专题05 二次函数图象和性质与系数的问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建二次函数与系数问题的方法体系，通过五类题型串联从基础到综合的知识逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1方法总结|开口定a、交点定c、对称轴定ab符号，特殊点代入判组合式|从二次函数基本概念到系数符号关系的推导| |题型归纳|5题型（各含1典例+3变式）|含参数问题用顶点公式列方程，动点数形结合转化最值，函数图像综合判参数符号|从单一系数判断到含参数综合应用的递进| |压轴挑战|11题（选择/填空/解答）|分类讨论参数范围，结合图像验证结论|整合五类题型方法解决复杂情境问题|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5二次函数图象和性质与系数的问题的五类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 二次函数中含参数的图象和性质 题型二、 一次函数与二次函数图像综合判断问题 题型三、 二次函数与几何图形中的动点问题 题型四、二次函数图像与各项系数符号问题 题型五、二次函数中含参数的综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：给出图象或图象特征，判断系数a,b,c及组合式（如a+b+c、b24ac、2a+b)的正负性或取值 个数。 解题方法：开口定向判a,交点（与y轴）判c,对称轴位置判，b同异号：代入特殊点（±1、±2）判组 合式：与x轴交点个数判判别式△。 -易错提醒：混淆a+b+c与a-b+c的代入点（分别对应x=1与x=-1)；判断2a+b符号时忽略对称轴与1的 大小比较：未注意开口大小与a的关系（越大开口越小）。 夙题型到归纳一精讲臭型题法，夺尖解题根基 题型一、二次函数中含参数的图象和性质 奥剑1(25-26九年级上安微毫州期末)已知抛物线"=++ca么c是常数a>0)的顶点为2.) 有下列结论： 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Dc>0:②当>2时，'随*的增大而带大：@抛物线”=+ 是由抛物线》=ar+hx+ 向右平移2 个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的：④若关于x的方程x+bx+c=0的一个根为3，则a=1. 其中正确的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 题型模版 1.特征：解析式中含有待定字母，需根据图象位置或过定点确定参数范围或值。 2方法：利用顶点坐标公式、对称轴表达式，结合图象特征（如与x轴交点、过定点）列方程或不等式求 解。 变式11(25.26九年级上辽宁葫芦岛阶段检测)下列关于二次函数”=-(x-m+㎡+1(m为常数)的 结论：①该函数的图象与函数'=” (0,1) 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 0:③当*>0时，y 随”的增大而减小，④该函数的图象的项点在函数)=？+ 的图像上，其中所有正确的结论序号是() A.①③ B.①② C.③⑤ D.②④ 变式1-2（甘肃省酒泉市2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷）已知：二次函数 y=x2-4x-a ，下列说法正确的是() A.当x<1时，y随x的增大而减小 B.若图象与x轴有交点，则a≤4 C.当a=3时，不等式x2-4x+a>0的解集是1<x<3 D.若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(，-2)，则a=-3 变式1-3(25-26九年级上陕西渭南期中)已知二次函数y=ar2+br+c(a,b,c为常数，且a≠0)的 图象经过m),(3m两点，则下列说法中错误的是 2/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 该函数图象的对称轴为直线x=1 B.无论m取何值，均满足3a+c=m C.函数 y=am+x+c在=l 处取得最值 D.者6 时，<m 为该函数图象上的点，则当。<一时 定成立 题型二、一次函数与二次函数图像综合判断问题 典例2(25-26九年级上辽宁营口·期中)在同一平面直角坐标系中，函 y=m2+m(m0)与 y=mx+n的图象可能是() 题型模版 1.特征：同一坐标系中给出一次函数与二次函数的图象，判断解析式中参数符号的正误。 2方法：先由一次函数图象位置判断k、b符号，再由二次函数开口、对称轴、与y轴交点验证是否一致。 变式2-1(25-26九年级上·上海课后作业)二次函数y=m2与一次函数y=m+a在同一坐标系中的大致图 象可能是() 4卡 变式2-2(25-26九年级上全国单元测试)当a≠0时，y=r+b和y=am+bx+c大致图像可能是() 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 特 变式2-3(25-26九年级上·北京东城期中)抛物线y=m+br和直线y=r+b在同一坐标系的图象可能是 女女 题型三、二次函数与几何图形中的动点问题 典例3(2026浙江丽水模拟预测)如图1，点P,卫分别从A点、B点出发沿矩形ABCD的边运动，点 P.1cm/s AD-DC-CB 0.5cm/s 以 的速度按 运动，点以 的速度向点C处运动、同时出发，当点P,2相 遇时停止运动.设运动的时间为x(s),△DPO的面积为y(cm2),y关于x的函数图象如图2所示， 当x>6时，图象的高点为E.下列选项错误的是() y/cm 6 10 图1 图2 A.AB=4 B.BC=6 C. 的坐标为(0,2) 在该函数图象上 题型模版 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.特征：点在二次函数图象上运动，求与几何图形（如三角形、四边形）面积或周长最值。 2.方法：设动点坐标(&，ax+bx+c),用函数表示面积或周长，转化为二次函数最值问题求解。 变式3-1(2025辽宁抚顺模拟预测)如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm,动点E从点A, 出发以Icm/s的速度沿折线AC-CB方向运动到点B停止，动点F以√2cm/s的速度沿AB方向运动到点B 停止.设△AEF 的面积为心m,运动时间为.表示'与*之间关系的图象如图2所示，则当面积 =3 时，对应的运动时间a的值是 ◆y/cm x/s 图1 图2 变式3-2(25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测 点之间距离的平方.如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B 处运动.设40为（单位。bm)0≤x≤川，P心为y(单位：m),如图2，y关于的函数图象与y 轴交于点C,最低点 (m80,且经过B(225Fa25) 和 两点.请回答下列问题： 225 81 D 01 m 图1 图2 (1)m=」 (2)当AQ=14km时，则PQ的长度为 km. 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式3-3(2026湖北十堰一模)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，CD=V2.动点P在 Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作 正方形DPEF.设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时，如图 2,S是关于t的二次函数.则①当1=1时，S= ；②m=」 SA B 4 图1 图2 题型四、二次函数图像与各项系数符号问题 典例4(25-26八年级下北京期末)如图，已知二次函数'=+r+ca≠0) 的图象与x轴交于点 1-10,与y轴的交点B在0-2》和0，- 之间（不包括这两点），对称轴为直线x=引.下列结论：① 1 1 bc>0:②4a+2b+c>0:®4ac-6<-4a:④3a<2:⑤b>c:其中正确结论有 (填写所有 正确结论的序号)· 题型模版 1.特征：由抛物线开口、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c及代数式（如ab+c)的符号。 2方法：开口定a,对称轴位置定ab符号，与y轴交点定c:特殊点（如x=1)代入判断a+b+c等组合符号。 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式4-1(25-26九年级上·内蒙古赤峰阶段检测)二次函 y=ax2+bx+c(a≠0) 的部分图象如图所示，已 -1,0) 知图象过点 对称轴为直线x=2,有下列结论：①a<0,b>0,c>0,②4如+h=0,③ 9a+c>3b:④若 点1(2，）、点B(2,为)、点CB乃)在该酯数图象上，则<%<片.其中正确的结论 有一个 12 变式42(25-26九年级上北京西城阶段检测)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，直线y=t(1>0 )与抛物线交于A,B两点，A,B两点横坐标分别为m,,根据函数图象信息有下列结论： n x ①abc>0;②m+n=l;③m<-l; ④若对于1>0的任意值都有m<-1,则a>1: ⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长；其中正确的结论是 变式43(25-26九年级上福建厦门期中)如图，抛物线'=ar+x+C与x轴交 4-2,0)B4,0),交 y轴的正半轴于点C,对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,则下列结论： ①2a+b=0; ②a-b+c>0: 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③abc>0: (0,4) (1,5) ④当点C坐标为 时，抛物线顶点 (m,n ⑤若点 是抛物线上第一象限上的动点，当S,最大时，m=2 其中正确的有」 (只填序号) D A 题型五、二次函数中含参数的综合问题 典例5 y=ax2+bx+c(a≠0) (25-26八年级下·北京·期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线 项点为 A1,-4a (I)请用含a的式子表示b,c: (2)过 Pk,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线'2m+2a于点N若点MN里合，提定W=0。 ①若a=1,MN=16,求t的值； ②当点P从点 (a,0) 运动到点 C(4a,0) 的过程中（不包含点B与点C),MW的长存在最大值，求a的取 值范围。 题型模版 1特征：二次函数解析式含参数，涉及交点、最值、范围等，常需分类讨论或数形结合。 2方法：由参数表达式表示顶点或判别式，结合图象（如与x轴交点、过定点）列方程，分类讨论参数范 围后验证。 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式5-1(25-26八年级下浙江宁波期未)已知抛物线'=+4r+C(4,C为常数)，经过点 1,4) 其 图象对称轴为直线x=2. (1)求抛物线表达式： ②已知，）.B(3, 在该抛物线上，且<名 ①者4 对于专≤31+2 都有≤片，求的取值范国 ②若1，B为该抛物线在 m≤x≤n m<2<ny2- 上的两点，且 乃的最大值为2，求”的值. 变式5-2(2026河南三门峡三模)己知二次函数y=m2-4m+5(a为常数，且a≠0). 5,10) (I)若该二次函数的图象经过点 求该二次函数的顶点坐标： 15 (②当0≤x≤5时，y的最大值是2，求a的值： ③当a>0时，若点1m）,B(m+l）,C(m+4）在函数图象上，且片<<乃，请直接写出m的 取值范围。 变式5-3(25-26八年级下北京期末)已知抛物线C:y=+2r+a+aa<0 ). (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点 M(-2w)和N(a,w）均在抛物线C上，且w>%,直接写出n的取值范国： y=a+a (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线 翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G.已知 点4a-2,）和B(-a, 均在图象G上，求片+”的最小值。 同压轴挑战一或克离娘压轴，突败思维上保 一、单选题 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26九年级上四川自贡·期末)若 (-3,B(-1.5小C4）为二次函数’=+2x+C图像上 的三点，则y1,,为的大小关系是() A.h<h<⅓为 B.片为<为 C.为<h<h D.片<为<5 2,（25-26九年级上陕西西安期末)当2≤x≤3 时，二次函数 =m-2mr+1m为常数，且m+0) 有最小值-3，则m的值为() A.3 1 1 B.2 C.4 D.4或2 3.(25-26九年级上辽宁铁岭阶段检测)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-r+1与二次函数 y=x2+m 的图象可能是() 4.(25-26九年级上湖北荆门期末)如图，二次函数)=r+x+C的图象经过点 (-1,2),且与轴交 点的横坐标分别为品，其中 2<x1<-1,0<x2<1 下列结论：0a+6+c<0,@2a-b<0,③ b2+8a<4aca+3b<0 .其中正确的结论有()个. 10/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 5.(25-26九年级上浙江金华阶段检测)通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地 正东方向，C地位于A地的北偏东30°，5海里处.船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP 的长为x,BP为y,y关于x的函数图象（如图2所示），最低 P4,m）.且经过(5，川.则下列选项正 确的是() P 45 图1 图2 A.△AB 的面积是203 B.m=49 C.点s7 在该函数图象上 D.n=50 二、填空题 y=ax2+2ax+3 6.(25-26九年级上山东德州期中)已知点 -2,m）(1,n ”在二次函数 (a为常数)的图象 上.若a<0,则mn.(填“>”、“<”或“=”). y=x2-2ar+1 7.(25-26九年级上北京期末)已知二次函数 1,当a-1≤x≤-0时，相应的函数值的最大 与最小值之差为0.75，则a= 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8,（25-26九年级上浙江台州期末)已知二次函数'=r-6x+1 ,当=m时，函数值为”，当 K=m+2时，函数值为片，且<%，则m的取值范国是 9.(25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测)点 (,）,B(,）,是抛物线'=-4+lc“是常数， 且a>0)上的两个点.下列结论：①抛物线与'轴的交点是 0,1) ；②抛物线的对称轴是直线x=-2；③ 当片乃=1 时，B=4,@当>5>2时，方≤片：⑤当0≤x52时，'有最大值是1，其中正确结论 的是 10.(25-26九年级上·安徽六安·阶段检测)在平面直角坐标系中，若点 A(-1,m)）B(3,n) 在抛物线 y=ax2+bx+c(a>0 上，且位于对称轴的两侧。设抛物线的对称轴为直线x=。 (1)当t=2时，b与a满足的等量关系为 (2)已知点 C(xo>P 在该抛物线上，若对于 3<<4 4,都有m>P>”,则的取值范围为， 三、解答题 11.(21-22九年级下山东泰安期中)已知抛物线 y=mx2+x+6 的对称轴是直线=一1 (1)求证：2m-n=0: (2)若关于x的方程mx2+x-6=0的一个根为2，求此方程的另一个根. 12.(2026山东德州中考真题)己知二次函数'=(x-m+25(x-m)3,m为帝数。 (1)当m=0时，求该二次函数的对称轴： (2)若当x>0时，y随x的增大而增大，当x<-1时，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点A,且点A到x轴的距离为21，求点A到对称轴的距离. 12/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax2+4ax+3a 13.(2026浙江模拟预测)已知二次函数 (a为常数且a≠0 1,-2) (1)求该二次函数图像的对称轴：若该函数图像经过点 ,求a的值： (2)若a>0,当-3≤x≤1时，该函数的最大值为8，求a的值： (3)在(2)的条件下，设 点M任和点W伤，}都在该=次数的图像上，日5在-15x≤3-2》 (其中0≤1<3)的范围内，求以-的最大值. 14.(25-26八年级下·浙江宁波期末)定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个 点为“友好点”，如： 4,3),B(26),C(0,0)等都是“友好点”.已知二次函数'=-r-x+c(c 为常数)· ①⑩若该函数经过点-6 ,求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标： (2)在(1)的条件下，当1≤x≤1+2时，函数的最小值为6，求t的值： 3在-3<x< 的范围内，若二次函数'=-r-+e。 的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出C 的取值范围， 13/13 专题05 二次函数图象和性质与系数的问题的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中含参数的图象和性质 题型二、一次函数与二次函数图像综合判断问题 题型三、二次函数与几何图形中的动点问题 题型四、二次函数图像与各项系数符号问题 题型五、二次函数中含参数的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：给出图象或图象特征，判断系数a,b,c及组合式（如a+b+c、b2-4ac、2a+b）的正负性或取值个数。 - 解题方法：开口定向判a，交点（与y轴）判c，对称轴位置判a,b同异号；代入特殊点（±1、±2）判组合式；与x轴交点个数判判别式。 - 易错提醒：混淆a+b+c与a-b+c的代入点（分别对应x=1与x=-1）；判断2a+b符号时忽略对称轴与1的大小比较；未注意开口大小与|a|的关系（|a|越大开口越小）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中含参数的图象和性质 典例1 （25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知抛物线的顶点为，有下列结论： ①；②当时，随的增大而增大；③抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；④若关于的方程的一个根为3，则．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、平移规律及方程根的应用，先将抛物线化为顶点式，再逐一分析每个结论的正误，统计正确结论的个数即可． 【详解】解：∵抛物线顶点为，， ∴抛物线可写为顶点式，展开得， ∴，． ①判断： ∵，，的符号不确定（如时，时）， ∴的符号无法确定，故①错误． ②判断时的增减性： ∵，抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，故②正确． ③判断平移是否正确： 原抛物线顶点为，向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为， 而的顶点为，二者顶点不匹配，故③错误． ④判断的值： 将代入方程，即， 解得，故④正确． 综上所述，正确的结论有2个，故选B． 题型模版 1.特征：解析式中含有待定字母，需根据图象位置或过定点确定参数范围或值。 2.方法：利用顶点坐标公式、对称轴表达式，结合图象特征（如与x轴交点、过定点）列方程或不等式求解。 变式1-1（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列关于二次函数（为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，随的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是（    ） A．①③ B．①② C．③⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，通过分析二次函数的性质，判断各结论的正误．结论①中，形状由二次项系数的绝对值决定，但开口方向不同，故错误；结论②代入点验证；结论③依赖对称轴位置，不一定成立；结论④通过顶点坐标验证． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为，函数的二次项系数为 1，两者绝对值相等但开口方向不同， ∴图象形状不同，故①错误； 当时，， ∴图象经过点，故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x增大而减小，当时， y 随x增大而增大， ∵ m为常数，可能小于0， ∴ 当时， y不一定随的增大而减小，故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为，把代入得， ∴ 顶点在函数图象上，故④正确． ∴ 正确结论为②④， 故选D． 变式1-2（甘肃省酒泉市2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷）已知：二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．若图象与轴有交点，则 C．当时，不等式的解集是 D．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点，则 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，包括单调性、判别式、不等式解集和平移变换．根据二次函数的基本性质逐项判断． 【详解】解：∵ 二次函数 ，开口向上，对称轴 ． ∴ A∶ 当 时， 随 增大而减小，正确，符合题意． B∶ 图象与 轴有交点时，判别式 ，解得 ，但选项要求 ，错误，不符合题意． C∶ 当 时，不等式 的解集为 或 ，不是 ，错误，不符合题意． D∶ 平移后函数为 ，过点 时，代入得 ，解得 ，但选项要求 ，错误，不符合题意． 故选 A． 变式1-3（25-26九年级上·陕西渭南·期中）已知二次函数（，，为常数，且）的图象经过，两点，则下列说法中错误的是（） A．该函数图象的对称轴为直线 B．无论取何值，均满足 C．函数在处取得最值 D．若为该函数图象上的点，则当时，一定成立 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质．根据两点纵坐标相同，可得对称轴；代入点坐标和对称轴关系可推导出系数关系；最值在顶点处取得；函数值大小比较需考虑开口方向． 【详解】解：∵二次函数图像经过点和， ∴对称轴为直线，故A正确． ∵对称轴， ∴， 代入点得，即， ∴，即，故B正确． ∵对称轴为， ∴函数在处取得最值，故C正确． 对于D，当时，开口向上，时；当时，开口向下，，故不一定成立，D错误． 故选：D． 题型二、一次函数与二次函数图像综合判断问题 典例2 （25-26九年级上·辽宁营口·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可． 【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧， ∴和异号， 当时，则， 对于直线经过一、三、四象限，则选项B正确，符合题意； 当时，则， 对于直线经过一、二、四象限，则没有选项符合题意； 故选：B． 题型模版 1.特征：同一坐标系中给出一次函数与二次函数的图象，判断解析式中参数符号的正误。 2.方法：先由一次函数图象位置判断k、b符号，再由二次函数开口、对称轴、与y轴交点验证是否一致。 变式2-1（25-26九年级上·上海·课后作业）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，即可排除A，然后根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除A； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，排除B； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C． 故选：D． 变式2-2（25-26九年级上·全国·单元测试）当时，和大致图像可能是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与二次函数图象，可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象是否相符即可． 【详解】解：A、由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴应为，该选项图像错误，不符合题意； B、由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴，该选项图像错误，不符合题意； C、由一次函数的图像可知，而二次函数图像开口方向和对称轴位置均正确，符合题意； D、由一次函数的图像可知，而二次函数的图像开口向上，即，故图像错误，不符合题意． 故选：C． 变式2-3（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 题型三、二次函数与几何图形中的动点问题 典例3 （2026·浙江丽水·模拟预测）如图1，点，分别从点、点出发沿矩形的边运动，点以的速度按运动，点以的速度向点处运动．同时出发，当点，相遇时停止运动．设运动的时间为x（s），的面积为（），关于的函数图象如图2所示，当时，图象的高点为．下列选项错误的是（     ） A． B． C．的坐标为 D．点在该函数图象上 【答案】C 【分析】根据点在线段上，点在线段上和点在线段上分三种情况分别算的面积，再结合图的函数图像求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当点在线段上时，， 此时，随的增大而减小， 当时，， 根据图2可知，， ∴，B选项正确； 当点在线段上时，， 此时， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的坐标为，C选项错误； 由图2可知，当点与点重合时，， ∴，A选项正确； 当点在线段上时，， ∵， ∴当时，， ∴点在该函数图象上，选项正确． 题型模版 1.特征：点在二次函数图象上运动，求与几何图形（如三角形、四边形）面积或周长最值。 2.方法：设动点坐标 (x, ax2+bx+c)，用函数表示面积或周长，转化为二次函数最值问题求解。 变式3-1（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是_________． 【答案】4 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质. 分别求出，，求出直线的解析式，将代入即可. 【详解】如图， ∵，， ∴ ∵， ∴动点到达点时，动点到达点， 此时， ∴ ∵， ∴的面积降为0时，， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为， 当时， 解得： ∴当面积时，对应的运动时间的值是4 故答案为：4 变式3-2（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．请回答下列问题： （1）___________； （2）当时，则的长度为___________． 【答案】 13 【分析】（1）如图1，作，在上取点H，使，连接，，，当时，动点Q运动到点H的位置，得到，当点Q运动到点G的时候，最小为81，，再由勾股定理求出m的值； （2）求抛物线的解析式，将代入即可解答． 【详解】解：（1）如图1，过点P作于G，在上取点H，使，连接，，， ∵， ∵当时，动点Q运动到点H的位置， 则由题意和图象可知， 当点Q运动到点G的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ； 故答案为：13； （2）由（1）得：， ∴，， ， 当时，点Q运动到点B，则， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴顶点坐标为， 当，即点Q在A点时， ∴， ∴点C的纵坐标为250， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3-3（2026·湖北十堰·一模）如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 【答案】 3 11 【分析】先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为1，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，当点在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，当时，． 【详解】解：由函数图象可得当点运动到点时，，， ∵， ， ∴, ∴， 当时，，此时点在上， ∴， ∴； 当点在上时， 由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得, 解得，， ∴， 当时， ， 即． 题型四、二次函数图像与各项系数符号问题 典例4 （25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 题型模版 1.特征：由抛物线开口、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c及代数式（如a+b+c）的符号。 2.方法：开口定a，对称轴位置定ab符号，与y轴交点定c；特殊点（如x=1）代入判断a+b+c等组合符号。 变式4-1（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． ①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点得，再结合对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解． 【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ②∵对称轴为直线， 即， ∴，故结论②正确； ③∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1， ，故结论斯正确． 综上所述，正确的结论共3个． 故答案为：3． 变式4-2（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）如图是二次函数的图象，直线（）与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论： ①；②；③； ④若对于的任意值都有，则； ⑤当为定值时，若变大，则线段变长；其中正确的结论是______． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了二次函数图像的性质；熟练掌握二次函数图像与函数表达式之间的关系是解题的关键．根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴的交于负半轴； ∴，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点， ∴该二次函数的对称轴为直线 ∴ 解得：；②正确 ∵ ∴ 由图像可知： ∴ 即：；③错误； ∵对于的任意值都有 ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线 ∴，即： ∵二次函数图像经过点 ∴ ∴该二次函数的表达式可化为： 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小 ∴线段变短；⑤错误 综上，正确的有①②； 故答案为：①②． 变式4-3（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有______．（只填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；根据函数图象可得时，；由函数的图象可知，，再由可知；求得函数解析式即可解答；由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】解：①由条件可知：对称轴为直线，即，得到，故①正确，符合题意； ②当时，， 由图象可得，故②正确，符合题意； ③抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ，，， 故，③错误，不符合题意； ④根据题意可设二次函数解析式为， 把代入可得， 解得， ， 当时，， 即抛物线顶点，故④错误，不符合题意； ⑤根据，可设函数解析式为， 将点代入， 可得 ， ， 如图，过点作轴交于点， 设直线，过点，， 则 解得：， 直线 ， 直线． 由条件可知：， ， ， 当时，的面积最大， 故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②⑤． 题型五、二次函数中含参数的综合问题 典例5 （25-26八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为． (1)请用含a的式子表示b，c； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，若点M、N重合，规定； ①若，，求t的值； ②当点P从点运动到点的过程中（不包含点B与点C），的长存在最大值，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；② 【分析】（1）由抛物线顶点为，可得，，进一步可得答案； （2）①由，可得抛物线，直线为：，可得，进一步求解即可； ②由①同理可得：，当时，可得，，函数的对称轴为直线，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线顶点为， ∴，， ∴；． （2）解：①∵， ∴， 直线为：， ∵， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， 当时， 解得：或， 当时， 此时，方程无解． 综上：或． ②由①同理可得： ， 当时， ∴， 解得：，， ∴函数的对称轴为直线， 如图， 当或时，随的增大而增大， 当或时，随的增大而减少， 当时，， ∴， ∴点P从点运动到点的过程中，增大， 开口向上的抛物线的解析式为：， 开口向下的抛物线的解析式为：， 令，， 把代入， ∴， 解得：， ∵，的长存在最大值， ∴， 解得：， 当时， ∴， 当点P从点运动到点的过程中，减少， 此时图象不含端点， ∴不存在最大值， 综上：． 题型模版 1.特征：二次函数解析式含参数，涉及交点、最值、范围等，常需分类讨论或数形结合。 2.方法：由参数表达式表示顶点或判别式，结合图象（如与x轴交点、过定点）列方程，分类讨论参数范围后验证。 变式5-1（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线（，为常数），经过点，其图象对称轴为直线． (1)求抛物线表达式； (2)已知，在该抛物线上，且， ①若，对于，都有，求的取值范围； ②若，为该抛物线在上的两点，且，的最大值为2，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据对称轴公式求出，再将代入求解即可； （2）①求出关于对称轴直线的对称点，根据二次函数的图象列不等式组求解即可； ②先求出最大时，，进而求出，求出时的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为直线， ∴， 解得：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①设关于对称轴直线的对称点为， ∴， 解得：， ∴关于对称轴直线的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，对于，都有， ∴， 解得：； ②∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴在内，抛物线在取得最大值， 即最大时，， ∵的最大值为2， ∴最大时，， 解得：， 当时，解得（舍去）或． 即． 变式5-2（2026·河南三门峡·三模）已知二次函数（为常数，且）． (1)若该二次函数的图象经过点，求该二次函数的顶点坐标； (2)当时，的最大值是，求的值； (3)当时，若点，，在函数图象上，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的顶点坐标为 (2)的值为或 (3)的取值范围为 【分析】（1）先由待定系数法求解抛物线的表达式，再配方求解顶点坐标； （2）先求出抛物线的对称轴，再分两种情况，根据二次函数的性质求解即可； （3）先求出该二次函数图象的对称轴为直线，可知当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，由于，且，故点距离对称轴最远，点距离对称轴最近，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得． ∴， ∴该二次函数的顶点坐标为． （2）解：该二次函数图象的对称轴为直线． ①当时， ∵当时，的最大值是， 又∵ ∴当时，， ∴， ∴； ②当时， ∵当时，的最大值是， ∴当时，， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． （3）解：∵， ∴该二次函数图象的对称轴为直线． ∵， ∴当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大． ∵，且， ∴点距离对称轴最远，点距离对称轴最近， ∴且， 解得， ∴的取值范围为． 变式5-3（25-26八年级下·北京·期末）已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 【答案】(1)直线 (2)或 (3)解：， 则抛物线的顶点坐标为， 根据翻折规则可得，当时，设原抛物线上一点， 则翻折后点的纵坐标为， 则， 则图象G的解析式为， ∵， ∴，， 又∵点和均在图象G上， ∴， ， ∴， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，最小值为． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）先求得点关于对称轴的对称点，根据可得，开口方向向下，离对称轴越近函数值越大，再根据确定出的取值范围即可； （3）先求抛物线C的顶点坐标，根据翻折规则，求得翻折后的图象解析式，然后根据的横坐标确定出的位置，从而求出，表示出，利用二次函数的性质，求得最小值即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的对称轴公式可得， 抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）得，对称轴为， 则点关于对称轴的对称点为， 由可得，抛物线开口向下， 根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小， 由可得，到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 可得或； （3）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·四川自贡·期末）若为二次函数图像上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． 由二次函数可知抛物线对称轴为，开口方向向上，则点C关于对称轴的对称点，且当时，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线对称轴为直线，开口方向向上， ∴点C关于对称轴的对称点，且当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期末）当时，二次函数（为常数，且）有最小值，则的值为（   ） A． B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为4或， 故选：D． 3．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 4．（25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由抛物线开口向下，结合图知，当时，得即可判断①，由对称轴直线的取值范围，可得的正负，即可判断②；由抛物线的对称轴直线，得，进而得，即可判断③；由，，可得，即可判断④． 【详解】解：①∵，， 当时，， ∴，结论①正确； ②∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴直线， ∴， ∵， ∴， ∴；故②正确； ③∵抛物线的对称轴直线， ∴抛物线的顶点纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故③错误； ④观察图形可知：， ∵， ∴． ∴，结论④正确． 正确的结论有①②④共个． 故选：C． 5．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，5海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图象（如图2所示），最低点，且经过．则下列选项正确的是（    ） A．的面积是 B． C．点在该函数图象上 D． 【答案】C 【分析】本题考查了方位角与方向角，勾股定理，函数图象的实际意义，三角形面积计算及垂线段最短．通过分析图象与几何图形的对应关系，逐一验证选项即可． 【详解】解：如图，过点B作于点D，，， ∵图2中图形的最低点， ∴，， ∴在中，， ∴，故B错误，不符合题意； ∴，故A错误，不符合题意； ∵图象经过点， ∴，， ∵在中，，， ∴， 即，故D错误，不符合题意； 如图，当时，， ∵在中，， ∴，即点在该函数图象上，故C正确，符合题意， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知点，在二次函数（a为常数）的图象上．若，则m____n．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点满足二次函数解析式是解题关键．通过计算点对应的函数值，结合条件比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，。 ， ，即， ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·北京·期末）已知二次函数，当时，相应的函数值的最大与最小值之差为0.75，则_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，先求出对称轴，根据二次函数的增减性，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，解得， ①当，即时， 则当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为， ∴，解得或（舍去）； ②当时，即时， ∵， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值为，当时，函数值为， ∵， ∴此情况不存在函数值的最大与最小值之差为0.75； 综上：； 故答案为：． 8．（25-26九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先得到和关于的表达式，再利用，解不等式即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 由于， 则， 解得， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）点，，是抛物线（是常数，且）上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1，其中正确结论的是_________． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数开口方向，与轴的交点，与轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：抛物线是常数，且， 当时，， 抛物线与轴的交点是， 故结论①正确，此结论符合题意； 抛物线的对称轴为， 故结论②错误，此结论不符合题意； 当时，代入抛物线方程得 解得： 或 、两点坐标为和 故结论③正确，此结论符合题意； 抛物线是常数，且， 抛物线的开口向上， 在对称轴的右侧的函数图像，随的增大而增大， ， ，两点位于对称轴的右侧， ， 故结论④错误，此结论不符合题意； 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为1， 故结论⑤正确，此结论符合题意； 综上所述，正确的结论为①③⑤， 故答案为：①③⑤ 10．（25-26九年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点，，在抛物线上，且位于对称轴的两侧．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时，与满足的等量关系为__________； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用对称轴公式求得即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到，解得． 【详解】解：（1）， ∴； 故答案为：； （2）由题意可知，点在对称轴的左侧,点，在对称轴的右侧， ，都有， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，解得 ， 故答案为：． 三、解答题 11．（21-22九年级下·山东泰安·期中）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求证：； (2)若关于的方程的一个根为2，求此方程的另一个根． 【答案】(1) 已知抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴． (2) 方程的另一个根为 【分析】（1）根据对称轴直线的计算方法列式得到，由此即可求解； （2）把代入，结合（1）得到，，，则，由此解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵关于的方程的一个根为2， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，， ∴方程的另一个根为． 12．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数 ， 为常数． (1)当 时，求该二次函数的对称轴； (2)若当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小，求 的取值范围； (3)若在该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21，求点 到对称轴的距离． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】（1）把 代入 ，进一步求解即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，结合题意可得 ，进一步求解即可； （3）解方程 或，结合抛物线的性质可得答案． 【详解】（1）解：当 时， 二次函数为： ， ∴二次函数的对称轴为直线． （2）解：∵ ， 抛物线的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大，当 时，随的增大而减小， ∴ ， 解得：， ∴ 的取值范围为：． （3）解：∵ 的对称轴为直线， 而该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21， ∴， 当 时， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得：，， ∴或， ∴点 到对称轴的距离为：． 当时， ，即 ， ∴， ∴方程无解， 综上：点 到对称轴的距离为：． 13．（2026·浙江·模拟预测）已知二次函数（a为常数且） (1)求该二次函数图像的对称轴；若该函数图像经过点，求a的值； (2)若，当时，该函数的最大值为8，求a的值； (3)在（2）的条件下，设点和点都在该二次函数的图像上，且在（其中）的范围内，求的最大值． 【答案】(1) 对称轴为直线， (2) (3) 的最大值为 【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，待定系数法求出的值即可； （2）根据二次函数的增减性，根据最大值，列出方程进行求解即可； （3）根据增减性，将转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， 当该函数图像经过点时，则，解得； （2）解：由（1）知抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最大为， 解得； （3）解：由（2）可知，，对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴在对称轴的右侧，随着的增大而增大， ∵， ∴， ∴在对称轴的右侧， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值最大为， ∴的最大值， 设， 则该函数开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴在上随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，为， 故的最大值为. 14．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2倍，则称这个点为“友好点”，如：，，等都是“友好点”．已知二次函数（c为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，函数的最小值为，求t的值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c的取值范围． 【答案】(1)函数表达式为，“友好点”坐标为 (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式，然后根据“友好点”的定义求解即可； （2）由（1）可知，分当，当时，两种情况下的最小值，令最小值等于，分别求解即可． （3）由题意得，“友好点”所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：， ∴抛物线解析式为； 根据“友好点”的定义可设， 把代入，得， 整理得：， 解得， ∴“友好点”坐标为； （2）解：由()可知为，其中，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线， 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 第二种情况： 当，即时， ∴当时，取得最小值，即， 解得或， ∵， ∴； 综上，的值为或． （3）解：由题意得，“友好点”所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“友好点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则， 解得； 由方程可变形为，则问题等价于二次函数与直线在范围内至少有一个交点， ∴由可知：开口向上，对称轴为直线， ∴当时，则有，当时，则有， 即在上，的取值范围为，即， 综上所述：的取值范围为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $