专题05 与三角形有关的模型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形8类核心模型，通过“原理推导-典例解析-变式拓展”三阶训练，系统构建几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角高模型|1典3变|∠DAE=1/2(∠C-∠B)公式推导|从特殊到一般，结合角平分线与高线性质| |角平分线夹角|4题型8变式|内角/内外角/外角平分线夹角公式|三角形内角和定理的延伸应用| |飞镖/8字/A字模型|3模型6变式|角的等量代换与转化技巧|基本图形的识别与复合应用| |余角模型|1典3变|直角三角形中角的互余关系|从简单到复杂情境的迁移应用|

专题05 与三角形有关的模型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 角高模型 【典例1】 【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴（角平分线的性质）， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°（垂直的定义）， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∴． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝35°， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝15°． （2）同（1），可得，∠ADE＝75°， ∵FE⊥BC， ∴∠FEB＝90°， ∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝15°． （3）结论：∠DAE的度数大小不变． 证明：∵AE平分∠BEC， ∴∠AEB＝∠AEC， ∴∠C+∠CAE＝∠B+∠BAE， ∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE， ∴∠C+∠CAD﹣∠DAE＝∠B+∠BAD+∠DAE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴2∠DAE＝∠C﹣∠B＝30°， ∴∠DAE＝15°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°． 由角平分线定义可知： ． ∵AE为边BC上的高， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°． （2）∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD． 又∵△ADC的周长比△ABD的周长少2， ∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2， ∴AB﹣AC＝2， ∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC＝40°． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝25°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣25°＝15°． 故答案为：15°； （2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC＝90°∠B∠C， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝180°﹣（90°∠B∠C）﹣∠C＝90°∠B∠C． ∵PG⊥BC， ∴∠EPG＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（90°∠B∠C）∠C∠B． 故答案为：∠EPG∠C∠B； （3）由上述过程可知，∠EAD∠ACB∠B． ∵∠CAD＝90°﹣∠ACB且∠EAD＝∠CAD， ∴∠ACB∠B＝90°﹣∠ACB， 则∠ACB∠B+60°． ∵CP平分∠ACM， ∴∠PCG∠ACM（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB． ∵PG⊥BC， ∴∠CPG＝90°﹣∠PCG∠ACB． 又∵EP平分∠AEC， ∴∠PEC∠AEC． ∵∠EAC＝∠ACM﹣∠AEC，∠CPE＝∠PCG﹣∠PEC， ∴∠CPE（∠ACM﹣∠AEC）∠EAC． ∵∠EAC∠BAC＝90°∠B∠ACB， ∴∠CPE＝45°∠B∠ACB． ∵∠CPG（∠B+∠CPE）， ∴∠ACB（∠B+45°∠B∠ACB）， ∴∠B+60°）[∠B+45°∠B（∠B+60°）]， 解得∠B＝36°， ∴∠B的度数为36°． ▌题型02 两内角平分线的夹角 【典例1】 【解答】解：（1）∵△BCD的周长为：BC+CD+BD， △ACD的周长为：AC+CD+AD， ∴△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， 又∵BC＝3，AC＝2， ∴BC﹣AC+BD﹣AD＝3﹣2＝1， 即△BCD与△ACD的周长差为：1． 故答案为：1． （2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°， ∴∠ABE∠ABC62°＝31°， ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°； （3）在△ABC中，∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°， ∵BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB平分线， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）102°＝51°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， ∵△DBC的周长为25cm， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝25cm， ∴BC+AD+CD＝25cm， ∵BC﹣AC＝5cm， ∴AC＝BC﹣5cm， ∴△ADC的周长＝AC+AD+CD ＝BC﹣5+AD+CD ＝25﹣5 ＝20cm， 则△ADC的周长为20cm； （2）∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°（垂直的定义）， ∵BE是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°， ∴， ∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝90°+30°＝120°， 则∠BOC的度数为120°． 【变式1-2】 【解答】（1）解：∵∠OCD＝40°，∠AOB＝90°， ∴∠CDO＝50°， ∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO， ∴∠DCE＝∠OCE∠DCO，∠CDE＝∠ODE∠CDO， ∴∠DCE＝20°，∠CDE＝25°， ∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝135°； （2）证明：∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO， ∴∠DCE＝∠OCE∠DCO，∠CDE＝∠ODE∠CDO， ∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE ＝180°（∠DCO+∠CDO） ＝180°（180°﹣∠O） ＝180°﹣90°∠O ＝90°+45° ＝135°． ∵∠CED＝∠CFD+∠EDF，∠CFD＝180°﹣∠CFO， ∴∠CED＝180°﹣∠CFO+∠EDF， ∵∠CFO﹣∠GED＝45°， ∴∠CFO＝∠GED+45°， ∴∠CED＝180°﹣（∠GED+45°）+∠EDF， ∴135°＝∠180°﹣∠GED﹣45°+∠EDF， ∴∠GED＝∠EDF， ∴GE∥DO； （3）解：①当∠MCN＝3∠N时， ∵CM⊥CN， ∴∠MCN＝90°， ∴∠N∠MCN＝30°， ∴∠M＝60°． ∵∠COD＝90°， ∴∠DON＝45°， ∴∠COM＝45°． ∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝75°． ∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝15°． ∵CE平分∠DCO， ∴∠DCO＝2∠NCO＝30°， ∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝60°， ∵DE平分∠CDO， ∴∠CDE∠CDO＝30°； ②当∠M＝3∠N时， ∵CM⊥CN， ∴∠MCN＝90°， ∴∠M+∠N＝90°， ∴∠N＝22.5°，∠M＝67.5°， ∵∠COD＝90°， ∴∠DON＝45°， ∴∠COM＝45°． ∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝67.5°． ∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝22.5°． ∵CE平分∠DCO， ∴∠DCO＝2∠NCO＝45°， ∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝45°， ∵DE平分∠CDO， ∴∠CDE∠CDO＝22.5°． 综上，在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，∠CDE的度数为30°或22.5°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB． ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴，， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） ＝130°， 故答案为：130°； （2），理由如下， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝n°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°， ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴，， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） ； （3）在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， 由三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°， ∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． ▌题型03 一个内角和一个外角平分线的夹角 【典例1】 【解答】解：（1）由条件可知， ∵∠ABC＝80°， ∴∠CBM＝180°﹣∠ABC＝100°， ∵BP平分∠CBM， ∴， ∵∠PAB+∠APB＝∠PBM， ∴∠APB＝∠PBM﹣∠PAB＝20°； （2）由条件可知∠DAB+∠ABC＝（4﹣2）×180°﹣∠ADC﹣∠BCD＝120°， ∵AP平分∠DAB， ∴， ∵∠CBM＝180°﹣∠ABC，BP平分∠CBM， ∴， ∵∠PAB+∠APB＝∠PBM， ∴． 【变式1-1】 【解答】（1）证明：∵∠BFE是△ABF的外角， ∴∠BFE＝∠ABF+∠BAF， ∵∠BEF是△AEC的外角， ∴∠BEF＝∠C+∠CAE， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， 又∵∠ABF＝∠ABD，且∠ABD＝∠C， ∴∠ABF＝∠C， ∴∠BFE＝∠C+∠CAE， ∴∠BFE＝∠BEF； （2）解：∠HBC＝2∠H，理由如下： ∵∠GAC是△ABC的外角， ∴∠GAC＝∠ABC+∠C， ∵AH平分∠GAC， ∴∠GAB∠GAC（∠ABC+∠C）， ∵∠GAB是△ABH的外角， ∴∠GAB＝∠H+∠ABH， ∴∠H＝∠GAB﹣∠ABH， ∵∠ABH＝∠ABD＝∠C， ∴∠H（∠ABC+∠C）﹣∠C（∠ABC﹣∠C）， ∵∠HBC＝∠ABC﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠C， ∴∠H∠HBC， 即∠HBC＝2∠H． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由条件可知∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（50°+60°）＝70°， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠BCP＝35°， ∵DP平分∠ADE， ∴， 在Rt△DPG中，∠DPC＝180°﹣（∠PDG+∠PGD）＝180°﹣（30°+35°）＝115°； ∴∠QPC＝180°﹣∠DPC＝65°， ∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF， ∴，， ∴， ∵∠ACF+∠ACB＝180°， ∴∠PCQ＝90°， ∴∠Q＝180°﹣（∠PCQ+∠QPC）＝180°﹣（90°+65°）＝180°﹣155°＝25°， 故答案为：115；25； （2）不变，，，理由如下： ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP， ∴DP平分∠ADE，CP平分∠ACB， ∴，， ∴， ∵∠A＝α， ∴∠B+∠ACB＝180°﹣α， ∴， 在△DPG中，∠DPC＝180°﹣（90）＝90°， ∴∠QPC＝90°， 由（1）可知：∠PCQ＝90°， 在△PCQ中，∠Q＝180°﹣（180°）； （3）由（1）（2）可知：在△PCQ中，，，∠PCQ＝90°， ∴当若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍时，分以下4中情况讨论： ①当∠PCQ＝2∠Q时，则， 解得：α＝90°； ②当∠PCQ＝2∠QPC时，则， 解得：α＝90°； ③当∠QPC＝2∠Q时，则， 解得：α＝60°； ④当∠Q＝2∠QPC时，则， 解得：α＝120°， 综上所述：若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍时，∠A的度数为60°或90°或120°， 故答案为：60°或90°或120°． 【变式1-3】 【解答】解： （1）如图1中，结论：∠BAD＝∠BCE+∠ABC，∵DH∥EG， ∴∠1＝∠BCE， ∵∠DAB＝∠1+∠B， ∴∠BAD＝∠BCE+∠B． 故答案为：∠BAD＝∠BCE+∠B； （2）如图2中，结论：∠B＝2∠F． 理由：设∠B＝x，∠F＝y，∠BAF＝∠FAH＝n，∠FCB＝∠FCG＝m， ∵DH∥EG， ∴∠1＝∠GCF＝m＝n+y， 又∵x+n＝y+m， ∴x+n＝y+n+y， ∴x＝2y， 即∠B＝2∠F． （3）过点B作BN∥CM，设∠BAD＝m°，∠MCE＝∠MCB＝x，∠MBA＝∠MBC＝y．∵DH∥EG， ∴∠1＝∠BCE＝2x， ∴∠BAD＝∠1+∠ABC，即m＝2x+2y， ∵BN∥CM， ∴∠CBN＝∠BCM＝x， ∴∠MBN＝x+ym∠BAD．当点N在BC的右侧时，∠MBN＝180°m＝180°∠BAD． 故答案为：∠MBN∠BAD或∠MBN＝180°∠BAD． ▌题型04 两外角平分线的夹角 【典例1】 【解答】解：（1）由条件可知∠A＝180°﹣80°﹣48°＝52°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴， ∴， ∴∠P＝180°﹣64°＝116°， 故答案为：52，116； （2）．理由如下： 由条件可知， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 应用： 解：．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴，， ∴△BCQ中，， 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】 【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，且∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠ABP＝∠CBP∠ABC＝40°，∠ACP＝∠BCP∠ACB＝25°， ∵在△BPC中，∠BPC+∠CBP+∠BCP＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣40°﹣25°＝115°， ∴∠BPC的度数是115°． （2）∵∠CBE和∠BCF是△ABC的外角， ∴∠ABC+∠CBE＝180°，∠BCF+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠CBE+∠BCF+∠ACB＝360°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣（∠CBE+∠BCF）， ∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF， ∴∠CBE＝2∠CBD，∠BCF＝2∠BCD， ∴∠CBE+∠BCF＝2（∠CBD+∠BCD）， ∵∠BDC＝40°， ∴∠CBD+∠BCD＝180°﹣∠BDC＝140°， ∴∠CBE+∠BCF＝2×140°＝280°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣280°＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝100°， ∴∠A的度数是100°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）①由题意可知：， ∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝120°， 故答案为：120°； ②猜想，证明如下： ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A ∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴， ∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP ； （2）由题意可知：，， ∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC， ∴，， ∵∠CBQ+∠BCQ+∠Q＝180°， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴∠Q＝90°﹣（∠BPC﹣90°）＝180°﹣∠BPC； （3）由题意可知：， ∵∠ABC+∠CBM＝180°， ∴∠QBE， ∴∠E+∠Q＝90°， ∴， 由（2）知， 当∠Q＝3∠E， ∴， ∴2∠A＝90°， ∴∠A＝45°； 当∠E＝3∠Q， ∴， 解得：∠A＝135°， 综上可知：∠A的度数为45°或135°． 【变式1-3】 【解答】【问题】解：∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）100°＝50°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣50°＝130°； 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣n°）＝90°n°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（90°n°）＝90°n°； 探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°， ∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣n°）＝120°n°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（120°n°）＝60°n°； （2）∠BOC∠A． 理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC， ∠OCD＝∠BOC+∠OBC， ∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD， ∴∠A+∠ABC＝2（∠BOC+∠OBC）， ∴∠A＝2∠BOC， ∴∠BOC∠A； （3）∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点， ∴∠OBC（180°﹣∠ABC）＝90°∠ABC，∠OCB（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（90°∠ABC）﹣（90°∠ACB）（∠ABC+∠ACB）， 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC（180°﹣∠A）＝90°∠A． 故答案为：130°，90°n°；（1）60°n°． ▌题型05 规形图（飞镖模型） 【典例1】 【解答】（1）证明：延长BD交AC于E， ∵∠BDC＝∠C+∠CED， 又∵∠CED＝∠BAC+∠B， ∴∠BDC＝∠C+∠B+∠BAC； （2）解：∵由（1）知∠BOC＝∠ABE+∠ACD+∠A， 又∵∠ABE∠ABC，∠ACD∠ACB， ∴∠ABE+∠ACD （∠ABC+∠ACB） （180﹣∠A）120＝60°， ∴∠BOC＝120°； （3）∠BOC与∠A的关系：∠BOC＝90°∠A． 理由如下：由（2）得∠BOC（180°﹣∠A）+∠A＝90°∠A． 【变式1-1】 【解答】解：（1）作射线AO， ∵∠3是△ABO的外角， ∴∠1+∠B＝∠3，① ∵∠4是△AOC的外角， ∴∠2+∠C＝∠4，② ①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4， 即∠BOC＝∠A+∠B+∠C； （2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④， ③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°， 即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°． 【变式1-2】 【解答】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是： 过点A、D作射线AF， ∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD， ∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）∵∠BXC＝90°， 由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠BXC＝90°， ∵∠A＝36°， ∴∠ABX+∠ACX＝54°； ②∵∠A＝40°，∠DBE＝130°， ∴∠ADB+∠AEB＝130°﹣40°＝90°， ∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB， ∴， ∴， ∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）如图，连接AP并延长至点F， 根据外角的性质，可得 ∠BPF＝∠BAP+∠B，∠CPF＝∠C+∠CAP， 又∵∠BPC＝∠BPF+∠CPF，∠BAC＝∠BAP+∠CAP， ∴∠BPC＝∠A+∠B+∠C； （2）①结论：∠BPC＝90°∠A． 理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠BPC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A； 迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y， ∵∠P＝100°， ∴x+y＝80°， ∴2x+2y＝160°， ∴∠OBC＝180°﹣160°＝20°， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABC＝40°， ∵∠A＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°； 故答案为：∠BPC＝90°∠A，60°； ②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD， ∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP， 四边形BPDC中，∠P∠ABD∠ACD+360°﹣∠D＝360°， ∴∠ABD∠ACD＝∠D﹣∠P， 在四边形ABPC中，∠A∠ABD∠ACD+360°﹣∠P＝360°， ∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0， ∴2∠BPC＝∠BDC+∠A． 故答案为：2∠BPC＝∠BDC+∠A． ▌题型06 “8”字模型（X型图） 【典例1】 【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换）； （2）解：由（1）得：∠A+∠B＝∠C+∠D， ∵∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°， ∴57°+35°＝60°+∠D， ∴∠D＝32°， 则∠D的度数为32°． 【变式1-1】 【解答】解：如图连接BE． ∵∠1＝∠C+∠D，∠1＝∠CBE+∠DEB， ∴∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB， ∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F ＝∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F ＝∠A+∠ABE+∠BEF+∠F． 又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F＝360°， ∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝360°． 【变式1-2】 【解答】解：（1）∵∠A+∠C+∠AOC＝∠B+∠D+∠BOD＝180°，∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D， 故答案为：∠C． （2）①线段CD，AP相交于点M，连接AC，DP，这是一个“8字型”， 线段CD，AB相交于点O，连接AC，DB，这是一个“8字型”， 线段CD，AN相交于点O，连接AC，DN，这是一个“8字型”， 线段AB，DM相交于点O，连接AM，BD，这是一个“8字型”， 线段AN，DM相交于点O，连接AM，DN，这是一个“8字型”， 故答案为：3，4； ②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP， ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP，DP分别平分∠CAB和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C， ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴； ③n∠P＝∠B+（n﹣1）∠C，理由如下： 由（1）可知，∠CAB+∠C＝∠B+∠CDB， ∵∠CAB＝n∠CAP，∠CDB＝n∠CDP， ∴n∠CAP+∠C＝∠B+n∠CDP，∠BAP＝（n﹣1）∠CAP，∠BDP＝（n﹣1）∠CDP， ∴， 由（2）②可知，2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∴2∠P+（n﹣1）∠CAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+（n﹣1）∠CDP， ∴2∠P＝∠B+∠C+（n﹣2）∠CDP﹣（n﹣2）∠CAP ＝∠B+∠C+（n﹣2）（∠CDP﹣∠CAP） ， ∴n∠P＝∠B+（n﹣1）∠C． （3）∵AD∥BC，∠DFC＝110°， ∴∠ADF＝∠DFC＝110°，∠ADC+∠C＝180°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC， 设∠FDC＝2x（x＞0）， ∴∠ABC＝∠ADC＝110°+2x， ∵DG是∠FDC的角平分线，BM是∠ABC的角平分线， ∴，， 又∵AB∥CD， ∴∠DMG＝180°﹣∠ABM＝125°﹣x， ∴∠DGB＝∠GDM+∠DMG＝125°， 故答案为：125． 【变式1-3】 【解答】解：【解决问题】 （1）如图3，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE， ∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB， ∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB＝2∠E+∠DAE+∠ECB， ∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD， ∴∠DCE＝∠ECB，∠DAE＝∠BAE， ∴2∠E＝∠B+∠D， ∴∠E ∴∠E（30°+40°）70°＝35°； 故答案为：35°； （2）如图（4），∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2， ∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2， ∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴2∠E＝∠D+∠B， ∴∠E， 又∵∠D＝30°，∠B＝50°， ∴∠E＝40度． 故答案为：2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°； （3）由（1）和（2）得：∠E， 故答案为：∠E； 【类比应用】 如图（5），延长BC交AD于F， ∵∠BFD＝∠B+∠BAD， ∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D， ∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD ∴∠ECD＝∠ECB∠BCD，∠EAD＝∠EAB∠BAD， ∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB， ∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE∠BCD＝∠B+∠BAE（∠B+∠BAD+∠D）（∠B﹣∠D）， ∵∠D＝α°、∠B＝β°， 即∠E（β﹣α）°． ▌题型07 “A”字模型 【典例1】A． 【变式1-1】245°． 【变式1-2】40°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∵四边形的内角和为360°， ∴∠1+∠2+∠B+∠C＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣90°＝270°． ∴∠1+∠2＝270°． 故答案为：270； （2）∵△ABC中，∠A＝40°， ∴∠B+∠C＝180﹣40°＝140°， ∵四边形的内角和为360°， ∴∠1+∠2+∠B+∠C＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣140°＝220°． 即∠1+∠2＝220°． 故答案为：220； （3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A； 故答案为：180°+∠A． ▌题型08 余角模型 【典例1】35． 【变式1-1】B． 【变式1-2】90°． 【变式1-3】75°． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 与三角形有关的模型 （题型突破·举一反三） 题型01 角高模型 题型02 两内角平分线的夹角模型 题型03 一个内角和一个外角平分线的夹角模型 题型04 两外角平分线的夹角模型 题型05 规形图（飞镖模型） 题型06 “8”字模型（X型图） 题型07 “A”字模型 题型08 余角模型 ▌题型01 角高模型 如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，则。 【典例1】（2026春•雁塔区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．若∠C﹣∠B＝20°，求∠DAE的度数． 【变式1-1】（2025春•淅川县期末）感知：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE度数； 探究：如图②，在△ABC中，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC，其他条件不变，求∠DFE的度数”； 拓展：如图③，若把△ABC变成四边形ABEC，把AE⊥BC变成EA平分∠BEC，其他条件不变，∠DAE的度数是否变化，并且说明理由． 【变式1-2】（2026春•秦州区期末）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． （2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度． 【变式1-3】（2026春•龙岗区期中）已知在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． 【特例探究】（1）如图（a），AD⊥BC，垂足为D，若∠B＝35°，∠C＝65°，则∠DAE的度数为　 　　 ； 【一般推导】（2）如图（b），点P在线段AE上，过点P作PG⊥BC，垂足为G．请写出∠EPG与∠B，∠C之间的数量关系：　 　　 ； 【拓展应用】（3）如图（c），在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EP，CP分别平分∠AEC和∠ACM，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G．若∠EAD＝∠CAD，∠CPG（∠B+∠CPE），求∠B的度数． ▌题型02 两内角平分线的夹角 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE, CF相交于点G,求∠BGC与∠A之间的关系 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G， ∴∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB， ∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）， 在△BCG中，∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）； 即：∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）； 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， 所以，∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A， 即：∠BGC=90°+∠A． 【典例1】如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　　 ； （2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数； （3）若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数． 【变式1-1】（2025•丽水一模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是AB边上的中线，BC﹣AC＝5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长； （2）若CD⊥AB于点D，∠ABC＝60°，求∠BOC的度数． 【变式1-2】已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO． （1）如图1，当∠OCD＝40°时，求∠CED的度数； （2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO； （3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数． 【变式1-3】（2026春•南关区校级月考）【问题】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A＝80°，则∠BEC＝　 　　 ； 【探究】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．试猜想∠BEC和∠A有怎样的关系，并说明理由； 【应用】如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝n°，则∠BEC＝　 　　 ． ▌题型03 一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP与CP相交于点p，求∠P与∠A之间的关系 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD． ∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角， ∴∠ACD=∠ABC+∠A，∠PCD=∠PBC+∠P， ∴∠ACP=∠ABC+∠A， ∴∠ABC+∠A=∠PBC+∠P， 即∠P=∠A． 【典例1】（2026春•昆山市期末）（1）如图1，△ABC中，点M是AB的延长线上一点，∠CAB的角平分线AP与∠CBM的角平分线BP交于点P，若∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，求∠APB的度数； （2）如图2，四边形ABCD中，点M是AB的延长线上一点，∠DAB的角平分线AP与∠CBM的角平分线BP交于点P，若∠ADC＝110°，∠BCD＝130°，求∠APB的度数． 【变式1-1】（2026春•铜山区期末）已知：在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝∠C． （1）如图1，∠BAC的平分线与BC，BD分别交于点E，F．求证：∠BFE＝∠BEF； （2）如图2，∠GAC为△ABC的一个外角，∠GAC的平分线与直线BD交于点H．判断∠HBC与∠H的数量关系，并说明理由． 【变式1-2】如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP的延长线相交于点Q． （1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝　 　　 °，∠Q＝　 　　 °； （2）若∠A＝α，当∠B的度数发生变化时，∠DPC，∠Q的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化求出∠DPC，∠Q的度数（用α的代数式表示）； （3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则所有符合条件的∠A的度数为　 　　 ． 【变式1-3】（2026春•海淀区校级期末）已知HD∥GE，点A、C分别在直线上． （1）如图1，请直接写出∠BCE、∠B、∠BAD三个角满足的数量关系　 　　 ； （2）如图2，分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，交于点F，判断∠B与∠F的数量关系并证明； （3）在图3中分别作∠ABC与∠BCE的角平分线，交于点M，过点B作CM的平行线，点N是这条平行线上的一点（且不与点B重合），直接写出∠BAD与∠NBM的数量关系　 　　 ． ▌题型04 两外角平分线的夹角 如图，在△ABC中，△ABC的外角平分线BO, CO相交于点O,求∠O与∠A之间的关系 解：∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线， ∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A， ∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°， 又∵∠1+∠2+∠BOC=180°， ∴2∠BOC=180°-∠A， 即∠BOC=90°-∠A． 【典例1】（2026春•兴庆区校级期中）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝48°，则∠A＝　 　　 度，∠P＝　 　　 度； （2）∠A与∠P的数量关系为　 　　 ，并说明理由； 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于P，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　　 ． 【变式1-1】（2026春•北京期末）为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲广场△ABC上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支持． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，两条角平分线交于点P，求∠BPC的度数； （2）如图2，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，若∠BDC＝40°，求∠A的度数． 【变式1-2】在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． 【问题研究】 （1）①如图1，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝ 　 　　 ． ②猜测∠BPC与∠A之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线相交于点Q，则∠Q与∠BPC之间的数量关系为 　　 　　 ． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC相交于点E，在△BQE中，当∠E与∠Q两锐角存在3倍的数量关系时，求∠A的度数． 【变式1-3】（2025秋•潮州校级期中）【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝80°，则∠BEC＝　 　　 ；若∠A＝n°，则∠BEC＝　 　　 ． 【探究】 （1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A＝n°，则∠BEC＝　　 　　 ； （2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由； （3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明） ▌题型05 规形图（飞镖模型） 如图，探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系 解：过点A、D作射线AF， ∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD， ∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C 【典例1】（1）图（1）中AB和AC 相交于点A，BD和CD相交于点D，探究∠BDC与∠B、∠C、∠BAC的关系 小明是这样做的： 解：以点A为端点作射线AD ∵∠1是△ABD的外角 ∴∠1＝∠B+∠BAD 同理∠2＝∠C+∠CAD ∴∠1+∠2＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD 即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC 小英的思路是：延长BD交AC于点E． 1小英的思路完成∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC这一结论． （2）按照上面的思路解决如下问题：如图（2）：在△ABC中，BE、CD分别是∠ABC∠ACB的角平分线，交AC于E，交AB于D．BE、CD相交于点O，∠A＝60°．求∠BOC的度数． （3）如图（3）：△ABC中，BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，且BO、CO相交于点O．猜想∠BOC与∠A有怎样的关系，并加以证明． 【变式1-1】（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C． （2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数． 【变式1-2】（2026春•青浦区校级期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝36°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果； ②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠A＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数． 【变式1-3】（2026春•洛宁县期末）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为：　 　　 ． 迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数　 　　 ． ②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为　 　　 ． ▌题型06 “8”字模型（X型图） 如图，AD，BC相交于点O，连接AB，CD．求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． 证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换） 【典例1】（2026春•盐城月考）如图，AD，BC相交于点O，连接AB，CD． （1）求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）若∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°，求∠D的度数． 【变式1-1】如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【变式1-2】如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）由图1可知：∠A+　 　　 ＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有 　 个，以点O为交点的“8字型”有 　 个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝n∠CAP，∠CDB＝n∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，若点E是AB延长线上的一点，DE交CB于点F，分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线交于点G，直线GB交CD于点M，若∠DFC＝110°，则∠DGB＝　 　　 °． 【变式1-3】【数学模型】 如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B． 【提出问题】 分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E． （1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝　 　　 ． （2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？ 易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，请你完成接下来的推理过程： ∴∠D+∠1+∠B+∠4＝　 　　 ， ∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴2∠E＝　 　　 ， 又∵∠D＝30°，∠B＝50°， ∴∠E＝　 　　 度． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是：　 　　 ． 【类比应用】 如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E． 已知：∠D＝α、∠B＝β，（α＜β）则∠E＝　 　　 （用α、β表示）． ▌题型07 “A”字模型 如图，已知中，剪去∠A后成四边形，则，。 证明：∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE， ∴=∠A+∠AED+∠A+∠ADE=； ∵=， =， ∴。 【典例1】（2026•长顺县校级模拟）如图，在△ABC中，若∠B+∠C＝α，∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．β＝2α 【变式1-1】如图，△ABC中，∠A＝65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=　 　　 ． 【变式1-2】（2025•上城区校级三模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若∠1＝130°，则∠2的度数为 　 　　 ． 【变式1-3】探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　 　　 °， （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　 　　 °． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　 　　 ． ▌题型08 余角模型 如图，已知直角中，，，则，。 证明：∵，， ∴=； ∵=，=， ∴； ∵=，=， ∴。 【典例1】（2026春•上党区期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，则∠A为　　 　　 °． 【变式1-1】（2025春•新邵县期中）如图，在△ABC中AD⊥BC于点D，E为AC上一点连结BE交AD于点F，若BE⊥AC于点E，，则∠1与∠2的和为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直线DE与AC，BC分别交于D，E两点．若∠DEC＝∠A，则∠EDC＝　 　　 ． 【变式1-3】（2026•海港区校级模拟）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知∠1＝30°，∠2＝45°，则∠3＝　 　　 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 与三角形有关的模型 （题型突破·举一反三） 题型01 角高模型 题型02 两内角平分线的夹角模型 题型03 一个内角和一个外角平分线的夹角模型 题型04 两外角平分线的夹角模型 题型05 规形图（飞镖模型） 题型06 “8”字模型（X型图） 题型07 “A”字模型 题型08 余角模型 ▌题型01 角高模型 如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，则。 【典例1】（2026春•雁塔区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．若∠C﹣∠B＝20°，求∠DAE的度数． 【分析】先根据三角形内角和定理及角平分线的定义用∠B、∠C表示出∠CAE的度数，再根据三角形内角和定理用∠C表示出∠CAD的度数，∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，化简即可求出∠DAE的度数． 【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴（角平分线的性质）， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°（垂直的定义）， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∴． 【变式1-1】（2025春•淅川县期末）感知：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE度数； 探究：如图②，在△ABC中，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC，其他条件不变，求∠DFE的度数”； 拓展：如图③，若把△ABC变成四边形ABEC，把AE⊥BC变成EA平分∠BEC，其他条件不变，∠DAE的度数是否变化，并且说明理由． 【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数． （2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数． （3）利用AE平分∠BEC，AD平分∠BAC，求出∠DFE＝15°即是最好的证明． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝35°， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝15°． （2）同（1），可得，∠ADE＝75°， ∵FE⊥BC， ∴∠FEB＝90°， ∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝15°． （3）结论：∠DAE的度数大小不变． 证明：∵AE平分∠BEC， ∴∠AEB＝∠AEC， ∴∠C+∠CAE＝∠B+∠BAE， ∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE， ∴∠C+∠CAD﹣∠DAE＝∠B+∠BAD+∠DAE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴2∠DAE＝∠C﹣∠B＝30°， ∴∠DAE＝15°． 【变式1-2】（2026春•秦州区期末）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． （2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度． 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出∠BAC，进而求出∠BAD，然后根据两锐角互余求出∠BAE，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先结合已知条件和中线的性质确定AB，AC的数量关系，继而可以求解． 【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°． 由角平分线定义可知： ． ∵AE为边BC上的高， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°． （2）∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD． 又∵△ADC的周长比△ABD的周长少2， ∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2， ∴AB﹣AC＝2， ∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8． 【变式1-3】（2026春•龙岗区期中）已知在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． 【特例探究】（1）如图（a），AD⊥BC，垂足为D，若∠B＝35°，∠C＝65°，则∠DAE的度数为　 　　 ； 【一般推导】（2）如图（b），点P在线段AE上，过点P作PG⊥BC，垂足为G．请写出∠EPG与∠B，∠C之间的数量关系：　 　　 ； 【拓展应用】（3）如图（c），在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EP，CP分别平分∠AEC和∠ACM，过点P作PG⊥BC交BC延长线于点G．若∠EAD＝∠CAD，∠CPG（∠B+∠CPE），求∠B的度数． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及外角的性质进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理及外角的性质进行计算即可； （3）根据三角形的内角和定理及外角的性质进行计算即可． 【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC＝40°． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C＝25°， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣25°＝15°． 故答案为：15°； （2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC＝90°∠B∠C， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝180°﹣（90°∠B∠C）﹣∠C＝90°∠B∠C． ∵PG⊥BC， ∴∠EPG＝90°﹣∠AEC＝90°﹣（90°∠B∠C）∠C∠B． 故答案为：∠EPG∠C∠B； （3）由上述过程可知，∠EAD∠ACB∠B． ∵∠CAD＝90°﹣∠ACB且∠EAD＝∠CAD， ∴∠ACB∠B＝90°﹣∠ACB， 则∠ACB∠B+60°． ∵CP平分∠ACM， ∴∠PCG∠ACM（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB． ∵PG⊥BC， ∴∠CPG＝90°﹣∠PCG∠ACB． 又∵EP平分∠AEC， ∴∠PEC∠AEC． ∵∠EAC＝∠ACM﹣∠AEC，∠CPE＝∠PCG﹣∠PEC， ∴∠CPE（∠ACM﹣∠AEC）∠EAC． ∵∠EAC∠BAC＝90°∠B∠ACB， ∴∠CPE＝45°∠B∠ACB． ∵∠CPG（∠B+∠CPE）， ∴∠ACB（∠B+45°∠B∠ACB）， ∴∠B+60°）[∠B+45°∠B（∠B+60°）]， 解得∠B＝36°， ∴∠B的度数为36°． ▌题型02 两内角平分线的夹角 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE, CF相交于点G,求∠BGC与∠A之间的关系 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G， ∴∠GBC=∠ABC，∠GCB=∠ACB， ∴∠GBC+∠GCB=（∠ABC+∠ACB）， 在△BCG中，∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）； 即：∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）； 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A， 所以，∠BGC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A， 即：∠BGC=90°+∠A． 【典例1】如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　 ； （2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数； （3）若CD是角平分线，∠A＝78°，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据△BCD的周长为：BC+CD+BD，△ACD的周长为：AC+CD+AD，可得△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，再根据中线定义得AD＝BD，以及BC＝3，AC＝2即可得出答案； （2）根据BE是∠ABC的平分线得∠ABE＝31°，再根据CD是△ABC的高得∠CDB＝90°，再由三角形外角性质得∠BOC＝∠CDB+∠ABE，据此即可得出答案； （3）根据∠A＝78°得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°，再根据角平分线定义得∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝51°，然后再由三角形内角和定理即可得出∠BOC的度数． 【解答】解：（1）∵△BCD的周长为：BC+CD+BD， △ACD的周长为：AC+CD+AD， ∴△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， 又∵BC＝3，AC＝2， ∴BC﹣AC+BD﹣AD＝3﹣2＝1， 即△BCD与△ACD的周长差为：1． 故答案为：1． （2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°， ∴∠ABE∠ABC62°＝31°， ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°； （3）在△ABC中，∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝102°， ∵BE是∠ABC的平分线，CD是∠ACB平分线， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）102°＝51°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°． 【变式1-1】（2025•丽水一模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是AB边上的中线，BC﹣AC＝5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长； （2）若CD⊥AB于点D，∠ABC＝60°，求∠BOC的度数． 【分析】（1）由三角形中线的概念可得AD＝BD，由△DBC的周长为25cm得BC+AD+CD＝25cm，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得∠BDC＝90°，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得∠BOC＝∠BDC+∠ABE，于是得解． 【解答】解：（1）∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， ∵△DBC的周长为25cm， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝25cm， ∴BC+AD+CD＝25cm， ∵BC﹣AC＝5cm， ∴AC＝BC﹣5cm， ∴△ADC的周长＝AC+AD+CD ＝BC﹣5+AD+CD ＝25﹣5 ＝20cm， 则△ADC的周长为20cm； （2）∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°（垂直的定义）， ∵BE是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°， ∴， ∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝90°+30°＝120°， 则∠BOC的度数为120°． 【变式1-2】已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO． （1）如图1，当∠OCD＝40°时，求∠CED的度数； （2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO； （3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数． 【分析】（1）利用直角三角形的性质，角平分线的定义和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质解答即可得出结论； （2）利用（1）的方法求得∠CED＝135°，再利用三角形的外角的性质计算得到∠GED＝∠EDF，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当∠MCN＝3∠N时，计算得到∠N∠MCN＝30°，再利用三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义解答即可；②当∠M＝3∠N时，计算得到∠N＝22.5°，∠M＝67.5°，利用与①同样的方法解答即可． 【解答】（1）解：∵∠OCD＝40°，∠AOB＝90°， ∴∠CDO＝50°， ∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO， ∴∠DCE＝∠OCE∠DCO，∠CDE＝∠ODE∠CDO， ∴∠DCE＝20°，∠CDE＝25°， ∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝135°； （2）证明：∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO， ∴∠DCE＝∠OCE∠DCO，∠CDE＝∠ODE∠CDO， ∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE ＝180°（∠DCO+∠CDO） ＝180°（180°﹣∠O） ＝180°﹣90°∠O ＝90°+45° ＝135°． ∵∠CED＝∠CFD+∠EDF，∠CFD＝180°﹣∠CFO， ∴∠CED＝180°﹣∠CFO+∠EDF， ∵∠CFO﹣∠GED＝45°， ∴∠CFO＝∠GED+45°， ∴∠CED＝180°﹣（∠GED+45°）+∠EDF， ∴135°＝∠180°﹣∠GED﹣45°+∠EDF， ∴∠GED＝∠EDF， ∴GE∥DO； （3）解：①当∠MCN＝3∠N时， ∵CM⊥CN， ∴∠MCN＝90°， ∴∠N∠MCN＝30°， ∴∠M＝60°． ∵∠COD＝90°， ∴∠DON＝45°， ∴∠COM＝45°． ∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝75°． ∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝15°． ∵CE平分∠DCO， ∴∠DCO＝2∠NCO＝30°， ∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝60°， ∵DE平分∠CDO， ∴∠CDE∠CDO＝30°； ②当∠M＝3∠N时， ∵CM⊥CN， ∴∠MCN＝90°， ∴∠M+∠N＝90°， ∴∠N＝22.5°，∠M＝67.5°， ∵∠COD＝90°， ∴∠DON＝45°， ∴∠COM＝45°． ∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝67.5°． ∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝22.5°． ∵CE平分∠DCO， ∴∠DCO＝2∠NCO＝45°， ∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝45°， ∵DE平分∠CDO， ∴∠CDE∠CDO＝22.5°． 综上，在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，∠CDE的度数为30°或22.5°． 【变式1-3】（2026春•南关区校级月考）【问题】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A＝80°，则∠BEC＝　130°　 ； 【探究】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．试猜想∠BEC和∠A有怎样的关系，并说明理由； 【应用】如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝n°，则∠BEC＝　　 ． 【分析】（1）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （2）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （3）根据三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，再由BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，得到，，于是，再根据三角形的内角和定理得到∠BEC的大小． 【解答】解：（1）在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB． ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴，， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） ＝130°， 故答案为：130°； （2），理由如下， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝n°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°， ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴，， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） ； （3）在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， 由三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°， ∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． ▌题型03 一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP与CP相交于点p，求∠P与∠A之间的关系 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD． ∵∠ACD是△ABC的外角，∠PCD是△BPC的外角， ∴∠ACD=∠ABC+∠A，∠PCD=∠PBC+∠P， ∴∠ACP=∠ABC+∠A， ∴∠ABC+∠A=∠PBC+∠P， 即∠P=∠A． 【典例1】（2026春•昆山市期末）（1）如图1，△ABC中，点M是AB的延长线上一点，∠CAB的角平分线AP与∠CBM的角平分线BP交于点P，若∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，求∠APB的度数； （2）如图2，四边形ABCD中，点M是AB的延长线上一点，∠DAB的角平分线AP与∠CBM的角平分线BP交于点P，若∠ADC＝110°，∠BCD＝130°，求∠APB的度数． 【分析】（1）根据角平分线定义求出∠PAB＝30°，∠PBM＝50°，再利用三角形外角性质求出∠APB的度数； （2）根据四边形内角和求出∠DAB+∠ABC＝120°，结合角平分线定义及三角形外角性质推出∠APB的度数． 【解答】解：（1）由条件可知， ∵∠ABC＝80°， ∴∠CBM＝180°﹣∠ABC＝100°， ∵BP平分∠CBM， ∴， ∵∠PAB+∠APB＝∠PBM， ∴∠APB＝∠PBM﹣∠PAB＝20°； （2）由条件可知∠DAB+∠ABC＝（4﹣2）×180°﹣∠ADC﹣∠BCD＝120°， ∵AP平分∠DAB， ∴， ∵∠CBM＝180°﹣∠ABC，BP平分∠CBM， ∴， ∵∠PAB+∠APB＝∠PBM， ∴． 【变式1-1】（2026春•铜山区期末）已知：在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD＝∠C． （1）如图1，∠BAC的平分线与BC，BD分别交于点E，F．求证：∠BFE＝∠BEF； （2）如图2，∠GAC为△ABC的一个外角，∠GAC的平分线与直线BD交于点H．判断∠HBC与∠H的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）通过外角性质将∠BFE 和∠BEF分别表示出来，利用已知相等角进行代换； （2）利用外角平分线和三角形外角性质，建立∠H与∠HBC的等量关系． 【解答】（1）证明：∵∠BFE是△ABF的外角， ∴∠BFE＝∠ABF+∠BAF， ∵∠BEF是△AEC的外角， ∴∠BEF＝∠C+∠CAE， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAE， 又∵∠ABF＝∠ABD，且∠ABD＝∠C， ∴∠ABF＝∠C， ∴∠BFE＝∠C+∠CAE， ∴∠BFE＝∠BEF； （2）解：∠HBC＝2∠H，理由如下： ∵∠GAC是△ABC的外角， ∴∠GAC＝∠ABC+∠C， ∵AH平分∠GAC， ∴∠GAB∠GAC（∠ABC+∠C）， ∵∠GAB是△ABH的外角， ∴∠GAB＝∠H+∠ABH， ∴∠H＝∠GAB﹣∠ABH， ∵∠ABH＝∠ABD＝∠C， ∴∠H（∠ABC+∠C）﹣∠C（∠ABC﹣∠C）， ∵∠HBC＝∠ABC﹣∠ABD＝∠ABC﹣∠C， ∴∠H∠HBC， 即∠HBC＝2∠H． 【变式1-2】如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP的延长线相交于点Q． （1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝　115　 °，∠Q＝　25　 °； （2）若∠A＝α，当∠B的度数发生变化时，∠DPC，∠Q的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不变化求出∠DPC，∠Q的度数（用α的代数式表示）； （3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则所有符合条件的∠A的度数为　60°或90°或120°　 ． 【分析】（1）先求出∠ACB＝80°，根据角平分线的定义及平行线的性质得∠BCP＝35°，∠PDG＝30°，然后根据三角形的内角和定理可得出∠DPC的度数；根据角平分线的定义及邻补角的定义得∠PCQ＝90°，进而可得出∠Q的度数； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得，根据三角形内角和定理得∠B+∠ACB＝180°﹣α，则，进而可得出∠DPC的度数；然后根据∠PCQ＝90°可得出∠Q的度数； （3）由（1）（2）可知，，∠PCQ＝90°，根据当若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍，有以下4中情况：①当∠PCQ＝2∠Q时，②当∠PCQ＝2∠QPC时，③当∠QPC＝2∠Q时，④当∠Q＝2∠QPC时，根据每一种情况求出α的值即可得出∠A的度数． 【解答】解：（1）由条件可知∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（50°+60°）＝70°， ∴， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠BCP＝35°， ∵DP平分∠ADE， ∴， 在Rt△DPG中，∠DPC＝180°﹣（∠PDG+∠PGD）＝180°﹣（30°+35°）＝115°； ∴∠QPC＝180°﹣∠DPC＝65°， ∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF， ∴，， ∴， ∵∠ACF+∠ACB＝180°， ∴∠PCQ＝90°， ∴∠Q＝180°﹣（∠PCQ+∠QPC）＝180°﹣（90°+65°）＝180°﹣155°＝25°， 故答案为：115；25； （2）不变，，，理由如下： ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP， ∴DP平分∠ADE，CP平分∠ACB， ∴，， ∴， ∵∠A＝α， ∴∠B+∠ACB＝180°﹣α， ∴， 在△DPG中，∠DPC＝180°﹣（90）＝90°， ∴∠QPC＝90°， 由（1）可知：∠PCQ＝90°， 在△PCQ中，∠Q＝180°﹣（180°）； （3）由（1）（2）可知：在△PCQ中，，，∠PCQ＝90°， ∴当若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍时，分以下4中情况讨论： ①当∠PCQ＝2∠Q时，则， 解得：α＝90°； ②当∠PCQ＝2∠QPC时，则， 解得：α＝90°； ③当∠QPC＝2∠Q时，则， 解得：α＝60°； ④当∠Q＝2∠QPC时，则， 解得：α＝120°， 综上所述：若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的2倍时，∠A的度数为60°或90°或120°， 故答案为：60°或90°或120°． 【变式1-3】（2026春•海淀区校级期末）已知HD∥GE，点A、C分别在直线上． （1）如图1，请直接写出∠BCE、∠B、∠BAD三个角满足的数量关系　∠BAD＝∠BCE+∠B ； （2）如图2，分别作∠BAH与∠BCG的角平分线，交于点F，判断∠B与∠F的数量关系并证明； （3）在图3中分别作∠ABC与∠BCE的角平分线，交于点M，过点B作CM的平行线，点N是这条平行线上的一点（且不与点B重合），直接写出∠BAD与∠NBM的数量关系　∠MBN∠BAD或∠MBN＝180°∠BAD ． 【分析】（1）结论：∠BAD＝∠BCE+∠ABC．利用平行线的性质，三角形的外角的性质即可解决问题； （2）结论：∠B＝2∠F．设∠B＝x，∠F＝y，∠BAF＝∠FAH＝n，∠FCB＝∠FCG＝m，由DH∥EG，推出∠1＝∠GCF＝m＝n+y，又x+n＝y+m，由此即可解决问题； （3）设∠BAD＝m°，∠MCE＝∠MCB＝x，∠MBA＝∠MBC＝y．由DH∥EG，推出∠1＝∠BCE＝2x，推出∠BAD＝∠1+∠ABC，即m＝2x+2y，由BN∥CM，推出∠CBN＝∠BCM＝x，可得∠MBN＝x+ym． 【解答】解： （1）如图1中，结论：∠BAD＝∠BCE+∠ABC，∵DH∥EG， ∴∠1＝∠BCE， ∵∠DAB＝∠1+∠B， ∴∠BAD＝∠BCE+∠B． 故答案为：∠BAD＝∠BCE+∠B； （2）如图2中，结论：∠B＝2∠F． 理由：设∠B＝x，∠F＝y，∠BAF＝∠FAH＝n，∠FCB＝∠FCG＝m， ∵DH∥EG， ∴∠1＝∠GCF＝m＝n+y， 又∵x+n＝y+m， ∴x+n＝y+n+y， ∴x＝2y， 即∠B＝2∠F． （3）过点B作BN∥CM，设∠BAD＝m°，∠MCE＝∠MCB＝x，∠MBA＝∠MBC＝y．∵DH∥EG， ∴∠1＝∠BCE＝2x， ∴∠BAD＝∠1+∠ABC，即m＝2x+2y， ∵BN∥CM， ∴∠CBN＝∠BCM＝x， ∴∠MBN＝x+ym∠BAD．当点N在BC的右侧时，∠MBN＝180°m＝180°∠BAD． 故答案为：∠MBN∠BAD或∠MBN＝180°∠BAD． ▌题型04 两外角平分线的夹角 如图，在△ABC中，△ABC的外角平分线BO, CO相交于点O,求∠O与∠A之间的关系 解：∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线， ∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A， ∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°， 又∵∠1+∠2+∠BOC=180°， ∴2∠BOC=180°-∠A， 即∠BOC=90°-∠A． 【典例1】（2026春•兴庆区校级期中）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝48°，则∠A＝　52　 度，∠P＝　116　 度； （2）∠A与∠P的数量关系为　　 ，并说明理由； 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于P，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　　 ． 【分析】探究： （1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 应用：由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【解答】解：（1）由条件可知∠A＝180°﹣80°﹣48°＝52°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴， ∴， ∴∠P＝180°﹣64°＝116°， 故答案为：52，116； （2）．理由如下： 由条件可知， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 应用： 解：．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴，， ∴△BCQ中，， 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（2026春•北京期末）为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲广场△ABC上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支持． （1）如图1，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，两条角平分线交于点P，求∠BPC的度数； （2）如图2，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，若∠BDC＝40°，求∠A的度数． 【分析】（1）由BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，且∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，得∠CBP∠ABC＝40°，∠BCP∠ACB＝25°，则∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝115°． （2）由∠CBE和∠BCF是△ABC的外角，得∠ABC+∠ACB＝360°﹣（∠CBE+∠BCF），由BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，得∠CBE＝2∠CBD，∠BCF＝2∠BCD，则∠CBE+∠BCF＝2（∠CBD+∠BCD），由∠BDC＝40°，求得∠CBD+∠BCD＝180°﹣∠BDC＝140°，则∠CBE+∠BCF＝280°，所以∠ABC+∠ACB＝80°，求得∠A＝100°． 【解答】解：（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，且∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠ABP＝∠CBP∠ABC＝40°，∠ACP＝∠BCP∠ACB＝25°， ∵在△BPC中，∠BPC+∠CBP+∠BCP＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣40°﹣25°＝115°， ∴∠BPC的度数是115°． （2）∵∠CBE和∠BCF是△ABC的外角， ∴∠ABC+∠CBE＝180°，∠BCF+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠CBE+∠BCF+∠ACB＝360°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣（∠CBE+∠BCF）， ∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF， ∴∠CBE＝2∠CBD，∠BCF＝2∠BCD， ∴∠CBE+∠BCF＝2（∠CBD+∠BCD）， ∵∠BDC＝40°， ∴∠CBD+∠BCD＝180°﹣∠BDC＝140°， ∴∠CBE+∠BCF＝2×140°＝280°， ∴∠ABC+∠ACB＝360°﹣280°＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝100°， ∴∠A的度数是100°． 【变式1-2】在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． 【问题研究】 （1）①如图1，若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝ 　120°　 ． ②猜测∠BPC与∠A之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线相交于点Q，则∠Q与∠BPC之间的数量关系为 　∠Q＝180°﹣∠BPC ． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC相交于点E，在△BQE中，当∠E与∠Q两锐角存在3倍的数量关系时，求∠A的度数． 【分析】（1）①根据已知条件和角平分线的性质，求出∠PBC和∠BCP，再利用三角形内角和定理进行计算；②根据已知条件和角平分线的性质，把∠PBC和∠BCP用∠ABC和∠ACB表示出来，再利用∠A表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （2）根据已知条件和角平分线的性质，求出∠CBQ和∠BCQ，再利用三角形内角和定理进行计算； （3）根据已知条件求出∠EBQ的度数，然后由（2）求出的∠Q，利用三角形内角和求出∠E，再分2种情况讨论，求出∠A的度数． 【解答】解：（1）①由题意可知：， ∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝120°， 故答案为：120°； ②猜想，证明如下： ∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°， ∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A ∵BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴， ∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP ； （2）由题意可知：，， ∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC， ∴，， ∵∠CBQ+∠BCQ+∠Q＝180°， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴∠Q＝90°﹣（∠BPC﹣90°）＝180°﹣∠BPC； （3）由题意可知：， ∵∠ABC+∠CBM＝180°， ∴∠QBE， ∴∠E+∠Q＝90°， ∴， 由（2）知， 当∠Q＝3∠E， ∴， ∴2∠A＝90°， ∴∠A＝45°； 当∠E＝3∠Q， ∴， 解得：∠A＝135°， 综上可知：∠A的度数为45°或135°． 【变式1-3】（2025秋•潮州校级期中）【问题】如图①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝80°，则∠BEC＝　130°　 ；若∠A＝n°，则∠BEC＝　90°n°　 ． 【探究】 （1）如图②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A＝n°，则∠BEC＝　60°n°　 ； （2）如图③，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由； （3）如图④，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 【分析】问题：利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；将∠A的度数换成n°，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD，然后整理即可得解； （3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解． 【解答】【问题】解：∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）100°＝50°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣50°＝130°； 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣n°）＝90°n°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（90°n°）＝90°n°； 探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣n°， ∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣n°）＝120°n°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（120°n°）＝60°n°； （2）∠BOC∠A． 理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC， ∠OCD＝∠BOC+∠OBC， ∵O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD， ∴∠A+∠ABC＝2（∠BOC+∠OBC）， ∴∠A＝2∠BOC， ∴∠BOC∠A； （3）∵O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点， ∴∠OBC（180°﹣∠ABC）＝90°∠ABC，∠OCB（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（90°∠ABC）﹣（90°∠ACB）（∠ABC+∠ACB）， 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC（180°﹣∠A）＝90°∠A． 故答案为：130°，90°n°；（1）60°n°． ▌题型05 规形图（飞镖模型） 如图，探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系 解：过点A、D作射线AF， ∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD， ∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C 【典例1】（1）图（1）中AB和AC 相交于点A，BD和CD相交于点D，探究∠BDC与∠B、∠C、∠BAC的关系 小明是这样做的： 解：以点A为端点作射线AD ∵∠1是△ABD的外角 ∴∠1＝∠B+∠BAD 同理∠2＝∠C+∠CAD ∴∠1+∠2＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD 即∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC 小英的思路是：延长BD交AC于点E． 1小英的思路完成∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC这一结论． （2）按照上面的思路解决如下问题：如图（2）：在△ABC中，BE、CD分别是∠ABC∠ACB的角平分线，交AC于E，交AB于D．BE、CD相交于点O，∠A＝60°．求∠BOC的度数． （3）如图（3）：△ABC中，BO、CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，且BO、CO相交于点O．猜想∠BOC与∠A有怎样的关系，并加以证明． 【分析】（1）延长BD交AC于E，利用三角形外角性质得∠BDC＝∠C+∠CED，∠CED＝∠BAC+∠B，所以∠BDC＝∠C+∠B+∠BAC； （2）∵由（1）知∠BOC＝∠ABE+∠ACD+∠A，再利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠ABE+∠ACD （∠ABC+∠ACB） （180﹣∠A）＝60°，从而得到∠BOC＝120°； （3）由（2）得∠BOC（180°﹣∠A）+∠A＝90°∠A． 【解答】（1）证明：延长BD交AC于E， ∵∠BDC＝∠C+∠CED， 又∵∠CED＝∠BAC+∠B， ∴∠BDC＝∠C+∠B+∠BAC； （2）解：∵由（1）知∠BOC＝∠ABE+∠ACD+∠A， 又∵∠ABE∠ABC，∠ACD∠ACB， ∴∠ABE+∠ACD （∠ABC+∠ACB） （180﹣∠A）120＝60°， ∴∠BOC＝120°； （3）∠BOC与∠A的关系：∠BOC＝90°∠A． 理由如下：由（2）得∠BOC（180°﹣∠A）+∠A＝90°∠A． 【变式1-1】（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C． （2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数． 【分析】（1）作射线AO，由三角形外角的性质可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，两式相加即可得出结论； （2）连接AD，由（1）的结论可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，两式相加即可得出结论． 【解答】解：（1）作射线AO， ∵∠3是△ABO的外角， ∴∠1+∠B＝∠3，① ∵∠4是△AOC的外角， ∴∠2+∠C＝∠4，② ①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4， 即∠BOC＝∠A+∠B+∠C； （2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④， ③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°， 即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°． 【变式1-2】（2026春•青浦区校级期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． （1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝36°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果； ②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠A＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数． 【分析】（1）作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）①先根据三角尺可知：∠X＝90°，根据（1）的结论可得：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠BXC＝90°，从而得结论； ②先根据（1）的结论可得：∠ADB+∠AEB的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 【解答】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是： 过点A、D作射线AF， ∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD， ∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B， 即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； （2）∵∠BXC＝90°， 由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠BXC＝90°， ∵∠A＝36°， ∴∠ABX+∠ACX＝54°； ②∵∠A＝40°，∠DBE＝130°， ∴∠ADB+∠AEB＝130°﹣40°＝90°， ∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB， ∴， ∴， ∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°． 【变式1-3】（2026春•洛宁县期末）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下问题： ①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为：　∠BPC＝90°∠A ． 迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数　60°　 ． ②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为　2∠BPC＝∠BDC+∠A ． 【分析】（1）首先连接AP并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BPC＝∠A+∠B+∠C； （2）①利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明即可； 迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y，由∠P＝100°，推出x+y＝80°，推出2x+2y＝160°，推出∠OBC＝180°﹣160°＝20°，可得∠ABC＝40°，由此即可解决问题； ②根据角平分线的定义和四边形的内角和即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，连接AP并延长至点F， 根据外角的性质，可得 ∠BPF＝∠BAP+∠B，∠CPF＝∠C+∠CAP， 又∵∠BPC＝∠BPF+∠CPF，∠BAC＝∠BAP+∠CAP， ∴∠BPC＝∠A+∠B+∠C； （2）①结论：∠BPC＝90°∠A． 理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠BPC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A； 迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y， ∵∠P＝100°， ∴x+y＝80°， ∴2x+2y＝160°， ∴∠OBC＝180°﹣160°＝20°， ∵BO平分∠ABC， ∴∠ABC＝40°， ∵∠A＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°； 故答案为：∠BPC＝90°∠A，60°； ②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD， ∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP， 四边形BPDC中，∠P∠ABD∠ACD+360°﹣∠D＝360°， ∴∠ABD∠ACD＝∠D﹣∠P， 在四边形ABPC中，∠A∠ABD∠ACD+360°﹣∠P＝360°， ∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0， ∴2∠BPC＝∠BDC+∠A． 故答案为：2∠BPC＝∠BDC+∠A． ▌题型06 “8”字模型（X型图） 如图，AD，BC相交于点O，连接AB，CD．求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． 证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换） 【典例1】（2026春•盐城月考）如图，AD，BC相交于点O，连接AB，CD． （1）求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）若∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°，求∠D的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD，再由对顶角相等，即可求证； （2）由（1）中的结论解答即可． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换）； （2）解：由（1）得：∠A+∠B＝∠C+∠D， ∵∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°， ∴57°+35°＝60°+∠D， ∴∠D＝32°， 则∠D的度数为32°． 【变式1-1】如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数． 【分析】连接BE，由三角形内角和外角的关系可知∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝360°． 【解答】解：如图连接BE． ∵∠1＝∠C+∠D，∠1＝∠CBE+∠DEB， ∴∠C+∠D＝∠CBE+∠DEB， ∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F ＝∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F ＝∠A+∠ABE+∠BEF+∠F． 又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F＝360°， ∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝360°． 【变式1-2】如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）由图1可知：∠A+　∠C ＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有 　3　 个，以点O为交点的“8字型”有 　4　 个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝n∠CAP，∠CDB＝n∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，若点E是AB延长线上的一点，DE交CB于点F，分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线交于点G，直线GB交CD于点M，若∠DFC＝110°，则∠DGB＝　125　 °． 【分析】（1）根据对顶角相等可得∠AOC＝∠BOD，再根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）①根据“8字型”的定义即可得； ②根据“8字型”的定义可得∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，从而可得2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，再根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而可得2∠P＝∠B+∠C，由此即可得； ③先求出n∠CAP+∠C＝∠B+n∠CDP，∠BAP＝（n﹣1）∠CAP，∠BDP＝（n﹣1）∠CDP，从而可得，再根据2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP计算即可得； （3）根据平行线的性质求出∠ABC＝∠ADC，设∠FDC＝2x（x＞0），则∠ABC＝∠ADC＝110°+2x，再根据角平分线的定义可得∠ABM＝55°+x，∠GDM＝x，然后根据平行线的性质可得∠DMG＝125°﹣x，最后根据三角形的外角性质求解即可得． 【解答】解：（1）∵∠A+∠C+∠AOC＝∠B+∠D+∠BOD＝180°，∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D， 故答案为：∠C． （2）①线段CD，AP相交于点M，连接AC，DP，这是一个“8字型”， 线段CD，AB相交于点O，连接AC，DB，这是一个“8字型”， 线段CD，AN相交于点O，连接AC，DN，这是一个“8字型”， 线段AB，DM相交于点O，连接AM，BD，这是一个“8字型”， 线段AN，DM相交于点O，连接AM，DN，这是一个“8字型”， 故答案为：3，4； ②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP， ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP，DP分别平分∠CAB和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C， ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴； ③n∠P＝∠B+（n﹣1）∠C，理由如下： 由（1）可知，∠CAB+∠C＝∠B+∠CDB， ∵∠CAB＝n∠CAP，∠CDB＝n∠CDP， ∴n∠CAP+∠C＝∠B+n∠CDP，∠BAP＝（n﹣1）∠CAP，∠BDP＝（n﹣1）∠CDP， ∴， 由（2）②可知，2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∴2∠P+（n﹣1）∠CAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+（n﹣1）∠CDP， ∴2∠P＝∠B+∠C+（n﹣2）∠CDP﹣（n﹣2）∠CAP ＝∠B+∠C+（n﹣2）（∠CDP﹣∠CAP） ， ∴n∠P＝∠B+（n﹣1）∠C． （3）∵AD∥BC，∠DFC＝110°， ∴∠ADF＝∠DFC＝110°，∠ADC+∠C＝180°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC， 设∠FDC＝2x（x＞0）， ∴∠ABC＝∠ADC＝110°+2x， ∵DG是∠FDC的角平分线，BM是∠ABC的角平分线， ∴，， 又∵AB∥CD， ∴∠DMG＝180°﹣∠ABM＝125°﹣x， ∴∠DGB＝∠GDM+∠DMG＝125°， 故答案为：125． 【变式1-3】【数学模型】 如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B． 【提出问题】 分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E． （1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝　35°　 ． （2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？ 易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，请你完成接下来的推理过程： ∴∠D+∠1+∠B+∠4＝　2∠E+∠3+∠2　 ， ∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴2∠E＝　∠D+∠B ， 又∵∠D＝30°，∠B＝50°， ∴∠E＝　40　 度． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是：　∠E（∠D+∠B）　 ． 【类比应用】 如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E． 已知：∠D＝α、∠B＝β，（α＜β）则∠E＝　（β﹣α）　 （用α、β表示）． 【分析】【解决问题】 （1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同理列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； 【类比应用】 首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【解答】解：【解决问题】 （1）如图3，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE， ∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB， ∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB＝2∠E+∠DAE+∠ECB， ∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD， ∴∠DCE＝∠ECB，∠DAE＝∠BAE， ∴2∠E＝∠B+∠D， ∴∠E ∴∠E（30°+40°）70°＝35°； 故答案为：35°； （2）如图（4），∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2， ∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2， ∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴2∠E＝∠D+∠B， ∴∠E， 又∵∠D＝30°，∠B＝50°， ∴∠E＝40度． 故答案为：2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°； （3）由（1）和（2）得：∠E， 故答案为：∠E； 【类比应用】 如图（5），延长BC交AD于F， ∵∠BFD＝∠B+∠BAD， ∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D， ∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD ∴∠ECD＝∠ECB∠BCD，∠EAD＝∠EAB∠BAD， ∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB， ∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE∠BCD＝∠B+∠BAE（∠B+∠BAD+∠D）（∠B﹣∠D）， ∵∠D＝α°、∠B＝β°， 即∠E（β﹣α）°． ▌题型07 “A”字模型 如图，已知中，剪去∠A后成四边形，则，。 证明：∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE， ∴=∠A+∠AED+∠A+∠ADE=； ∵=， =， ∴。 【典例1】（2026•长顺县校级模拟）如图，在△ABC中，若∠B+∠C＝α，∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．β＝2α 【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角性质推理计算． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°﹣∠A，∠B+∠C＝180°﹣∠A， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， 即α＝β， 故选：A． 【变式1-1】如图，△ABC中，∠A＝65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED　245°　 ． 【分析】由∠BDE，∠CED均是△ADE的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，将其代入∠BDE+∠CED中，结合三角形内角和定理，即可求出结论． 【解答】解：∵∠BDE，∠CED均是△ADE的外角， ∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE， ∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE＝∠A+180°＝65°+180°＝245°． 故答案为：245°． 【变式1-2】（2025•上城区校级三模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若∠1＝130°，则∠2的度数为 　40°　 ． 【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠1＝130°，由三角形外角的性质得到∠2＝130°﹣90°＝40°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠3＝∠1＝130°， ∴∠2＝130°﹣90°＝40°． 故答案为：40°． 【变式1-3】探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　270　 °， （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝　220　 °． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 　180°+∠A ． 【分析】（1）利用四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解； （2）根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和为360°解答即可； （3）根据（1）（2）可以直接写出结果； 【解答】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∵四边形的内角和为360°， ∴∠1+∠2+∠B+∠C＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣90°＝270°． ∴∠1+∠2＝270°． 故答案为：270； （2）∵△ABC中，∠A＝40°， ∴∠B+∠C＝180﹣40°＝140°， ∵四边形的内角和为360°， ∴∠1+∠2+∠B+∠C＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣140°＝220°． 即∠1+∠2＝220°． 故答案为：220； （3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A； 故答案为：180°+∠A． ▌题型08 余角模型 如图，已知直角中，，，则，。 证明：∵，， ∴=； ∵=，=， ∴； ∵=，=， ∴。 【典例1】（2026春•上党区期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°，则∠A为　35　 °． 【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得∠A＝∠BCD＝35°． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高， ∴∠A+∠B＝90°，CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD＝35°（同角的余角相等）， 则∠A的度数为35°， 故答案为：35． 【变式1-1】（2025春•新邵县期中）如图，在△ABC中AD⊥BC于点D，E为AC上一点连结BE交AD于点F，若BE⊥AC于点E，，则∠1与∠2的和为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】由AD⊥BC于点D，得∠BDF＝90°，由BE⊥AC于点E，得∠AEF＝90°，即可根据同角的余角相等得到∠2＝∠FBD，所以∠1+∠2＝∠ABC＝45°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AD⊥BC于点D， ∴∠BDF＝90°， ∴∠FBD+∠BFD＝90°， ∵BE⊥AC于点E， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AFE+∠2＝90°， ∴∠2＝∠FBD， ∵∠ABC=∠1+∠FBD＝45°， ∴∠1+∠2＝45° 故选：B． 【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直线DE与AC，BC分别交于D，E两点．若∠DEC＝∠A，则∠EDC＝　90°　 ． 【分析】根据直角三角形的性质得到∠A+∠C＝90°，等量代换得到∠DEC+∠C＝90°，根据直角三角形的判定解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°， 则∠A+∠C＝90°， ∵∠DEC＝∠A， ∴∠DEC+∠C＝90°， ∴∠EDC＝90°， 故答案为：90°． 【变式1-3】（2026•海港区校级模拟）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知∠1＝30°，∠2＝45°，则∠3＝　75°　 ． 【分析】根据直角三角形两锐角互余得出∠F的度数，再根据三角形外角的性质得出∠3＝∠F+∠1，即可求解． 【解答】解：如图， 由题意得，∠DEF＝∠ACB＝90°， ∵∠2＝45°， ∴∠F＝90°﹣∠2＝90°﹣45°＝45°， ∵∠3是△GFB的一个外角， ∴∠3＝∠F+∠1， ∵∠1＝30°， ∴∠3＝45°+30°＝75°， 故答案为：75°． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $