第20章 二次根式 学情评估-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

B-- 第20章学情评估 评估内容：二次根式 (时间：100分钟满分：120分)》 、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列各式中一定是二次根式的是 A.√-5 B.√a C.2 D.√a 2.下列二次根式：①2@√日 ;③√ab;④√32， 其中是最简二次根式的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 密 3.下列计算正确的是 ( 数 A.2√3+3√2=5 B.√8÷√2=2 C.5√3X52=5√6 D.A7-2 4.已知a=√2，b=√10，用含a、b的代数式表示√20，这个代 叙 数式是 ( 封 A.a+b B.ab C.2a D.26 5.若a=√2-1，b=√2+1，则代数式a3b-ab的值是( A.4√2 B.3 C.-3 D.-4√2 6.已知√x3十3x2=-x√x十3，则 线 A.x≤0 B.x≤-3 C.x≥-3 D.-3≤x≤0 部 7.化简√9-6x+x+(√2x-7)2的结果是 A.3.x-10 B.3x+10 C.10-3x D.10x-3 8.估计√愿×十√2而的运算结果应在 A.6到7之间 B.7到8之间 C.8到9之间 D.9到10之间 9.用※定义一种新运算：对于任意实数m和n,规定m※n= m2n-mn-3n,如：1※2=12×2-1×2-3×2=一6，则 (一2)※√3结果为 A.3√3 B.-2√3 C.3√2 D.23 10.若a和b都是正整数且a<b,√a和b是可以合并的二次 根式，下列结论中正确的个数为 () ①只存在一组a和b使得a+√b=√18； ②只存在两组a和b使得a十√b=√75； ③不存在a和b使得√a十√b=√260； ④若只存在三组a和b使得√a十√b=√c(c为定值)，则c 可以被49或64整除. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若式子√x十1+x2在实数范围内有意义，则x的取值范 围是 12.实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简： √(m-2)2= 01”2一 13.如果√28n是整数，则正整数n的最小值是 14.已知x、y为等腰三角形的两条边长，且x、y满足y= √2一x+√3x一6十3，则此三角形的周长为 15.已知a=√/17-1，则a5+2a4-17a3-a2+18a-17的值等 于 三、解答题（共75分） 16.(6分)计算：(1)(-2026)°+（-3)+11-21 V(-3)+_1 √2-1 一探究在线·九年级数学（上）·HD一 2vs+V经xv-va 17.(6分)若最简二次根式V2x十y一5和√x-3y十11是同 类二次根式. (1)求x、y的值； (2)求√x2+y的值. 18.(8分)(1)已知x=2√3-3，求x2-(2√3+3)x-5的值； (2)若√5的整数部分是a,小数部分是b,求a2十b. 01 19.(9分)先阅读，后解答： (1)由二次根式的性质计算下列式子，得 ①尽=3，®√(-号，③，--3，④v- =5,⑤6=0. 由上述计算，请写出√a的结果(a为任意实数)； (2)利用(1)中的结论，直接写出下列问题的结果： ①√(3.14-π)Ξ= ②化简：√x2-4x+4(x<2)= (3)应用： 若√(x一5)+√(x一8)产=3，则x的取值范围是 20.(10分)定义：若两个二次根式a,b满足a·b=c,且c是有 理数，则称a与b是关于c的因子二次根式. (1)若a与√2是关于4的因子二次根式，则a= (2)若√3-1与m一√5是关于一2的因子二次根式，求m 的值. 02 21.(10分)现有两块同样大小的长方形木板①、②，甲木工采用 如图1所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别 为18dm和32dm的正方形木板A、B. (1)截出的正方形木板A的边长为 dm; (2)求图1中阴影部分的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上 截出面积为25dm的两个正方形木板，请你判断能否截 出，并说明理由. ① ② 图1 图2 22.(12分)观察下列各式： (1)通过计算判断以上三个式子是否正确？（正确的打 “/”,错误的打“X”) (2)类比上述式子，请再写出一个这样的式子； (3)这些式子蕴藏着某种规律，请用字母表示这个具有一 般性的规律； 一探究在线·九年级数学（上）·HD一 (4)请你证明这个规律的正确性. 23.（14分)阅读材料： 我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a>0, b>0时，有(a-√b)2=a-2√ab+b≥0，∴.a+b≥2wab,当 且仅当a=b时取等号. 请利用上述结论解决以下问题： (1)当x>0时，x十1的最小值为；当x<0时，x+ 是的最大值为 (2)当x>0时，求y=+3x+16的最小值； x (3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, △AOB、△COD的面积分别为9和16，求四边形ABCD 的最小面积.HB=MF=M'F'=PQ=P'Q'=1.4 m. .EM=E'M'=2.8-1.4=1.4m. 2号-√停=√x号=2√ 由题意知，EF∥AB, ∴.∠HAP=∠MEP,∠AHP=∠EMP, V3g-√唇-√xg=√层， △HAPAMEP,-票， √4高-√詹-√16x盖=4√凭， 同理可得，是-那， 故式子成立. HP HP' :EM-EM',MP-MP! (2V6第=V需（答案不唯-） .HP=BQ,HP'=BQ=BQ+QQ=BQ+30, n ÷得-2”，解得B0=6HP=5m (3)规律√nn”=m√”n≥2且n是正整数). 代人是-器得性， (4)证明：√nn2-1=√n2-1 n 解得AH=42, nNn-1 .AB=AH+BH=42+1.4=43.4(m). 23.(1)2-2 即妙光塔AB的高度为43.4m. 第20章学情评估 (2y=+3x+16=x+15+3, x x 1.B2.B3.B4.B5.D6.D7.A8.C9.A10.D 11.x≥-1且x≠012.2-m13.714.7或815.-1 “x>0x+9+3≥2x+3=1. 16.(1)原式=1+9+√2-1-3+√2+1=7+2√2. 六当且仅当x=1即x=4时取等号， (2)原式=V4s÷3+√合×12-26 y的最小值为11. =4+√6-2√6 (3)设S△0c=x,已知S△MoB=9,SAoD=16, =4-√6. 则由等高三角形性质可知，A Ac=△oE=BO SAAOD DO' 17.(1)由题意，得3x-10=2,2x+y一5=x-3y+11,解得 x=4,y=3. 9.S=144. x (2)当x=4,y=3时，√2+y=√42+32=5. “四边形ABCD的面积=16+9十z+144≥25+ 18.(1)x=23-3, x ∴.原式=(2W3-3)2-(2√3+3)(23-3)-5 2√x4-49, =12-12W3+9-(12-9)-5 当且仅当x=12时取等号，即四边形ABCD的最小面积 =12-12√3+9-3-5 为49. =13-12W3, 第21章学情评估 (2):2<√5<3，∴√5的整数部分a=2,小数部分b=5 1.D2.A3.C4.D5.C6.A7.B8.C9.D10.D -2. 11.-412.213.x=x2=314.715.4 则a2+b2=22+(W5-2)2=4+5-4√5+4=13-4√5. 16.(1)x1=3,x2=-1.(2)x1=3,x2=-1. a(a>0), 19.(1)√a=|a=0(a=0), (3)=3+ 2 5,=-3,5.(4)五1==5. 2 -a(a<0). 17.(1),关于x的方程(m-1)x2+5x十m2-3m十2=0的 (2)①π-3.14②2-x 常数项为0， (3)5x≤8 ∴.m2-3m+2=0, 20.(1)22 解得m1=1,m2=2, ∴.m的值为1或2. (2)根据题意，得(W3-1)×(m-√3)=-2， (2)当m=1时，5x=0,解得x=0. 所以店=后名=-5+ 当m=2时，代入(m-1)x2+5x十m2-3m+2=0,得x2+ 5x=0, 解得m=一1， 解得x1=0,x2=一5. 即m的值为-1. 18.(1)证明：x2-(2k+1)x+k2+k=0, 21.（1)3√2 .△=[-(2k十1)]2-4(2+k)=4k2+4k+1-4k2-4k (2):正方形木板B的面积为32dm2, =1>0. ∴.正方形木板B的边长为√32=4√2(dm). .无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根 ∴.阴影部分的宽为4√2-3√2=√2(dm). (2)由题意，x1十x2=2k十1，西1x2=2十k, ∴.阴影部分的面积为3√2×√2=6(dm2). x十x=(x1十x2)2-2x1x2=(2k十1)2-2(k+k)= 即图1中阴影部分的面积为6dm2. 10, (3)不能截出.理由如下： 2k2+2k-9=0, .4=22-4×2×(-9)=4+72=76>0, √25=5,2×5=10， .两个正方形木板放在一起的宽为5dm,长为l0dm. 解得=一1±19 2 由(2)可得长方形木板的长为7√2dm,宽为4√2dm. 19.(1)设左上角的数（最小数）为x,则右下角的数（最大数） .4√2>5，但7√2<10， 为(x十8)，依题意，得 .不能截出. x(x+8)=84,解得x1=6,x2=-14(舍去)， 22.(1)√// .最小数为6. 30 一探究在线·九年 (2)依题意，得x(x十8)=33，解得=3，x=一11（舍去）， 18.(1)(2)(3)如图所示 由图可知，当最小数为3时，不能圈出4个数， 最小数与最大数的乘积不能为33. 20.(1)售价每降低2元时，月销售量可增加40件 (2)售价降低了x元 (3)根据题意，得(80-50-x)(200+号×40）=7920， 图①（相似比为整数） 图②（相似比不为整数 图③（面积最大） 整理，得x2-20x十96=0，解得x1=8,x2=12, 19..∠1=∠2，∴.∠2+∠DAC=∠1+∠DAC. 又要让顾客得到更大的实惠，∴.x=12. ∴∠DAE=∠BAC .∴.80-x=80-12=68. .AB_AD AC 答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到 A元-AE·AD= 7920元. ∴△ADE∽△ABC.∠D=∠B. 21.(1)x2+x-2=0(答案不唯一) (2)1 :∠BFA=∠DFC,∴△ABF∽△CDF. (3).方程x2十mx十n=0是“凤凰”方程， 膘器 ∴.1+m+n=0..m=-n-1. ∴.AF·DF=BF·CF 又方程x2十mx十n=0有两个相等的实数根， 20..∠DAB=∠ECB,∠ABD=∠CBE, ∴.△=m2-4n=0,即(-n-1)2一4n=0. .∴.n2-2n+1=0. △ABD△CBE带2即品 解得n1=n2=1,'.m=-1-1=-2. ∴.mn=-2X1=-2. :∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠DBE=∠DBC+∠CBE, .∠ABC=∠DBE.∴.△ABCC∽△DBE 22.设x秒钟时，△DPQ的面积等于8. 由题意，得S△DPQ=S梯形PDC一S△PBQ一S△DcQ=8, 21.BC∥EF,AB⊥BC,CE⊥EF, 即12(6，+）-x-6122m=8. ·∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90. 2 2 .△ABC∽△CED. 整理，得x2一12x十8=0， 0器即哈装部D=09 解得x1=6十2√7（不合题意，舍去），x2=6-2√7. CE⊥EF,FH⊥EF,∠CED=∠HFD=90. .(6一2√7)秒时，△DPQ的面积等于8. :∠CDE=∠HDF,.△CED∽△HFD. 23.(1)y+1=5 y 2i “FH-DF 是-器哈腊-05DF=7.2 （2)由1).得原方程可变形为十号-号， .EF=ED+DF=0.9+7.2=8.1(米) .河的宽度EF为8.1米 整理，得2y2-5y十2=0.解得n=2,%=号 22.(1)证明：：DE∥BC,∴.∠EFC=∠ACB. ·∠DEC=∠A,∴.△EFC∽△ACB. 当，千=2时，方程可整理为2x2-x十2=0。 .△=b2-4ac=-15<0, 20DF/Bc瓷-品-子 方程无解 .AC=10,AF=2,FC=8. 当千合时，方程可整理为r-2x十1=0， 由(1)得△EFC∽△ACB, 解得x1=x2=1.经检验，x=1是原方程的根. ÷E-能EF,BC-CP·AC=8X10=8a .原方程的根为x=1. ②'∠E=∠A,∠EFC=∠AFD,.△CEF∽△DAF. 第22章学情评估 1.C2.D3.C4.D5.B6.A7.B8.C9.C10.C S△DAF 1.35×1012.118.914.4或715.41 SADAF:SAADC=AF:AC=2:10=1:5, ∴.SAADC=5 SADAF. 16.(1)1-2 AD:BD=1:4,∴.S△cD=4 SAADC. (2)平面直角坐标系如图.教学楼的坐标为(0，一2)，体育 馆的坐标为（一1,2）. ∴5sw-4X5am-20x气5oam-55am 最 23.(1)证明：.四边形ABCD是正方形 术楼 .AD=DC,∠ADC=∠BCD=90°， ∠ADB=∠CDB=45°. 教学楼 ∴.∠ADC=∠DCF=90 17.(1)△A1B1C如图所示. DE=CF,.△ADE≌△DCF(SAS), (2)△A2B2C2如图所示.(-2,8) .∠DAE=∠CDF (3)A1C1∥B2C2 ∴.∠DAE+∠ADB=∠CDF+∠CDB. 即∠HDG=∠HGD, .DH=GH (2)证明：，四边形ABCD是正方形， .AB∥DC,AB=AD. ∴.∠BAG=∠DEG,∠ABG=∠EDG. △ABGn△EDG,器2品 :∠HDE=∠HAD,∠DHE=∠AHD, 级数学（上）·HD一