专题06 与三角形有关的折叠问题（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以落点位置为分类轴构建折叠问题训练体系，通过“定位-标记-推理”三步法强化几何直观与空间观念 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |落点位置分类|7题型/7典例|按内部/边上/外部/顶点分类，建立“折叠即全等”模型|从单一落点到多次折叠，逐步融合三角形内角和、平行线性质| |综合应用|4变式/题型|多次折叠“定序-标记-定位-列式”四步法，折叠平行“等角代换”技巧|从基础角度计算到动态存在性问题，培养推理能力与模型意识|

专题06 与三角形有关的折叠问题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 落点在三角形内部 【典例1】80°． 【变式1-1】B． 【变式1-2】B． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵点C沿DE折叠落在点C′， ∴△CDE≌△C′DE（折叠的性质）， 在△CDE中，∠C＝45° ∴∠CED+∠CDE＝180°﹣∠C＝180°﹣45°＝135°， ∵∠1＝180°﹣2∠CED，∠2＝180°﹣2∠CDE， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠CED+∠CDE）＝360°﹣2×135°＝90°． （2）由（1）可得：∠1+∠2＝360°﹣2（∠CED+∠CDE）， ∵∠C＝α， ∴∠C′＝α， ∴∠CED+∠CDE＝180°﹣α， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣α）＝2α． ▌题型02 落点在边上 【典例1】D． 【变式1-1】C． 【变式1-2】C． 【变式1-3】C． ▌题型03 落点在外部 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】105°或125°． 【变式1-3】 【解答】（1）解：由折叠可得，∠DEF＝∠DEA， 设∠DEC＝x，则∠DEF＝∠DEA＝∠CEF+∠DEC＝26°+x ∵∠DEA+∠DEC＝180°， ∴26°+x+x＝180°， 解得x＝77°， ∴∠AED＝77°+26°＝103°； 故答案为：103°； （2）证明：如图， 由折叠可得，∠1＝∠2，∠DEF＝∠DEA， ∵DG平分∠BDF， ∴∠3＝∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝∠EDG＝90°， ∴∠ADG＝∠1+∠2+∠3＝90°+∠1， ∵∠C＝90°，BC∥DF， ∴∠AOD＝∠C＝90°， ∵∠DEA＝∠2+∠AOD＝90°+∠2， ∴∠DEF＝90°+∠2， ∴∠ADG＝∠DEF； （3）解：同（2）可得，∠EDG＝90°， 当EF∥BC时，∠FEC＝∠ACB＝90°， ∴∠AEF＝90°， 由折叠可得，∠DEF＝∠DEA， ∵∠DEF+∠DEA+∠AEF＝360°， ∴∠DEA＝∠DEF＝135°， ∵∠ACB＝90°，∠B＝α， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠DEA＝180°﹣（90°﹣α）﹣135°＝α﹣45°， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADE﹣∠EDG＝180°﹣（α﹣45°）﹣90°＝135°﹣α； 当DF∥BC时，则∠ADF＝∠B＝α， ∴由折叠可得，， ∵∠EDG＝90°， ∴； 当DE∥BC时，则∠ADE＝∠B＝α， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADE﹣∠EDG＝90°﹣α， 综上：∠BDG的度数为135°﹣α或或90°﹣α． =▌题型04 落点在顶点处 【典例1】A． 【变式1-1】75或105或15． 【变式1-2】 【解答】（1）证明：由折叠可知：BF＝CF， 在△ACE中，根据三角形三边之间的关系得：AF+CF＞AC， ∴BF+AF＞AC， 即AB＞AC； （2）∵DE＝DB， ∴设∠B＝∠DEB＝α， ∵∠ADE是△DBE的外角， ∴∠ADE＝∠B+∠DEB＝2α， 由折叠可知：∠C＝∠ADE＝2α，∠CAE＝∠DAE， 设∠CAE＝∠DAE＝β， 在△ABE中，∠BEA＝110°， ∴∠B+∠DAE＝180°﹣∠BEA＝70°， ∴α+β＝70°， ∴β＝70°﹣α ∵EM∥AC， ∴∠BEM＝∠C＝2α，∠MEA＝∠DAE＝β， ∴∠DEM＝∠BEM﹣∠DEB＝2α﹣α＝α， ∵∠BEA＝∠BEM+∠MEA＝2α+β＝110°， ∴2α+70°﹣α＝110°， 解得：α＝40°， ∴∠DEM＝α＝40°， 故∠DEM的度数为40°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵△ADC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣60°＝30°， 故答案为：30． （2）①在等边AEF中，∠FAE＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝90， ∵∠AEC＝50°， ∴∠EAC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠FAC＝60°﹣40°＝20°； ②由（1）可知△ADC和△AFE均为等边三角形， ∴AD＝AC，AF＝AE，∠ADC＝∠DAC＝∠FAE＝60°， ∴∠DAF＝∠CAE， ∴△DAF≌△CAE（SAS）， ∴∠ADF＝∠ACE， ∵∠ACE＝90， ∴∠ADF＝90°， ∴∠GDF＝90°﹣60°＝30°， 当DF＝DG时，∠DGF＝∠DFG75°， 当GD＝GF时，∠GDF＝∠GFD＝30°，∴∠GDF＝180°﹣2×30°＝120°， 综上，当△DGF为等腰三角形时，∠DGF＝75°或120°． ▌题型05 多次折叠问题 【典例1】D． 【变式1-1】20°． 【变式1-2】96°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由折叠可得∠BEF＝∠B′EF＝75°，∠CEG＝∠C′EG， ∴∠B′EB＝2∠BEF＝2×75°＝150°，∠C′EC＝2∠CEG， ∵∠B′EB+∠C′EC＝180°， ∴∠C′EC＝180°﹣150°＝30°， ∴； （2）由折叠得到∠BEF＝∠B′EF＝50°，∠CEG＝∠C′EG， ∴∠B′EB＝2∠BEF＝2×50°＝100°， ∵∠B′EB+∠B′EC′+∠C′EC＝180°，且∠B′EC′＝20°， ∴∠C′EC＝60°， ∴； （3）∵∠BEF＝46°，∠CEG＝54°， ∴由折叠得到∠B′EB＝2∠BEF＝2×46°＝92°，∠C′EC＝2∠CEG＝2×54°＝108°， ∴∠B′EC′＝∠B′EB+∠C′EC﹣180°＝20°， ∵∠C′+∠B′EC′+∠EB′C′＝180°，∠C′＝90°， ∴∠EB′C′＝70°． ▌题型06 折叠与平行问题 【典例1】116°． 【变式1-1】25． 【变式1-2】 【解答】证明（1）∵∠ADC+∠ADB＝180°，∠ADC＝100°， ∴∠ADB＝180°﹣100°＝80°， 由折叠可知：∠ADC＝∠ADE＝100°， ∵∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝100°， ∴∠BDE＝100°﹣80°＝20°， ∵∠B＝20°， ∴∠B＝∠BDE， ∴AB∥DE； 解：（2）∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝100°，∠B＝20°， ∴∠BAD＝100°﹣20°＝80°， ∵AE恰好平分∠BAD， ∴， ∵AB∥DE， ∴∠E＝∠BAE＝40°． 【变式1-3】 【解答】（1）解：由折叠可得，∠DEF＝∠DEA， 设∠DEC＝x，则∠DEF＝∠DEA＝∠CEF+∠DEC＝26°+x ∵∠DEA+∠DEC＝180°， ∴26°+x+x＝180°， 解得x＝77°， ∴∠AED＝77°+26°＝103°； 故答案为：103°； （2）证明：如图， 由折叠可得，∠1＝∠2，∠DEF＝∠DEA， ∵DG平分∠BDF， ∴∠3＝∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝∠EDG＝90°， ∴∠ADG＝∠1+∠2+∠3＝90°+∠1， ∵∠C＝90°，BC∥DF， ∴∠AOD＝∠C＝90°， ∵∠DEA＝∠2+∠AOD＝90°+∠2， ∴∠DEF＝90°+∠2， ∴∠ADG＝∠DEF； （3）解：同（2）可得，∠EDG＝90°， 当EF∥BC时，∠FEC＝∠ACB＝90°， ∴∠AEF＝90°， 由折叠可得，∠DEF＝∠DEA， ∵∠DEF+∠DEA+∠AEF＝360°， ∴∠DEA＝∠DEF＝135°， ∵∠ACB＝90°，∠B＝α， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠DEA＝180°﹣（90°﹣α）﹣135°＝α﹣45°， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADE﹣∠EDG＝180°﹣（α﹣45°）﹣90°＝135°﹣α； 当DF∥BC时，则∠ADF＝∠B＝α， ∴由折叠可得，， ∵∠EDG＝90°， ∴； 当DE∥BC时，则∠ADE＝∠B＝α， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADE﹣∠EDG＝90°﹣α， 综上：∠BDG的度数为135°﹣α或或90°﹣α． ▌题型07 折叠相关的综合性问题 【典例1】69°或90°或48°． 【变式1-1】 【解答】解：（1）在△ABC中， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F， ∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB， ∴2∠FBC+2∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∵∠BFD是△FBC的一个外角， ∴根据三角形外角的性质可得，； ∵∠A＝100°， ∴， 则∠BFD的度数为40°； （2）∵∠AMF＝180°﹣∠1，∠ANF＝180°﹣∠2，∠1+∠2＝160°， ∴∠AMF+∠ANF＝360°﹣（∠1+∠2）＝200°， 由折叠性质得：∠AMF＝2∠AMN，∠ANF＝2∠ANM， ∴2∠AMN+2∠ANM＝∠AMF+∠ANF＝200°， ∴∠AMN+∠ANM＝100°， ∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝80°， 由（1）得：∠FBC+∠FCB＝90°∠A＝90°80°＝90°﹣40°＝50°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣50°＝130°； ∠BFC的度数为130°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC（已知）， ∴． 同理可得∠PCB＝25°． ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质） ＝180°﹣40°﹣25° ＝115°． 故答案为：25，（三角形内角和定理），25°，115°； （2）由折叠的性质可得∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE， ∵∠1+∠AEP＝180°，∠2+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝96°， ∴2∠AED+2∠ADE＝264°， ∴∠AED+∠ADE＝132°， ∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝48°， ∵∠A＝48°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝132°， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB， ∴2∠PBC+2∠PCB＝132°， 即∠PBC+∠PCB＝66°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝114°， 故答案为：114； （3）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM， ∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP， ∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB， ∴∠CBP＝∠BAP+41°， ∵∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC， ∴∠ABC＝98°﹣2∠BAP， ∵∠ABC+∠CBP+∠BAP+∠P＝180°， ∴∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABC﹣∠CBP＝41°， ∵BH⊥AP， 即∠BHP＝90°， ∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝49°； 故答案为：49． 【变式1-3】 【解答】（1）解：∵AF＝7，CD＝3， ∴AD+CF＝AF﹣CD＝4， ∵AD＝CF＝平移距离， ∴AD＝CF＝2， 故答案为：2； （2）证明：方法一：由折叠知：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠A′DE（180°﹣∠1），∠A′ED（180°﹣∠2）， 在△DEA′中，∠DA′E+∠A′DE+∠A′ED＝180°； ∴∠DA′E（180°﹣∠1）（180°﹣∠2）＝180°， ∴∠DA′E∠1∠2， ∴∠1+∠2＝2∠DA′E． 方法二：连接AA′． 由折叠知：∠DAE＝∠DA′E ∵∠1，∠2分别是△A′AD和△A′AE的外角， ∴∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠2＝∠EA′A+∠EAA′， ∴∠1+∠2 ＝∠DA′A+∠DAA′+∠EA′A+∠EAA′ ＝（∠DA′A+∠EA′A）+（∠DAA′+∠EAA′） ＝∠DA′E+∠DAE ＝2∠DA′E， （3）解：不成立，正确结论是∠1﹣∠2＝2∠DA′E． 证明如下： 方法一：由折叠知：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠A′DE（180°﹣∠1），∠A′ED（180°+∠2）， 在△DEA′中，∠DA′E+∠A′DE+∠A′ED＝180°； ∴∠DA′E（180°﹣∠1）（180°+∠2）＝180°， ∴∠DA′E∠1∠2， ∴∠1﹣∠2＝2∠DA′E． 方法二：连接AA′． 由折叠知：∠DAE＝∠DA′E， ∵∠1，∠2分别是△A′AD和△A′AE的外角， ∴∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠2＝∠EA′A+∠EAA′， ∴∠1﹣∠2＝∠DA′A+∠DAA′﹣（∠EA′A+∠EAA′） ＝（∠DA′A﹣∠EA′A）+（∠DAA′﹣∠EAA′） ＝∠DA′E+∠DAE ＝2∠DA′E． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 与三角形有关的折叠问题 （题型突破·举一反三） 题型01 落点在三角形内部 题型02 落点在三角形边上 题型03 落点在三角形外部 题型04 落点在三角形顶点处 题型05 多次折叠问题 题型06 折叠与平行问题 题型07 折叠相关的综合性问题 ▌题型01 落点在三角形内部 如图，△ABC沿着折叠，则。 【典例1】（2025秋•泰安校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠A＝40°，则∠1+∠2的度数为 　80°　 ． 【分析】根据折叠的性质得∠A＝∠DA′E，根据四边形的内角和，以及平角等于180°求解即可得出∠1+∠2的度数． 【解答】解：∵将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处， ∴∠A＝∠DA′E＝40°， ∴∠A′EA+∠A′DA＝360°﹣40°×2＝280°， ∵∠1+∠A′EA＝180°，∠2+∠A′DA＝180°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A′EA+∠A′DA）＝80°． 故答案为：80°． 【变式1-1】（2026春•达州期中）在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC沿直线DE折叠，点B与点B1重合，则∠ADB1+∠CEB1的度数为（　　） A．30° B．80° C．60° D．100° 【分析】由∠B＝40°，根据三角形内角和定理求得∠BDE+∠BED＝140°，由折叠得∠B1DE＝∠BDE，∠B1ED＝∠BED，则∠B1DE+∠B1ED＝∠BDE+∠BED＝140°，由140°+140°+∠ADB1+∠CEB1＝2×180°＝360°，求得∠ADB1+∠CEB1＝80°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠B＝40°， ∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝140°， ∵将△ABC沿直线DE折叠，点B与点B1重合， ∴∠B1DE＝∠BDE，∠B1ED＝∠BED， ∴∠B1DE+∠B1ED＝∠BDE+∠BED＝140°， ∵∠B1DE+∠B1ED+∠BDE+∠BED+∠ADB1+∠CEB1＝2×180°＝360°， ∴140°+140°+∠ADB1+∠CEB1＝360°， ∴∠ADB1+∠CEB1＝80°， 故选：B． 【变式1-2】（2025秋•金安区校级期末）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 【分析】由折叠的性质及平角等于180°，可求出∠ADE+∠AED的度数，再在△ADE中，利用三角形内角和定理，即可求出∠A的度数． 【解答】解：根据折叠的性质，可知：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED， ∵∠1+∠FDE+∠ADE＝180°，∠2+∠FED+∠AED＝180°， ∴∠ADE+∠AED（180°﹣∠1+180°﹣∠2）[360°﹣（∠1+∠2）]（360°﹣100°）＝130°， ∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣130°＝50°． 故选：B． 【变式1-3】（2025秋•蓬莱区期末）如图，△ABC是一张纸片，把∠C沿DE折叠，使点C落在点C′的位置． （1）当∠C＝45°时，求∠1+∠2的度数． （2）若∠C＝α，求∠1+∠2的度数．（用含α的代数式表示） 【分析】（1）根据折叠性质，△CDE≌△C′DE，故∠C′＝∠C＝45°，∠CED＝∠C′ED，∠CDE＝∠C'DE； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【解答】解：（1）∵点C沿DE折叠落在点C′， ∴△CDE≌△C′DE（折叠的性质）， 在△CDE中，∠C＝45° ∴∠CED+∠CDE＝180°﹣∠C＝180°﹣45°＝135°， ∵∠1＝180°﹣2∠CED，∠2＝180°﹣2∠CDE， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠CED+∠CDE）＝360°﹣2×135°＝90°． （2）由（1）可得：∠1+∠2＝360°﹣2（∠CED+∠CDE）， ∵∠C＝α， ∴∠C′＝α， ∴∠CED+∠CDE＝180°﹣α， ∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣α）＝2α． ▌题型02 落点在边上 如图，在△ABC中，点、分别是△ABC边上两点，若沿直线折叠，则。 【典例1】（2026春•肇源县校级期末）如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC上一点，将△ABC沿MN折叠，使点A落在边BC上，若∠1+∠2+∠3+∠4＝235°，则∠A＝（　　） A．35° B．45° C．65° D．55° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B＝125°，再根据三角形内角和求出∠A的度数即可． 【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4＝235°，∠1+∠4+∠B＝180°，∠2+∠3+∠C＝180°， ∴∠C+∠B＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝125°， ∵∠A+∠C+∠B＝180°， ∴∠A＝180°﹣（∠C+∠B）＝55°． 故选：D． 【变式1-1】（2026春•宽城区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 【分析】根据折叠的性质求出∠ACD，再根据三角形的外角性质求出∠BDC． 【解答】解：由折叠的性质可知：∠BCD＝∠ACD∠ACB＝45°， ∵∠BDC是△ACD的外角， ∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝45°+21°＝66°． 故选：C． 【变式1-2】（2026春•五华县期末）如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF＝70°，则∠A的度数为（　　） A．70° B．65° C．80° D．75° 【分析】由折叠得∠FED＝∠AED，∠FDE＝∠ADE，∠AEF＝90°，由∠FED+∠AED＝2∠AED＝∠AEF＝90°，求得∠AED＝45°，因为∠BDF＝70°，所以2∠ADE+70°＝180°，求得∠ADE＝55°，则∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝80°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点， ∴∠ADE+∠FDE+∠BDF＝180°， ∵将△ABC沿DE折叠，点A落在BC边上的点F处，EF⊥AC， ∴∠FED＝∠AED，∠FDE＝∠ADE，∠AEF＝90° ∵∠FED+∠AED＝2∠AED＝∠AEF＝90°， ∴∠AED＝45°， ∵∠BDF＝70°， ∴2∠ADE+70°＝180°， ∴∠ADE＝55°， ∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣55°＝80°， 故选：C． 【变式1-3】（2026春•青岛期中）如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF＝68°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．72° C．79° D．82° 【分析】由折叠的性质求出∠AED，∠ADE的度数，由垂线的定义和平角的定义得到∠AEF＝90°，最后根据三角形内角和定理即可得到答案． 【解答】解：∵∠BDF＝68°， 由折叠的性质可得∠ADE＝∠FDE（180°﹣∠BDF）（180°﹣68°）＝56°， ∵EF⊥AC， ∴∠AEF＝90°， 由折叠的性质可得∠AED＝∠FED∠AEF＝45°， ∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝79°． 故选：C． ▌题型03 落点在外部 如图，在△ABC中，点、分别是△ABC边上两点，若沿直线折叠，则。 【典例1】（2026春•丹阳市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，点F、G是边BC上的两点，分别以线段AF、AG为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点B'、点C'，若线段AB'、AC'在同一条直线上，则∠FAG的度数为（　　） A．54° B．59° C．64° D．69° 【分析】由折叠得∠B′AF＝∠BAF∠BAB′，∠C′AG＝∠CAG∠CAC′，因为线段AB'、AC'在同一条直线上，所以∠BAB′+∠CAC′＝∠BAC＝108°，则∠FAG（∠BAB′+∠CAC′）＝54°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵分别以线段AF、AG为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点B'、点C'， ∴∠B′AF＝∠BAF∠BAB′，∠C′AG＝∠CAG∠CAC′， ∵线段AB'、AC'在同一条直线上， ∴∠BAB′+∠CAC′＝∠BAC＝108°， ∴∠FAG＝∠B′AF+∠C′AG（∠BAB′+∠CAC′）＝54°， 故选：A． 【变式1-1】（2026•莲池区二模）如图，把等边△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝40°，则∠2是（　　） A．50° B．55° C．60° D．58° 【分析】根据折叠的性质可得∠BDE＝∠B'DE，结合平角的定义和图形中角的关系求出∠BDE的度数，再利用三角形的外角性质或内角和定理求出∠2的度数． 【解答】解：由折叠的性质可知∠BDE＝∠B'DE， ∵∠B′DE＝∠1+∠ADE，∠ADE＝180°﹣∠BDE， ∴∠BDE＝∠1+180°﹣∠BDE， ∴2∠BDE＝180°+∠1， ∵∠1＝40°， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°（等边三角形的性质）， ∵∠BDE是△ADE的外角， ∴∠BDE＝∠A+∠2（三角形外角的性质）， ∴110°＝60°+∠2， ∴∠2＝50°． 则∠2的度数是50°． 故选：A． 【变式1-2】（2026春•浚县月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝70°，点D是边AB上一定点，过点D将△ABC 折叠，使点A落在AC下方的点A'处，折痕DE与边AC交于点E．当BC与∠A'的一边平行时，∠A′ED的度数为 　105°或125°　 ． 【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠A＝40°，再根据折叠的性质得到∠A′＝∠A＝40°，∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，讨论：当A′D∥BC时，根据平行线的性质得到∠ADA′＝∠B＝70°，所以∠A′DE∠ADA′＝35°，接着利用三角形内角和定理可计算出此时∠A′ED＝105°；当A′E∥BC，根据平行线的性质得到∠A′EC＝∠C＝70°，接着计算出∠AED+∠A′ED＝250°，从而得到∠A′ED＝125°． 【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝∠C＝70°， ∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵将△ABC沿DE折叠，使点A落在AC下方的点A'处， ∴∠A′＝∠A＝40°，∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， 当A′D∥BC时，则∠ADA′＝∠B＝70°， ∴∠A′DE∠ADA′＝35°， ∴∠A′ED＝180°﹣40°﹣35°＝105°； 当A′E∥BC，则∠A′EC＝∠C＝70°， ∴∠AED+∠A′ED＝180°+70°＝250°， ∴∠A′ED250°＝125°， 综上所述，∠A′ED的度数为105°或125°． 故答案为：105°或125°． 【变式1-3】（2026春•平顺县期末）在数学社团的手工课上，老师给每位同学发了一张直角三角形纸片ABC，其中∠C＝90°．小明想通过折叠，在纸片上折出一个对称的图形．他先在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，然后将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，如图所示． （1）如图1，若小明测得∠CEF＝26°，则∠AED＝ 　103　 °； （2）如图2，DF交AC于点O，∠BDF的平分线交线段BC于点G，若BC∥DF，求证：∠ADG＝∠DEF． （3）已知∠B＝α且α＞45°，∠BDF的平分线交射线BC于点G，当△FDE的一条边与BC平行时，直接写出∠BDG的度数（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）由折叠可得∠DEF＝∠DEA，设∠DEC＝x，再由邻补角互补建立方程求解即可； （2）先证明∠2+∠3＝90°，然后利用折叠的性质以及三角形的外角证明即可； （3）分三种情况作出图形，然后根据折叠的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【解答】（1）解：由折叠可得，∠DEF＝∠DEA， 设∠DEC＝x，则∠DEF＝∠DEA＝∠CEF+∠DEC＝26°+x ∵∠DEA+∠DEC＝180°， ∴26°+x+x＝180°， 解得x＝77°， ∴∠AED＝77°+26°＝103°； 故答案为：103°； （2）证明：如图， 由折叠可得，∠1＝∠2，∠DEF＝∠DEA， ∵DG平分∠BDF， ∴∠3＝∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝∠EDG＝90°， ∴∠ADG＝∠1+∠2+∠3＝90°+∠1， ∵∠C＝90°，BC∥DF， ∴∠AOD＝∠C＝90°， ∵∠DEA＝∠2+∠AOD＝90°+∠2， ∴∠DEF＝90°+∠2， ∴∠ADG＝∠DEF； （3）解：同（2）可得，∠EDG＝90°， 当EF∥BC时，∠FEC＝∠ACB＝90°， ∴∠AEF＝90°， 由折叠可得，∠DEF＝∠DEA， ∵∠DEF+∠DEA+∠AEF＝360°， ∴∠DEA＝∠DEF＝135°， ∵∠ACB＝90°，∠B＝α， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠DEA＝180°﹣（90°﹣α）﹣135°＝α﹣45°， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADE﹣∠EDG＝180°﹣（α﹣45°）﹣90°＝135°﹣α； 当DF∥BC时，则∠ADF＝∠B＝α， ∴由折叠可得，， ∵∠EDG＝90°， ∴； 当DE∥BC时，则∠ADE＝∠B＝α， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADE﹣∠EDG＝90°﹣α， 综上：∠BDG的度数为135°﹣α或或90°﹣α． =▌题型04 落点在顶点处 在△ABC中，将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE。 【典例1】（2025秋•武昌区月考）如图，已知△ABC中，∠BAC＝132°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为（　　） A．84° B．94° C．90° D．70° 【分析】根据折叠得到∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C，结合三角形内角和求出∠DAE的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣132°＝48°， ∵折叠， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝132°﹣48°＝84°． 故选：A． 【变式1-1】（2026春•南京校级期末）折叠△ABC纸片，使点B，C均与点A重合，折痕交直线BC于点D，E．若∠DAE＝30°，则∠BAC＝　75或105或15　 °． 【分析】由折叠得∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，所以∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C，再分三种情况讨论，一是∠BAC＞∠DAE，且点E在点D的左侧，则∠DAB+∠EAC＝∠BAC+∠DAE，所以∠B+∠C＝∠BAC+∠DAE，由∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∠DAE＝30°，得180°﹣∠BAC＝∠BAC+30°，求得∠BAC＝75°；二是∠BAC＞∠DAE，且点E在点D的右侧，则∠DAB+∠EAC＝∠BAC﹣∠DAE，所以∠B+∠C＝∠BAC﹣∠DAE，则180°﹣∠BAC＝∠BAC﹣30°，求得∠BAC＝105°；三是∠BAC＜∠DAE，由∠EAC＝∠ECA，∠DAB＝∠B，得∠EAC﹣∠DAB＝∠ECA﹣∠B＝∠BAC，而∠EAC﹣∠DAB＝∠DAE+∠CAD﹣（∠BAC+∠CAD）＝30°﹣∠BAC，所以∠BAC＝30°﹣∠BAC，求得∠BAC＝15°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵折叠△ABC纸片，使点B，C均与点A重合，折痕交直线BC于点D，E， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C， ∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C， 如图1，∠BAC＞∠DAE，且点E在点D的左侧， ∵∠DAB+∠EAC＝∠BAC+∠DAE， ∴∠B+∠C＝∠BAC+∠DAE， ∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∠DAE＝30°， ∴180°﹣∠BAC＝∠BAC+30°， ∴∠BAC＝75°； 如图2，∠BAC＞∠DAE，且点E在点D的右侧， ∵∠DAB+∠EAC＝∠BAC﹣∠DAE， ∴∠B+∠C＝∠BAC﹣∠DAE， ∴180°﹣∠BAC＝∠BAC﹣30°， ∴∠BAC＝105°； 如图3，∠BAC＜∠DAE，∵∠EAC＝∠ECA，∠DAB＝∠B， ∴∠EAC﹣∠DAB＝∠ECA﹣∠B＝∠BAC， ∵∠EAC﹣∠DAB＝∠DAE+∠CAD﹣（∠BAC+∠CAD）＝30°﹣∠BAC， ∴∠BAC＝30°﹣∠BAC， ∴∠BAC＝15°， 故答案为：75或105或15． 【变式1-2】（2025秋•荔湾区校级期中）人教版初中数学教科书八年级上册第86页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，下面方框中是部分原文： 如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折痕交BC于点E，则∠C＝∠ADE． ∵∠ADE＞∠B（想一想为什么）， ∴∠C＞∠B． （1）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在△ABC中，DE＝DB，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数． 【分析】（1）由折叠可知BF＝CF，在△ACE中，根据三角形三边之间的关系得AF+CF＞AC，进而得BF+AF＞AC，由此即可得出结论； （2）根据DE＝DB，设∠B＝∠DEB＝α，由三角形外角性质得∠ADE＝2α，由折叠可知∠C＝∠ADE＝2α，∠CAE＝∠DAE，设∠CAE＝∠DAE＝β，在△ABE中，由三角形内角和定理得∠B+∠DAE＝70°，即β＝70°﹣α根据EM∥AC得∠BEM＝∠C＝2α，∠MEA＝∠DAE＝β，由此得∠DEM＝∠BEM﹣∠DEB＝α，再根据∠BEA＝∠BEM+∠MEA＝2α+β＝110°，据此得α＝40°，进而可得∠DEM的度数． 【解答】（1）证明：由折叠可知：BF＝CF， 在△ACE中，根据三角形三边之间的关系得：AF+CF＞AC， ∴BF+AF＞AC， 即AB＞AC； （2）∵DE＝DB， ∴设∠B＝∠DEB＝α， ∵∠ADE是△DBE的外角， ∴∠ADE＝∠B+∠DEB＝2α， 由折叠可知：∠C＝∠ADE＝2α，∠CAE＝∠DAE， 设∠CAE＝∠DAE＝β， 在△ABE中，∠BEA＝110°， ∴∠B+∠DAE＝180°﹣∠BEA＝70°， ∴α+β＝70°， ∴β＝70°﹣α ∵EM∥AC， ∴∠BEM＝∠C＝2α，∠MEA＝∠DAE＝β， ∴∠DEM＝∠BEM﹣∠DEB＝2α﹣α＝α， ∵∠BEA＝∠BEM+∠MEA＝2α+β＝110°， ∴2α+70°﹣α＝110°， 解得：α＝40°， ∴∠DEM＝α＝40°， 故∠DEM的度数为40°． 【变式1-3】（2026春•宝安区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点． （1）如图1，点H为BC上一点，将△ABC沿DH折叠使点B落在点C处，如果△ADC是等边三角形，那么∠B＝　30　 °； （2）在（1）的条件下，点E为射线BC上一动点，以线段AE为边，在其左侧作等边△AEF． ①如图2，点F在射线BC的下方，若∠AEC＝50°，请求出∠FAC的值； ②如图3，记射线DC与线段AF的交点为G，连接DF，在点E的运动过程中，当△DGF为等腰三角形时，请求出∠DGF的度数． 【分析】（1）根据等边三角形每个角都是60°，与直角三角形两锐角互余进行求解； （2）①利用等边三角形每个角都是60°，与直角三角形两锐角互余进行求解；②结合两个等边三角形能够得出全等的三角形，在分类讨论求解． 【解答】解：（1）∵△ADC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣60°＝30°， 故答案为：30． （2）①在等边AEF中，∠FAE＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝90， ∵∠AEC＝50°， ∴∠EAC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠FAC＝60°﹣40°＝20°； ②由（1）可知△ADC和△AFE均为等边三角形， ∴AD＝AC，AF＝AE，∠ADC＝∠DAC＝∠FAE＝60°， ∴∠DAF＝∠CAE， ∴△DAF≌△CAE（SAS）， ∴∠ADF＝∠ACE， ∵∠ACE＝90， ∴∠ADF＝90°， ∴∠GDF＝90°﹣60°＝30°， 当DF＝DG时，∠DGF＝∠DFG75°， 当GD＝GF时，∠GDF＝∠GFD＝30°，∴∠GDF＝180°﹣2×30°＝120°， 综上，当△DGF为等腰三角形时，∠DGF＝75°或120°． ▌题型05 多次折叠问题 1. 定序：分清折叠先后顺序，题干顺序即为操作顺序，不可逆。 2. 标记：折叠一次，标注一组等角、等边；建议使用圆弧标记角，线段做短划线。 3. 定位：观察最后一次折叠的落点（边上、内部、外部），选用对应的基础模型。 4. 列式：角度采用设参倒角。 【典例1】（2025秋•临沂月考）如图，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（　　）度． A．90 B．180 C．270 D．360 【分析】设将∠A折叠的折痕为EF，则180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝∠A，由∠A′EF＝∠AEF，∠A′FE＝∠AFE，得∠AEA′＝2∠AEF，∠AFA′＝2∠AFE，则∠1+∠2＝2×180°﹣2∠AEF﹣2∠AFE＝2（180°﹣∠AEF﹣∠AFE）＝2∠A，同理∠3+∠4＝2∠B，∠5+∠6＝2∠C，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2（∠A+∠B+∠C）＝360°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△AEF中，∠A+∠AEF+∠AFE＝180°， ∴180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝∠A， 由折叠得∠A′EF＝∠AEF，∠A′FE＝∠AFE， ∴∠AEA′＝2∠AEF，∠AFA′＝2∠AFE， ∴∠1+∠2＝2×180°﹣2∠AEF﹣2∠AFE＝2（180°﹣∠AEF﹣∠AFE）＝2∠A， 同理∠3+∠4＝2∠B，∠5+∠6＝2∠C， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2（∠A+∠B+∠C）， ∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2×180°＝360°， 故选：D． 【变式1-1】（2026春•细河区期末）如图，把三角形纸片ABC分别沿DE，MN所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若∠BAC＝100°，则∠DAM的度数为　20°　 ． 【分析】由∠BAC＝100°，求得∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，由折叠得∠BAD＝∠B，∠CAM＝∠C，则∠BAD+∠CAM＝∠B+∠C＝80°，由80°+∠DAM＝100°，求得∠DAM＝20°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°， ∵将△ABC分别沿DE，MN所在直线折叠，点B，C都与点A重合， ∴∠BAD＝∠B，∠CAM＝∠C， ∴∠BAD+∠CAM＝∠B+∠C＝80°， ∵∠BAD+∠CAM+∠DAM＝∠BAC＝100°， ∴80°+∠DAM＝100°， ∴∠DAM＝20°， 故答案为：20°． 【变式1-2】（2026春•南京期末）如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝　96°　 ． 【分析】先根据三角形外角的性质及∠1+∠2＝228°求出∠A′的度数，进而可得出∠A的度数，由三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE的度数，由折叠的性质得出∠AEF+∠ADG的度数，进而可得出结论． 【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝228°，∠1＝∠A′+∠A′NM，∠2＝A′+∠A′MN， ∴2∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝228°， ∵∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝180°， ∴∠A′＝228°﹣180°＝48°， ∴∠A＝∠A′＝48°， ∴∠AED+∠ADE＝180°﹣48°＝132°， ∴∠AEF+∠ADG＝2（∠AED+∠ADE）＝2×132°＝264°， ∴∠3+∠4＝360°﹣264°＝96°． 故答案为：96°． 【变式1-3】（2025秋•临湘市期末）已知：平面内四点A，B，C，D，有∠ABC＝∠BCD＝90°，点E在线段BC上移动，点F在线段AB上移动，点G在线段CD上移动，将△BEF以EF为折痕折叠，点B落在B'处，将△CEG以EG为折痕折叠，点C落在C′处． （1）如图1，点E，B′，C′在同一直线上，∠BEF＝75°，求∠CEG的度数； （2）如图2，∠BEF＝50°，∠B'EC'＝20°，求∠CEG的度数； （3）如图3，点B'落在C′G上，∠BEF＝46°，∠CEG＝54°，求∠EB'C'的度数． 【分析】（1）由折叠可得∠BEF＝∠B′EF＝75°，∠CEG＝∠C′EG，再根据平角的定义得到∠B′EB+∠C′EC＝180°得到∠C′EC＝30°，即可得到； （2）由折叠得到∠BEF＝∠B′EF＝50°，∠CEG＝∠C′EG，再由平角得到∠B′EB+∠B′EC′+∠C′EC＝180°求出∠C′EC＝60°，即可得到； （3）由折叠得到∠B′EB＝2∠BEF＝92°，∠C′EC＝2∠CEG＝108°，再由平角求出∠B′EC′＝∠B′EB+∠C′EC﹣180°＝20°，最后根据∠C′+∠B′EC′+∠EB′C′＝180°，∠C′＝90°求解即可． 【解答】解：（1）由折叠可得∠BEF＝∠B′EF＝75°，∠CEG＝∠C′EG， ∴∠B′EB＝2∠BEF＝2×75°＝150°，∠C′EC＝2∠CEG， ∵∠B′EB+∠C′EC＝180°， ∴∠C′EC＝180°﹣150°＝30°， ∴； （2）由折叠得到∠BEF＝∠B′EF＝50°，∠CEG＝∠C′EG， ∴∠B′EB＝2∠BEF＝2×50°＝100°， ∵∠B′EB+∠B′EC′+∠C′EC＝180°，且∠B′EC′＝20°， ∴∠C′EC＝60°， ∴； （3）∵∠BEF＝46°，∠CEG＝54°， ∴由折叠得到∠B′EB＝2∠BEF＝2×46°＝92°，∠C′EC＝2∠CEG＝2×54°＝108°， ∴∠B′EC′＝∠B′EB+∠C′EC﹣180°＝20°， ∵∠C′+∠B′EC′+∠EB′C′＝180°，∠C′＝90°， ∴∠EB′C′＝70°． ▌题型06 折叠与平行问题 1. 定折痕：找准翻折顶点，标记折叠对应的相等角； 2. 找平行：圈出相互平行的两条直线，选取合适的倒角； 3. 代换：两组等角进行等量传递，识别等腰三角形； 4. 作答：角度题使用内角和求值。 【典例1】（2026春•玉泉区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝97°，∠B＝31°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，点B落在B′处，若B′D∥AC，则∠BDC＝　116°　 ． 【分析】依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到∠BCD的度数，再根据三角形内角和定理，即可得出结论． 【解答】解：由折叠可得∠B'＝∠B＝31°， ∵B′D∥AC， ∴∠ACB'＝∠B'＝31°， 又∵∠ACB＝97°， ∴∠BCB'＝66°， 由折叠可得，∠BCD∠BCB'＝33°， ∴△BCD中，∠BDC＝180°﹣31°﹣33°＝116°． 故答案为：116°． 【变式1-1】（2026•鼓楼区校级二模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D为AB上一点，将△BCD沿CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是　25　 °． 【分析】由平行线的性质和折叠的性质得到∠CDB与∠BCD间关系，再由三角形的内角和定理先求出∠DCB，利用角的和差关系求出∠ACD的度数． 【解答】解：∵△ECD是由△BCD折叠的， ∴△ECD≌△BCD． ∴∠ECD＝∠BCD． ∵CE∥AB， ∴∠ECD＝∠CDB． ∴∠CDB＝∠BCD． ∵∠CDB+∠BCD+∠B＝180°，∠B＝50°， ∴∠DCB65°． ∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣65°＝25°． 故答案为：25． 【变式1-2】（2026春•宿城区期末）如图，在△ABC中，∠B＝20°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∠ADC＝100°． （1）求证：AB∥DE． （2）若AE恰好平分∠BAD，求∠E的度数． 【分析】（1）先根据邻补角的定义和已知条件求出∠ADB，再根据折叠得到∠ADE，从而求出∠BDE的度数，最后根据平行线的判定进行证明即可； （2）先根据三角形外角的性质和已知条件，求出∠BAD，再根据角平分线的定义求出∠BAE，最后根据平行线的性质求出答案即可． 【解答】证明（1）∵∠ADC+∠ADB＝180°，∠ADC＝100°， ∴∠ADB＝180°﹣100°＝80°， 由折叠可知：∠ADC＝∠ADE＝100°， ∵∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝100°， ∴∠BDE＝100°﹣80°＝20°， ∵∠B＝20°， ∴∠B＝∠BDE， ∴AB∥DE； 解：（2）∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝100°，∠B＝20°， ∴∠BAD＝100°﹣20°＝80°， ∵AE恰好平分∠BAD， ∴， ∵AB∥DE， ∴∠E＝∠BAE＝40°． 【变式1-3】（2026春•平顺县期末）在数学社团的手工课上，老师给每位同学发了一张直角三角形纸片ABC，其中∠C＝90°．小明想通过折叠，在纸片上折出一个对称的图形．他先在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，然后将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，如图所示． （1）如图1，若小明测得∠CEF＝26°，则∠AED＝ 　103　 °； （2）如图2，DF交AC于点O，∠BDF的平分线交线段BC于点G，若BC∥DF，求证：∠ADG＝∠DEF． （3）已知∠B＝α且α＞45°，∠BDF的平分线交射线BC于点G，当△FDE的一条边与BC平行时，直接写出∠BDG的度数（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）由折叠可得∠DEF＝∠DEA，设∠DEC＝x，再由邻补角互补建立方程求解即可； （2）先证明∠2+∠3＝90°，然后利用折叠的性质以及三角形的外角证明即可； （3）分三种情况作出图形，然后根据折叠的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【解答】（1）解：由折叠可得，∠DEF＝∠DEA， 设∠DEC＝x，则∠DEF＝∠DEA＝∠CEF+∠DEC＝26°+x ∵∠DEA+∠DEC＝180°， ∴26°+x+x＝180°， 解得x＝77°， ∴∠AED＝77°+26°＝103°； 故答案为：103°； （2）证明：如图， 由折叠可得，∠1＝∠2，∠DEF＝∠DEA， ∵DG平分∠BDF， ∴∠3＝∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝∠EDG＝90°， ∴∠ADG＝∠1+∠2+∠3＝90°+∠1， ∵∠C＝90°，BC∥DF， ∴∠AOD＝∠C＝90°， ∵∠DEA＝∠2+∠AOD＝90°+∠2， ∴∠DEF＝90°+∠2， ∴∠ADG＝∠DEF； （3）解：同（2）可得，∠EDG＝90°， 当EF∥BC时，∠FEC＝∠ACB＝90°， ∴∠AEF＝90°， 由折叠可得，∠DEF＝∠DEA， ∵∠DEF+∠DEA+∠AEF＝360°， ∴∠DEA＝∠DEF＝135°， ∵∠ACB＝90°，∠B＝α， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠DEA＝180°﹣（90°﹣α）﹣135°＝α﹣45°， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADE﹣∠EDG＝180°﹣（α﹣45°）﹣90°＝135°﹣α； 当DF∥BC时，则∠ADF＝∠B＝α， ∴由折叠可得，， ∵∠EDG＝90°， ∴； 当DE∥BC时，则∠ADE＝∠B＝α， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADE﹣∠EDG＝90°﹣α， 综上：∠BDG的度数为135°﹣α或或90°﹣α． ▌题型07 折叠相关的综合性问题 1. 识图：找准翻折顶点、折痕、折叠之后的落点； 2. 标注：标出相等线段、相等内角； 3. 辨模：判定属于单一模型还是复合模型，选用二级结论； 4. 构图：题干没有给出图形的综合题，依据约束条件画出全部情况； 5. 列式：角度采用倒角；存在性逐类验证。 【典例1】（2026春•建平县期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，将三角形纸片折叠，使点B的对应点B′落在AC上，折痕与BC，AB分别相交于点E、F，当△AFB′为等腰三角形时，∠BEF的度数为 　69°或90°或48°　 ． 【分析】先求出∠A＝32°，由折叠的性质得∠BFE＝∠B'FE，再分三种情况讨论如下：①当AF＝AB'时，则∠AFB'＝∠AB'F＝74°，进而得∠BFB'＝106°，再根据∠BFE＝∠B'FE即可得出答案；②当AF＝B'F时，此时点B'与点C重合，则∠AB'F＝∠A＝32°，进而得∠AFB'＝116°，∠BFB'＝64°，再根据∠BFE＝∠B'FE即可得出答案；③当AB'＝B'F时，则∠AFB'＝∠A＝32°，进而得∠BFB'＝148°，再根据∠BFE＝∠B'FE即可得出答案，综上所述即可得出∠BEF的度数． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°， ∴∠A＝180°﹣（∠C+∠B）＝32°， 由折叠的性质得：∠BFE＝∠B'FE， 当△AFB′为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当AF＝AB'时，如图1所示： ∴∠AFB'＝∠AB'F（180°﹣∠A）（180°﹣32°）＝74°， ∴∠BFB'＝180°﹣∠AFB'＝106°， ∴∠BFE＝∠B'FE∠BFB'＝53°， ∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠B）＝180°﹣（53°+58°）＝69°； ②当AF＝B'F时，此时点B'与点C重合，如图2所示： ∴∠AB'F＝∠A＝32°， ∴∠AFB'＝180°﹣（∠AB'F+∠A）＝116°， ∴∠BFB'＝180°﹣∠AFB'＝64°， ∴∠BFE＝∠B'FE∠BFB'＝32°； ∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠B）＝180°﹣（32°+58°）＝90°； ③当AB'＝B'F时，如图3所示： ∴∠AFB'＝∠A＝32°， ∴∠BFB'＝180°﹣∠AFB'＝148°， ∴∠BFE＝∠B'FE∠BFB'＝74°， ∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠B）＝180°﹣（74°+58°）＝48°， 综上所述：∠BEF的度数为69°或90°或48°． 【变式1-1】（2025秋•望花区期末）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F． （1）【问题呈现】如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数； （2）【问题推广】如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数． 【分析】（1）先证明，，即可求出结论； （2）先求出∠AMF+∠ANF＝200°，∠AMN+∠ANM＝100°，得出∠A＝80°，结合（1）即可求出结论． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F， ∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB， ∴2∠FBC+2∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∵∠BFD是△FBC的一个外角， ∴根据三角形外角的性质可得，； ∵∠A＝100°， ∴， 则∠BFD的度数为40°； （2）∵∠AMF＝180°﹣∠1，∠ANF＝180°﹣∠2，∠1+∠2＝160°， ∴∠AMF+∠ANF＝360°﹣（∠1+∠2）＝200°， 由折叠性质得：∠AMF＝2∠AMN，∠ANF＝2∠ANM， ∴2∠AMN+2∠ANM＝∠AMF+∠ANF＝200°， ∴∠AMN+∠ANM＝100°， ∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝80°， 由（1）得：∠FBC+∠FCB＝90°∠A＝90°80°＝90°﹣40°＝50°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣50°＝130°； ∠BFC的度数为130°． 【变式1-2】（2026春•绿园区校级期中）教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容． 如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数． 解：∵BP平分∠ABC（已知）， ∴． 同理可得∠PCB＝　25　 °． ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180° 　（三角形内角和定理）　 ， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质） ＝180°﹣40°﹣　25°　 ＝　115°　 ． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝96°，则∠BPC＝　114　 度． （3）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝82°，则∠PBH＝　49　 度． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到∠AED+∠ADE＝130°，进而求出∠A＝50°，同（1）即可得到答案； （3）先由角平分线的定义得到∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP＝∠BAP+41°，根据三角形内角和定理推出∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝40°，再由垂线的定义得到∠BHP＝90°，则∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝49°． 【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC（已知）， ∴． 同理可得∠PCB＝25°． ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质） ＝180°﹣40°﹣25° ＝115°． 故答案为：25，（三角形内角和定理），25°，115°； （2）由折叠的性质可得∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE， ∵∠1+∠AEP＝180°，∠2+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝96°， ∴2∠AED+2∠ADE＝264°， ∴∠AED+∠ADE＝132°， ∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝48°， ∵∠A＝48°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝132°， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB， ∴2∠PBC+2∠PCB＝132°， 即∠PBC+∠PCB＝66°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝114°， 故答案为：114； （3）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM， ∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP， ∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB， ∴∠CBP＝∠BAP+41°， ∵∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC， ∴∠ABC＝98°﹣2∠BAP， ∵∠ABC+∠CBP+∠BAP+∠P＝180°， ∴∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABC﹣∠CBP＝41°， ∵BH⊥AP， 即∠BHP＝90°， ∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝49°； 故答案为：49． 【变式1-3】阅读材料，并回答下列问题： 如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置； 如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置． 像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．班里几个学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论． （1）如图2，前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF，若AF＝7，DC＝3，则平移的距离为　2　 ； （2）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，且得出一个结论：∠1+∠2＝2∠DA′E．请你对这个结论给出证明； （3）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，那么此时（2）中的结论：∠1+∠2＝2∠DA′E还仍然成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，写出正确结论并证明． 【分析】（1）依据题意可知AD＝CF＝平移距离，进而容易得解； （2）由题意易得∠A′DE（180°﹣∠1），∠A′ED（180°﹣∠2），进而利用三角形内角和推导即可； （3）参考（2）思路求证即可． 【解答】（1）解：∵AF＝7，CD＝3， ∴AD+CF＝AF﹣CD＝4， ∵AD＝CF＝平移距离， ∴AD＝CF＝2， 故答案为：2； （2）证明：方法一：由折叠知：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠A′DE（180°﹣∠1），∠A′ED（180°﹣∠2）， 在△DEA′中，∠DA′E+∠A′DE+∠A′ED＝180°； ∴∠DA′E（180°﹣∠1）（180°﹣∠2）＝180°， ∴∠DA′E∠1∠2， ∴∠1+∠2＝2∠DA′E． 方法二：连接AA′． 由折叠知：∠DAE＝∠DA′E ∵∠1，∠2分别是△A′AD和△A′AE的外角， ∴∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠2＝∠EA′A+∠EAA′， ∴∠1+∠2 ＝∠DA′A+∠DAA′+∠EA′A+∠EAA′ ＝（∠DA′A+∠EA′A）+（∠DAA′+∠EAA′） ＝∠DA′E+∠DAE ＝2∠DA′E， （3）解：不成立，正确结论是∠1﹣∠2＝2∠DA′E． 证明如下： 方法一：由折叠知：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠A′DE（180°﹣∠1），∠A′ED（180°+∠2）， 在△DEA′中，∠DA′E+∠A′DE+∠A′ED＝180°； ∴∠DA′E（180°﹣∠1）（180°+∠2）＝180°， ∴∠DA′E∠1∠2， ∴∠1﹣∠2＝2∠DA′E． 方法二：连接AA′． 由折叠知：∠DAE＝∠DA′E， ∵∠1，∠2分别是△A′AD和△A′AE的外角， ∴∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠2＝∠EA′A+∠EAA′， ∴∠1﹣∠2＝∠DA′A+∠DAA′﹣（∠EA′A+∠EAA′） ＝（∠DA′A﹣∠EA′A）+（∠DAA′﹣∠EAA′） ＝∠DA′E+∠DAE ＝2∠DA′E． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 与三角形有关的折叠问题 （题型突破·举一反三） 题型01 落点在三角形内部 题型02 落点在三角形边上 题型03 落点在三角形外部 题型04 落点在三角形顶点处 题型05 多次折叠问题 题型06 折叠与平行问题 题型07 折叠相关的综合性问题 ▌题型01 落点在三角形内部 如图，△ABC沿着折叠，则。 【典例1】（2025秋•泰安校级期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠A＝40°，则∠1+∠2的度数为 　 　 ． 【变式1-1】（2026春•达州期中）在△ABC中，∠B＝40°，将△ABC沿直线DE折叠，点B与点B1重合，则∠ADB1+∠CEB1的度数为（　　） A．30° B．80° C．60° D．100° 【变式1-2】（2025秋•金安区校级期末）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 【变式1-3】（2025秋•蓬莱区期末）如图，△ABC是一张纸片，把∠C沿DE折叠，使点C落在点C′的位置． （1）当∠C＝45°时，求∠1+∠2的度数． （2）若∠C＝α，求∠1+∠2的度数．（用含α的代数式表示） ▌题型02 落点在三角形边上 如图，在△ABC中，点、分别是△ABC边上两点，若沿直线折叠，则。 【典例1】（2026春•肇源县校级期末）如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC上一点，将△ABC沿MN折叠，使点A落在边BC上，若∠1+∠2+∠3+∠4＝235°，则∠A＝（　　） A．35° B．45° C．65° D．55° 【变式1-1】（2026春•宽城区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝21°，则∠BDC等于（　　） A．42° B．63° C．66° D．76° 【变式1-2】（2026春•五华县期末）如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF＝70°，则∠A的度数为（　　） A．70° B．65° C．80° D．75° 【变式1-3】（2026春•青岛期中）如图，在三角形纸片ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC，∠BDF＝68°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．72° C．79° D．82° ▌题型03 落点在三角形外部 如图，在△ABC中，点、分别是△ABC边上两点，若沿直线折叠，则。 【典例1】（2026春•丹阳市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，点F、G是边BC上的两点，分别以线段AF、AG为折痕进行折叠，点B、点C的对应点分别为点B'、点C'，若线段AB'、AC'在同一条直线上，则∠FAG的度数为（　　） A．54° B．59° C．64° D．69° 【变式1-1】（2026•莲池区二模）如图，把等边△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝40°，则∠2是（　　） A．50° B．55° C．60° D．58° 【变式1-2】（2026春•浚县月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝70°，点D是边AB上一定点，过点D将△ABC 折叠，使点A落在AC下方的点A'处，折痕DE与边AC交于点E．当BC与∠A'的一边平行时，∠A′ED的度数为 　 　 ． 【变式1-3】（2026春•平顺县期末）在数学社团的手工课上，老师给每位同学发了一张直角三角形纸片ABC，其中∠C＝90°．小明想通过折叠，在纸片上折出一个对称的图形．他先在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，然后将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，如图所示． （1）如图1，若小明测得∠CEF＝26°，则∠AED＝ 　 　 °； （2）如图2，DF交AC于点O，∠BDF的平分线交线段BC于点G，若BC∥DF，求证：∠ADG＝∠DEF． （3）已知∠B＝α且α＞45°，∠BDF的平分线交射线BC于点G，当△FDE的一条边与BC平行时，直接写出∠BDG的度数（用含α的代数式表示）． =▌题型04 落点在三角形顶点处 在△ABC中，将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE。 【典例1】（2025秋•武昌区月考）如图，已知△ABC中，∠BAC＝132°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为（　　） A．84° B．94° C．90° D．70° 【变式1-1】（2026春•南京校级期末）折叠△ABC纸片，使点B，C均与点A重合，折痕交直线BC于点D，E．若∠DAE＝30°，则∠BAC＝　 　°． 【变式1-2】（2025秋•荔湾区校级期中）人教版初中数学教科书八年级上册第86页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，下面方框中是部分原文： 如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折痕交BC于点E，则∠C＝∠ADE． ∵∠ADE＞∠B（想一想为什么）， ∴∠C＞∠B． （1）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？同学小雅提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折线交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在△ABC中，DE＝DB，按照图1的方式进行折叠，得到折痕AE，过点E作AC的平行线交AB于点M，若∠BEA＝110°，求∠DEM的度数． 【变式1-3】（2026春•宝安区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点． （1）如图1，点H为BC上一点，将△ABC沿DH折叠使点B落在点C处，如果△ADC是等边三角形，那么∠B＝°； （2）在（1）的条件下，点E为射线BC上一动点，以线段AE为边，在其左侧作等边△AEF． ①如图2，点F在射线BC的下方，若∠AEC＝50°，请求出∠FAC的值； ②如图3，记射线DC与线段AF的交点为G，连接DF，在点E的运动过程中，当△DGF为等腰三角形时，请求出∠DGF的度数． ▌题型05 多次折叠问题 1. 定序：分清折叠先后顺序，题干顺序即为操作顺序，不可逆。 2. 标记：折叠一次，标注一组等角、等边；建议使用圆弧标记角，线段做短划线。 3. 定位：观察最后一次折叠的落点（边上、内部、外部），选用对应的基础模型。 4. 列式：角度采用设参倒角。 【典例1】（2025秋•临沂月考）如图，把一个三角形纸片ABC的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝（　　）度． A．90 B．180 C．270 D．360 【变式1-1】（2026春•细河区期末）如图，把三角形纸片ABC分别沿DE，MN所在直线折叠，使得点B，C都与点A重合，若∠BAC＝100°，则∠DAM的度数为　 　 ． 【变式1-2】（2026春•南京期末）如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝228°，则∠3+∠4＝　 　 ． 【变式1-3】（2025秋•临湘市期末）已知：平面内四点A，B，C，D，有∠ABC＝∠BCD＝90°，点E在线段BC上移动，点F在线段AB上移动，点G在线段CD上移动，将△BEF以EF为折痕折叠，点B落在B'处，将△CEG以EG为折痕折叠，点C落在C′处． （1）如图1，点E，B′，C′在同一直线上，∠BEF＝75°，求∠CEG的度数； （2）如图2，∠BEF＝50°，∠B'EC'＝20°，求∠CEG的度数； （3）如图3，点B'落在C′G上，∠BEF＝46°，∠CEG＝54°，求∠EB'C'的度数． ▌题型06 折叠与平行问题 1. 定折痕：找准翻折顶点，标记折叠对应的相等角； 2. 找平行：圈出相互平行的两条直线，选取合适的倒角； 3. 代换：两组等角进行等量传递，识别等腰三角形； 4. 作答：角度题使用内角和求值。 【典例1】（2026春•玉泉区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝97°，∠B＝31°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，点B落在B′处，若B′D∥AC，则∠BDC＝　 　 ． 【变式1-1】（2026•鼓楼区校级二模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D为AB上一点，将△BCD沿CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是　 　 °． 【变式1-2】（2026春•宿城区期末）如图，在△ABC中，∠B＝20°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，∠ADC＝100°． （1）求证：AB∥DE． （2）若AE恰好平分∠BAD，求∠E的度数． 【变式1-3】（2026春•平顺县期末）在数学社团的手工课上，老师给每位同学发了一张直角三角形纸片ABC，其中∠C＝90°．小明想通过折叠，在纸片上折出一个对称的图形．他先在边AB上取一点D，在边AC上取一点E，然后将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，如图所示． （1）如图1，若小明测得∠CEF＝26°，则∠AED＝ 　 　 °； （2）如图2，DF交AC于点O，∠BDF的平分线交线段BC于点G，若BC∥DF，求证：∠ADG＝∠DEF． （3）已知∠B＝α且α＞45°，∠BDF的平分线交射线BC于点G，当△FDE的一条边与BC平行时，直接写出∠BDG的度数（用含α的代数式表示）． ▌题型07 折叠相关的综合性问题 1. 识图：找准翻折顶点、折痕、折叠之后的落点； 2. 标注：标出相等线段、相等内角； 3. 辨模：判定属于单一模型还是复合模型，选用二级结论； 4. 构图：题干没有给出图形的综合题，依据约束条件画出全部情况； 5. 列式：角度采用倒角；存在性逐类验证。 【典例1】（2026春•建平县期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，将三角形纸片折叠，使点B的对应点B′落在AC上，折痕与BC，AB分别相交于点E、F，当△AFB′为等腰三角形时，∠BEF的度数为 　 　 ． 【变式1-1】（2025秋•望花区期末）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F． （1）【问题呈现】如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数； （2）【问题推广】如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数． 【变式1-2】（2026春•绿园区校级期中）教材呈现：华师版义务教育教科书数学七下第82页的部分内容． 如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数． 解：∵BP平分∠ABC（已知）， ∴． 同理可得∠PCB＝　 　 °． ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180° 　 　　 　 ， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质） ＝180°﹣40°﹣　 　 ＝　 　 ． （1）对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 问题推广： （2）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝96°，则∠BPC＝　 　 度． （3）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝82°，则∠PBH＝　 　 度． 【变式1-3】阅读材料，并回答下列问题： 如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置； 如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置． 像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．班里几个学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论． （1）如图2，前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF，若AF＝7，DC＝3，则平移的距离为　 　 ； （2）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，且得出一个结论：∠1+∠2＝2∠DA′E．请你对这个结论给出证明； （3）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，那么此时（2）中的结论：∠1+∠2＝2∠DA′E还仍然成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，写出正确结论并证明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $