1.4.1空间向量的应用：平行垂直 （知识清单）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学资料聚焦空间向量与立体几何，系统梳理空间向量表示直线（方向向量）、平面（法向量）的概念及求法，进而构建用向量平行、垂直判定线线、线面、面面位置关系的知识体系，形成从基础概念到应用判定的学习支架。 知识链路以向量表示为起点，通过逻辑递进的知识点（方向向量、法向量、位置关系判定）串联，配套七类典型题型及规律方法总结。习题精选各地考试真题，覆盖选择、填空、解答题，培养数学思维（推理运算）和数学语言（符号表达），助力学生掌握立体几何问题的向量解决方法。

第一章 空间向量与立体几何 第04讲 空间向量的应用：平行垂直 知识点1 空间向量表示直线、平面 1.直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量. 一条直线的方向向量有无数个。 2.直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 3.平面的法向量的求法 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组．(4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面的所有法向量都互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 知识点2： 判定直线、平面间的位置关系 1、直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为． ①若∥，即=λ，则a∥b． ②若⊥，即· = 0，则a⊥b 2、直线与平面的位置关系： 直线的方向向量为，平面α的法向量为，且． ①若∥，即 =λ，则 ②若⊥，即· = 0，则． 3、平面与平面的位置关系：平面α的法向量为 ，平面β的法向量为． ①若∥，即=λ，则α∥β ②若⊥，即 ·= 0，则α⊥β 题型一：直线的方向向量 规律与方法： 1.空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量. 2.可以利用共线向量求解。 1.（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 题型二：平面的法向量 规律与方法： 平面的法向量的求法 第一步：写出平面内两个不平行的向量， ， 第二步：设平面的法向量为，根据法向量与平面内直线垂直建立关于x、y、z的方程； 第三步：解方程组，取其中的一个解，即得法向量．（一般令一个值求出两外两个即可） 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 题型三：空间向量平行的坐标表示：线面平行 规律与方法： 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 ，l∥α⇒a⊥u⇔a·u＝0⇔线面平行 1.（25-26高二上·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 3.（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 题型四： 空间向量平行的坐标表示：面面平行 规律与方法： 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 α∥β⇒u∥v⇔u＝kv，k∈R⇔面面平行 1．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高二上·黑龙江·开学考试）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3.（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在边长为的正方体中，点分别在，上，，求证：平面平面． 题型五：空间向量垂直的坐标表示：线面垂直 规律与方法： 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R⇔线面垂直 1.（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（24-25高二上·新疆·阶段检测）已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为______． 3.（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 题型六：空间向量垂直的坐标表示：面面垂直 规律与方法： 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔面面垂直 1.（25-26高三·全国·一轮复习）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 2.（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 3．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 题型七：与平行垂直相关的动点问题 规律与方法： 1.在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围． 2.利用空间向量的坐标运算，可将空间中的动点问题转化为方程是否有解的问题进行处理． 1.（26-27高二上·河南焦作·开学考试）四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 2.（多选 25-26高二上·广东 ·期末）已知正方体的棱长为1，点满足，，，是棱的中点．以下说法正确的有（     ） A． B．若平面，则 C．若，则的最大值是 D．若当为定值（）时，点的轨迹长度为，则 3.如图，正△ABC的边长为4，CD为AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B. (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； (2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 课后作业： 1．（25-26高二上·宁夏·月考）已知空间两点，，与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 5.（25-26高二下·山西临汾·期末）在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 7.（25-26高二上·广东 ·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 8.（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 9.（多选 26-27高二上·辽宁营口·开学考试）已知空间非零向量，，，则（    ） A．，可以相互垂直 B．，为平面的共面向量 C．是平面的一个法向量 D．，不能作为其确定平面内的一组基底 10.（多选 25-26高二上·福建福州·期中）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 11.（多选 2026·河南洛阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，过点作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（    ） A． B．三棱柱外接球的半径为 C．若交于，则为中点 D．将三棱柱分成两部分，体积较大部分的体积为 12.（26-27高二上·河北承德·开学考试）已知空间直线的方向向量是（，），平面的一个法向量为，若，则____________；若，则____________. 13.（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 14．（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是 ． 15.（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 16.（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正方体中，其棱长为2；  (1)求三棱锥外接球的体积； (2)M，N分别是的中点，过BD的平面平面，求平面截正方体所得截面的面积； (3)若是线段上的一点，若平面，试判断点在线段上的位置，并说明理由 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何 第04讲 空间向量的应用：平行垂直 知识点1 空间向量表示直线、平面 1.直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量. 一条直线的方向向量有无数个。 2.直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 3.平面的法向量的求法 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组．(4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面的所有法向量都互相平行； ③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 知识点2： 判定直线、平面间的位置关系 1、直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为． ①若∥，即=λ，则a∥b． ②若⊥，即· = 0，则a⊥b 2、直线与平面的位置关系： 直线的方向向量为，平面α的法向量为，且． ①若∥，即 =λ，则 ②若⊥，即· = 0，则． 3、平面与平面的位置关系：平面α的法向量为 ，平面β的法向量为． ①若∥，即=λ，则α∥β ②若⊥，即 ·= 0，则α⊥β 题型一：直线的方向向量 规律与方法： 1.空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量. 2.可以利用共线向量求解。 1.（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 2.（24-25高二上·河南·期中）在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示、求直线的方向向量（空间中） 【分析】求出向量，再利用空间向量共线的充要条件列式判断即得. 【详解】依题意，，，则， 所以点的坐标满足的关系式是. 故选：C. 3.（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量平行的坐标表示、求直线的方向向量（空间中）、空间向量的坐标运算 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 题型二：平面的法向量 规律与方法： 平面的法向量的求法 第一步：写出平面内两个不平行的向量， ， 第二步：设平面的法向量为，根据法向量与平面内直线垂直建立关于x、y、z的方程； 第三步：解方程组，取其中的一个解，即得法向量．（一般令一个值求出两外两个即可） 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】求平面的法向量、空间向量的坐标运算 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 2.（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）在空间直角坐标系内，已知平面经过点，且平面的一个法向量，则下列各点中，位于平面内的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.74 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】设点位于平面内,可得,依次检验选项即可. 【详解】设点位于平面内,则,因为平面的一个法向量，， 所以, 即若点位于平面内,满足， 对于A，若，代入，不为，故A不正确； 对于B，若，代入，故B正确； 对于C，若，代入，不为，故C不正确； 对于D，若，代入，不为，故D不正确； 3．（2026·河北保定·一模）在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 题型三：空间向量平行的坐标表示：线面平行 规律与方法： 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 ，l∥α⇒a⊥u⇔a·u＝0⇔线面平行 1.（25-26高二上·黑龙江·期末）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】空间向量平行的坐标表示、平面法向量的概念及辨析 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 2.（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】平面法向量的概念及辨析、判断命题的必要不充分条件、空间位置关系的向量证明 【详解】若，由于是直线的方向向量，这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。 此时直线可能与平面平行，但也可能在平面内，因此不能推出，故充分性不成立； 若，则直线的方向向量必定与平面的法向量垂直，即一定成立，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3.（25-26高二下·福建宁德·期中）已知直线所在方向向量为，平面的一个法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．在面内或平行 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【详解】设直线所在方向向量，平面的一个法向量为， ，所以 ，由此可得直线在平面内或与平面平行. 题型四： 空间向量平行的坐标表示：面面平行 规律与方法： 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 α∥β⇒u∥v⇔u＝kv，k∈R⇔面面平行 1．（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知平面的法向量分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量平行的坐标公式求解. 【详解】，平面的法向量分别为，， ，， ，， ，，，. 故选：B. 2.（26-27高二上·黑龙江·开学考试）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 3.（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在边长为的正方体中，点分别在，上，，求证：平面平面． 【答案】证明: 在边长为的正方体中，， 因此，， 因为且，所以四边形是平行四边形，故. 又平面，平面，所以平面. 因为且，所以四边形是平行四边形，故， 同理可知平面. 因为，且都在平面内， 所以平面平面. 题型五：空间向量垂直的坐标表示：线面垂直 规律与方法： 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R⇔线面垂直 1.（25-26高二下·湖南衡阳·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间位置关系的向量证明、充要条件的证明 【分析】根据线面垂直的判定与性质以及法向量和方向向量的关系判断即可. 【详解】由直线方向向量和平面法向量的定义可知： 由“”可以推出“”，反之，由“”也可以推出“”， 所以“”是“”的充分必要条件，故C正确. 2.（24-25高二上·新疆·阶段检测）已知，，，点，若平面ABC，则点P的坐标为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、求直线的方向向量（空间中）、空间向量的坐标运算 【分析】由题意得，根据空间向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题可得，， 平面ABC， ， ， ， . 故答案为：. 3.（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，正四棱柱中，为的中点，在线段上，为的中点. (1)证明：； (2)证明：平面. 【答案】(1) 如图，以D为原点，AD所在直线为轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以. (2) 方法一： 由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 由且， 得， 令得， 所以， 可得：， 所以：平面. 方法二： 由（1）可知：， 有， 所以， 因为平面，平面，且， 所以平面. 题型六：空间向量垂直的坐标表示：面面垂直 规律与方法： 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔面面垂直 1.（25-26高三·全国·一轮复习）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【详解】， ，解得． 2.（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【详解】由题设，且， 综上，法向量既不平行，也不垂直，则平面与平面相交. 3．（25-26高二上·浙江嘉兴·月考）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面. (2)求证：平面平面 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 题型七：与平行垂直相关的动点问题 规律与方法： 1.在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围． 2.利用空间向量的坐标运算，可将空间中的动点问题转化为方程是否有解的问题进行处理． 1.（26-27高二上·河南焦作·开学考试）四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点，若平面，侧棱上存在一点，使得平面，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、空间位置关系的向量证明、正棱锥及其有关计算 【分析】设交于点，连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由平面，结合，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】连接，设交于点，连接， 因为四棱锥的底面是正方形，且每条侧棱的长都是底面边长的倍， 所以四棱锥为正四棱锥，可得平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，设底面边长为，则， 可得， 则， 假设在侧棱上存在一点，使得平面， 又因为平面，所以是平面的一个法向量， 设， 则， 由，可得，解得， 即当时，， 又因为平面，所以平面， 故侧棱上存在一点，使得平面，且. 2.（多选 25-26高二上·广东 ·期末）已知正方体的棱长为1，点满足，，，是棱的中点．以下说法正确的有（     ） A． B．若平面，则 C．若，则的最大值是 D．若当为定值（）时，点的轨迹长度为，则 【答案】BC 【难度】0.38 【知识点】立体几何中的轨迹问题、空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】对于A，直接根据向量运算求解判断即可；对于B，建立空间直角坐标系，利用坐标法得即可判断；对于C，结合B选项，利用坐标法得，再根据基本不等式求解即可判断；对于D，分和两种情况讨论求解即可判断. 【详解】因为点满足，，， 所以点在四边形内（含边界）， 对于A选项，，故错误； 对于B，如图，建立空间直角坐标系，则，， ， ，，，， 因为，所以，即， 因为平面，所以平面， 因为， 所以，当平面时，，即，整理得，故正确； 对于C选项，因为，， 所以，当时，有，即，整理得， 所以，根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以，若，则的最大值是，C选项正确； 对于D选项，由正方体的性质易知平面， 所以，当为定值（）时，为定值， 当时，，点即为点；当时，，点即为点； 当时，的轨迹为：以为圆心，半径的圆弧，位于正方形区域内（含边界）， 当，即时，的轨迹为在正方形内的完整圆周， 故当点的轨迹长度为时，，解得； 当，即时，的轨迹为在正方形内的弧， 此时的长为，令，则， 则，故弧长， 此时结合图形可知弧的长度从逐渐减小到0，故存在使得弧长. 综上，当为定值（）时，点的轨迹长度为，则或，故D选项错误. 3.如图，正△ABC的边长为4，CD为AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B. (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； (2)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由. 解　(1)AB∥平面DEF，理由如下： 在△ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EF∥AB. 又因为AB平面DEF，EF平面DEF，所以AB∥平面DEF. (2)以点D为坐标原点，直线DB，DC，DA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，，1)，故＝(0，，1). 假设存在点P(x，y，0)满足条件， 则＝(x，y，－2)，·＝y－2＝0，所以y＝. 又＝(x－2，y，0)，＝(－x，2－y，0)，∥， 所以(x－2)(2－y)＝－xy，所以x＋y＝2. 把y＝代入上式得x＝，所以＝， 所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE，此时＝. 课后作业： 1．（25-26高二上·宁夏·月考）已知空间两点，，与同向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由共线向量和单位向量定义求解. 【详解】根据题意， 则与向量方向相同的单位向量是. 故选：B 2.（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求直线的方向向量（空间中） 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 3.（25-26高二上·安徽阜阳·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求平面的法向量 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 4.（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（    ） A．0 B． C．4 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【详解】因为，所以， 则，解得. 5.（25-26高二下·山西临汾·期末）在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明、直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】根据题意，利用平面的法向量与直线的方向向量的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量， 若，则，所以，解得，所以充分性不成立； 反之：若，可得，此时， 可得与不垂直，所以与不平行，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 6.（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【详解】由，为平面的法向量，为平面内的一个向量，得， 则，所以. 7.（25-26高二上·广东 ·期中）直三棱柱的所有棱长均为4，D为侧棱的中点，M为侧棱上一点，N为上一点，且，且平面，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】空间位置关系的向量证明 【详解】 因为三棱柱为直三棱柱，所以可以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 为中点，故， 在上，且，向量， ， 因此的坐标为：， 在上，设，则：. 接着求平面的法向量，设法向量为， ，，， 令，则，. 因为平面，所以， 化简得：， 所以. 8.（2026·山东枣庄·三模）在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明线面平行、空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，利用线面平行，可知直线的方向向量与平面的法向量垂直，确定动点坐标之间的联系，从而找到过点且与平面平行的平面，与平面的交线即为动点的轨迹，最后计算轨迹线段长度即可. 【详解】解：由正方体，可建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 设平面的法向量，则，所以， 则，取，则，，所以. 由是正方形内的动点（包含边界），可设，其中，，则， 因为平面，所以，则，即，整理得， 当时，，此时，为中点； 当时，，此时，为中点， 连接，不难发现，，且，， 易证，平面平面，所以点的轨迹为线段， 因此，轨迹长. 9.（多选 26-27高二上·辽宁营口·开学考试）已知空间非零向量，，，则（    ） A．，可以相互垂直 B．，为平面的共面向量 C．是平面的一个法向量 D．，不能作为其确定平面内的一组基底 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面、空间向量垂直的坐标表示、平面法向量的概念及辨析、空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量平行垂直的坐标运算和平面向量基本定理逐个判断选项正误. 【详解】若，相互垂直，则，解得， 与题意为非零向量矛盾，所以，不可以相互垂直，所以选项A错误； ，的竖坐标均为0，所以，均在平面内， 所以，为平面的共面向量，所以选项B正确； ，非零向量，则，所以是非零向量，且平行于竖轴， 是平面的一个法向量，所以选项C正确； 因为，是非零向量，所以，所以，不共线， 所以，可以作为其确定平面内的一组基底，选项D错误. 10.（多选 25-26高二上·福建福州·期中）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】平面法向量的概念及辨析、直线方向向量的概念及辨析（空间中） 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定. 【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出； 反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确； 对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误； 对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反， 因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确； 对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内， 不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误. 故选：AC. 11.（多选 2026·河南洛阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，过点作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（    ） A． B．三棱柱外接球的半径为 C．若交于，则为中点 D．将三棱柱分成两部分，体积较大部分的体积为 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】对A，通过证明直线与截面α内的法向量不垂直判断；对B，将直三棱柱补为长方体，根据长方体外接球半径等于长方体体对角线的长度计算；对C，设交点为中点，共面向量定理求解验证；对D，先求三棱柱总体积，用补形法（总体积减较小部分体积）计算较大部分体积. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，所以，， 对于选项A：，， 设平面的法向量为， 则由，即，令，则， 所以是平面的一个法向量. 因为，故 不平行于平面，A错误； 对于选项B：直三棱柱中，， 可补为棱长为2的正方体，设外接球的半径为， 则外接球直径等于正方体体对角线，即，解得，B正确； 对于选项C：若为中点，则坐标为，，且四点共面， 则，，即，所以， 方程组无解，所以不是中点，C错误； 对于选项D：设与交点，则， 由得，所以， 解得，即. 三棱柱总体积，体积较小部分可分割为四棱锥和三棱锥， 对四棱锥，顶点，底面四边形顶点， 底面四边形面积，高为到平面的距离， 所以； 对三棱锥，顶点，底面顶点， 底面三角形面积，高为到平面的距离， 所以， 所以体积较小部分的体积为，所以体积较大部分的体积为，D正确. 【点睛】本题以直三棱柱为载体，综合考查空间线面平行判定、外接球半径计算、截面交点定位、空间几何体体积计算，核心方法是空间直角坐标系 + 向量法，将几何问题代数化，同时结合补形、分割等体积计算技巧. 12.（26-27高二上·河北承德·开学考试）已知空间直线的方向向量是（，），平面的一个法向量为，若，则____________；若，则____________. 【答案】 【难度】0.82 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【详解】由题意，是直线的方向向量，是平面的一个法向量. ①若，则，即，解得，则； ②若，则，即，解得. 13.（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【详解】由题意，则，所以， 解得，所以. 14．（25-26高二上·北京·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，．若点在平面内（与，，三点都不重合），则点的坐标可以是 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】先求出平面的一个法向量，然后根据可得点的各坐标之间的关系，由此可确定出点坐标的可取值. 【详解】因为，，，所以， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因为平面，所以， 因为，所以，所以， 故点的坐标满足即可，可取， 故答案为：(答案不唯一). 15.（25-26高二下·江苏南通·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)求证： (2)当的值为多少时，平面？请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【难度】0.52 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、线面垂直证明线线垂直、空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律证明即可； （2）首先利用线面垂直的性质定理证明，若 平面 ，只需满足 ，然后利用空间向量数量积的运算律即可证明. 【详解】（1）设，，， 因为底面 是菱形， 所以，且， . 由题知 ，且 ，因此 ， 即，故. （2）当时， 平面 ，证明如下： 设 ，，则 ，， ， ， 因为底面是菱形，所以， 又因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以 . 若 平面 ，需满足 ， ，，令 ，即 ， 展开整理： ，代入 ，得 ： ， 由于 ，，因此 ，即 . 此时 且 ，，平面 ， 故 平面 . 16.（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正方体中，其棱长为2；    (1)求三棱锥外接球的体积； (2)M，N分别是的中点，过BD的平面平面，求平面截正方体所得截面的面积； (3)若是线段上的一点，若平面，试判断点在线段上的位置，并说明理由 【答案】(1) (2) (3)点是线段上靠近B的三等分点 【分析】（1）将锥体的外接球问题转化为正方体的外接球问题，求出球的半径，代入球的体积公式即可求解； （2）先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积即可； （3）建立空间直角坐标系，设得，求出平面的法向量，进而利用求出，即可判断点的位置. 【详解】（1）因为三棱锥的顶点也是正方体的顶点，所以正方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，由题意，正方体的棱长为2，则，所以三棱锥外接球的体积为. （2）根据题意，取的中点E，的中点F，连接，    则，所以，且， 故在同一平面内， 连接，因为分别为的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 即平面截该正方体所得截面为梯形； 又由梯形中， ， 即平面截该正方体所得截面为等腰梯形，又， 所以等腰梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为， 即平面截正方体所得截面的面积为. （3）如图，建立空间直角坐标系，    则， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设，则，所以， 所以， 若平面，则， 化简得，解得，所以， 所以点是线段上靠近B的三等分点时，满足平面. 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $