专题04 与三角形的角有关的必考大题8大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

专题04 与三角形的角有关的必考大题 （题型突破·举一反三） 题型01 与三角形的角有关的条件补充题型 题型02 三角形的角中与平行线相关问题 题型03 三角形的角中与角平分线相关问题 题型04 三角形中角的折叠问题 题型05 探究三角形中有关角之间的关系 题型06 与三角形的角有关的证明问题 题型07 三角形角中的运动问题 题型08 三角形的角有关新定义问题 ▌题型01 与三角形的角有关的条件补充题型 【典例】（25-26七年级下·青海玉树·期末）如图，平分，，，，交于点，点，，在一条直线上． (1)求证：； (2)若，求________的度数．请从①，②中选择一项填在空格处（填写序号），并写出求解过程． 【答案】(1)证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)①； ∵， ∴， ∴； ②； ∵， ∴， ∴ 【详解】（1）略； （2）略． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，垂足为D，点E在边上，连接，且， (1)求证：； 在括号内填写相应的依据． 证明：∵，垂足为D， ∴（     ）， ∴在中,（直角三角形的两个锐角互余）， ∵， ∴（     ）， ∴（     ）； (2)若，，求，的度数． 【答案】(1)证明：∵，垂足为D， ∴（垂线的性质）， ∴在中,（直角三角形的两个锐角互余）， ∵， ∴（同角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）； (2)， 【分析】（1）根据证明过程填写相应的依据即可； （2）利用平行线的性质求出，再利用垂线的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图1，图2，线段直线，垂足为，、分别是直线，线段上一点，平分，且，过点作，平分交于点．    (1)如图1，当点与点重合时． ①补全下面证明点共线的过程中的依据； 证明：． ， （依据：______）． ， ∴点共线（依据：______）． ②______； (2)如图2，当点在射线上向右移动，点在上时． ①若，求和的度数； ②在点移动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请直接写出的度数；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①同旁内角互补，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ②45 (2)①，；②不改变；45° 【分析】（1）①第一空填写的是判定的依据，由可得此处的依据是同旁内角互补，两直线平行；第二空填写的是判定点共线的依据，由，可得依据为过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②当点与点重合时，，由平分，可得，由①得：点共线，可得，用，即可求出； （2）①由平分，可得，再由，，再求出，利用即可求出；②因为平分，设，利用①的思路计算可求出，，用即可求出的度数． 【详解】（1）解：①略； ②当点与点重合时，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由①得：点共线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ②不改变；45°，理由如下： ∵平分， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·河南郑州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；； (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即； （3）解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． ▌题型02 三角形的角中与平行线相关问题 三角形与平行线综合题，熟练运用同位角、内错角相等，同旁内角互补。结合三角形内角和、外角定理转化角度。看清平行线位置，准确找出相等或互补角，遇倍角、角平分线可设未知数列方程。解答题写明角度转换依据，不要直接目测角度，最后检验角度数值是否符合图形逻辑。 【典例】（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1)； (2)证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ． 【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由角平分线的定义求出，最后由平行线的性质即可求解； （2）由角平分线的定义得到，，由平行线的性质得到，因此，从而可推出，从而得到，因此，，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵，， ∵平分， ∴， ∵， ． （2）略 【变式1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ，        平分， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）学习了“平行线”和“三角形”内容后，某兴趣小组探索了如下问题：如图，点、在、之间，且位于的两侧，连接、、. (1)如图①，若，，，则________； (2)如图②，若，求证：； (3)如图③，若、相交于点，， （Ⅰ）直接写出、、、满足的关系； （Ⅱ）若，，.平面内存在一点，连接、，使，，直接写出的度数（用含、的式子表示）. 【答案】(1) (2) 证明：连接交于点H， 根据三角形的内角和定理可得， 又∵， ∴， ∴； (3)（Ⅰ）；（Ⅱ）或或或 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质； （1）延长交于点G，根据（1）延长交于点G，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）连接连接交于点H，即可得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可； （3）分四种情况作图，根据三角形的内角和和外角解答即可. 【详解】（1）解：延长交于点G， ∵， ∴， 又∵∠AEF=∠F， ∴， ∴； （2）略 （3）（Ⅰ）延长交于点M， 则， 又∵， ∴， ∴； （Ⅱ）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ①如图，当，在和内部时， 根据三角形的内角和定理得，即， 解得； ②如图，当在的外部，在内部时，连接并延长到点N， 根据三角形的外角可得， 即， 解得：； ③当在的内部，在外部时， 由②可得； ④当，在和外部时， 由①得，即， 解得：； 【变式3】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． ▌题型03 三角形的角中与角平分线相关问题 三角形角平分线题型，抓住角平分线分得两个角相等，得到角的二倍或一半关系。结合内角和、外角定理推导，牢记内外角平分线模型，解答题不能直接套用模型结论。遇到倍角条件可设未知数建立方程，理清角之间和差关系，书写推理依据，求出角度后检验数值是否合理。 【典例】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可； （2）先求出的面积，再得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵是的中线，的面积是42， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相等，且， ∴， 又∵， ∴， 即的面积为24． 【变式1】（25-26七年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点，平分，交的延长线于点，与相交于点，，． (1)求证：． (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：平分， ， 又， ， ． (2)， 理由：，， ． ． ． 平分，平分， ，． ． ． ． 【分析】（1）根据角平分线以及平行线的判定方法证明即可； （2）先证明，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式2】（25-26七年级下·北京大兴·期末）如图，是上一点，，是上的点，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）先由平行得到，然后结合已知条件等量代换得到，即可证明； （2）先证明，然后由三角形内角和定理求解，再由平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 【变式3】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 ▌题型04 三角形中角的折叠问题 三角形折叠问题，抓住折叠前后对应角相等，这是核心条件。结合内角和、外角定理推导角度关系，牢记内部折叠。解答题不可直接套用结论，要写出角等量代换过程。遇到角度计算可设未知数求解，区分点落在内部或外部的不同情况，最后检验角度是否符合实际。 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·陕西延安·阶段检测）如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 【答案】(1) (2) 证明：由折叠的性质得，，， ， ， ， ， ， ， ，即． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义：本题解题的关键在于理解和掌握折叠的性质以及能够熟练运用三角形的内角和定理； （1）由折叠的定义得到，，，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数； （2）先由折叠的性质得到，，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即． 【详解】（1）解：由折叠的性质得，， ，， ， 同理，， ， （2）解：略． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 【答案】 （1），理由如下： 由折叠可知， ，，． ， ，， ． ， ， ． 故与的关系是：． （2） （3）， 证明：，， ，． ， ， ， ， 即． 又， ， 即． 【分析】本题主要考查三角形的折叠问题，熟知三角形的内角和定理的折叠的性质是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理，结合整体思想即可解决问题． （2）根据（1）中结论求出的度数，再根据三角形内角和定理得出的度数，最后用整体思想即可解决问题． （3）根据与及与的关系即可解决问题． 【详解】解：略 ，， ， ， ． 平分，平分， ，， ， ． 略 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． ▌题型05 探究三角形中有关角之间的关系 探究三角形角的关系，以内角和、外角定理为基础，结合角平分线、高线、折叠、8 字、飞镖模型分析。解答题不可直接套用模型结论，需要一步步推导。善用方程处理倍角条件，理清角的和差等量关系。找准图形隐藏角，书写推理依据，得出猜想后代入验证，保证角度符合图形现实意义。 【典例】（25-26七年级下·重庆江津·阶段检测）如图1，已知直线，点A在直线上，点C、D在直线上，连接、，平分，平分，与相交于E． (1)若，，直接写出的度数； (2)若将图1中的线段沿向左平移到如图2所示位置，此时平分， 平分，与相交于点，试确定，，的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) ， 证明：过点E作， ， ∵线段沿向左平移到，即， ∴又， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质： （1）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质可得到结果； （2）先作辅助线，根据平行线得到角度之间的关系，再利用角平分线可得到结果； 熟练掌握三角形内角和与平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 【变式1】（25-26七年级下·广东中山·期末）综合与实践 请根据以下素材完成任务． 主题：运用一副三角板探究角度的大小 素材 一副三角板与，其中，，，．    前提条件 将这副三角板放置在两条平行线，之间，点落在直线上，边与直线重合，点落在边上（不与点，重合）． 参考图    问题解决 (1)如1图，当边，在同一条直线上时，求的度数； (2)如2图，当边与边相交于点时，试问的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)如3图，当边与边不相交时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是，； (3)解：.理由如下： 延长交直线于点，延长交直线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】（1）延长交直线于点，证明，得到，再根据，即可得出结果； （2）作，易得，根据平行线的性质和角的和差关系即可得出结果； （3）延长交直线于点，延长交直线于点，根据平角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和为180度，求出，再根据平角的定义结合三角形的内角和为180度，得到，即可得出结果. 【详解】（1）解：延长交直线于点， ∵边，在同一条直线上，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：是定值，如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）略 【变式2】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在三角形中，，直线． (1)求证：平分； (2)为直线上一点（不与点重合），连接，作平分，交直线于点，作，交直线于点． ①当点在线段上时，依题意补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明； ②当点在线段的延长线上时，直接用等式表示和的数量关系． 【答案】(1)证明：， ． ， ， 平分． (2)①由题意，补全图形如下： ，，证明如下： ， ． 平分， ． ，， ， ． ， ． ② 【分析】（1）根据平行线的性质，利用等量代换，即可得证； （2）先根据题意补全图形，再根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②如图， ，， ． ， ，， ． 平分， ． ， ， ， 即． 【变式3】（25-26七年级下·重庆潼南·期末）如图，点O是直线l外一点，，垂足为P，点A，C分别是直线l，线段上一点，，过点B作，平分交l于点E，平分． (1)如图1，若点A与点P重合，则________； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②解：的大小不变，是，理由如下： 过点C作，交于点， 设， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， 即的大小不变，是 【分析】（1）根据平行线的性质，证明三点共线，求解即可； （2）①过点C作，交于点，证明，利用平行线的性质，三角形内角和，求解即可； ②仿照①的解答，设，证明即可． 【详解】（1）解：当点A与点P重合时， ， ， ， 根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的性质，得直线表示的是同一条直线即三点共线， ， 平分交l于点E， ，， 平分，， ， ． （2）解：①如图，过点C作，交于点， ， ， ，平分， ， ， ， ，， ∵平分， ． ②略 ▌题型06 与三角形的角有关的证明问题 【典例】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别是，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，连接，平分交于点． (1)点D的坐标为______，线段扫过的面积为______；（请直接作答） (2)求证：； (3)如图，交于点F，M是线段上一点，且，若N是直线上一点，且满足．若，当时，求常数t的值． 【答案】(1)，8 (2)证明：线段向右平移4个单位长度后得到线段， ， ， 平分交于点E， ， ． (3)， 【分析】（1）根据线段平移的距离和点的坐标，即可求出点坐标和的长度，再根据面积法即可求出扫过的面积． （2）根据线段平移的性质推出，根据两直线平行，内错角相等和角平分线的定义即可推出． （3）先利用已知条件，设参数，，求出，再利用第（2）问的结果和三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质推出，结合直角三角形的性质求出，利用点在直线上分情况讨论①当点在点上方，②当点在线段上，③当点在点下方，结合和，即可求出的值． 【详解】（1）解：线段向右平移4个单位长度后得到线段，， 点横坐标为，点纵坐标不变， ，扫过形成的平行四边形的面积为． （2）略 （3）解：，， ， 设，则， 由（2）可知， ， ， ， ． ①当点在点上方时，如图所示， ，， ，， ， ， ， ． ②当点在线段上时，如图所示， ，， ，， ， ， ， ． ③当点在点下方时，如图所示， ，， ， ， 此时点不存在． ，． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形中，点E在延长线上，连接交于F，，． (1)求证：； (2)如图1，若，求证：平分； (3)如图2，在（2）的条件下，，点M在上，点N在上，，平分交于点H，连接，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 【分析】（1）由得到，从而，即可得出，从而证明； （2）由得到，由得到，因此．由平行线的性质得到，从而，即可得证结论； （3）由平行线的性质结合，可得，， 设，，因此，从而．由平行线的性质与角平分线的定义得到，因此，根据角平分线的定义得到，可得，从而，再由直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，直线，点为上一点，射线交于点，平分交于点，射线上有一动点，过作，垂足为，平分交射线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段上时，求的值； (3)当点在线段延长线上时，画出图形，并求与的数量关系． 【答案】(1) 证明：    平分 ； (2) (3)； 【分析】（1）因为，所以可利用平行线的内错角相等得到，再结合角平分线定义得到，即可完成证明． （2）设，，得到和的表达式，结合推导与的关系，进而求出比值． （3）先根据题意画出Q在延长线上的图形，再类比（2）的方法，结合垂直的性质，推导与的数量关系． 【详解】（1）略 （2）解：设，， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：画出的图形如图所示． 由（2）得，，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知：，点在线段上（不与、重合）． (1)如图1，若于，交于； ①求证：； ②如图2，分别作、的平分线交于点，求的度数． (2)如图3，在射线上取点，连接，作的平分线交于点，点在线段上，连解接，若，设、、，求、、之间的数量关系． 【答案】(1)①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② (2) 【分析】（1）①先根据垂线的性质得出，再根据三角形内角和定理得出，最后根据平行线的性质得出，即可证明结论； ②过点F作，根据角平分线定义得出，，根据平行线的性质得出，，根据即可得出答案； （2）设，则，，根据三角形内角和定理和角平分线定义得出，过点H作，根据平行线的性质得出，代入得出，整理即可得出答案． 【详解】（1）①略 ②解：过点F作，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； （2）解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 即， 过点H作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 即． ▌题型07 三角形角中的运动问题 【典例】（25-26八年级上·浙江金华·开学考试）如图，直线，点A，B分别在直线上（自左向右分别为点C，A，D和点E，B，F），．射线自射线的位置开始，绕点A以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒．    (1)如图1，①的度数是 　 　； ②当旋转时间　 　秒时，射线过点A； (2)当旋转时间x为何值时，与垂直． (3)若两条射线与所在直线交于点P．则在运动过程中，求的度数（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)①；②27 (2)或 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）①根据平行线的性质进行求解即可；②求出即可得到答案； （2）分当，垂足H在下方时，当，垂足H之间时，利用三角形内角和定理建立方程求解即可； （3）分交点P在下方，在上方，在之间，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；        ②∵， ∴， （秒）， ∴当旋转时间秒时，射线BN过点A， 故答案为：27； （2）解：当，垂足H在下方时，    ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时对应的旋转时间x为秒；                当，垂足H之间时，    ∴， ∵， ∴， 解得（秒）， ∴此时对应的旋转时间x为秒； 综上所述，当秒或秒时，与垂直． （3）解：当时，则， ∴， 解得；    ①如图4，当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ②如图5，当时， ∵， ∴；    ③如图6，当时， ∵， ∴． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图所示，在中，．初始时，点B、C位于直线上．现围绕点B，以每秒的速度顺时针转动秒，．旋转过程中，始终保持过顶点且． (1)如图，若，当时，求的度数； (2)已知图形在旋转秒后同时满足以下两个条件：；．请判断的形状，并给出证明过程； (3)若，探索在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 是直角三角形， 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (3)当点在点上方时，，当点不在点上方时，． 【分析】本题考查了平行线的性质． （）延长交于，根据时间求出，根据补角的定义求出，根据三角形内角和求出，根据平行线的性质求出即可； （）根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可； （）分当点在点上方时，当点不在点上方时，根据平行线的性质以及三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：延长交于，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点在点上方时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当点不在点上方时，如图，设直线与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点不在点上方时，如图，设直线与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，当点在点上方时，，当点不在点上方时，． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下∶ (1)[论证]如图1，延长至点，过点作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)[应用]如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①设，则________（用含的代数式表示）； ②的度数为________． (3)[拓展]如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，同时绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．设运动时间为秒．在旋转过程中，当的值为多少时，与的一边平行？请直接写出的值． 【答案】(1) 证明：延长至点，过点作， ∴，， ∵， ∴； (2)①；② (3)的值为或或 【分析】（1）利用平行线的性质以及平角的性质即可证明； （2）①由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再由平行线的性质并结合三角形外角的定义及性质得出，推出，即可得解；②由平行线的性质结合角平分线的定义得出，求出即可得出答案； （3）总时间（秒），再分三种情况：当第一次与重合前，时，延长交于；当第一次与重合前，时；当第一次与重合后，当第一次与重合后，时，分别利用平行线的性质建立一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解①如图： ∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：①；②； （3）解：∵绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止． ∴总时间（秒）， ∴的运动角度为， 当第一次与重合前，时，交于， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当第一次与重合前，时，    由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 如图，当第一次与重合后，时， ∵， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式3】（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）已知，点D是直线上一定点． (1)如图1，现有一块含角的直角三角板（，，），将其点A固定在直线上，并按图1位置摆放，使，点B恰好落在射线上，此时，，求的度数； (2)现将射线从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点D顺时针旋转，转到与重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当与三角板的一边平行时，求t的值； (3)若将射线从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点D顺时针旋转，同时，将三角板也从图1的位置开始以每秒6度的速度绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与的角平分线交于点O． ①如图2，当时， 度； ②当三角板边第一次落在上时，三角板和射线同时停止运动，则当时， 度． 【答案】(1) (2)的值为2.5或25或32.5． (3)①；② 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质求解即可； （2）依题意可知：，分三种情况讨论即可； （3）依题意可知：，，利用角平分线和第一问的关系可得； ①当时，延长于于G，利用列方程计算即可； ②当时，延长于于G，利用列方程计算即可． 【详解】（1）如图1，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）依题意可知：，分以下三种情况讨论： ①如图4，当时，与交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； ②如图5，当时，与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得； ③如图6，当时，与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得． 综上所述：的值为2.5或25或32.5． （3）依题意可知：，， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，， 由（1）的模型可得， ①当时，延长于于G， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； ②当时，延长于于G， ∴， ∵， ∴， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的内角和等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． ▌题型08 三角形的角有关新定义问题 【典例】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… (1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)②③； (2) ①证明：， ， ∵将沿边所在的直线翻折得到， ，，， ， ， 是“倍角三角形”； ②或或19°或． 【分析】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键． （1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解； （2）①由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；②分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解． 【详解】（1）解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形， 则两个底角均为， ， 顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”； 若一个三角形是等腰直角三角形， 则三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“倍角三角形”； 若一个三角形是有一个角为的直角三角形， 则另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“倍角三角形”， 故答案为：②③． （2）①略 ②解：由①可得， 如图， ∵是等腰三角形， ∴， ∵是“倍角三角形”， 或或或， 当时，， ； 当时，， ； 当时， ∵ ∴， ， ； 当时， ∵ ， ， ． 综上所述：或或19°或． 【变式1】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．若是“奇妙互余三角形”，，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，由题意知，“奇妙互余三角形”分和，两种情况求解：根据三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】解：是“奇妙互余三角形”， ， ①当时， ， ， ②当时， ， ． 故的度数为或． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）定义：若两个角与满足，则称与为“互优角”．如图，若中与为“互优角”． (1)求的度数； (2)点是线段上一点（不与A，B重合），连接，当中存在两个内角为“互优角”，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再结合“互优角”的定义可得，即可求解； （2）分三种情况，结合“互优角”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵与为“互优角”， ∴， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴，即， 如图，当与为“互优角”时， 若， ∴， 解得：； 如图，当与为“互优角”时， 若， ∴， 解得：； 如图，当与为“互优角”时，此时， ∴； 综上所述，的度数为或或． 【变式3】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 【答案】（1）是； （2）证明：∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”； （3）或 【分析】（1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论； （3）根据题意，分为当是等腰三角形和是等腰三角形两类，当 是等腰三角形时，再分为：，，三种情形讨论；同样当是等腰三角形时，也分为三种情形讨论，分别计算出的度数即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）略 （3）（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图1所示：    当时，则， ， 此时，是“形似三角形”，可知， ∴， ∴舍去， ②如图2所示：    当时，则， 此时，是“形似三角形”，可知， ； ③当时，这种情况不存在； （Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时， ①如图3所示：    当时，，同理可知舍去，； ②如图4所示：    当时，， 此时，是“形似三角形”，可知， ， 在中，由三角形内角和可知，得， ， ； ③当时，这种情况不存在； 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与三角形的角有关的必考大题 （题型突破·举一反三） 题型01 与三角形的角有关的条件补充题型 题型02 三角形的角中与平行线相关问题 题型03 三角形的角中与角平分线相关问题 题型04 三角形中角的折叠问题 题型05 探究三角形中有关角之间的关系 题型06 与三角形的角有关的证明问题 题型07 三角形角中的运动问题 题型08 三角形的角有关新定义问题 ▌题型01 与三角形的角有关的条件补充题型 【典例】（25-26七年级下·青海玉树·期末）如图，平分，，，，交于点，点，，在一条直线上． (1)求证：； (2)若，求________的度数．请从①，②中选择一项填在空格处（填写序号），并写出求解过程． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，垂足为D，点E在边上，连接，且， (1)求证：； 在括号内填写相应的依据． 证明：∵，垂足为D， ∴（     ）， ∴在中,（直角三角形的两个锐角互余）， ∵， ∴（     ）， ∴（     ）； (2)若，，求，的度数． 【变式2】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图1，图2，线段直线，垂足为，、分别是直线，线段上一点，平分，且，过点作，平分交于点．    (1)如图1，当点与点重合时． ①补全下面证明点共线的过程中的依据； 证明：． ， （依据：______）． ， ∴点共线（依据：______）． ②______； (2)如图2，当点在射线上向右移动，点在上时． ①若，求和的度数； ②在点移动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请直接写出的度数；若改变，请说明理由． 【变式3】（25-26七年级下·河南郑州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． ▌题型02 三角形的角中与平行线相关问题 三角形与平行线综合题，熟练运用同位角、内错角相等，同旁内角互补。结合三角形内角和、外角定理转化角度。看清平行线位置，准确找出相等或互补角，遇倍角、角平分线可设未知数列方程。解答题写明角度转换依据，不要直接目测角度，最后检验角度数值是否符合图形逻辑。 【典例】（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，已知直线，直线分别交，于点，，平分交于点，平分交于点，过点作，为垂足，交直线于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【变式1】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）学习了“平行线”和“三角形”内容后，某兴趣小组探索了如下问题：如图，点、在、之间，且位于的两侧，连接、、. (1)如图①，若，，，则________； (2)如图②，若，求证：； (3)如图③，若、相交于点，， （Ⅰ）直接写出、、、满足的关系； （Ⅱ）若，，.平面内存在一点，连接、，使，，直接写出的度数（用含、的式子表示）. 【变式3】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． ▌题型03 三角形的角中与角平分线相关问题 三角形角平分线题型，抓住角平分线分得两个角相等，得到角的二倍或一半关系。结合内角和、外角定理推导，牢记内外角平分线模型，解答题不能直接套用模型结论。遇到倍角条件可设未知数建立方程，理清角之间和差关系，书写推理依据，求出角度后检验数值是否合理。 【典例】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，分别是的中线和高，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若，的面积是42，求的面积． 【变式1】（25-26七年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，平分，交的延长线于点，平分，交的延长线于点，与相交于点，，． (1)求证：． (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】（25-26七年级下·北京大兴·期末）如图，是上一点，，是上的点，，． (1)求证：； (2)若于点，平分，，求的度数． 【变式3】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． ▌题型04 三角形中角的折叠问题 三角形折叠问题，抓住折叠前后对应角相等，这是核心条件。结合内角和、外角定理推导角度关系，牢记内部折叠。解答题不可直接套用结论，要写出角等量代换过程。遇到角度计算可设未知数求解，区分点落在内部或外部的不同情况，最后检验角度是否符合实际。 【典例】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【变式1】（24-25八年级上·陕西延安·阶段检测）如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点A落在四边形的内部点的位置（如图1），且，，请求出的度数； (2)若点A落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），求证：． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）发现问题 （1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，请你判断与有何数量关系，写出你的结论，并说明理由； 思考探索 （2）如图，平分，平分，把折叠，使点A与点重合，若，求的度数； 拓展应用 （3）如图3，在锐角中，于点，于点，，交于点，把折叠使点和点重合，试探索与的关系，并证明你的结论． ． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． ▌题型05 探究三角形中有关角之间的关系 探究三角形角的关系，以内角和、外角定理为基础，结合角平分线、高线、折叠、8 字、飞镖模型分析。解答题不可直接套用模型结论，需要一步步推导。善用方程处理倍角条件，理清角的和差等量关系。找准图形隐藏角，书写推理依据，得出猜想后代入验证，保证角度符合图形现实意义。 【典例】（25-26七年级下·重庆江津·阶段检测）如图1，已知直线，点A在直线上，点C、D在直线上，连接、，平分，平分，与相交于E． (1)若，，直接写出的度数； (2)若将图1中的线段沿向左平移到如图2所示位置，此时平分， 平分，与相交于点，试确定，，的关系，并证明你的结论． 【变式1】（25-26七年级下·广东中山·期末）综合与实践 请根据以下素材完成任务． 主题：运用一副三角板探究角度的大小 素材 一副三角板与，其中，，，．    前提条件 将这副三角板放置在两条平行线，之间，点落在直线上，边与直线重合，点落在边上（不与点，重合）． 参考图    问题解决 (1)如1图，当边，在同一条直线上时，求的度数； (2)如2图，当边与边相交于点时，试问的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)如3图，当边与边不相交时，试探究与的数量关系，并说明理由． 【变式2】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在三角形中，，直线． (1)求证：平分； (2)为直线上一点（不与点重合），连接，作平分，交直线于点，作，交直线于点． ①当点在线段上时，依题意补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明； ②当点在线段的延长线上时，直接用等式表示和的数量关系． 【变式3】（25-26七年级下·重庆潼南·期末）如图，点O是直线l外一点，，垂足为P，点A，C分别是直线l，线段上一点，，过点B作，平分交l于点E，平分． (1)如图1，若点A与点P重合，则________； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． ▌题型06 与三角形的角有关的证明问题 【典例】（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别是，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，连接，平分交于点． (1)点D的坐标为______，线段扫过的面积为______；（请直接作答） (2)求证：； (3)如图，交于点F，M是线段上一点，且，若N是直线上一点，且满足．若，当时，求常数t的值． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，四边形中，点E在延长线上，连接交于F，，． (1)求证：； (2)如图1，若，求证：平分； (3)如图2，在（2）的条件下，，点M在上，点N在上，，平分交于点H，连接，，求的度数． 【变式2】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，直线，点为上一点，射线交于点，平分交于点，射线上有一动点，过作，垂足为，平分交射线于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点在线段上时，求的值； (3)当点在线段延长线上时，画出图形，并求与的数量关系． 【变式3】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知：，点在线段上（不与、重合）． (1)如图1，若于，交于； ①求证：； ②如图2，分别作、的平分线交于点，求的度数． (2)如图3，在射线上取点，连接，作的平分线交于点，点在线段上，连解接，若，设、、，求、、之间的数量关系． ▌题型07 三角形角中的运动问题 【典例】（25-26八年级上·浙江金华·开学考试）如图，直线，点A，B分别在直线上（自左向右分别为点C，A，D和点E，B，F），．射线自射线的位置开始，绕点A以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒．    (1)如图1，①的度数是 　 　； ②当旋转时间　 　秒时，射线过点A； (2)当旋转时间x为何值时，与垂直． (3)若两条射线与所在直线交于点P．则在运动过程中，求的度数（用含x的代数式表示）． 【变式1】（24-25七年级下·广东广州·期末）如图所示，在中，．初始时，点B、C位于直线上．现围绕点B，以每秒的速度顺时针转动秒，．旋转过程中，始终保持过顶点且． (1)如图，若，当时，求的度数； (2)已知图形在旋转秒后同时满足以下两个条件：；．请判断的形状，并给出证明过程； (3)若，探索在旋转过程中与之间的数量关系． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期中）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下∶ (1)[论证]如图1，延长至点，过点作，就可以说明成立，即：三角形的内角和为．请完成上述说理过程． (2)[应用]如图2，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①设，则________（用含的代数式表示）； ②的度数为________． (3)[拓展]如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，同时绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，当第一次与重合后，立刻再绕着点以原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．设运动时间为秒．在旋转过程中，当的值为多少时，与的一边平行？请直接写出的值． 【变式3】（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）已知，点D是直线上一定点． (1)如图1，现有一块含角的直角三角板（，，），将其点A固定在直线上，并按图1位置摆放，使，点B恰好落在射线上，此时，，求的度数； (2)现将射线从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点D顺时针旋转，转到与重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当与三角板的一边平行时，求t的值； (3)若将射线从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点D顺时针旋转，同时，将三角板也从图1的位置开始以每秒6度的速度绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与的角平分线交于点O． ①如图2，当时， 度； ②当三角板边第一次落在上时，三角板和射线同时停止运动，则当时， 度． ▌题型08 三角形的角有关新定义问题 【典例】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）数学活动课上，张老师在黑板写下新定义：“若三角形中存在一个内角的度数恰好是另一个内角度数的两倍，则称这个三角形为“倍角三角形”，同学们好奇地围拢过来，开启了对“倍角三角形”的探究之旅…… (1)张老师给出三个三角形示例，让大家快速判断：一定是“倍角三角形”的是_____（只填写序号）． ①顶角为的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)同学们动手折纸，构造几何模型：如图1，在等腰中，，，将沿边所在直线翻折得到，延长到点，交于点，连接． ①张老师抛出猜想：一定符合“倍角三角形”的定义！”请你帮同学们证明这个结论； ②点在线段上，连接，若，分所得的两个三角形中，是“倍角三角形”，是等腰三角形，请直接写出的度数． 【变式1】（25-26八年级上·福建龙岩·阶段检测）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．若是“奇妙互余三角形”，，求的度数． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）定义：若两个角与满足，则称与为“互优角”．如图，若中与为“互优角”． (1)求的度数； (2)点是线段上一点（不与A，B重合），连接，当中存在两个内角为“互优角”，求的度数． 【变式3】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解： 【概念学习】 定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 （1）如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”．    （2）如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”；    【概念应用】 （3）在中，，是的巧妙分割线，直接写出的度数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $