3.3 一元二次方程根的判别式（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

第3章 一元二次方程 3.3 一元二次方程根的判别式 导入新课 分组PK限时求解！ 解下列方程： (1) x²+4x- 3=0； (2) x²-10x+25=0； (3) x²-3x+7=0. 说一说一元二次方程的根有哪几种情况? 有两个不相等的实数根 没有实数根 有两个相等的实数根 一元二次方程的根为什么有这三种情况？由谁决定的呢？ 今天，我们一起来探究它。 学 习 目 标 1 2 3 理解一元二次方程根的判别式的概念，知道 Δ=b 2 −4ac 的由来（重点） 掌握用判别式判断一元二次方程根的情况的方法（重点） 能根据一元二次方程根的情况，确定字母系数的取值范围（难点） 新知探究 在运用公式法求解一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)时，总是要求b2 - 4ac ≥0.这是为什么？ 这要从配方法说起 将方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)配方后得到 能不能直接开平方? 它需要满足什么条件才能开平方？ 非负数 分类讨论 新知探究 由于a ≠ 0，所以 4a2 > 0，因此我们不难发现： 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 此时，原方程有两个不相等的实数根. 新知探究 由于0的平方根为0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根. 由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根. 因此，若方程要有实数根，则b2 - 4ac 必须为非负数． 新知探究 b2 - 4ac 叫作一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的判别式，记作“∆”，即∆= b2 - 4ac . 总结归纳 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由∆=b²-4ac来判断，具体是怎样判断的呢？ 特别提醒：先化为一般形式，再计算判别式 新知探究 总结归纳 1.当 时，方程有两个不相等的实数根 2.当 时，方程有两个相等的实数根 3.当 时，方程没有实数根 反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时， 2.当方程有两个相等的实数根时， 3.当方程没有实数根时， ∆=b2 - 4ac0 ∆=b2 - 4ac0 ∆=b2 - 4ac0 ∆=b2 - 4ac0 ∆=b2 - 4ac0 ∆=b2 - 4ac0 例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)3x²+4x-3=0； (2)4x²=12x-9； (3)7y=5(y²+1). 典例分析 解 (1)因为∆=b²-4ac =4²-4×3×(-3) =16+36=52＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. (2)将原方程化为一般形式，得 4x²-12x+9=0. 因为 ∆=b²-4ac =(-12)²-4×4×9 =144-144=0， 所以，原方程有两个相等的实数根. 特别提醒：先化为一般形式，再计算判别式 若方程不是一般形式，则要先将方程化成一般形式，才能确定a，b，c的值. 例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)3x²+4x-3=0； (2)4x²=12x-9； (3)7y=5(y²+1). 典例分析 (3)将原方程化为一般形式，得 5y²-7y+5=0. 因为 ∆=b²-4ac=(-7)²-4×5×5=49-100=-51＜0， 所以，原方程没有实数根. 利用判别式判断一元二次方程根的情况有哪些步骤？ 新知探究 总结归纳 利用判别式判断一元二次方程根的情况的步骤： 01 化 · 化为一般式: 将方程整理为 ax² + bx + c = 0 (a≠0) 的标准形式。 02 定 · 确定系数: 准确找出二次项系数a、一次项系数b和常数项c。 03 算 · 计算判别式: 代入公式 Δ = b² - 4ac，求出判别式的具体数值。 04 判 · 判断根的情况: Δ > 0 两不等实根；Δ = 0 两相等实根；Δ < 0 无实根。 05 答 · 写出结论: 根据判别结果，规范写出方程根的情况结论。 基础巩固题 新知应用 1.一元二次方程 的根的情况为（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 D 2.下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是 (　　) A.(x-1)2=0　　 B.x2+2x-19=0 C.x2-4=0　 D.x2+x+1=0 A　 Δ =b2-4ac = ( -1 )2-4×1×1=1-4=-3<0 当∆=0时，原方程有两个相等的实数根 基础巩固题 新知应用 3.若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实 数 的值为( ) C A. B. C. D.9 4.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 . 解： ∴ m ≤ 1 m ≤ 1 ∆=0 若方程要有实数根，则≥0 基础巩固题 新知应用 5. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况: (1) x2 + 3x - 1 = 0； (2) x2 - 6x + 9 = 0； (3) 2y2 - 3y + 4 = 0； (4) x2 + 5 = 2x. 解：(1) 因为 △ = b2 - 4ac = 32 - 4×1×(-1) = 13 > 0 ， 所以，方程（1）有两个不 相等的实数根； (2) 因为 △ = b2 - 4ac = (-6)2 - 4×1×9 = 0 ， 所以，方程（2）有两个相等的实数根； 基础巩固题 新知应用 5.不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况: (3) 2y2 - 3y + 4 = 0； (4) x2 + 5 = 2x. (4) 将方程化为一般式，得 x2 - 2x + 5 = 0， 因为 △ = b2 - 4ac = (- 2)2 - 4×1×5 = 0 ， 所以，方程（4）有两个相等的实数根. 解：(3) 因为 △ = b2 - 4ac = (-3)2 - 4×2×4 = -23 < 0 ， 所以，方程（3）没有实数根； 能力提升题 新知应用 7.已知关于 的方程 ，有下列说法： ①当 时，方程无解； ②当 时，方程有一个实数根； ③当 时，方程有两个相等的实数根； ④此方程总有实数根. 其中错误的是______.（填序号） ①② 新知应用 8.已知关于x的方程 （1）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根，并求出这两个根． （1）解： ∵方程有两个不相等的实数根， ∴k−1≠0，即k≠1，且△＞0，即（-4）2−4×（k−1）×4＞0， 解得k＜2，则k＜2且k≠1， ∴k＜2且k≠1； 能力提升题 ∆=b2 - 4ac0 一元二次方程 ∆=b2 - 4ac0 一元二次方程 新知应用 8.已知关于x的方程 （2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根，并求出这两个根． 能力提升题 （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴k−1≠0，即k≠1，且=0，即（-4）2−4×（k−1）×4＝0， 解得k＝2， 原方程变形为：x2−4x＋4＝0， ∴（x−2）2＝0， ∴x1＝x2＝2． 能力提升题 新知应用 9.关于 x 的方程（m-1）x2-4x-3-m=0．求证：无论 m 取何值时，方程总有实数根． 解：分两种情况讨论： （1）当m≠1时，=(-4)2-4(m-1)(-m-3)=4m2+8m+4=4(m+1)2≥0． 即当m≠1时，≥0，方程有两个实数根． （2）当m=1时，原方程是一元一次方程，有一个实数根． 综上所述：无论 m 取何值，原方程都有实数根． 是不是一元二次方程？ 能力提升题 新知应用 10.已知：a、b、c是△ABC的三边的长，且关于x的方程 （a+c）x2+2bx+a-c=0有两个相等的实数根. 求证 ：△ABC是直角三角形. 证明：△=（2b）2-4（a+c）（a-c）=4b2-4a2+4c2. ∵方程有两个相等的实数根， ∴△=0， ∴4b2-4a2+4c2=0，∴b2+c2=a2， ∴△ABC是直角三角形. ∆=b2 - 4ac0 一元二次方程 课堂小结 一元二次方程 根的判别式 ax2+bx+c=0（a≠0） =b2-4ac 感谢聆听! $