专题15 二次函数图象和性质与系数的问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建二次函数系数综合问题的系统性方法体系，通过五类题型的递进设计实现知识逻辑与解题能力的双重突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|开口定a、交点定c、对称轴定ab符号，特殊点代入判组合式|从系数符号判断基础方法切入，培养抽象能力| |题型归纳|5类（每类1典例+3变式）|含参数问题用顶点公式列不等式，动点数形结合转化最值，跨函数综合验证参数符号|从单一系数到参数综合再到几何结合，形成推理意识链| |压轴挑战|14题（选择/填空/解答）|分类讨论参数范围，构建函数模型解决实际问题|对接中考压轴考法，发展模型观念与应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15二次函数图象和性质与系数的问题的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 二次函数中含参数的图象和性质 题型二、 一次函数与二次函数图像综合判断问题 题型三、 二次函数与几何图形中的动点问题 题型四、二次函数图像与各项系数符号问题 题型五、二次函数中含参数的综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：给出图象或图象特征，判断系数a,b,c及组合式（如a+b+c、b24ac、2a+b)的正负性或取值 个数。 解题方法：开口定向判a,交点（与y轴）判c,对称轴位置判，b同异号：代入特殊点（±1、±2）判组 合式：与x轴交点个数判判别式△。 -易错提醒：混淆a+b+c与a-b+c的代入点（分别对应x=1与x=-1)；判断2a+b符号时忽略对称轴与1的 大小比较：未注意开口大小与a的关系（越大开口越小）。 夙题型到归纳一精讲臭型随法，夺尖解题根基 题型一、二次函数中含参数的图象和性质 典例1(2026陕西西安模拟预测在平面直角坐标系中，二次函数'=a+a-2a(a+0)的图象与'轴 交于负半轴，则下列关于该函数的结论正确的是() 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.图象的开口向下 B.当x>1时，y的值随x值的增大而增大 9 C.该函数有最大值44 D.当1<x<2时，y>0 题型模版 1特征：解析式中含有待定字母，需根据图象位置或过定点确定参数范围或值。 2方法：利用顶点坐标公式、对称轴表达式，结合图象特征（如与x轴交点、过定点）列方程或不等式求 解。 变式1-1(25-26九年级上浙江舟山阶段检测)下列关于二次函数'=-ar+2ar-1(a>0 的图象和性质说 法正确的是() A.该函数的图象开口向上 B.若点 （-1)(2,2) 和 是该函数的图象上的两点，则片>」 C.该函数的图象对称轴为直线x=-1 D.该函数的最大值为y=a-I 变式1-2(2026内蒙古呼和浩特·二模)二次函 y=x+2m-)x+2mm≠2， 有下列结论： ①该函数图象过定点(-1,2)： ②当m=1时，函数图象与x轴无交点： ③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧： 3 1 ④当1<m<2时，点P,y),Q(,)是曲线上两点，若-3<x<-2,2西<0，则片>片 其中，正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 座式13(2026四川宜宾中考真题点P是抛物线'+2a-k-(女-的顶点，点4〔1m、B6m) 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在抛物线上（其中t>-1).下列结论： ①当点P在x轴上时，a=1:②点P在直线y=2x上：③m+2t<1;④当点P所在直线与线段AB没有交 1 点时，a的取值范围是a>2:⑤当点p在原点时，过点C0-4)的直线与抛物线交于M、N两点，则 11 CM CN=4 其中正确的结论有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型二、 一次函数与二次函数图像综合判断问题 典例2 (25.26九年级上河北廊坊阶段检测)函数y=a心和函数'a(-1少广(a≠0)在同一平面直角坐标 系中的图象可能是() 题型模版 1.特征：同一坐标系中给出一次函数与二次函数的图象，判断解析式中参数符号的正误。 2方法：先由一次函数图象位置判断k、b符号，再由二次函数开口、对称轴、与y轴交点验证是否一致。 变式2-1(2026广东佛山·一模)若二次函数y=ax+br+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b图象大 致是() 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 变式2-2(25-26九年级上陕西西安期末)函数y=axr+b和y=ax2+br+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中 的图象可能是() 变式2-3(25-26九年级下·黑龙江期中)一次函数y=ac+b和二次函数y=ar2+br+c(a,b,c是常数，且 a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是() 题型三、二次函数与几何图形中的动点问题 典例3(25-26八年级下·浙江绍兴阶段检测)如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点 (不与点B,C重合)，以AD为边向右作等边△ADE,边DE与AC相交于点F,设BD=x,CF=y,若 y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为() 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 32 D 图① 图② A.6 B.6V3 C.9 D.95 题型模版 1.特征：点在二次函数图象上运动，求与几何图形（如三角形、四边形）面积或周长最值。 2.方法：设动点坐标（区，x+bx+c),用函数表示面积或周长，转化为二次函数最值问题求解。 变式3-1(2026安徽滁州三模)如图1，菱形ABCD中，∠ABC=60°，点M为BC边上一动点， ∠MAN=60°，AN与CD相交于点N,连接MN.设BM=x,△MCN的面积为'，且y与x的函数图象 是如图2所示的抛物线的一部分.则下列结论中不正确的是() 珠 D m 55 B M 02 a 图1 图2 A,a-12 B.当=8时， y=8V5 c. 的最大值m=9√5 D.当=6时，aMMN 3 的面积为 空式3-2(2026浙江宁波二模)如图，在A1BC中，smC 2,∠B=45°，点p是从点C出发，沿 C→A→B方向运动，PH⊥BC,设HC的长为x,△PHC的面积为y,如图2是△PHC的面积随着点P 的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断错误的是()· 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 A.当点P是AC的中点时，点H是BC的三等分点 B.a=3 C.两段抛物线的形状不相同 /51 D. 点(2’2)在该函数图象上 变式3-3(2026浙江台州·二模)如图①，矩形ABCD中，AB=6,点Q从点A出发向终点B匀速运动： 同时点P以不同于点？的速度从点B出发向终点C匀速运动.期间△DPQ的面积S与时间t的函数图象如 图②所示，当t=4秒时，S取得最小值：当≥6秒时，函数图像是一条线段，则下列说法错误的是() S本 48 4 6 图① 图② A.线段AD的长度为16 B.Q的速度为每秒1个单位长度 C.当点P运动至BC中点时，△DPO的面积最小 D.△DPO的面积的最小值为36 题型四、二次函数图像与各项系数符号问题 典例4(26-27九年级上：北京课堂例题)二次函数y=a2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，已知图 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1,0) 象过点 对称轴为直线=2，有下列结论：①a>0,b>0，,c>0;②4a+h=0,③9如+c>36, A(-2y)kB(22)C(3y) ④若点 、点 、点 在该函数图象上，则片<乃<片.其中正确的结论有 题型模版 1.特征：由抛物线开口、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c及代数式（如a+b+c)的符号。 2.方法：开口定a,对称轴位置定ab符号，与y轴交点定c:特殊点（如x=1)代入判断a+b+c等组合符号。 变式4-1(25-26九年级上吉林松原阶段检测)已知二次函数'=+r+ca≠0 的图象如图所示，对称 轴为直线x=1.有下列5个结论：①abc>0;②a-b+c<0;③4a+2b+c>0;④3a+c>0:⑤ n(an+b)>a+b 〈”为实数且”1)其中正确的结论有 变式42(25-26九年级上·吉林长春阶段检测)如图为二次函数y=ax+br+c(a≠0)的图象.有下列 四个结论：①若 （-3y)(2,2 分别是抛物线上的两个点，则片>乃，②c>0,③”-b≥(r+b),④ 3b+2c<0.其中正确的个数是 7/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式43(25-26九年级上吉林长春期中)如图。二次函数'=ar+r+c(a*0 的图象与轴交于点 4(-1,0),与'销的交点8在0,2列与03)之同（不包括这两点），对称销为直线x=2.以下结论：① 3 2 bc<0:②9a+36+c>0:®写a<-5:④若，为任意实数，则am+bM<4+26,其中正确的结论有- 题型五、二次函数中含参数的综合问题 =x2-2mx+8(m>0) 典例5 (2026浙江温州二模)已知抛物线 (3,5) (1)若抛物线经过点 求m的值. (2)若抛物线经过点 -4,a）.Q0-i,a）,求m的值. A(t-4,a）B(4,b)C(t,a) (3)若点 都在抛物线上，且a<b<8.求m的取值范围. 题型模版 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：二次函数解析式含参数，涉及交点、最值、范围等，常需分类讨论或数形结合。 2方法：由参数表达式表示顶点或判别式，结合图象（如与x轴交点、过定点）列方程，分类讨论参数范 围后验证。 变式5-1(2026浙江杭州一模)在平面直角坐标系中，已知函数'=-(：-m)(x-)+1 (,n为常数)图 h,k) 象的顶点坐标为 (1)当m=2,n=4时，求该函数图象的顶点坐标. (若1）.B(45 为该函数图象上的点，当=2时，比较片，片的大小. (3)若该函数的图象经过点 0,2),当h21时，求k的取值范围. 变式5-2(2026浙江宁波一模)已知二次函数’=-4r+3(0为常数)的图象过点 1,0) ()求该二次函数的表达式和顶点坐标. (2)已 P(G,X).(,为)为二次函数图象上两点，其中 ≤x≤m2≤x2≤2m ①当m=2月乃+5=3 时，求点P的坐标 ②若与”的差的最大值为9，求加的值。 变式53(25：26九年级下北京顺义阶段检测)在平面直角坐标系0中，抛物线'=a+r+c(a>0)经 过原点0和点 A(-3,-3a) (I)求c的值，并用含a的式子表示b: 化，0)作轴的重线，交该抛物线于点8，交直线'=于点C, (2)过点 ①若a=l,t=-2,直接写出BC的长： ②若线段BC的长度随的增大而减小，求出的取值范围. 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同压轴挑战一女克高难压轴，突政思维上保 一、单选题 1.(2526九年级上四川自页期末)若4(3B(-15,C(4)为二次高数=r+2x+c图像上 的三点，则y1,,为的大小关系是() A.片<乃<⅓ By<为<为 C.为<乃< D.片<乃< 2。(2526九年级上陕西西安期末)当2≤x≤3时，二次西数”=m-2m+1”为宿数。且m0) 有最小值-3，则m的值为() A.3 1 1 B.2 C.4 D.4或2 3.(25-26九年级上辽宁铁岭阶段检测)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-r+1与二次函数 y=x+m 的图象可能是() 4.(2526九年级上湖北荆门期末)如图，二次西数=+x+C的图象经过点1-2），且与'轴交 点的横坐标分别为，其中2<<-山.0< 1,下列结论：0a+h+c<0:②20-h<0,③ ；②1 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b2+8a<4ac。a+3b<0 其中正确的结论有（）个。 A.1 B.2 C.3 D.4 5.(25-26九年级上浙江金华阶段检测)通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地 正东方向，C地位于A地的北偏东30°，5海里处.船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP 的长为，BP为y关于的函数图象如图2所示)，录低点P4m）,且经过(5，川】 则下列选项正 确的是() 0 45 图1 图2 A,△ABC 20W3 的面积是 B.m=49 C.点 1,57) 在该函数图象上 D.n=50 二、填空题 6.(25-26九年级上山东德州期中)已知点 (-2,m)）(,m y=ax2+2ax+3 在二次函数 (a为常数)的图象 上.若a<0,则n.(填“>”、“<”或“=”). y=x2-2am+1 7.(25-26九年级上北京期末)已知二次函数 ,当a-1≤x≤-时，相应的函数值的最大 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与最小值之差为0.75，则a= 8。(25-26九年级上浙江台州期末)已知二次商数)=-6x+10, 当=m时，函数值为”，当 x=m+ 2时，函数值为片，且 <为，则m的取值范国是 9.(25-26九年级上浙江嘉兴阶段检测)点 (,）,8(:,）,是抛物线'=a-4r+1(“是带数。 且4>0)上的两个点。下列结论：①抛物线与'轴的交点是0,1) ②抛物线的对称轴是直线x=-2,③ 当片=乃=1 时，B=4,④当>5>2时.片<乃，©当0≤x≤2时，'有最大伯是1，其中正确结论 的是 10.(25-26九年级上安徽六安阶段检测)在平面直角坐标系中，若点 A(-l1,m)B(3,n) 在抛物线 y=ax2+bx+c(a>0 上，且位于对称轴的两侧。设抛物线的对称轴为直线x=( (1)当t=2时，b与a满足的等量关系为 (2)已知点 C(xo>P) 在该抛物线上，若对于 << 4,都有m>p>”,则‘的取值范围为 三、解答题 11.(21-22九年级下山东泰安·期中)已知抛物线 y=mx2+nx+6 的对称轴是直线=一1 (1)求证：2m-n=0: (2)若关于x的方程mx2+x-6=0的一个根为2，求此方程的另一个根. 12.(2026-山东德州中考真题)已知二次函数'=(x-m+23(x-m)-3，m为常数。 (1)当m=0时，求该二次函数的对称轴： (2)若当x>0时，y随x的增大而增大，当x<-1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围： (3)若在该二次函数的图象上有一点A，且点A到x轴的距离为21，求点A到对称轴的距离. 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax2+4ax+3a 13.(2026浙江模拟预测)已知二次函数 (a为常数且a≠0 1,-2) (1)求该二次函数图像的对称轴：若该函数图像经过点 ,求a的值： (2)若a>0,当-3≤x≤1时，该函数的最大值为8，求a的值： (3)在(2)的条件下，设 点M5和点M,)都在该二次函数的图像上，且有-15x≤3-2 (其中0≤1<3)的范围内，求以-的最大值. 14.(25-26八年级下·浙江宁波期末)定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个 点为“友好点”，如：4).(2.CQ0时都是友好点”.已知=次函数=-t-+cc 为常数)· ①)若该函数经过点山，-6) 求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在(1)的条件下，当1≤x≤1+2时，函数的最小值为6，求t的值： 3在-3<x< 的范围内，若二次函数'=-r-+e。 的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出C 的取值范围， 13/13 专题15 二次函数图象和性质与系数的问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中含参数的图象和性质 题型二、一次函数与二次函数图像综合判断问题 题型三、二次函数与几何图形中的动点问题 题型四、二次函数图像与各项系数符号问题 题型五、二次函数中含参数的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：给出图象或图象特征，判断系数a,b,c及组合式（如a+b+c、b2-4ac、2a+b）的正负性或取值个数。 - 解题方法：开口定向判a，交点（与y轴）判c，对称轴位置判a,b同异号；代入特殊点（±1、±2）判组合式；与x轴交点个数判判别式。 - 易错提醒：混淆a+b+c与a-b+c的代入点（分别对应x=1与x=-1）；判断2a+b符号时忽略对称轴与1的大小比较；未注意开口大小与|a|的关系（|a|越大开口越小）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中含参数的图象和性质 典例1 （2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于负半轴，则下列关于该函数的结论正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．该函数有最大值 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据图象与y轴交于负半轴确定的取值范围，再配方得到顶点式，结合开口方向、对称轴、增减性和与x轴的交点逐一判断选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于负半轴， 当时，， ∴， 解得，抛物线开口向上，故A错误． 将二次函数配方得：，可得对称轴为直线，顶点坐标为． ∵，开口向上， ∴当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小，故B错误． ∵，开口向上， ∴二次函数有最小值，没有最大值，故C错误． 令，则， ∵，等式两边同除以得， 因式分解得， 解得，． ∵抛物线开口向上， ∴当时，， ∵满足， ∴当时，，故D正确． 题型模版 1.特征：解析式中含有待定字母，需根据图象位置或过定点确定参数范围或值。 2.方法：利用顶点坐标公式、对称轴表达式，结合图象特征（如与x轴交点、过定点）列方程或不等式求解。 变式1-1（25-26九年级上·浙江舟山·阶段检测）下列关于二次函数的图象和性质说法正确的是（    ） A．该函数的图象开口向上 B．若点和是该函数的图象上的两点，则． C．该函数的图象对称轴为直线 D．该函数的最大值为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误； 该函数的图象的对称轴为，故C选项错误； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴，故B选项错误； 当时，该函数的最大值为，故D选项正确； 故选：D． 变式1-2（2026·内蒙古呼和浩特·二模）二次函数，有下列结论： ①该函数图象过定点； ②当时，函数图象与轴无交点； ③函数图象的对称轴不可能在轴的右侧； ④当时，点，是曲线上两点，若，，则． 其中，正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将抛物线整理为，即可判断①，将代入并计算即可判断②，计算抛物线的对称轴并根据即可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定、的位置，再根据增减性即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，， 该函数图象过定点，故①正确； 当时，， ， 函数图象与轴无交点，故②正确； 抛物线的对称轴为：， ， ， 当时，对称轴在轴左侧，当时，对称轴在轴右侧，故③错误； ， ， ，， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， ， 抛物线开口向上，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， 当时，， 当时，， 此时，， ， ， ，故④正确， 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C． 变式1-3（2026·四川宜宾·中考真题）点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再逐个验证五个结论，利用二次函数顶点坐标性质、对称点性质、交点判断等初中知识逐一分析，统计正确结论个数即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ①若在轴上，则顶点纵坐标为，即， 解得，故①正确； ②将代入，当时，， ∴点不在直线上，故②错误； ③∵，纵坐标相同，对称轴为， ∴， 解得， 将代入抛物线得， ∴， 当时，不满足，故③错误； ④∵顶点坐标为， ∴， ∴所在直线为， 将代入得，， 解得， ∵当点所在直线与线段没有交点时， ∴或， ∴或， 整理得，或， ∵， ∴， ∴无解； ∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵点在原点， ∴，， ∴， ∴抛物线为， 当过的直线是时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意， 则可设过的直线为， 联立得， 整理得，， 设，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ ∴， ∴， 同理可得，， ∴，故⑤正确． 综上，正确结论为①④⑤，共3个． 题型二、一次函数与二次函数图像综合判断问题 典例2 （25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 先求出的顶点坐标， 再分情况讨论即可． 【详解】解：当时，， 即函数的顶点为，B、D不符合要求； 当时，函数经过一、三象限，函数开口向上，C符合； 当时，函数经过二、四象限，函数开口向下，无符合选项； 故选：C． 题型模版 1.特征：同一坐标系中给出一次函数与二次函数的图象，判断解析式中参数符号的正误。 2.方法：先由一次函数图象位置判断k、b符号，再由二次函数开口、对称轴、与y轴交点验证是否一致。 变式2-1（2026·广东佛山·一模）若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 变式2-2（25-26九年级上·陕西西安·期末）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象，根据一次函数的图象确定出的符号，进而判断出二次函数的图象分布位置即可求解． 【详解】解：、∵一次函数经过一、二、三象限， ∴，， ∴抛物线开口向上，该选项不符合题意； 、∵一次函数经过一、二、三象限， ∴，， ∴抛物线开口向上，对称轴，该选项符合题意； 、∵一次函数经过一、二、四象限， ∴，， ∴抛物线开口向下，该选项不符合题意； 、∵一次函数经过一、二、四象限， ∴，， ∴抛物线开口向下，对称轴，该选项不符合题意； 故选：． 变式2-3（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 题型三、二次函数与几何图形中的动点问题 典例3 （25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图①，在等边三角形中，点D是边上一动点（不与点B，C重合），以为边向右作等边，边与相交于点F，设，，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形的面积为（     ） A．6 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】设等边三角形的边长为a，先证明，可得，所以，根据二次函数的最大值为列方程求解，得到，即可求得答案． 【详解】解：设等边三角形的边长为a，则， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，y的最大值为， ， 解得， 等边三角形的面积为． 题型模版 1.特征：点在二次函数图象上运动，求与几何图形（如三角形、四边形）面积或周长最值。 2.方法：设动点坐标 (x, ax2+bx+c)，用函数表示面积或周长，转化为二次函数最值问题求解。 变式3-1（2026·安徽滁州·三模）如图1，菱形中，，点为边上一动点，，与相交于点，连接．设，的面积为，且与的函数图象是如图2所示的抛物线的一部分．则下列结论中不正确的是（     ） A． B．当时， C．的最大值 D．当时，的面积为 【答案】D 【分析】求出菱形的边长和与的函数函数关系，再逐项判定即可． 【详解】解：连接，作交的延长线于点， ∵菱形中，，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， 由函数图象可知，当时，， 解得， 根据题意可得，， 当时，， 故选项B正确； 当时，，解得或， 由图象可知，， 故选项A正确； ∵，， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值； 故C选项正确； 当时，, 作于点,则， ∴的面积为 故选项D错误，符合题意． 变式3-2（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，，点是从点出发，沿方向运动，，设的长为，的面积为，如图是的面积随着点的运动形成的函数图象（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断错误的是（     ）． A．当点是的中点时，点是的三等分点 B． C．两段抛物线的形状不相同 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】根据点是从点出发，沿方向运动分类①当点在上运动时，求出的值和的面积的函数解析式，②当点在上运动时，求出的面积的函数解析式；选项A，证明，结合点是的中点即可求解；选项B，根据图，判断是与轴的交点，求解即可；选项C，根据求出的函数解析式，进行比较即可；选项D，将点代入函数解析式中判断即可． 【详解】①如图，当点在上运动时，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴的面积为， 结合如图函数图象，可知当运动到点时，，的面积为， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ②如图，当点在上运动时， ∵，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为， 选项A，∵点是的中点时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点是的三等分点，故选项A不符合题意； 选项B，由图可知，是与轴的交点， ∴，解得：（舍），， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，当点在上运动时，，是开口向上的抛物线，当点在上运动时，，是开口向下的抛物线，， ∴两段抛物线的形状不相同，故选项C不符合题意； 选项D，由图可知，当时，， 将代入，， ∴点不在该函数图象上，故选项D符合题意． 变式3-3（2026·浙江台州·二模）如图①，矩形中，，点Q从点A出发向终点B匀速运动；同时点P以不同于点Q的速度从点B出发向终点C匀速运动．期间的面积S与时间t的函数图象如图②所示，当秒时，S取得最小值；当秒时，函数图像是一条线段．则下列说法错误的是（   ） A．线段的长度为16 B．Q的速度为每秒1个单位长度 C．当点P运动至中点时，的面积最小 D．的面积的最小值为36 【答案】D 【分析】由，，根据三角形的面积公式求的长度，即可判定A选项，当时，函数图像是一条线段，说明此时点Q已经到达点B，计算点Q的速度，即可判定B选项，设点的速度为（单位长度/秒），构建关于的二次函数，即可判定选项C和D． 【详解】解：A．当时，当在处，点在处，如图所示： 此时的面积就是的面积， ， 解得， 因此选项A正确； B． ∵当时，函数图像是一条线段，说明此时点Q已经到达点B， ∴Q的速度为（单位长度/秒）， 因此选项B正确； C．设点的速度为（单位长度/秒），则， ， ∵， ∴当时，取得最小值， ∵当秒时，S取得最小值， ∴， 解得：，是原方程的根， 此时，，即点P是的中点， 因此选项C正确； D． 当秒时，，此时最小面积为：， 因此选项D错误． 题型四、二次函数图像与各项系数符号问题 典例4 （26-27九年级上·北京·课堂例题）二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】２ 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 题型模版 1.特征：由抛物线开口、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c及代数式（如a+b+c）的符号。 2.方法：开口定a，对称轴位置定ab符号，与y轴交点定c；特殊点（如x=1）代入判断a+b+c等组合符号。 变式4-1（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（为实数且）其中正确的结论有______． 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象和性质的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口方向和对称以及与轴的交点情况可以对①进行判断；根据时，，可对②进行判断；利用抛物线的对称轴可得时，，可对③进行判断；由对称轴为直线可得与的关系，将代入可判断④；利用二次函数的最值则可对⑤进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∵抛物线与轴交于负半轴， 故①正确； ②当时，， 故②错误； ③∵抛物线的对称轴为直线， ∴与时的函数值相同， ∴时，，即， 故③错误； ④∵， 将代入，得， 故④正确； ⑤∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， 当时，， ∴（为实数且）， 故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 变式4-2（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图为二次函数（）的图象．有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是_______． 【答案】4个 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数的增减性、二次函数的最值以及特殊点的函数值应用，熟练掌握二次函数图象与系数的关系及利用图象分析函数性质的方法是解题的关键． 先根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判断、、的符号及相关关系，再逐一分析四个结论：抛物线的对称性和增减性判断与的大小；根据、、的符号判断的符号；利用函数最大值的性质推导不等式；结合特殊点的函数值和、的关系判断的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为直线，即， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴． ①∵抛物线对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为． ∵当时，随的增大而减小，且， ∴，故①正确． ②∵，，， ∴，故②正确． ③∵当时，函数取得最大值， ∴， ∴，即，故③正确． ④∵当时，，且，即， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：． 变式4-3（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．以下结论：①；②；③；④若为任意实数，则，其中正确的结论有_____． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①；由抛物线与x轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断②；当时，，求出，再根据抛物线与轴的交点位置可判断③；根据二次函数最值即可判断④，即可得出结论． 【详解】解：根据图象可得，，， 对称轴为， ，即， ，故①正确； 根据二次函数的图象与轴交于点， 可得二次函数的图象与轴的另一个交点为， 当时，， ，故②正确； 根据二次函数与轴的交点在与之间，可得， 当时，， 即， ， 解得，故③正确； 当时，有最大值， 因此对于任意实数，， ∴，故④错误； ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 题型五、二次函数中含参数的综合问题 典例5 （2026·浙江温州·二模）已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求的值． (2)若抛物线经过点，，求的值． (3)若点，，都在抛物线上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线的解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）先根据抛物线的一般式求出对称轴的表达式，再利用纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称的性质，得出对称轴为两点横坐标的平均数，建立关于的方程，解方程求出的值； （3）先由、两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性求出对称轴，进而得到与的关系式，再确定抛物线与轴的交点坐标及其关于对称轴的对称点坐标，结合抛物线开口向上的增减性，分情况讨论点、的位置，排除无解的情况，根据的条件列出不等式，求解得到的取值范围，最后代入与的关系式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入解析式，得 ， 解得； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为：， ∵抛物线经过点，，点和点纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为： ∴； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为：， ∵点， 都在抛物线上，点和点纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为： ∴， ∴抛物线与轴交点为，且关于对称轴对称的点为， 分两种情况讨论： ①若点，都在对称轴右侧的抛物线上， ∵， ∴随增大而增大， ∵， ∴，不等式组无解； ②若点，都在对称轴左侧的抛物线上， 随增大而减小 ∵， ∴ 解得， ∴． 综上，． 题型模版 1.特征：二次函数解析式含参数，涉及交点、最值、范围等，常需分类讨论或数形结合。 2.方法：由参数表达式表示顶点或判别式，结合图象（如与x轴交点、过定点）列方程，分类讨论参数范围后验证。 变式5-1（2026·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 变式5-2（2026·浙江宁波·一模）已知二次函数（为常数）的图象过点． (1)求该二次函数的表达式和顶点坐标． (2)已知，为二次函数图象上两点，其中，． ①当且时，求点的坐标． ②若与的差的最大值为9，求的值． 【答案】(1)， (2)①点坐标为，② 【分析】（1）用待定系数法，配方法求解即可； （2）①，当时，，分类求解． ②分和时，求解． 【详解】（1）解： 二次函数的图象过点， ， 解得， 该二次函数的表达式为． ， 图象的顶点坐标为． （2）解：（2）①， 当时，， 当时，取得最大值0， 当时，， 当时，取得最大值3， ， 又， 与同时取得最大值． 点坐标为． ②情况一：当时， ， 当时，取得最小值为． ， 当时，取得最大值为． ， 又的最大值为9， 该情况不成立． 情况二：当时， ， 当时，取得最小值为． ， 时，取得最大值为， 的最大值为9． ， 解得（舍）或． 综上所述：． 变式5-3（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点， 若，，直接写出的长； 若线段的长度随的增大而减小，求出的取值范围． 【答案】(1)， (2)；的取值范围为或 【分析】（1）分别将点，的坐标代入抛物线解析式，即可得解； （2）结合题意，分别确定点、的坐标，即可得解； 先表示出， 令，解方程求得的值，根据的值分段讨论：，，，根据二次函数的图象与性质即可得解． 【详解】（1）解：将原点代入抛物线， 可得， 该抛物线解析式为， 将点代入抛物线， 可得， 解得； （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为， 若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，则有， 如图， 过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点， ， 将代入，可得， ， 将代入，可得， ， ； 过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点， ， 将代入，可得， ， 将代入，可得， ， ， 令，即，解得或， 如图，当时，则有， ， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，线段的长度随的增大而减小，故此时符合题意； 如图，当时，则有， ，则， 函数图象开口向下，对称轴为直线， 当时，线段的长度随的增大而增大，故此时不符合题意； 当时，线段的长度随的增大而减小，故此时符合题意； 如图，当时，则有， ， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，线段的长度随的增大而增大，故此时不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·四川自贡·期末）若为二次函数图像上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． 由二次函数可知抛物线对称轴为，开口方向向上，则点C关于对称轴的对称点，且当时，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线对称轴为直线，开口方向向上， ∴点C关于对称轴的对称点，且当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）当时，二次函数（为常数，且）有最小值，则的值为（   ） A． B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为4或， 故选：D． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 4．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口向下，结合图知，当时，得即可判断①，由对称轴直线的取值范围，可得的正负，即可判断②；由抛物线的对称轴直线，得，进而得，即可判断③；由，，可得，即可判断④． 【详解】解：①∵，， 当时，， ∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ③∵抛物线的对称轴直线， ∴抛物线的顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④观察图形可知：， ∵， ∴． ∴，结论④正确． 正确的结论有①②④共个． 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，5海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图象（如图2所示），最低点，且经过．则下列选项正确的是（    ） A．的面积是 B． C．点在该函数图象上 D． 【答案】C 【分析】本题考查了方位角与方向角，勾股定理，函数图象的实际意义，三角形面积计算及垂线段最短．通过分析图象与几何图形的对应关系，逐一验证选项即可． 【详解】解：如图，过点B作于点D，，， ∵图2中图形的最低点， ∴，， ∴在中，， ∴，故B错误，不符合题意； ∴，故A错误，不符合题意； ∵图象经过点， ∴，， ∵在中，，， ∴， 即，故D错误，不符合题意； 如图，当时，， ∵在中，， ∴，即点在该函数图象上，故C正确，符合题意， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知点，在二次函数（a为常数）的图象上．若，则m____n．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点满足二次函数解析式是解题关键．通过计算点对应的函数值，结合条件比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，。 ， ，即， ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，先求出对称轴，根据二次函数的增减性，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，解得， ①当，即时， 则当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为， ∴，解得或（舍去）； ②当时，即时， ∵， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值为，当时，函数值为， ∵， ∴此情况不存在函数值的最大与最小值之差为0.75； 综上：； 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先得到和关于的表达式，再利用，解不等式即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 由于， 则， 解得， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）点，，是抛物线（是常数，且）上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1，其中正确结论的是_________． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数开口方向，与轴的交点，与轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：抛物线是常数，且， 当时，， 抛物线与轴的交点是， 故结论①正确，此结论符合题意； 抛物线的对称轴为， 故结论②错误，此结论不符合题意； 当时，代入抛物线方程得 解得： 或 、两点坐标为和 故结论③正确，此结论符合题意； 抛物线是常数，且， 抛物线的开口向上， 在对称轴的右侧的函数图像，随的增大而增大， ， ，两点位于对称轴的右侧， ， 故结论④错误，此结论不符合题意； 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为1， 故结论⑤正确，此结论符合题意； 综上所述，正确的结论为①③⑤， 故答案为：①③⑤ 10．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点，，在抛物线上，且位于对称轴的两侧．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时，与满足的等量关系为__________； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用对称轴公式求得即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到，解得． 【详解】解：（1）， ∴； 故答案为：； （2）由题意可知，点在对称轴的左侧,点，在对称轴的右侧， ，都有， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，解得 ， 故答案为：． 三、解答题 11．（21-22九年级下·山东泰安·期中）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求证：； (2)若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根． 【答案】(1) 已知抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴． (2) 方程的另一个根为 【分析】（1）根据对称轴直线的计算方法列式得到，由此即可求解； （2）把代入，结合（1）得到，，，则，由此解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵关于的方程的一个根为2， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， ∴方程的另一个根为． 12．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数． (1)当 时，求该二次函数的对称轴； (2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】（1）把 代入 ，进一步求解即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，结合题意可得 ，进一步求解即可； （3）解方程 或，结合抛物线的性质可得答案． 【详解】（1）解：当 时， 二次函数为： ， ∴二次函数的对称轴为直线． （2）解：∵ ， 抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小， ∴ ， 解得：， ∴ 的取值范围为：． （3）解：∵ 的对称轴为直线， 而该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21， ∴， 当 时， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得：，， ∴或， ∴点 到对称轴的距离为：． 当时， ，即 ， ∴， ∴方程无解， 综上：点 到对称轴的距离为：． 13．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数（a为常数且） (1)求该二次函数图像的对称轴；若该函数图像经过点，求a的值； (2)若，当时，该函数的最大值为8，求a的值； (3)在（2）的条件下，设点和点都在该二次函数的图像上，且在（其中）的范围内，求的最大值． 【答案】(1) 对称轴为直线， (2) (3) 的最大值为 【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，待定系数法求出的值即可； （2）根据二次函数的增减性，根据最大值，列出方程进行求解即可； （3）根据增减性，将转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， 当该函数图像经过点时，则，解得； （2）解：由（1）知抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为， 解得； （3）解：由（2）可知，，对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴在对称轴的右侧， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值最大为， ∴的最大值， 设， 则该函数开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为， 故的最大值为. 14．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 【答案】(1)函数表达式为，“友好点”坐标为 (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式，然后根据“友好点”的定义求解即可； （2）由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于，分别求解即可． （3）由题意得，“友好点”所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 根据“友好点”的定义可设， 把代入，得， 整理得：， 解得， ∴“友好点”坐标为； （2）解：由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 综上，的值为或． （3）解：由题意得，“友好点”所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则， 解得； 由方程可变形为，则问题等价于二次函数与直线在范围内至少有一个交点， ∴由可知：开口向上，对称轴为直线， ∴当时，则有，当时，则有， 即在上，的取值范围为，即， 综上所述：的取值范围为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $