专题02 绝对值的几何意义与化简的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级上册

专题02 绝对值的几何意义与化简的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的几何意义 1 题型二、双绝对值之和最小情况 4 题型三、三绝对值之和最小情况 8 题型四、多绝对值之和的最小值 11 题型五、利用数轴化简绝对值 15 题型六、含绝对值的化简与分类讨论 16 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 绝对值几何意义与化简、最值是七年级数学核心重难点，所有题型均围绕绝对值几何含义、去绝对值化简、绝对值求最值核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是表示数轴上数x与数a两点之间的距离，距离非负；二是去绝对值必先判定绝对值内部整体的正负，所有化简、最值结果均可代入特殊值复核检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单绝对值的最值 题型模版 1.特征： ①. 基础型：|x-m|，直接求最值。 ②. 加常数型：|x-m|+k、k-|x-m|。 ③. 设问方式：求式子的最大值 / 最小值，以及此时对应的x取值。 ④. 拓展：含参数，例如|x+a|-b求最值。 2.方法：核心底层：|x-m|≥ 0；当x=m时，|x-m|= 0，这是绝对值能取到的最小。 例1在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做 ，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做 ；如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3) 表示 ，结果等于 【答案】(1)或；或 (2)或；1或 (3)在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离，5 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式列式或列方程计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做或，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做或； （2）解：数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做或； ∵这两点之间的距离为2， ∴或， ∴， ∴或； （3）解：表示：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离，，故结果等于5． 变式1-1综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． (1)的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；　 　 ； (2)的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则　 　； (3)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (4)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (5)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是　 　． 【答案】(1)x，原点，= (2)1 (3)x，3，4或2 (4)x，，0或 (5) 【分析】（1）根据的几何意义求解； （2）根据的几何意义及绝对值的意义求解； （3）根据的几何意义及绝对值的意义求解； （4）根据的几何意义及绝对值的意义求解； （5）根据的几何意义及解不等式组求解； 【详解】（1）解： 的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离；， 故答案为：x，原点，＝； （2）解：的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则， 故答案为：1； （3）解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，若，则或2， 故答案为：x，3，4或2． （4）解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，若，则或． 故答案为：x，，0或 （5）解：使得这样的整数是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，掌握数形结合是解题的关键． 变式1-2我们知道，的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，类似的的几何意义就是：数轴上数，对应点之间的距离；比如：和两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到它们的距离是． (1)数轴上和两点之间的距离可以用______表示，通过计算可以得到它们的距离是______ (2)数轴上表示和的两点之间的距离可以表示为______；如果，结合几何意义，那么的值为______． 【答案】(1)，； (2)；或 【分析】（）根据数轴上两点间的距离公式即可求解； （）根据数轴上两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解 本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，掌握数轴上两点间的距离公式及绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上和两点之间的距离可以用，通过计算可以得到它们的距离是， 故答案为：，； （2）解：； 如果，则， ∴或， ∴或； 故答案为：；或． 题型二、双绝对值之和最小情况 题型模版 特征： 1. 标准形式：y=|x-a|+|x-b|，求y的最小值以及对应x的取值范围。 2. 变形：绝对值内部含一次式， 3. 设问：求最小值；求x取何值时式子取得最小值。 方法： 1. 找零点：令每个绝对值内部等于 0，求出两个零点。 2. 排序零点：把零点从小到大记作m<n。 3. 结论直接用 最小值 = 两个零点之间的距离：n-m 取得最小值条件：m≤x≤n（x在两点之间，包含两个端点） 例2我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 变式2-1如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 变式2-2已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 变式2-3数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式列式，根据绝对值的意义，进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，以及两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据绝对值的几何意义，进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和7之间时，的值最小，为和7之间距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）解：，即数轴上表示的点到表示2的点的距离为3， ∴或； 故答案为：或5； （3）解：当表示x的点在与5之间移动时，； （4）解：表示数轴上表示的点到表示的点以及到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点在与7之间移动时，的值最小，为． 题型三、三绝对值之和最小情况 题型模版 特征： 1. 标准形式：|x-a|+|x-b|+|x-c|，求y最小值以及对应x取值。 2. 变式：|x+4|+|x-1|+|x-6|，先算出各个零点。 3. 设问：求式子最小值，x取何数时取得最小值。 方法： 1. 求零点：令每个绝对值内部 = 0，求出全部零点。 2. 零点从小到大排序：记为 x1<x2<x3。 3. 奇数个零点规则：取中间那个零点 - 当 x=x2（中间零点）时，取得最小值 - 最小值 = 两侧零点之间的距离：x3-x1 - 只有唯一的 x 取值能取到最小值，不是一段区间。 例3当______时，的最小值是______． 【答案】 【分析】表示数轴上点到点的距离，原式可转化为数轴上一点到三个定点，，的距离之和，当取奇数个定点中位于中间的点时，距离之和取得最小值，代入计算即可得到结果． 【详解】根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 因此表示点到，，三点的距离之和， 将三点从小到大排列为，共奇数个点，中间点为，此时距离之和最小， 将代入原式． 变式3-1的最小值为______． 【答案】4 【分析】根据绝对值的几何意义判断出当时，的值最小，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴可以理解为表示x的数到3的距离加上表示x的数到的距离加上2倍表示x的数到的距离，如图， ∴由数轴可得，当时，的值最小，最小值为． 变式3-2小张、小潘、小王和小吴住在同一条东西走向的街上，分别记为A、B、C和D四点，规定向东为正，以B为原点画成如下图所示的数轴．“十一”假期，他们准备结伴去温州乐园，现有网约车来载他们去． (1)从数轴看，点C表示的数是 　　，点D表示的数是 　　． (2)如果网约车从原点出发，依次接上小潘、小王和小吴后，再向西行驶2000个单位长度接到小张．请问小张家的位置在数轴上表示的数是多少？并将其在数轴上表示出来． (3)如果网约车先接小张、小潘和小王，车应停在哪里使他们三人走的路程之和最小？最小路程是多少？ (4)触类旁通：的最小值是 　　．（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)， 在数轴上表示如下图所示， ； (3)车应停在B处，使他们三人走的路程之和最小，最小路程是1500； (4)8． 【分析】（1）看数轴即可得点C和点D表示的数； （2）根据题意列式求解即可； （3）根据题意可得他们三人走的路程之和为：，分，，，四种情况化简式子即可得结果； （4）由（3）可得，当时，取得最小值，代入计算即可． 【详解】（1） 解：由数轴可得， 点C表示的数是：，点D表示的数是：， 故答案为：，； （2）由题意可得， 小张家的位置在数轴上表示的数是：； （3）设车停的位置在数轴上对应的数为x， 则他们三人走的路程之和为：， 当时，， 当时，，则， 当时，，则 ， 当时，， 由上可得，当车停的位置在数轴上对应的数为0时，他们三人走的路程之和最小， 答：车应停在B处，使他们三人走的路程之和最小，最小路程是1500； （4）由（3）可得， 当时，取得最小值， 此时， 故答案为：8． 【点睛】本题考查数轴与绝对值的综合题，懂得用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． 题型四、多绝对值之和的最小值 例4阅读理解：对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a-b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：的几何意义即数轴表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)根据的几何意义，若，那么x的值是 ． (2)画数轴分析的几何意义，并求出的最小值是 ． (3)的最小值是多少？ 【答案】(1)1或 (2)1 (3)1025156 【分析】本题考查了绝对值的几何意义以及化简绝对值： （1）根据绝对值的几何意义，即可作答． （2）先表示的几何意义，再结合数轴，即可作答． （3）线表示的几何意义，找到和2023的中点，当，取得最小值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，即或， 解得或， 则x的值是1或， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：1； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，⋅⋅⋅2023的点的距离的和， ∴当位于和2023的中点时，即 ∴当时，最小， 最小值为： ． 变式4-1阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 【答案】(1)1或 (2)5 (3)169 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据绝对值的几何意义即可求解； （3）根据绝对值的几何意义即可求解． 本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， 若，向右3个单位是1，向左三个单位是， 故答案为：1或； （2）解：的几何意义：数轴上表示x的点与表示的点之间的距离与数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离之和， 当时，的最小值是为， 故答案为：5； （3）解：∵表示x到，0，1，2，3，…24的点的距离的和， ∴当，最小， 最小值为， 故答案为：169． 变式4-2在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5 （2）或9 （3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【分析】（1）由阅读材料直接可得； （2）由已知可得：或， 有最小值7，求得，代入计算即可求解； （3）当n是奇数时，中间的点为，所以当时， ；当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时， ． 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵， ∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7， ∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为， 所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时， ． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键． 题型五、利用数轴化简绝对值 例5若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 【答案】0 【分析】由数轴可得a，b，c的正负及各自绝对值的大小，得出，，的正负；再根据绝对值的性质，先去掉绝对值号，再计算，得到结果． 【详解】解：由数轴可得，，，， ，，， 变式5-1有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】先根据数轴判断代数式的正负，再求绝对值合并同类项即可化简． 【详解】解：根据数轴可知，，， 则，，， 变式5-2有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 【答案】 【分析】根据有理数在数轴上的位置得到，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ． 题型六、含绝对值的化简与分类讨论 例6已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 【答案】D 【分析】已知同号，分均为正和均为负两种情况，根据绝对值的性质化简代数式，计算得到结果即可． 【详解】解：∵有理数同号， ∴分两种情况讨论：①当，时，，，， ∴； ②当，时，，，， ∴； 综上，原式的值为或． 变式6-1若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 【答案】C 【分析】由题意可得，或，然后分两种情况，分别去绝对值后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，或， 当，时，； 当，时，． 综上，的值是1或． 变式6-2已知，且，则m的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，体现了分类讨论的数学思想，由可得 ，，，代入 的表达式化简为 ，根据 的符号情况（由于，不能全正或全负），分类讨论所有可能组合，计算的值，并比较得出最小值． 【详解】解：由 ，得 ，，， 代入原式得：，其中 、、 的值取决于对应变量的符号，可能为 1 或 ， 由于，不能全正或全负，需分情况讨论： 当两个正一个负时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 当两个负一个正时： 若 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 比较所有值，的最小值为． 故答案为：． 变式6-3已知有理数a，b，c，d满足，其中，且，则式子的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的化简， 利用已知条件和，结合，推导出和，从而简化原表达式并计算值． 【详解】解：∵， ∴. 原式 ． ∵且， ∴，故， ∵， ∴. 由和，得，即， ∴. ∴原式． 故选：A． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知是有理数，且，下列结论： ①；②；③ ；④若，是有理数，且满足，则或2． 其中正确个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴①，故①错误； ②正确； ③，故③正确； ④∵，则 ；，则 ∴或2，故正确； 故选：C． 2．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：数轴上表示数与3两点间的距离是．若．则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上点的特点，能够根据数的范围准确去掉绝对值符号是解题的关键． 利用数轴上两点距离的几何意义，确定x和y的取值范围，再求的最大值即可． 【详解】解：由题意得，表示点x到3和的距离和， 当时，最小值为5； 表示点y到1和5的距离和， 当时，最小值为4； 又∵， ∴且， 即，， ∵取最大值， ∴y取最大值，x取最小值，即， ∴的最大值为7． 故选C． 3．填空： （1）若，则______． （2）的最小值是______． （3）的最小值是______． （4）已知是常数，若式子的最小值是6，则的值为______． 【答案】 或 【分析】（1）由题意得出或，分别解出即可； （2）分情况：当时；当时；当时；分别化简求出即可； （3）分情况：当时；当时；当时；当时分别化简求出即可； （4）分情况：当时；当时；当时分别化简求出即可． 【详解】解：（1）∵， ∴或， 解得， 解得方程无解， 故； （2）当时，； 当时，； 当时，； 故的最小值是4； （3）当时，； 当时，； 当时，， 即当时值最小为7； 当时，； 故的最小值是7； （4）当时， 由（3）知，当时值最小为6， 即， 解得（不合题意舍去）或； 当时， 由（3）知，当时值最小为6， 即， 解得（不合题意舍去）或； 当时， 由（3）知，当时值最小为4，不符合题意，舍去； 综上所述，则的值为或． 4．如果，那么 __________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值化简求解，由可知 a 和 b 异号，即一个为正数，一个为负数，分别讨论两种情况，利用绝对值的性质计算各分式的值，再求和即可． 【详解】解：因为 ，所以 a 和 b 的符号相反． 当， 时， 所以原式 ； 当，时，原式 ． 故答案为：． 5．已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的化简与数轴上数的大小关系，解题的关键是根据数轴判断出、、的符号及大小关系，进而确定绝对值内表达式的正负，去掉绝对值符号后进行化简． 由数轴可知，因此，，；根据绝对值的性质去掉绝对值符号，得到，合并同类项后得到结果． 【详解】解：由数轴可知，， ，，． ． 故答案为：． 6．求的最小值． 【答案】当为偶数时，最小值为； 当为奇数时，最小值为． 【分析】先将按从小到大的顺序排列，再分为偶数及为奇数进行讨论求解． 【详解】解：先将按从小到大的顺序排列，记为. 当为偶数时，设（为正整数），当满足时，原式取得最小值， 最小值为. 当为奇数时，设（为非负整数），当时，原式取得最小值， 最小值为． 7．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 8．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 9．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 【答案】 5 或3 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据题干公式即可解答； （2）表示到的距离，表示到的距离，分类讨论，即或，分别求得的值即可． 【详解】（1）解：M、N两点间的距离为； 故答案为：； （2）解：表示到的距离，表示到的距离， 当在左边，即时， ； 当在右边，即时， ； 故答案为：或． 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子的最小值为_____________； （3）利用绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值为_____________． 【答案】（1）或1；（2）；（3）或5；（4） 【分析】本题考查了绝对值以及绝对值方程，掌握绝对值的几何意义是解题关键． （1）根据绝对值求解即可； （2）根据绝对值几何意义求解即可； （3）由（2）可知，的最小值为，则当时，或，再分别求解即可； （4）根据绝对值几何意义求解即可；． 【详解】解：（1）当时，， 解得：或1， 故答案为：或1； （2）表示到4和的距离和， 当时，有最小值，最小值， 故答案为：6； （3）由（2）可知，的最小值为， 则当时，在左侧或的右侧，即或， 当时，，解得：； 当时，，解得：， 故答案为：或5； （4）表示到、2、5的距离和， 则当时，距离和最小为， 即的最小值为8， 故答案为：8． 11．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是____________；式子的几何意义是__________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________； (5)时的值为________． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)最小值为8 (5)或9 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义， 对于（1），根据两点之间的距离解答即可； 对于（2），由两点之间的距离，可知表示x的点与2的点之间的距离是3，可得答案； 对于（3），求表示x的点到和5的距离之和，且点x在和5之间； 对于（4），当表示x的点在和7之间时距离之和最小，并求出值； 对于（5），由题意可知表示x的点不在和7之间，分两种情况求出答案即可. 【详解】（1）解：数轴上表示2的点与表示的点之间的距离是，式子的几何意义是数轴上表示a的点与表示的点之间的距离． 故答案为：，数轴上表示a的点与表示的点之间的距离； （2）解：表示数轴上x的点与2的点之间的距离是3， ∴或． 故答案为：5或； （3）解：∵表示x的点在和5之间，且和5之间的距离是， ∴所以表示x的点到和5的距离之和是7． 故答案为：7； （4）解：表示的x的点到和7之间的距离， 当表示的x的点在和7之间时距离和最小，即， 所以的最小值为8． 故答案为：8； （5）解：∵， 当时，， 解得； 当，无解； 当时，， 解得． 故答案为：或9． 12．我们知道的几何意义是数轴上表示的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离．    (1)的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离，的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离； (2)利用绝对值的几何意义求满足等式的的值． (3)请你借助数轴，利用绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是__________________． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)4， (2)4或 (3)，0，1，2，3 (4)有，14 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离的表示方法求解； （2）分析得出的意义，据此求解； （3）分析得出的意义，结合数轴可得； （4）根据表示数轴上的点与、3和6的距离之和，再结合数轴求解． 【详解】（1）解：表示数轴上表示的点与表示4的点之间的距离， ， 表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）表示数轴上与表示1的点之间的距离为3的点， ∴x的值为或； （3）表示数轴上与和3的距离之和为4的点， 由图可知：这样的整数是，0，1，2，3；    （4）表示数轴上的点与、3和6的距离之和， 当时，的值最小，且为．    【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． 13．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)求和的值； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据表示、的数在数轴上的位置可知，，又因为，可知，根据、的关系求出结果； （2）根据表示、、的数在数轴上的位置可知，，，，，，根据绝对值的性质去掉绝对值再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ， ， ，； （2）解：由数轴可知，，，， ， ，，， ． 14．阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)_________，_________； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)5；7 (2)2或 (3)，，，，， 【分析】结合数轴，利用绝对值的几何含义求解各小问即可． 【详解】（1）解：，； （2）因为， 所以表示在数轴上表示数与的两点之间的距离等于5， 因此整数的值为2或； （3）因为， 所以表示在数轴上表示数的点分别与表示数，的两点之间的距离之和， 因此所有符合条件的整数的值为，，，，，． 15．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3 (2)2；2； (3)6； (4)1025156． 【分析】（1）由的几何意义以及有最小值1即可直接求得结果； （2）当a取中间值即时，求得最小值； （3）由题意可得出，取中间数即时，绝对值最小； （4）由题意可得出，取中间值时，求得最小值； 【详解】（1）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和； 当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时取得最小值是3． （2）解：当a取中间数2时，绝对值最小； 的最小值是． （3）解：当a取最中间数时， 绝对值最小；的最小值是； （4）解：当a取中间数1013时，绝对值最小， 的最小值为： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 绝对值的几何意义与化简的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的几何意义 1 题型二、双绝对值之和最小情况 4 题型三、三绝对值之和最小情况 8 题型四、多绝对值之和的最小值 11 题型五、利用数轴化简绝对值 15 题型六、含绝对值的化简与分类讨论 16 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 绝对值几何意义与化简、最值是七年级数学核心重难点，所有题型均围绕绝对值几何含义、去绝对值化简、绝对值求最值核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是表示数轴上数x与数a两点之间的距离，距离非负；二是去绝对值必先判定绝对值内部整体的正负，所有化简、最值结果均可代入特殊值复核检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、单绝对值的最值 题型模版 1.特征： ①. 基础型：|x-m|，直接求最值。 ②. 加常数型：|x-m|+k、k-|x-m|。 ③. 设问方式：求式子的最大值 / 最小值，以及此时对应的x取值。 ④. 拓展：含参数，例如|x+a|-b求最值。 2.方法：核心底层：|x-m|≥ 0；当x=m时，|x-m|= 0，这是绝对值能取到的最小。 例1在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做 ，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做 ；如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3) 表示 ，结果等于 变式1-1综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． (1)的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；　 　 ； (2)的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则　 　； (3)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (4)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (5)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是　 　． 变式1-2我们知道，的几何意义是：在数轴上数对应的点到原点的距离，类似的的几何意义就是：数轴上数，对应点之间的距离；比如：和两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到它们的距离是． (1)数轴上和两点之间的距离可以用______表示，通过计算可以得到它们的距离是______ (2)数轴上表示和的两点之间的距离可以表示为______；如果，结合几何意义，那么的值为______． 题型二、双绝对值之和最小情况 题型模版 特征： 1. 标准形式：y=|x-a|+|x-b|，求y的最小值以及对应x的取值范围。 2. 变形：绝对值内部含一次式， 3. 设问：求最小值；求x取何值时式子取得最小值。 方法： 1. 找零点：令每个绝对值内部等于 0，求出两个零点。 2. 排序零点：把零点从小到大记作m<n。 3. 结论直接用 最小值 = 两个零点之间的距离：n-m 取得最小值条件：m≤x≤n（x在两点之间，包含两个端点） 例2我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2-1如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 变式2-2已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 变式2-3数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 题型三、三绝对值之和最小情况 题型模版 特征： 1. 标准形式：|x-a|+|x-b|+|x-c|，求y最小值以及对应x取值。 2. 变式：|x+4|+|x-1|+|x-6|，先算出各个零点。 3. 设问：求式子最小值，x取何数时取得最小值。 方法： 1. 求零点：令每个绝对值内部 = 0，求出全部零点。 2. 零点从小到大排序：记为 x1<x2<x3。 3. 奇数个零点规则：取中间那个零点 - 当 x=x2（中间零点）时，取得最小值 - 最小值 = 两侧零点之间的距离：x3-x1 - 只有唯一的 x 取值能取到最小值，不是一段区间。 例3当______时，的最小值是______． 变式3-1 的最小值为______． 变式3-2小张、小潘、小王和小吴住在同一条东西走向的街上，分别记为A、B、C和D四点，规定向东为正，以B为原点画成如下图所示的数轴．“十一”假期，他们准备结伴去温州乐园，现有网约车来载他们去． (1)从数轴看，点C表示的数是 　　，点D表示的数是 　　． (2)如果网约车从原点出发，依次接上小潘、小王和小吴后，再向西行驶2000个单位长度接到小张．请问小张家的位置在数轴上表示的数是多少？并将其在数轴上表示出来． (3)如果网约车先接小张、小潘和小王，车应停在哪里使他们三人走的路程之和最小？最小路程是多少？ (4)触类旁通：的最小值是 　　．（直接写出答案） 题型四、多绝对值之和的最小值 例4阅读理解：对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a-b|的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离．如：的几何意义即数轴表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)根据的几何意义，若，那么x的值是 ． (2)画数轴分析的几何意义，并求出的最小值是 ． (3)的最小值是多少？ 变式4-1阅读理解： 对于有理数a、b，的几何意义为：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义为：数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离.如：的几何意义即数轴上表示数x的点与表示数2的点之间的距离，请根据你的理解解答下列问题： (1)我们知道，根据几何意义，若，那么x的值是 ． (2)利用数轴分析的几何意义，的最小值是 ． (3)的最小值是 ． 变式4-2在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化． 材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 题型五、利用数轴化简绝对值 例5若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 变式5-1有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 变式5-2有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 题型六、含绝对值的化简与分类讨论 例6已知有理数a，b同号，则的值为（     ） A．0 B． C．或2 D．0或2 变式6-1若，则的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．或3 变式6-2已知，且，则m的最小值是______． 变式6-3已知有理数a，b，c，d满足，其中，且，则式子的值为（    ） A． B． C．2 D．4 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知是有理数，且，下列结论： ①；②；③ ；④若，是有理数，且满足，则或2． 其中正确个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：数轴上表示数与3两点间的距离是．若．则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．填空： （1）若，则______． （2）的最小值是______． （3）的最小值是______． （4）已知是常数，若式子的最小值是6，则的值为______． 4．如果，那么 __________． 5．已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 6．求的最小值． 7．已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 8．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 9．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了重要的规律：如果数轴上点A、B分别表示有理数a、b，那么A、B两点间的距离表示为．例如数轴上表示4和的两点之间的距离可表示为． （1）如图，在数轴上点M表示数1，点N表示数，则M、N两点间的距离为_______； （2）若，则x的值为_______． 10．数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如，的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【探究问题】 如图，数轴上，点A、B、P分别表示数，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是3． 【解决问题】 （1）根据绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （2）利用绝对值的几何意义，直接写出式子的最小值为_____________； （3）利用绝对值的几何意义，当时，的值为_____________； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值为_____________． 11．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是____________；式子的几何意义是__________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________； (5)时的值为________． 12．我们知道的几何意义是数轴上表示的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离．    (1)的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离，的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离； (2)利用绝对值的几何意义求满足等式的的值． (3)请你借助数轴，利用绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是__________________． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 13．有理数，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)求和的值； (2)化简：． 14．阅读：表示4与1的差的绝对值，也可以理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与的差的绝对值，也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)_________，_________； (2)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数，使得． 15．【问题提出】的最小值是多少？ 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值． 我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： 如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． 如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． 如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)的几何意义是 ，请你结合数轴研究：的最小值是 ； (2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出a为 ； (3)的最小值是 ； (4)的最小值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $