵， ∴开口向下，对称轴为直线x＝355． 又∵x为10的整数倍， ∴当x＝350或360时，W有最大值＝10560元． （3）由题意，令w（x﹣355）2+10562.5＝10360， ∴x＝310或x＝400． 又∵所获利润不低于10360元， ∴310≤x≤400． ∵该民宿空闲房间数不能超过20间， ∴20． ∴x≤380． ∴310≤x≤380，且x为10的整数倍． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/5 14:07:28；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $