专题14 二次函数的图象和性质问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建二次函数图象性质突破体系，通过六类题型的“特征-方法-变式”链条培养抽象能力与推理意识，实现从概念理解到综合应用的能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法3类|配方化顶点式、对称轴分析、平移规律，明确易错点|从二次函数基本要素（开口、顶点等）切入，奠定方法基础| |六类题型|6典例+18变式|各题型专属“特征-方法”模版（如增减性比较用对称轴距离法）|按“图象性质→对称→最值→作图→综合”递进，形成“概念-性质-应用”逻辑链| |压轴挑战|15道综合题|综合运用图象性质解决含参数、动态几何问题|对接中考命题趋势，强化模型意识与问题解决能力|

专题14 二次函数的图象和性质问题的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的图象和性质 题型二、利用二次函数的增减性比较大小 题型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 题型四、求二次函数在某区域的最值问题 题型五、画二次函数的图象 题型六、二次函数的图象和性质综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：围绕开口、顶点、对称轴、增减性、最值及图象平移设问，常与方程、不等式综合。 - 解题方法：配方化为顶点式y=a(x-h)2+k；利用对称轴x=判断增减分界；平移规律“左加右减、上加下减”。 - 易错提醒：忽视a≠0及开口方向；平移时括号内符号处理错误；顶点式中h符号易混淆；最值未考虑自变量取值范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的图象和性质 典例1 （25-26九年级上·湖南岳阳·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．当时，y的最大值是3 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，需根据的相关性质（对称轴、顶点坐标、开口方向与增减性、最值的关系）判断各选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为，属于顶点式的形式，其中，，， ∴对称轴为直线，故A选项错误， 顶点坐标为，故B选项错误， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，y取得最大值，故C选项正确， ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 又∵满足， ∴当时，随的增大而减小，故D选项错误， 故选：C． 题型模版 1.特征：图象是抛物线，顶点、对称轴决定增减性，开口方向由a决定，与y轴交于c。 2.方法：配方化为顶点式，确定顶点、对称轴；列表描点作图，结合a、b、c符号判断性质。 变式1-1（25-26九年级上·江苏徐州·期中）关于抛物线，下列结论正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．函数的最大值为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、增减性和最值．通过二次函数的一般形式，确定、、的值，进而判断各选项． 【详解】解： 二次函数 中，, , ， ，抛物线开口向下， 故选项A错误； 抛物线的对称轴为直线 ， 故选项B错误； 抛物线开口向下，对称轴为 ， 当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小。 选项C中 ，属于 的范围， 随 增大而增大， 故选项C错误； 函数的最大值在顶点处，当 时， 可得：， 故最大值为， 故选项D正确． 故选：D． 变式1-2（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）对于二次函数，下列说法正确的是（  ） A．图象开口向下 B．当时，y有最大值为2 C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数（a，b，c为常数，）的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 对于二次函数，可化为顶点式再根据其性质分析即可． 【详解】解：∵二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴选项A不符合题意， ∵ ， ∴当时，y有最小值为2， ∴选项B不符合题意， ∵， ∴二次函数的对称轴是直线， ∴选项C符合题意， 当时， ， ∴与y轴的交点坐标为， ∴选项D不符合题意， 故选：C． 变式1-3（25-26九年级上·山东滨州·阶段检测）已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … … … … 下列说法正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．图象经过第一、二、三象限 C．图象的对称轴是直线 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先将，，代入抛物线解析式求出解析式，利用二次函数的性质即可判断选项A、D、C，画出草图即可判断选项B． 【详解】解：将，，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，选项C正确； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小， 故选项D错误； 根据题意画出草图如图： 故图象过第一、二、四象限， 故选项B错误； 故选：C． 题型二、利用二次函数的增减性比较大小 典例2（25-26八年级下·河南开封·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：，点到对称轴的距离：， ，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ． 题型模版 1.特征：给定二次函数及多个点的横坐标，比较对应纵坐标大小，需考虑对称轴与开口方向。 2.方法：先求对称轴，判断各点与对称轴距离；开口向上时，距对称轴越远函数值越大；开口向下则相反。 变式2-1（2026·江苏扬州·一模）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】先求出对称轴，再根据抛物线的对称性得出点的对称点，然后根据抛物线的开口方向和性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是， ∴点的对称点的坐标是． ∵抛物线开口向上，当时，随着的增大而增大，且， ∴． 变式2-2（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）已知点，，，均在抛物线上，则、、的大小关系是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质．通过求抛物线的对称轴，比较各点与对称轴的距离，由于抛物线开口向上，距离对称轴越远的点值越大． 【详解】解：抛物线的二次项系数，因此抛物线开口向上． 对称轴为直线． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 由于抛物线开口向上，y值随点到对称轴的距离的增大而增大，， 所以． 变式2-3（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）已知二次函数的图象上有四点，， ，则 的大小关系是 ______．（从小到大排列） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数时，在对称轴的左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大；时，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小． 由于二次函数开口向下（），点和点纵坐标相同，故它们关于对称轴对称，可求对称轴为直线．点在对称轴上，故为最大值．点到对称轴的距离大于点或到对称轴的距离，故．因此大小关系为． 【详解】由二次函数可知，抛物线开口向下． ∵点和点的纵坐标相同， ∴它们关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． ∴点在对称轴上，故为函数的最大值． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，由于抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小， ∴． 综上，． 故答案为：． 题型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 典例3 （25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）如果抛物线与轴交于和两点，则该抛物线的对称轴为直线_______． 【答案】 【分析】本题考查根据对称性求抛物线的对称轴，根据对称性，求出对称轴即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：． 题型模版 1.特征：已知抛物线上两点的纵坐标相同（对称点），求对称轴方程，常结合中点公式。 2.方法：对称轴为这两点横坐标的平均值，即 x = ，利用中点横坐标即为对称轴位置。 变式3-1（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）已知二次函数，若点，均在该二次函数图像上，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图像上点的坐标特征，先根据函数的对称轴求出��的值． 【详解】解：∵点，均在该二次函数图像上， ∴对称轴为直线 ∴ 解得：， 故答案为：． 变式3-2（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 变式3-3（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知抛物线的图象经过点，若，则k的值为_________． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，求出抛物线与轴的交点坐标，对称性求出对称轴，再根据题意，得到两点关于对称轴对称，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∵图象过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴两点关于对称轴对称， ∴； 故答案为：4． 题型四、求二次函数在某区域的最值问题 典例4 （2025·四川资阳·三模）已知函数，若函数在上的最大值是，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，属于“定范围动轴”的问题，正确分类讨论是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴为，再根据对称轴与的范围比较，分类讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：对称轴为直线， ①时， ∵， ∴函数在上，随的增大而减小， ∴当时，， 解得：或（舍）； ②当时，则， 此时当时，函数有最大值，则， 解得：； 当时，即， ∵， ∴函数在上，随的增大而增大， ∴当时，， 解得：（舍）， 综上：的值为或， 故答案为：或． 题型模版 1.特征：在自变量给定范围内（如m≤x≤n），求二次函数的最大值或最小值。 2.方法：先求对称轴，判断其是否在区间内；在区间内则顶点为最值，否则在区间端点处取得最值。 变式4-1（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 变式4-2（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）当时，二次函数的最大值是5，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需结合对称轴位置与的关系分类讨论． 【详解】函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最大值在顶点处，则， 解得或（舍去）， ； 当时，在时，随的增大而减小， 最大值在处取得，即， 解得，且，符合条件； 当时，在时，随的增大而增大， 最大值在处取得，即， 解得，但，不符合，故舍去； 因此的值为或． 变式4-3（25-26九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 【答案】或6 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，；当时，在，，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 题型五、画二次函数的图象 典例5 （26-27九年级上·全国·周测）已知二次函数． (1)填写表中横线处的数值： x … 0 1 2 3 … … ______ ______ ______ ______ … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2) (3)根据表格、图象可知，当时，y的取值范围是_______________； (4)根据图象可知，当x_______________时，y随x的增大而增大． 【答案】(1) 填表如下： … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … (2)二次函数的图象如下图所示即为所求： (3) (4) 【分析】（1）根据所给表格代入相应的，求出y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据图象，找到最高点和最低点，即可看出y的取值范围． （4）根据图象，可得函数的对称轴以及开口方向，即可看出x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）略 （3）解：由题意可得：当时，的取值范围是. （4）解：由图可得，二次函数的对称轴为，开口向下，那么当时，随的增大而增大． 题型模版 1.特征：根据解析式在坐标系中描点画出抛物线，需确定顶点、对称轴和开口方向。 2.方法：配方求顶点和对称轴；列表取点（至少5个），描点连线，注意抛物线平滑且对称。 变式5-1（2026·河南商丘·二模）已知二次函数（，，是常数，且）的函数值与自变量的部分对应的值如表： … … … … (1)该函数图象的对称轴为直线__________； (2)求该函数的表达式，并在下图的坐标系中画出它的图象（注意图象的对称性）； (3)若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据纵坐标相同的两个点是对称点，且对称轴为对称点横坐标之和的一半，计算即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得和是对称点， 故对称轴为直线； （2）解：根据题意，得， 解得， 故抛物线的表达式为； 画图略； （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，当时，函数有最小值，为，抛物线的对称轴为直线，且与对称轴距离越大函数值越大， ∵，且包含在这个范围内， 故该范围内函数的最小值为； ∵， ∴时，取得最大值，且， ∴y的取值范围是． ∵关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根， ∴． 变式5-2（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线． ．．． ．．． ．．． ．．． (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小． 【答案】(1)； (2) 依次描点、连线如图所示， (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合知识，二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法和绘图的方法，熟知二次函数图像的性质是解题的关键． （1）将抛物线变为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可； （3）根据函数图像的性质即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时， 或 解得， 当时， ， 综上所述，可选取 （3）解：∵， ∴由图可得． 变式5-3（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数的图象与轴的交点为，． (1)______；______； (2)求该图象的顶点坐标； (3)画出这个函数的图象，并回答： ①当时，的取值范围是_____； ②当时，的取值范围是_____． 【答案】(1)2， (2) (3)画图如下： ①或；② 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）将，代入求解即可； （2）将表达式配方成顶点式求解即可； （3）①利用五点作图法画出图象，然后根据图象求解即可； ②根据图象求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得； 故答案为：2，． （2）∵，， ∴ ∴该图象的顶点坐标为； （3）①列表如下： x 0 1 0 0 ∴由图象得，当时，的取值范围是或； 故答案为：或； ②当时，， ∴由图象得，当时，的取值范围是． 故答案为：． 题型六、二次函数的图象和性质综合问题 典例6 （25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． (1)求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． (2)当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 【答案】(1)顶点坐标为，当时，随的增大而增大. (2)的值为或. 【分析】（1）把二次函数解析式化成顶点式即可求解； （2）结合开口方向以及函数的对称轴再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， 化成顶点式为：， 故抛物线的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大； （2）解：由（1）得：抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为：，； ∵， ∴当时，则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴， 解得：或，（此时不符合题意，舍去） 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∴函数的最大值与最小值之和为，不符合题意舍去， 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴ ， 解得：或，（此时不符合题意，舍去，） 综上：或. 题型模版 1.特征：综合考查二次函数图象的开口、对称轴、顶点、增减性及与坐标轴交点等性质。 2.方法：通过配方或公式确定顶点、对称轴，列表描点作图，结合图象性质分析交点、最值等问题。 变式6-1（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是线段上的一个动点，且不与点A，B重合．作轴于点C，轴于点D，得到矩形 ，设的长为a，矩形的面积为S． (1)求的长； (2)当a为何值时，S有最大值，并求出此时S的最大值． 【答案】(1)， (2)，8 【分析】本题主要考查矩形与直角坐标系，解题的关键是熟知直角坐标系、矩形的性质及一次函数的图像和二次函数最值等相关问题； （1）根据直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，即可求解； （2）设的长为a，得，代入，求解即可. 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，∴ ，即， ∴， ∵与y轴交于点B， ∴， （2）解：∵设的长为a， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴当时，S有最大值为. 变式6-2（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，与正比例函数相交于点，点在线段上（不与点，重合），的顶点，分别在线段，上．设点的横坐标为． (1)求的长（用含的代数式表示）； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别表示出点、的坐标，根据平行四边形的性质得出，表示出的长即可； （2）过点作轴于，用表示出的面积，利用二次根式的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵的顶点，分别在线段，上，点的横坐标为， ∴，，， ∴． （2）解：如图，过点作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴时，取最大值，最大值为． 变式6-3（2026·广东深圳·三模）定义：如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为，且图象过点（点与点不重合）． (1)判断二次函数是否为“双正二次函数”，填空________（填“是”或“否”）； (2)求二次函数的解析式； (3)点在二次函数的图象上，过点作轴交二次函数的图象于点（点与点不重合），直线交直线于点，设点的横坐标为． ①求证：点是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． 【答案】(1)是 (2) (3)①∵点M的横坐标为m， ∴点， ∵轴， ∴点，， ∴，， ∴，即点Q是线段的中点； ②5 【分析】（1）求出二次函数的顶点的坐标，再判断点是否在直线上，即可求解； （2）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）①用表示出点，，的坐标，可得到的长，即可解答； ②用表示出的长度，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：二次函数是“双正二次函数”，理由如下： ∵， ∴点A的坐标为， 对于，当时，， ∴点A在直线上，即二次函数是“双正二次函数”； （2）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为点， ∵二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A， ∴， 解得：或（舍去）， ∴二次函数的解析式为； （3）①略 ②解： 当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，当时，随m的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴当时，线段的最大值为5． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东韶关·期末）抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】的基本特征：对称轴为直线，顶点坐标为；当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，且在对称轴右侧()，随的增大而减小．解题思路是根据这些性质逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：已知抛物线的解析式为， 对于选项A：根据顶点式性质，抛物线的对称轴为直线，该说法正确； 对于选项B：顶点式对应的顶点坐标为，该说法正确； 对于选项C：， 抛物线开口向下，在时取得最大值．该说法错误； 对于选项D：抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，该说法正确． 综上，说法错误的是选项C． 3．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 4．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且当 时， 随的增大而增大，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x轴最多有一个交点，可得判别式 ，再根据当时 随增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与轴最多有一个交点，即判别式 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当时， 随的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是． 二、填空题 6．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）二次函数，当_______时，y有最值，最_______值为_______． 【答案】 2 小 0 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数有最小值，通过顶点公式可求顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数，其中， 故抛物线开口向上，函数有最小值，顶点横坐标，代入得， ∴当时，有最小值为． 故答案为：2；小；0． 7．（25-26九年级上·江西宜春·期末）抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键是由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小；通过计算各点到抛物线对称轴的距离，结合抛物线开口向上的性质，距离对称轴越远函数值越大，从而比较大小． 【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向上， ∴点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ． ∵抛物线开口向上，函数值随点到对称轴距离的增大而增大， ∴ ． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·四川凉山·期末）关于x的函数图象经过原点，则m的值为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，根据函数图象经过原点，把原点的坐标代入函数解析式中计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数图象经过原点， ∴， ∴， 解得或， 当时，原函数为，符合题意， 当时，原函数为，符合题意， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 10．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质和最值，掌握根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据二次函数的开口方向和对称轴，得到函数的增减性，分类讨论h的取值范围，利用函数在的范围上的最大值为列方程，即可求解． 【详解】解： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，二次函数在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； ②若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大，在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值，最大值为0，不合题意； ③若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； 综上所述，常数h的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：∵， 抛物线的顶点坐标为； （3）解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 12．（25-26九年级上·河北·阶段检测）已知抛物线的图象经过坐标原点O，并与x轴交于点． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标 【答案】(1) (2)顶点式为；顶点坐标为；对称轴为直线；函数的最小值为，无最大值． (3)和 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案； （3）根据三角形的面积公式得到，据此求出点B的纵坐标，进而可求出点B的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过坐标原点，并与x轴交于点， ∴ ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值，最小值为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得或， 当时，，此时方程无解， ∴点B的坐标为和． 13．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数中，x与y的几组对应值如下表所示． x … 0 1 4 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数向左平移个单位长度，若当时，函数最大值为8，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)， 二次函数图象如下图所示， (3)m的值为4或5 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，二次函数图象的平移，二次函数最值的计算方法是关键． （1）把表格中的自变量和函数值代入，运用待定系数法即可求解； （2）把一般式化为顶点式即可得到顶点坐标，描点、连线即可作图； （3）根据二次函数图象的平移得到平移后的函数解析式，则顶点坐标为，结合定义域，分类讨论：①当时， ②当， ③当， ④当，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，当时，， ∴将分别代入，得 ， 解得， ∴二次函数解析式为：； （2）解：， ∴顶点坐标为 （3）解：将二次函数的图象向左平移个单位长度后的解析式为：， ∴此时，抛物线开口向上，对称轴直线为，顶点坐标为， ①当时，即，如图 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数的最大值为， 解得或，都不符合题意，舍去； ②当，即时，如图， 当时的函数值小于当时的函数值， ∴当时，函数的最大值为， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； ③当，即时，如图， 当时的函数值大于当时的函数值， ∴当时，函数的最大值为， 解得（不符合题意，舍去）或4， ∴； ④当，即时，如图， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数的最大值为， 解得或4（都不符合题意，舍去）， 综上所述，的值为4或5． 14．（25-26九年级上·广东广州·期末）已知关于的二次函数的图象如图所示． (1)方程的两个根为______； (2)观察图象，当时，的取值范围为______； (3)将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好经过点，记此时二次函数图象与轴的交点为，(点在点左侧)，顶点为，请写出的值，并求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)，的面积为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的平移变换，关键是利用二次函数的顶点式和图象对称性来求解． （1）根据二次函数图象与轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用图象的对称性找到两个交点的横坐标； （2）先求出二次函数的解析式，再分别计算区间端点和顶点处的函数值，确定的取值范围； （3）根据平移规律得到平移后的函数解析式，代入已知点求出的值，再求出新函数与轴的交点和顶点坐标，最后计算三角形面积． 【详解】（1）解：由二次函数图象可知，对称轴为，与轴的一个交点为， 根据对称性，另一个交点为， 因此方程的两个根为，； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入得，解得， ∴函数解析式为． 当时，；当时，；当时，．∴当时，的取值范围为； 故答案为：； （3）解：将二次函数图象向上平移个单位后，解析式为． 将点代入得，解得． 此时解析式为． 令，则，解得，， ∴，，． ∵顶点的坐标为， ∴的面积为． 15．（25-26九年级上·湖北·期末）如图①，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求，两点的坐标． (2)当时． ①当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的最小值． ②点是直线上一动点，过点作线段轴（点在直线下方），已知，若线段与抛物线有交点，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)①1；②或 【分析】（1）令，得，结合，得到，解方程即可得到结果． （2）①由，得到二次函数为， 分和两种情况，解答即可． ②分点，分别在抛物线上解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，二次函数的最值，根据交点求范围，熟练掌握待定系数法，抛物线的平移，交点的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，令，得， 又，故， 解得， 又点A在原点的左侧，故点A的横坐标为负数， 故，． （2）①解：由， 故二次函数为， ∴抛物线的对称轴为直线； 当时，对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，且为， 当时，取得最小值，且， ∵二次函数的最大值与最小值的差为， ∴， 整理，得， 解得， ∴； 当时， 当时，取得最大值，且， 当时，取得最小值，且为， ∵二次函数的最大值与最小值的差为， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴； ∵ ∴n的最小值为1． ②解：由， 得，， 设直线的表达式为， 故 解得 故直线的表达式为， 由轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m， 则，， 当在时，与抛物线图象有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与抛物线图象有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 故m的取值范围为； 当在时，与抛物线图象有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与抛物线图象有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 故m的取值范围为 综上所述，当线段与抛物线有交点时，m的取值范围是或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14二次函数的图象和性质问题的六类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 二次函数的图象和性质 题型二、利用二次函数的增减性比较大小 题型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 题型四、求二次函数在某区域的最值问题 题型五、画二次函数的图象 题型六、二次函数的图象和性质综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：围绕开口、顶点、对称轴、增减性、最值及图象平移设问，常与方程、不等式综合。 ~解题方法：配方化为顶点式ya收+k,利用对称轴x= b 判断增减分界；平移规律“左加右减、上 2a 加下减”。 易错提醒：忽视0及开口方向；平移时括号内符号处理错误：顶点式中h符号易混淆：最值未考虑自 变量取值范围。 ◆ 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的图象和性质 典例1(25-26九年级上湖南岳阳期末)关于抛物线)=-2(x+1刂旷+3 下列说法正确的是() 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.对称轴是直线x=1 1,3) B.顶点坐标为 C.当x=-1时，y的最大值是3 D.当x>1时，y随x的增大而增大 题型模版 1特征：图象是抛物线，顶点、对称轴决定增减性，开口方向由a决定，与y轴交于c。 2方法：配方化为顶点式，确定顶点、对称轴；列表描点作图，结合、b、c符号判断性质。 变式1-1(25-26九年级上江苏徐州期中)关于抛物线y=-x2+2x+3,下列结论正确的是() A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x=-1 C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.函数少=-+2x+ 的最大值为4 变式1-2(25-26九年级上·黑龙江佳木斯阶段检测)对于二次函数y=x2-2x+3,下列说法正确的是 () A.图象开口向下 B.当x=1时，y有最大值为2 C.对称轴是直线x=1 0,-3) D.与y轴的交点坐标为 变式1-3(25-26九年级上山东滨州阶段检测)已知二次函数y=ax+br+c的自变量x与因变量y的几组 对应值如下表： -2 3 下列说法正确的是() (0,0) A.顶点坐标为 B.图象经过第一、二、三象限 C.图象的对称轴是直线x=1 D.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、利用二次函数的增减性比较大小 典例2(25-26八年级下河南开封·期末)若点 A(-3,),B(),C2,少）在二次函数”=r-2x的图象 上，则”，片，为 2，,的大小关系用“>”连接为 题型模版 1特征：给定二次函数及多个点的横坐标，比较对应纵坐标大小，需考虑对称轴与开口方向。 2方法：先求对称轴，判断各点与对称轴距离：开口向上时，距对称轴越远函数值越大；开口向下则相反。 变式2-1(2026江苏扬州一模)若点 A(-1y)B(22)C(4y 在二次函数y=ar-2ar+1a>0)的图 象上，则片、片、少的大小关系是 (用“<”连接) 变式22(25-26九年级上黑龙江七合河期中)已知点1(B,）,B(4,),C(-3,y) 均在抛物线 y=2x2-4x+m y片 上，则、、的大小关系是 变式23(2526九年级上层龙江鹤岗期中)已知二次函数'=a+r+(a<0)的图象上有四点1.） B6,y)C(2).D(-2,)则为 的大小关系是一· (从小到大排列) 题型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 典例3 (25-26九年级上·上海浦东新阶段检测)如果抛物线与x轴交于 （-1,0)(3,0) 和 两点，则该抛物线 的对称轴为直线。 题型模版 1.特征：已知抛物线上两点的纵坐标相同（对称点)，求对称轴方程，常结合中点公式。 2.方法：对称轴为这两点横坐标的平均值，即×= X1+X2 ,利用中点横坐标即为对称轴位置。 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 座式31(2526九年级上旷东东莞阶段检测已知二次函数”=-(+1)x+m,若点4 A(-1,n) B(5,n) 均在该二次函数图像上，则m一」 变式3-2(25-26八年级下浙江杭州期末)已知二次函数y=-bx+h+ 的图象经过点 (-1,n川和点 1 B(m-3,n),当x=2时函数取得最小值，则m的值为 y=ax2-bx+3(a≠0) 变式3-3(25-26九年级上·浙江温州·阶段检测)已知抛物线 的图象经过点 423),B(m+l4,Ca-3,), 若m+n=4 则k的值为」 题型四、求二次函数在某区域的最值问题 y=-4x2+4ax-4a-a2 典例4(2025四川资阳·三模)已知函数 ，若函数 在0≤x≤1上的最大值是5，则 a的值为 题型模版 1.特征：在自变量给定范围内（如m≤x≤n),求二次函数的最大值或最小值。 2方法：先求对称轴，判断其是否在区间内；在区间内则顶点为最值，否则在区间端点处取得最值。 当3≤xs0 变式41(25-26八年级下浙江宁波期末)已知二次函数'=+4x+5,当 时，y的取值范围 为 变式42(25-26九年级上江苏宿迁·期末)当-1≤x≤3时，二次函数y=(x-m)+m+1的最大值是5， 则m的值为一· 变式43(25-26九年级下湖北黄石期中)已知二次函数'=a(x--a(a≠0)，当1≤x≤4时，y的最 小值为6，则a的值为一· 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型五、画二次函数的图象 典例5 (26-27九年级上全国周测)已知二次函数y=-x2+2x+2 (1)填写表中横线处的数值： -1 0 3 y=-x2+2x+2 … 根据上表，在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象： 个y (2) -3:-2:-10 123456x (3)根据表格、图象可知，当0<x<3时，y的取值范围是」 (4)根据图象可知，当x 时，y随x的增大而增大 -1 0 1 2 3 y=-x2+2x+2 -1 J 2 题型模版 1特征：根据解析式在坐标系中描点画出抛物线，需确定顶点、对称轴和开口方向。 2方法：配方求顶点和对称轴；列表取点（至少5个），描点连线，注意抛物线平滑且对称。 变式5-1(2026河南商丘·二模)己知二次函数y=ar2+br+c(a,b,c是常数，且a≠0)的函数值y与 自变量x的部分对应的值如表： 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2 0 2 3 5 -3 -3 0 A 5 5432马012345x 3 平4 (1)该函数图象的对称轴为直线 (2)求该函数的表达式，并在下图的坐标系中画出它的图象（注意图象的对称性）： (3)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根，请直接写出t的 取值范围。 =x2+2x-3 变式5-2(25-26九年级上广东广州期中)己知抛物线 分 3 2 5-4-3-2-19 1 2345 2 4 (①)该抛物线的对称轴是_，顶点坐标是_： (2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象： 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若该抛物线上两点 A(x)B(x2,y2 的横坐标满足<五<-1，试比较”，”的大小 变式3(2526九4级1江苏徐州期中)已知=次西数=父++“的图象与*新的交点为30 (1,0) 5432-1912.34.5x 2 4+一+一+一+4 5 (1)b= (2)求该图象的顶点坐标： (3)画出这个函数的图象，并回答： ①当y>0时，x的取值范围是一； ②当-2<x<2时，y的取值范围是 -3 -2 -1 0 1 y=x2+2x-3 0 -3 -4 -3 0 题型六、二次函数的图象和性质综合问题 典例6(25-26八年级下浙江杭州阶段检测)在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为y=x+4x+3。 (I)求抛物线的顶点坐标，并直接写出当x满足什么条件时，'随x的增大而增大. (2)当m≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和为3，求m的值. 题型模版 1特征：综合考查二次函数图象的开口、对称轴、顶点、增减性及与坐标轴交点等性质。 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：通过配方或公式确定顶点、对称轴，列表描点作图，结合图象性质分析交点、最值等问题。 1 变式61(2026辽宁沈阳一模)如图，在平面直角坐标系x0中，直线y=2+4与x轴交于点4，与y 轴交于点B,点P是线段AB上的一个动点，且不与点A,B重合.作PC⊥x轴于点C,PD上y轴于点 D,得到矩形PCOD,设CA的长为a,矩形PCOD的面积为S. D (I)求OAOB的长； (2)当a为何值时，S有最大值，并求出此时S的最大值. 2 变式6-2(2026辽宁沈阳一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数”=一3x+4的图象与x轴相交 1 于点4，与y轴相交于点B,与正比例函数y=3x相交于点C,点D在线段OC上（不与点0，C重合）， DEBF的顶点E,F分别在线段BC,OB上.设点D的横坐标为m. B E (I)求BF的长（用含m的代数式表示）： (2)求口DEBF面积的最大值. 变式6-3(2026广东深圳三模)定义：如果二次函数图象的顶点在直线y=2x上，我们称这样的二次函数 为“双正次函数如图，三次函数以=)2x士6的顶点为次函数+x+C是“双如 2 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二次函数”，其顶点为B,且图象过点A(点A与点B不重合)· y=x2-2x+61 Bly=2x = jx+bx+c (⑩判断二次函数为-2-2x+6是香为“双正二次函数”，填空一（填“是”或“否”）； 1 (②求二次函数乃=一2r+伽+C的解析式： ③点M在次函数X22中O的图象上，过点M作交三次函数P加士C的图象 点N(点M与点N不重合)，直线MW交直线y=2r于点O,设点M的横坐标为m. ①求证：点Q是线段MW的中点； ②当1≤m≤5时，求线段MN的最大值. ◆◆ 同压轴挑战一攻克高难压袖，突成思维上保 一、单选题 y=x2+4x-3 1.(25-26九年级上广东韶关期末)抛物线 的对称轴是直线() A.x=-4 B.x=-2 C.x=4 D.x=2 2.(2526九年级上相建福州期中)对于抛物线=x-3引+2，下列说法错误的是() A.对称轴是直线术=3 B.顶点坐标是82) C.当x=-3时，y的最大值为2 D.当x>3时，'随x的增大而减小 y=-x2+2x+m+1m 3.(25-26九年级下·陕西榆林·期中)已知二次函数 为常数)，当0≤x≤3 时，该二 9/13 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 次函数的最大值与最小值的差为() A.9 B.-3 C.1 D.4 =2x2-4x+1 4.(25-26九年级下四川成都阶段检测)关于二次函数 的图象，下列结论正确的是() A.其图象开口向下 B.其图象的对称轴是直线x=2 C.其最小值为 D.当x<1时，y随x的增大而减小 5.（2026陕西西安模拟预测)已知二次函数'=r-2m+m+2m+3 的图像不经过第三、四象限，且 当x>1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是() 3 3 A.m>- B.m≤1 C.-2<ms1 3 D.- ≤m≤1 2 2 二、填空题 6.(25-26九年级上宁夏固原期中)二次函数y= -2x+2,当x=时，y有最值，最 2 值为 7.(25-26九年级上江西宜春期未)抛物线)=(-2m1,当x>4时，'随x增大而增大，则m的取 值范围是 8.(2526九年级上河南平顶山期未)抛物线-号x-+c经过(-2），(0，为，(B,)三点，则 y2 y3 的大小关系是 9.（25-26九年级上四川凉山期末)关于x的函数”=(m-3列r+5x+m-m-6 象经过原点，则的 值为—· 10,(2526九年级上湖北孝感期中)已知二次西数y=x-,当自变量的值满足15x≤3时。与 其对应的函数y的最大值为-2，则常数h的值为 三、解答题 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11. （25-26九年级上北京阶段检测)如图，二次函数'=-4x+ 的图象经过坐标原点，与轴交于 点1(40) (1)求二次函数的解析式： (2)求抛物线的顶点坐标： P =8 (3)在抛物线上存在点，满足 ,请直接写出点的坐标. y=x+bx+c 12.(25-26九年级上河北阶段检测)已知抛物线 的图象经过坐标原点O,并与x轴交于点 A(2,0) (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B,且 △M0B=3 ,求点B的坐标 1B.(25-26九年级上：河南南阳期末)已知二次函数'=r+x+3 ，x与y的几组对应值如下表所示 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y本 6 5 4 3 6-5-4-32-19 12.3.45.6x -2 -3 -4 t-- -7--1 5 1- 6 0 1 … y 3 0 3 (1)求二次函数的表达式： (2)求二次函数的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象： 3)将二次函数向左平移mm>0)个单位长度，若当-5≤x≤0时，函数最大值为8，请直接写出m的值. y=ax+bx+c 14.(25-26九年级上：广东广州期末)已知关于的二次函数 的图象如图所示. V -1O -4 (1)方程ax2+bx+c=0的两个根为一： (2)观察图象，当-2≤x≤1时，y的取值范围为. ⑧将该二次司数图象向上平移>0)个单位长度后拾好经过点20)，记时二次西黄图象与产轴的交 点为A,B(点A在点B左侧)，顶点为C,请写出m的值，并求△ABC的面积. 15.(25-26九年级上湖北期末)如图0.抛物线'=a-2m-3aa<0)与‘轴交于A,B两点（点4在 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点B的左侧)，与V轴交于点C y C A O B 图① 备用图 (1)求A,B两点的坐标. (2)当a=-1时. 1 9 ①当2≤x≤n时，二次函数y=am2-2a-3a(a<0)的最大值与最小值的差为4，求n的最小值. ②点M是直线BC上一动点，过点M作线段MNy轴（点N在直线BC下方），已知MN=2,若线段 MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围。 13/13