第20章 二次根式 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（华东师大版·新教材）

第20章 二次根式 知识梳理导图 含有根号，且根指数为2。形式 二次根式 的乘法 被开方数≥0。判定 aWb=ab(a0,b≥0) 积的算术 a≥0(a≥0) 平方根 Vab=aVb(a≥>0，b≥0) (a)-a(a≥0) 次 性 反 a(a≥0) 二次根式 (a≥0，b>0) 质 二次 的除法 b Va2-lal- 式 ● a(a<0) 根式 的 商的算术 被开方数不含分母， a_ 匠 平方根 b (a≥0，b>0) 分母不含根号 最简二 算 被开方数不含开得 次根式 二次根式的加减法（合并同类二次根式） 尽方的因数或因式 三次根式 与实数、整式、分式 被开方数相同的同类二 的化简 二次根式的运算顺序相同 最简二次根式 次根式 混合运算 实数运算律仍然适用 重难疑点解法 分上分点个代数式有意义的条件 分上分点2√a(a≥0)的双重非负性 例)(2026·湖南林洲天元区期中)如图，x的取值 例2 (2026·浙江杭州滨江区期末)实数a、b在数轴 范围在数轴上表示如图所示，满足该范围的任意x的 上对应点的位置如图所示，化简|a|十√(a-b) 值都能使下列二次根式有意义的选项是( a+b|的结果是 4-3-2-1 0 1234 名师启发直接利用数轴上a、b的位置，得出 A.√元 B./x-1 a<0,a一b<0,a十b<0,再利用绝对值以及二次根 C.√x-2 D.√x+I 式的性质化简得出答案。 名师启发根据数轴判断出x的取值范围，再 方法技巧 根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于 本题主要考查了二次根式的性质以及实数与 0逐项进行判断即可. 数轴，正确得出各项符号是解题的关键， 矿方法技巧 解决这类二次根式有意义与数轴取值范围结 上分点3二次根式的混合运算 合的题目，核心是先根据数轴得出解集，再依据二 例3(2026·四川内江期中)下列各式计算正确的 次根式被开方数非负的条件列出各选项的不等式 是( 并求解，关键要验证选项的取值范围是否完全包含 A.2√5+4√2=6√5 数轴读出的范围.同时要注意数轴上空心点与实心 .. B.W(-5)2=-5 点的区别 C.√27÷√3=3 1 实验班提优训练数学九年级上HSD D.(2+√3)(2-√5)=-1 即可. 名师启发根据二次根式的运算法则逐一判 断，即可得出正确答案。 关建提醒 本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二 次根式的运算法则是解题的关键 分上分点4与二次根式有关的化简求值 a2-b2 例4先化简，再求值： a2-2ab+b2 a b2 b-al a2-ab其中a,b满足Va+I+b-3=0. 名师启发先把分子和分母因式分解，并把除法 广方法技巧 本题考查平方差公式、完全平方公式、因式分 运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到 解、分式的运算、二次根式的化简、非负数的性质 原式=分，再根据非负数的性质得到a十1=0，b- 等，熟练掌握各类化简求值的基本技能是解题 √3=0，解得a、b的值，然后把a和b的值代入计算 关键， 易错易混辨析 )易错点1二次根式性质运用出错 (2)化简并求值：21V@一2a+ a+1 a2-a 例)已知3<x<5,化简V√(x-5)2+|x-3别 的正确结果为( ) A.2 B.-2 C.2x-8 D.8-2x 解析3<x<5,.x-5<0,x-3>0, ∴√(x-5)2+|x-3=5-x+x-3=2. 答亲A 辨析纳 本题考查了二次根式的性质，若√a=一a,则 a≤0；若√a=a,则a≥0.熟记此性质是解答本题 4.(2025·江西上饶广丰区期末)[阅读理解]小明在学习 的关键. 二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另 一个式子的平方，如3十2√2=(1十√2)2.善于思 巩固特划 1.(2025·山东威海期末)若/x(3-x)=√无·√3-x, 考的小明进行了以下探索： 则化简√(x+1)+|x一4的结果是 设a十b√2=(m十n√2)2（其中a、b、m、n均为正 整数)，则有a十b√2=m2十2n2十2√2mn, 2.如果v2-z+√/x2=0,那么1二当 .a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种 3.(2025·四川眉山东坡区苏辙中学期中)已知a=2一√3. 把a十b√2化为平方式的方法.请你仿照小明的方 (1)求a2-4a+4的值； 法探索并解决下列问题. 2 第20章 [实践探究](1)当a、b、m、n均为正整数时，若a十 (1)化简：2 b√=(m十nW3)2,用含m、n的式子分别表示a、 3+w万 b,则a= ,b= (2)若a= 37求a2-60的值； 2 (2)若x十6√3=(m十n√3)2，且x、m、n均为正整 1 数，分别求出x、m、n的值 (3)已知x= 2(W2+1) 求代数式x+5 [拓展延伸](3)化简√8一2√15= 的值. 6.(2026·四川成都锦江区期中)已知a=5—2 b= )易错点2二次根式运算错误 1 例2 计算一27 的结果是 √5+2 √12-5 (1)化简a、b; 解析 √27 3√5 33=3. (2)求代数式2a2+2b2-4ab的值； √12-√323-√3√3 (3)若m为a的整数部分，n为b的小数部分，求 答案3 舞析伯纳 号的位 本题考查了二次根式的运算，解决本题的关键 !是牢记二次根式的性质和运算法则. 巩固特 5.(2026·江西景德镇期中)在解决问题“已知a= 2一1求22-4a十1的值时小华是这样分析 与解答的： 1 ""a= W2+1 =√2+1， √2-1(2-1)(2+1) ∴a-1=√2，.(a-1)2=2,即a2-2a+1=2, .a2-2a=1,.2a2-4a=2,∴.2a2-4a+1=3. 请根据小华的分析过程，解决下列问题： 3 实验班提优I川练数学九年级上HSD 素养考向提分 新情境 (1)求种植青菜部分的周长；（结果化为最简二次 例①(2026·上海浦东新区期中)先化简，再求值： 根式) (2)求种植青菜和香菜部分的面积差. a+√1-2a十a2,其中a=1012. 如图是小亮和小芳的解答过程. 解：原式=a+(1-a 解：原式=a+J(1-a =a+1-a=1 =a+a-1=2023 风小亮 小芳 (1) 的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的 性质： (3)先化简，再求值：a+2√a2-6a十9，其中 a=-2025. 解析解答本题主要是要熟练掌握二次根式的 性质，能够结合具体情境进行分析. 答案(1)小亮提示：原式=a十√(1-a)= a+|1-a. 跨学科 .a=1012,.1-a<0, 例2高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”， .原式=a+a-1=2a-1=2×1012-1= 即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且 2023.故小亮的解法错误 用时很短，常常让人避让不及.据研究，高空抛物下落 (2)va2-lal 的时间t(单位：s)和高度h(单位：m)近似满足公式 (3)当a=-2025时， h a+2Wa2-6a+9=a+2w√(a-3)2 t-Ng (不考虑风速的影响，g≈10m/s2). =a+2la-3=a+2(3-a)=6-a (1)求从60m高空抛物到落地的时间.（结果保 =6-(-2025)=2031. 留根号) (2)已知高空坠物动能（单位：J)=10×物体质量 %点拨 本题考查二次根式的化简求值，解题的关 (单位：kg)×高度（单位：m).某质量为0.2kg的玩具 键是熟练运用二次根式的性质. 被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能 举反自 会伤害到楼下的行人吗？请说明理由.（注：伤害无防 护人体只需要65J的动能) 1.(2026·湖南邵阳期中)2025年河南全省学生劳动教 育周活动启动仪式在三门峡市举行.如图，某校实 解析 4)把h=60代入公式1=√g 即可； 践基地有一块长方形空地ABCD,空地的长AB 为√/32m,宽BC为√I8m,准备在空地中划出一 (2)先根据公式t=√g /2h 求出h,再代入动能计算 块长(W3+1)m,宽(3一1)m的小长方形地种植 公式求出这个玩具产生的动能，即可判断. 香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜. 答案(1)由题意，知h=60m,g≈10m/s2, 4 第20章 .t≈入 2×60 新考法 10 =√/2=23(s). 例3观察下列各式及验证过程： 故从60m高空抛物到落地的时间为2√3s. 1112 (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人. W2-3=2N3 理由如下： 111 212 当t=3s时，3≈√10 ,解得h≈45m. 验证：√3=√2x8√2X32√3 ∴.这个玩具产生的动能约为10×0.2×45= 90(J). .90J>65J, 验证V√合×（兮百）-√2x3X4 这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人 3 13 V2X32X4 -3W8; ⊙点拨 本题考查了二次根式的应用，利用题目中 x任)-儒， 所给公式考查二次根式，理解公式并正确代入 求值是解题的关键 验证√合×（任-√Xx 举反白 4 14 2.座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周 W3×42×5 4151 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思 期，其计算公式为T一2任，其中T表示周别 (单位：s),l表示摆长（单位：m),g为重力加速度 想，猜想√任×（行日）的变形结果并进行验证， 且g=9.8m/s2,假如一台座钟的钟摆长为0.5m, (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任 它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在 意的自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明. 1min内，该座钟发出多少次滴答声？（√I0≈ 解析(1)通过观察，不难发现：等式的变形过程 3.16,π取3.14，结果保留整数) 利用了二次根式的性质√a=a(a≥0)，把根号内的 因数移到根号外； 视频学重难 (2)根据上述变形过程的规律，即可推广到一般 结论.表示左边的式子时，观察根号外和根号内的分 子、分母之间的关系可得√元（n十1一n+2 1 1 n+1 n+1Wn(n+2) 答案 V×(信-石)-3月 验证V×行后)√xx6√xx 1 5 15 5V24 (2Wn+2 1 n+1 n+1Vn(n+2) 1/1 验证√(n+1厂n+2 5 实验班提优训练数学九年级上HSD 1 n+1 4.观察下列等式： Wn(n+1)(n+2)n+1Vn(n+2) 第1个等式√， 点拨 本题主要考查了二次根式的性质，这题是 个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式 第2个等武4-8得 左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特 第3个等式0 /3 4 殊形式 4 样反白 第1个16雪-4得， 3.(2025·北京通州区期末改编)我们已经学习了二次根 式和完全平方公式，请阅读下面材料： 按照以上规律，解决下列问题： 当a>0,b>0时. (1)第6个等式： .(√a-√b)2=a-2√ab+b, (2)计算：√361 20X√400-40 361 ×√42； 又（√a-√b)2≥0， (3)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性 ∴.a-2Jab+b≥0， (用含n的式子表示)； .a+b≥2√ab. 当且仅当a=b时，a十b=2W√ab ④若公+2+1吗-x符合上述越律，请 请利用上述结论解决以下问题： 直接写出代数式a十b的值. 1)当x>0时，4红+是的最小值为 （2)若y=。+4红+9(x>-2》,求y的最小值 x+2 6答案6D详解 第20章二次根式 2.-1 例①D[解析]数轴表示的是x≥1. 3.(1)a=2-√3， A.当一1≤x<0时，√无没有意义，故此选项不符合 ∴.a2-4a+4=(a-2)2=(2-√5-2)2= 题意； (-√3)2=3. B.当一1≤x<1时，√x一1没有意义，故此选项不符 (2).a=2-√3，∴.a-1=2-√5-1=1-3<0， 合题意； ∴Wa2-2a+1=(a1)=|a-1=1-a, C.当一1≤x<2时，W√x一2没有意义，故此选项不符 要化简该式，须先判断a一1 合题意； 的正负 D.当x≥一1时，w√x+1有意义，故此选项符合题意， :a21va2a_a+1)a-1)1-a 故选D. a+1 a2-a a+1 a(a-1) 例2-a十2b[解析]由数轴可知，a<0,a-b<0, -1+日 a+b<0, .原式=-a+|a-b-|a+bl=-a-(a-b)+ 将a=2-代人，得原式=2-3-1+。1 2-√5 (a+b)=-a-a+b+a+b=-a+2b. 2+√3 例3C[解析]A.2W3和42不是同类二次根式， =1-√3+ (2+√3)(2一3) 不能合并，错误，不符合题意； =1-√5+2+√5=3. B.√(-5)2=√25=5≠-5，错误，不符合题意； 4.(1)m2十3n22mn[解析]，a十b√3=(m十 Cv27÷3-√厚-内=3，正确，符合题意： n√3)2，∴.a+b√5=m2+3n2+2√3mn, ∴.a=m2+3n2,b=2mn. D.(2+3)(2-√3)=22-(W3)2=4-3=1≠-1，错 (2)(m+n√5)2=m2+2√3mn十3n2, 误，不符合题意.故选C. .由x+6√3=(m+n√3)2， 例9原式- F(a+6)(a-b)a_].a(a-6) (a-b)2 a-b /2mn=6①， 得 -(atb-a）.a(a-b) m2+3n2=x②， a-b a-bl b2 由①，得mm=3. b a(a-b)a m=3, b ·mn为正整数，m=1 或{ n=3ln=1. .√a+I+|b-√3|=0， m=1, 把 em=3, 或{ 代入②中，得x=28或12， ∴.a+1=0,b-√3=0，解得a=-1,b=√3. n=3 n=1 当a=-1,6=3时，原式=-人=-3 m=1, m=3, √331 n=3,或n=1, 巩固特训 x=28 x=12. 1.5[解析]由题意，得x≥0且3-x≥0，解得0≤ (3)5-√3[解析]√8-215= x≤3， √(W5)2-2√15+W3)2=√(W5-√3)2=√5-√3. .W(x十1)2+|x-4|=|x+1|+|x-4|=x+ 5.(1)- 2 2(3-7) 1+4-x=5. 23=-37. '3+7(3+7)(3-√7)32-(W7)2 41 (2)a=2= 2(3+√7) =3+W7, 1)(W3+1)=(W3)2-1=2(m2), 3-√7(3+√7)(3-√7) 种植青菜部分的面积为（√32×√18）一2= .a-3=√7，.(a-3)2=a2-6a+9=7, (4√2×3√2)-2=22(m2), ∴.a2-6a=7-9=-2. .22-2=20(m2). 1 √2-1 (3),x 故种植青菜和香菜部分的面积差为20m2. 2(W2+1)2[(√2+1)(W2-1)] 2.由题意，得l=0.5m,g=9.8m/s2, 2-1 2, /0.5 .T=2m9.8 =2x9 5 5X2 =2r√98X2 ∴.2x十1=√2，.(2x+1)2=(W2)2, 1 4x2+4x十1=2，x2+x=4, 5而≈34×3.16≈1.42(s .60÷1.42≈42（次） x月-1=(x+2) 4x2-1= 4大 故在1min内，该座钟发出约42次滴答声. 3.(1)4[解析]·x>0, 42-1= 4(z2+x)-1 →利用整体代入的方法计算 医-》--4+ -×-16-1=0 启0. 旧纳总结本题考查了分母有理化的运用、完全 平方公式、平方差公式，复杂的分母有理化可以运 用平方差公式进行计算. +4+ 6.(1)a= 1 5+2 =√5+2， 5-2(w5-2)(W5+2) 当>0时，4红+士的最小值为4 √5-2 b= =√5-2. (2=x2+4z+9_x2+4x+4+5z+2+5 √5+2(5+2)(5-2) x+2 x+2 x+2 (2).'a=√5+2，b=√5-2，.a-b=4, =x+2+,5 +2 ∴.2a2+2b2-4ab=2(a2+b2-2ab)=2(a- x>-2, b)2=2×42=32. 5 (3).m为a的整数部分，n为b的小数部分， 六x+2+x十2≥2wx+2· 5 a+2 .m=4,n=√5-2， .4 4(W5+2) 小x+2+, =4W5+8. x2≥2v5, n√5-2(W5-2)(W5+2 .y的最小值为2W5. 举反9 6 1.(1)由题意，得DM=EF,DE=MF, ∴.种植青菜部分的周长等于长方形空地ABCD的 ②原式=19√×20√图×，厘=19x如× 周长，为2(AB+BC)=2(√32+√18)=2(42+ 3√2)=14√2(m). √20×27×42=380√38. /1920 故种植青菜部分的周长是14√2m. n (2)由题意，得种植香菜部分的面积为（√3一 3》第n个等式为，h n+1=”√n十1·证明 42 如下： =-或x=-3 m V2 n2 =√n2. m<0,x1<2x1=-3,x2=- m /n+1-1 n /n+1 =nNn+1 =-3+m(m<0), x2 6-2=x,即/(a+1)2 196 196 (4)√a2+2a+1 b-2 ∴.该函数的表达式是y=一3十m(m<0) (3)设关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x十3= -x. 0(m≠0)的两个根为a、b, 196 “√02+2a+1-62=x符合所得规律， m m rab=3 则a+6=-3m+1--3- m ∴.(a+1)2=196,b-2=√196+1=14+1=15， 解得a=13或-15，b=17, 与6是毯数，品与品均为整数 m .a+b=13+17=30或a+b=-15+17=2,即 .m是正整数，.m=1, a+b的值为2或30. ∴.原方程为x2十4x十3=0. 第21章一元二次方程 ,x1与x1十n(n≠0)分别是关于x的方程x2十 例①：a是关于x的一元二次方程x2-3x-10= 4x+3-b=0的两个根， 0的根，.把x=a代入x2-3x一10=0， x1十x1十n=-4,x1= n十4 2 得a2-3a-10=0,∴.a2-3a=10, .a(a-3)+5=a2-3a+5=10+5=15. ∴原式=4(”)+12m()+5m2+16m+ 例2(1)设x2=y,则原方程可化为y2-y-6=0, 8=24, 整理，得(y一3)(y+2)=0, 例4(1)设购买传感器模型x个，则购买减速器模 解得y1=3,y2=-2. 型(600-x)个， 当y=3时x2=3,x=±3： 由题意，得20x十15(600-x)≤10000， →利用直接开平方法求x的值 解得x≤200. 当y=一2时，x2=一2无解 故最多能购买传感器模型200个. ∴.原方程的解为x1=√3，x2=一√3 (2)设减速器模型应降价y元， (2)设x2-2x=y,则原方程可化为y2一5y一6=0， 由题意，得(30-y-15)(200+50y)=4400, 整理，得(y一6)(y+1)=0, 整理，得y2-11y+28=0, 解得y1=6,y2=-1. 解得y1=7,y2=4. 当y=6时，x2一2x=6, .为了扩大销量占领市场，y=7 解得x1=1十√7，x2=1-√7： 故减速器模型应降价7元. →利用公式法求得x的值 巩适特训 当y=一1时，x2-2x=-1,解得x3=x4=1, 1.B 综上所述，原方程的解为x1=1十√7，x2=1一√7， 2.C[解析]A.当m=0时，方程为一元一次方程， x3=x4=1. 此选项错误； 例3(1)，△=(3m+1)2-4m×3=9m2-6m+1= B.当m=1时，方程为x2-1=0,解得x=士1，方 (3m一1)2≥0，.方程有两个实数根. 程有两个不相等的实数解，此选项错误； (2)由求根公式，得x=-3m-1土(3m-1) C.当m=-1时，方程为一x2十2x-1=0,解得 2m x1=x2=1,方程有两个相等的实数解，此选项 43